CC BY
59
ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИДРОПРИВОДА ЛЕСНОЙ ПОЧВООБРАБАТЫВАЮЩЕЙ ФРЕЗЫ КАК ОБЪЕКТА АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Попиков Пётр Иванович д.т.н., профессор
Воронежская государственная лесотехническая академия, Воронеж, Россия
В статье представлены динамические характеристики гидропривода лесной почвообрабатывающей фрезы как объекта автоматического регулирования
Ключевые слова: ФРЕЗА, ГИДРОПРИВОД, ДИНАМИКА
UDC 630*332.2.001.57
DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A HYDRAULIC ACTUATOR OF WOOD SOIL-CULTIVATING MILL AS OBJECT OF AUTOMATIC CONTROL
Popikov Petr Ivanovich Dr.Sci.Tech., professor
Voronezh State Academy of Forestry and Technologies, Voronezh, Russia
In this article, the dynamic characteristics of a hydraulic actuator of a wood soil-cultivating mill as object of automatic control are presented
Keywords: MILL, HYDRAULIC ACTUATOR, DYNAMICS
Специфические условия технологического процесса рабочих органов должны быть учтены при обосновании параметров гидропривода и режимов его работы. В связи с переменными нагрузками на рабочие органы работа лесных фрез зачастую протекает на неустановившихся режимах [2]. Поэтому при проектировании и разработке машин с гидроприводом необходимо исходить не только из энергетических и скоростных показателей, но и давать оценку колебательным свойствам гидропривода. Это позволяет установить значения частот свободных колебаний системы и области опасных резонансных режимов.
Принимаем, что движение рабочей среды в гибком рукаве высокого давления гидропривода рабочих органов асимметрично, с достаточно малыми изменениями температуры и давления, поэтому вязкость жидкости постоянна. Уравнения Навье-Стокса в цилиндрических координатах, ось х которых направлена по оси трубопровода, а координата г - по радиусу его поперечного сечения приводятся к двум уравнениям:
ди CU ди
х х х
+ и + и
х r
а дх dr
1 ф
+ v
р ск
2
4 д u
r
2 д u
r
1 ди
1д
г.
2
3 дх
ди
Л
r _L
+
дг
r дг 3 дх \ дг
0
(1)
х
+
+
+
2
r
ди ди ди 1 дР
г г г
+ и г + и = х —
а дг дх р дг
+ V
2
4 д и 4 сЬ 4и д
г__г г
+ - +
г
1 ди ди
_X _г
+
V
22 3 дг 3 • г дг 3 • г дх у 3 дг дх 0
, (2)
где их и иг - проекции скорости жидкости на оси х и г; р - плотность жидкости; р - давление жидкости; V - кинематическая вязкость. Уравнение неразрывности запишется: диг и,
дР "г
+ р-д дг
г
+ р —+ р г
диХ др др . —- + иг — + их — = 0 дх г дг х дх
(3)
Пренебрегая членами низкого порядка и уравнением (2) при их>>иг и равенстве давлений во всех точках сечения трубы, неустановившееся движение вязкой сжимаемой среды в трубе описывается уравнениями:
ди- 1 др
=---+ V
а
р дх
2 ди
Х 1 диХ 1 д
+--— +--
2 г дг 3 дх
дг ди
диг иг
+ —
г
дг
др диг иг ""Х п
—+ р—- + р— + р—— = 0.
д дг г дх После преобразований получим уравнения:
(4)
(5)
дУ 2т +
ОН
1 др
д р • г0 р дх
дУ =__1_ др
дх е ТР с'
(6) (7)
где V - средняя скорость жидкости; тон - нестационарное касательное напряжение на стенке трубопровода; Етр - приведённый модуль упругости трубопровода; ? - время.
