Динамическое деформирование неоднородного кругового цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 116-125 Механика

УДК 539.3

Динамическое деформирование неоднородного кругового цилиндра

Д. А. Сухоруков, А. И. Андреев

Аннотация. В статье рассматривается принципиальная возможность управления спектром свободных колебаний трехслойного неоднородного цилиндра с промежуточным вязкоупругим слоем за счет регулирования вязкоупругих свойств данного слоя. Такая задача служит тестом для применения конечноэлементных моделей, в частности, для выбора количества мод в разложении поля перемещений.

Ключевые слова: многослойный цилиндр, адгезионный слой, осесимметричная деформация, вязкоупругие свойства, модальное разложение, конечный элемент, частоты свободных колебаний.

Задача о динамическом деформировании неоднородных вязкоупругих тел имеет ряд практических приложений. Одним из них является расчет динамических состояний зарядов твердого топлива ракетных двигателей (РДТТ), скрепленных с оболочкой камеры сгорания. Типичная конструкция РДТТ включает в себя камеру сгорания, адгезионный слоя и собственно заряда, представляющего собой полый круговой цилиндр с внутренним каналом, поперечное сечение которого может иметь различную геометрию. В частности, сечение может иметь форму звезды с различным числом лучей, форму мальтийского креста и т.п. При большом удлинении заряда на расстоянии порядка толщины стенки заряда (0.3... 0.45 радиуса цилиндра) состояние может быть удовлетворительно описано схемой плоского деформированного состояния.

Некоторые случаи динамического деформирования, например, нагружение внутренним давлением при срабатывании системы воспламенения, или радиальными массовыми силами при старте проворачивающегося реактивного снаряда, могут рассматриваться как осесимметричные.

Рассмотрение задачи о плоской осесимметричной деформации неоднородного кругового цилиндра имеет и самостоятельную ценность: так как для каждого слоя можно найти аналитическое решение упругой задачи о свободных колебаниях, то основные закономерности деформирования, связанные с распределением механических и реологических характеристик материала по сечению могут быть изучены без ошибки, связанной с применением дискрет-

ных моделей. Тогда такая задача может служить тестом для применения конечноэлементных моделей, в частности, для выбора количества мод в разложении поля перемещений. Кроме того, в силу общего вязкоупругого поведения многослойного цилиндра такая относительно простая модель позволяет рассмотреть возможность управления спектром свободных колебаний за счет регулирования вязкоупругих свойств адгезионного слоя.

Для применения модального разложения найдем формы свободных колебаний кругового цилиндра, состоящего из N упругих слоев, различающихся механическими свойствами — модулем Юнга и коэффициентом Пуассона. Для каждого слоя запишем уравнение Ляме в полярных координатах с учетом даламберовых сил инерции, учитывая условия плоской осесимметричной деформации: равенство нулю осевого перемещения и> и независимости компонент НДС от продольной координаты ги полярного угла ф (номер слоя для сокращения записи опущен) [1]:

Переходя к безразмерной радиальной координате х = а, где а — внутренний радиус слоя, получим уравнение состояния:

где оператор V обозначает набла-оператор при безразмерной радиальной координате, и — вектор перемещения, к — вектор массовой силы, С, V, р — модуль сдвига, коэффициент Пуассона, плотность материала, точка над символом обозначает дифференцирование по времени. Раскрывая операторы при условии осесимметричной плоской деформации и учитывая, что из трех компонент перемещения отличной от нуля будет только одна, получим

Здесь и — радиальное перемещение, штрих обозначает дифференцирование по безразмерной координате. При рассмотрении свободных колебаний массовые силы следует опустить, а зависимость радиального перемещения от времени задать в виде

и(х, і) = и(х)вші.

Введем обозначение

1 ра2 1 — 2v

40 1 — V ’

тогда для определения форм свободных колебаний имеем обыкновенное дифференциальное уравнение

-1 [хиТ + (~2------"2 1 и = 0.

х2

Шп

х2

Решение этого уравнения находим через функции Бесселя первого и второго рода [2]:

и(х) = С1^ (г) + С2У1(г), г = х —.

Шо

(1)

Постоянные С1, С2 имеют размерность перемещения.

Для определения радиального напряжения в любой точке из (1) получим, используя обобщенный закон Гука для плоской деформации:

аг(х) =

Е

Е

а(1 + V )(1 — 2v)

+ С2

а(1 + V )(1 — 2v)

С1

(1 — v)U/ + Vй

х

(1 — V) — ,1о( х — ^\ — -—— х — ^\

Шо Шо х Шо

+ (2)

(1 — V) — Уо(х—) — -——УА х — —о —о х —о

При переходе от слоя к слою выполняются условия идеального контакта, то есть равенства перемещения и нормального напряжения для двух смежных слоев. Тогда для определения форм и частот свободных колебаний удобно использовать метод начальных параметров, в рамках которого состояние в произвольной точке многослойного цилиндра выражается через условия на внутренней поверхности первого слоя. Для этого введем вектор состояния

у(х) =

и

Гг

( ) Г а(1 + V)(1 — 2v)

(х), гг = -—-аг

Е

и запишем (1), (2) в матричной форме:

где С = {С1, С2},

Б(х,ш) =

У (х) = Б(х)С,

Л ( х—) уЛ х — —о —о

SJ (х,ш) Бу (х,ш)

(3)

(4)

Бр =

(1 — V) —Р0( х — ) — х —

—о —о х —о

Р = ,1,У.

(5)

Исключим из рассмотрения вектор постоянных , записывая (4) для внутренней границы слоя:

уо(—) = у (1, —) = Б(1, —)С,

откуда

1

С = Б(1,—) " уо(—) = Б(—)уо(—).

Для матрицы В нетрудно получить аналитическое выражение:

Б(—) =

1

й(—)

—о(1 — 2v)Yl ^— —(1

—(1 — V) 1о ^ — ^ — —о(1 — 2v) 1 й(—) = — (1 — V)

— v)Yо[ —)

—о )

Yl( —

—о —

— \• —.1,1—

—о

Yl( — )іо( — ) — 1і( — )Yо( —

—о —о —о —о

(6)

Тогда для произвольной точки слоя имеем выражение для вектора состояния:

у(х, —) = Б(х, ш)B(ш)yо(ш). (7)

Перейдем к составлению уравнения для определения частот свободных колебаний многослойного цилиндра. Сохраним обозначение 0 для вектора состояния на поверхности внутреннего канала; локальную безразмерную координату наружной поверхности п-го слоя обозначим

ап = —, п = 1,2,..^,

ап

где Ьп — наружный радиус п-го слоя. Записывая (7) для наружной границы слоя, получим:

Уп(—) = Б(а„,—)Б„(—)у„_і(—) = Р п(—)уп-і.

(8)

Отметим, что в (8) вторая компонента вектора состояния — безразмерное напряжение, отнесенное к комплексу, образованному из модуля Юнга и коэффициента Пуассона данного слоя (см. (3)). Чтобы получить размерное напряжение, следует умножить (8) на диагональную матрицу Еп:

Еп =

1 0

ап+1Еп(1 + ^+1)(1 2vn+l')

0

апЕп+1(1 + Vn)(1 2vn)

Тогда вместо (8) получим

Уп(—) = Рп(—)Уп_1, Рп(—) = ЕпБ(ап,—)Бп(—).

(9)

Но п_1 может быть выражен через п_2 и т.д. до о. Тогда вектор состояния любой границы слоев выражается через вектор состояния границы внутреннего канала следующим образом:

Уп(—) = < Ц Рп(—) > Уо = Уп(—)уо-

(10)

,й=1

Очевидно, что (10) справедливо и для наружной поверхности многослойного цилиндра, то есть при п = N. Физический смысл компонент вектора начальных параметров очевиден: первая компонента — перемещение границы внутреннего канала, вторая — приведенное давление на ней. В дальнейшем для удобства будем использовать следующее обозначение:

Уо = { ив Рпр } .

Обратим внимание на то, что матрица влияния Уп имеет размер 2 х 2, и все ее компоненты вычисляются, если известен параметр —. В то же время из двух компонент вектора начальных параметров о известен только один: либо перемещение внутренней границы, либо давление на ней. Недостающую компоненту следует искать из (10), выбирая из нее строку, соответствующую условию на наружной границе: если задано давление, то это вторая строка, если перемещение — первая строка. Так как одна из компонент вектора начальных параметров известна, то это уравнение содержит одну неизвестную. При решении задачи о свободных колебаниях значение начального параметра может быть только однородным, равно как и условие на наружной границе. Тогда полученное уравнение будет однородным; его следует рассматривать как характеристическое уравнение для определения спектра свободных колебаний. Из (5), (6), (9), (10) ясно, что это уравнение трансцендентное, и решать его следует численным методом; наиболее подходящим является метод половинного деления как абсолютно сходящийся и обладающий достаточно высокой скоростью сходимости [3].

Допустимые комбинации граничных условий и соответствующие им характеристические уравнения приведены в таблице.

Граничные условия и характеристические уравнения

Наружная граница

Перемещение Радиальное напряжение

Внутренняя граница Перемещение V12 (—)=0 V 22(—) =0

Радиальное напряжение УП (—)=0 У21(—)=0

Допустим, что характеристическое уравнение составлено и решено, то есть определено счетное множество частот свободных колебаний многослойного цилиндра О = {—1, —2,...—м} мощностью М. Следующей задачей является определение нормированных форм свободных колебаний. Для этого запишем систему алгебраических уравнений (10) для п = N:

им

&тМ

УМ-1

Ум21

Ум-12

УМ22

(—к )

ио

о>о

к = 1,2...М.

Так как один из начальных параметров (либо ио, либо аго) известен — он равен нулю, то из заданного условия на внешней границе (либо им = 0, либо агм = 0) ясно, что второй начальный параметр есть произвольная постоянная, так как при подстановке одной из собственных частот компонента

матрицы V обращается в нуль (см. таблицу). Выражение для собственной формы нетрудно получить из (7):

и(к) (х) = В1(х,ик '^п-1{шк )у0к\

х е [1, ап], Г е [гп-1,Гп),

(11)

где верхний индекс обозначает номер собственной формы, локальная координата х определена по глобальной координате г, Б1 обозначает первую строку матрицы Б (5). Отметим, что в силу равенства одного из начальных параметров нулю в (11) фактически участвует только один столбец матрицы влияния Рп-1.

Произвольное значение второго, ненулевого, начального параметра определяется из условия нормирования собственных форм

¡■Ьм 2ж р

J а±

и(к)(г)

2

тйт = 1.

Учитывая кусочную неоднородность свойств цилиндра и выражение для собственной формы (11), условие нормирования запишем в виде:

N

Еа2пРпУГ ^-1(шк)

п=1

Б1(х, шк )т Б1(х, шк )хйх

Vn-l(wk)у(к) = 1. (12

В безразмерных переменных интеграл в (12) может быть вычислен аналитически с использованием интеграла Ломмеля [4]:

гх х2 1 / 1 \

[31(ах)]2 хйх = — [■][(ах)]2 + - ( х2---------2 ) [Л(ах)]2 =

Уо 2 2 \ а )

х

У

J0(аx)-------------З^ах)

ах

+ - (х2 - О? ) [З1(ах)]2

Раскрывая матричное произведение и учитывая, что

гх гх /*1

/ / (х)йх = / (х)йх — / (х)йх,

.¡1 Уо ■>о

/а

{ З1 (их)2 + У1 (шх)2} хёх =

получим:

а

~2

З0(ша)----------З1(иа)

ша

З0(ш)-------З1(ш)

ш

+ — ^а2 — 772 ) [З1(ша)]2 —

— К1 — [З1(ш)]2 + т

У0(ша)-----------У1(ша)

ша

2

ш

Уо (ш) — - У1(ш)

ш

2

+

+ 1 (а2 — 7*) ^ша)]2 — К1 — ТТЛ У1(ш)]2 •

а

п

2

2

2

Окончательно условие нормирования имеет вид

N ( \

Е <рп \\п\\ (ап,— ут^т_1 = 1

П=1 \ Ш°п)

и для определения свободного параметра имеем:

( N

т = 1,2,

У Окт

ЕапРп \\Щ ( ап,—

УтТ ут

п 1 п 1

т = 1, 2.

(13)

В последних формулах индексу т = 1 соответствует перемещение границы внутреннего канала, 2 — радиальному напряжению на поверхности внутреннего канала; соответственно, \т — т-й столбец матрицы V.

Рассмотрим способ формирования характеристического уравнения для многослойного цилиндра, используя представление мод колебаний в виде (11) с учетом нормирующего множителя (13).

В силу ортонормированности собственных форм можно утверждать, что характеристическое уравнение будет содержать две диагональные матрицы: одна, единичная М-го порядка, при вторых производных модальных коэффициентов по времени, вторая, составленная из квадратов упругих собственных частот — при самих коэффициентах. Отличаться будет только способ вычисления модальной матрицы релаксации. Запишем общую формулу модального разложения и модифицируем ее для рассматриваемой одномерной задачи:

тц(г) = йе/ и(^(т) • т(г,т) • йе/ и^(т)

Js 1

йБ =

N

=2^ Е ак к=1

Гак

йе/ \и(%)1 • тк(гуйе/ \и(Л(х)

хйх.

(14)

В силу того, что при принятой схеме осесимметричного плоского деформированного состояния направления г, ф являются главными, оператор Коши ¿в/ имеет только две ненулевые компоненты, расположенные на главной диагонали:

йе/г

йе/.

д и « 1 д

дг ап дх

1 'и« 1

г - апх

(15)

Тензор упругих постоянных для данного случая имеет следующие ненулевые компоненты (номер слоя опущен):

с о = с о = Ео(1 - щ)

Ст (1 + ^о)(1 - 2ио)

с о = с о = ___________Ео^о_______

сгг^ = с^гг = (1 + ^о)(1 - 2ио) ’

аналогичную структуру имеет и тензор ядер релаксации:

тт(і) — т^^(г) — (1 Е°()- ^°2, )71 (¿);

ТТГфф(І') - Т^^тг (і)

Из (14), (15), (16) получим:

(1 + ^°)(1 - 2щ) Е°щ (1 + ^°)(1 - 2и°)

72(і)-

(16)

Тц(і)—2п]Т( [к и(г)'(х)и(3)'(х)х^х+/ " и(і)(х)и3)(х) гіх С^Ь^(і) + к=і ^ ^ Л х ]

га^

+ и(г)' (х)и(3) (х) + и (3)'(х)и (І)(х)

—

- 2п

Е

(к)

N

(1 + ^°к)}(1 - 2^°к)) ІҐі1 3

ТІ3(ак) Г1 - ^°к)) 7(к)(і) + ^3(акК72к)(і)

(17)

Чтобы конкретизировать вид собственных форм, отметим, что для свободных колебаний РДТТ характерны однородные краевые условия в напряжениях (аг(а1) = 0, аг(bN) = 0); тогда неизвестный начальный параметр есть перемещение внутренней границы и характеристическое уравнение имеет вид (см. таблицу):

^(ш) = 0.

Выражения для собственных форм имеют вид (11); зависимость от координат полностью определяется первой строкой матрицы Б. Тогда имеем для каждого слоя:

и (г)и (з)(х) = ио(шг)ио(ш з )УЩ__1(шг р!(х, шг)т Б1(х, шз )УП_1(шг); и (г)и (з)(х) = ио(шг)ио(ш з )УП_1(шг)Б1(х, Шг)т Б1(х, шз)'УП_1(шг); и(г)и(з)(х) = ио(шг)ио(шз)УЩ__1(шг)Б1(х, шг)тБ1(х, шз)/УП_1(шг); и (г)и (з)(х) = ио(шг)ио(ш з )УПт 1(шг)Б1(х, шг)'Т Б1(х, Шз )УП_1 (шг);

Бі(х, шг)1 Бі(х, из) —

Мі ( х— ) Л (х^ )

°к °к

,1і\ х— ) уАх-—3- I

—Л 7. (х и—зЛ

Уі х — Мі х

ок

°к

Бі(х, и і) Б'і(х, из) —

Л х-- Л х

Уі х

°к

со.

—Л' (х3'

°к

— ) мА х —3- ^

°к °к

—г \ т- / — з

и°к ) ~ \ и°к )

Уі ( хуАх3

°к °к

/

Уі ( х — Уі х

°к °к

—) уАхЛ

°к °к

\ У \х 3 \

Di(x, uJi)'T Di(x, ujj) =

Ji ( x

jA X tAX — \ vAx

Yi x

jA X V (X — \ vA X —'І-\

Ji x

Yi x

'0k LJ, '0k ) i

1------

0k i

0k

LJ

Ji x

Ji x

0k

0k

'j V 0k j

Yi x

Ji x

0k

Yi x

0k

LJ, 0k i

1---------

0k i

Yi x

0k

Yi x

0k j

Yi ( x ——

0k

0k

Yi x

j'

0k

Так как интервал интегрирования в (17) не содержит нуля и бесконечности, то все интегралы в этой формуле ограничены и модальная матрица релаксации также ограничена для любого момента времени, большего нуля.

В случае, когда ^к и 7к различны не только материалы слоев, но и конструкция в целом отвечает общему случаю вязкоупругого поведения [5]; более того, даже если каждый слой относится к вырожденному случаю (7к = ^2 = 7к), конструкция в целом отвечает общему случаю. Вырожденный случай может быть реализован только тогда, когда все вязкоупругие слои имеют постоянный коэффициент Пуассона и одинаковое ядро релаксации при растяжении. В частности, такому условию отвечает двухслойный цилиндр с одним вязкоупругим слоем, материал которого «вырожденный». Из этих рассуждений ясно, что учет вязкоупругих свойств промежуточного адгезионного слоя коренным образом изменяет поведение трехслойного цилиндра при динамической нагрузке: моды колебаний становятся взаимосвязанными, что открывает возможность для управления распределением энергии колебаний по модам, то есть дает возможность для отстройки от доминирующих частот внешнего воздействия.

Список литературы

1. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 720 с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

4. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

5. Желтков В.И. Экспериментально-теоретическое обеспечение динамических задач линейной вязкоупругости / Дисс. .. .д-ра физ.-мат. наук. Тула, 2000. 263 с.

Сухоруков Дмитрий Александрович (КуапШБ1т@та11.ш), ассистент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Андреев Александр Иванович ([email protected]), д.т.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Dynamic deforming of a nonhomogeneous circular cylinder

D. A. Suhorukov, A. I. Andreev

Abstract. In the paper a principled possibility of a three-layered nonhomogeneous cylinder with an intermediate viscoelastic layer free vibrations specttrum control at the expense of viscoelastic properties of this layer regulation is considered. Such a problem is used as a test for finite-element models applying, specifically for choice of mode number in a transference field expansion.

Keywords: laminated cylinder, adhesion lamina, axisymmetric deformation, viscoelastic properties, modal expansion, finite element, free vibrations frequencies.

Suhorukov Dmitry ([email protected]), assistant, department of mathematical modeling, Tula State University.

Andreev Alexandr ([email protected]), doctor of tecynical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 11.03.2010