С помощью этих уравнений можно определить динамические характеристики однородной линии круглого сечения с упругими стенками при движении вязкой сжимаемой среды с учётом распределённости
ЬЦр:// е. киЬааго .щ/2011/10/рё1У16.рёГ
параметров по её длине. После одномерного преобразования уравнений (4), (5) по Лапласу получаем:
с 2Ж-т -V (5) р ■ 5 +-^
г5
V (5) = - ^Рг; (8)
В.^ = -8-Р(8); (9)
ах
Выполнив преобразования можно получить уравнение: 2
-и 2(Б)-Р(Б) = 0, (10)
ах2
где б - переменная в преобразовании Лапласа; и (б), р(б) -изображение по Лапласу соответственно средней по сечению потока скорости и давления среды.
Решение этого уравнения имеет вид:
Р(б, х) = С1 ■ е0(б) - х + С2 ■ е-0(б) - х, (11)
где & (б) - операторный коэффициент распространения возмущений.
Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются граничными условиями. При х=0:
р^,х)=р!^,0); (12)
'2 14 1 ■ Е__
«1(4,0). (13)
ёр(Б,х) О (б)-Е тр
ёх б
При этих условиях постоянные интегрирования будут равны:
С = р^-М^ и1(4,0); с2 = Р^ + ^ «,(3,0).
2 2-б 2 2-б
С учётом С1 и С2 решение уравнения запишется:
Р(3,х) = р1^(е¥(8>х + е-¥(х)-х)- у(8)Вт2р ^У1(8,0)(е¥(8)-х -е-¥(х)-х). (14) Используя гиперболические функции, получим:
р(8,х) = р1(8,0)Л[0(8) • х] - 0(8)ЕТР ^^ ^[0(8) • х]. (15)
Б
Выразив из уравнений (4.8) и (4.9) У(8,х), обозначив при х=1 изображения по Лапласу давления через Р2(8,1) и скорости среды - У2(Б,1) получим:
Р2(Б,1) = Р1 (8,0)еЦ0(8) • 1] - °(8)БТР§^и1(8,0) ^[0(8) • 1]; (16)
и2(8,1) = 01 (8,0)еИ[0(8) • 1] -! (Р1^5^) • 1] • (17)
\Г(8) * Е тр
Считая, что площади поперечных сечений, вследствие деформации стенок, обычно мало и мгновенные значения объёмного расхода среды можно находить, как произведение средней по сечению потока скорости и постоянной площади сечения, справедливы соотношения:
^(8) = Р^ = (18)
^ Г02 • V (8,0) 02(Б,0) ' '
Р2 (8,0) = Р2(8,1)
Г02 • У2(Б,0) 02(Б,1)
г0 • У^,0) 02(Б,0) Z2(S) = ^2(8,0) = Р^; (19)
^ ВЛ (8) = (20)
Г0
где 21(8) и 72(8)- концевые операторные сопротивления; 2в.л. -операторное волновое сопротивление линии.
С учётом этих соотношение и после преобразований имеем:
22(8)
8И[0(8)1] + ^ 7 еИ[0(8)1]
_2 В.Л.(8)
2(8) 8И[0(8)1] + еИ[0(8)1]
21 (8) = 2 В.Л. (8^ ^-^-; (21)
22(8)
2 В.Л.(8)
/ (8)
^ еИ[0(8)1] - 8И[0(8)1]
2 В.Л.(8)
еИ[0(8)1] - 8И[0(8)1]
22(8) = 2 В.Л. (8) -^-• (22)
22(8)
2 В.Л.(8)
Передаточную функцию гидросистемы, равную отношению изображений по Лапласу давлений в выходном и входном сечениях, выразим из уравнений (16) и (17):
Ш<5> = ^ = ^-1-• (23)
р'(3,0) ^^¡ЖрФЦ+с'11®®11
Считая, что гидромотор, приводящий во вращение рабочий орган, представляет собой несогласованную нагрузку, так как от конца гидросистемы могут отражаться волны возмущений, амплитудная и фазовая частотные характеристики гидросистемы будут равны:
W(jw) = = ——-1- (24)
Р1 ^^ 2в^ю)вЬ[(8 + je)1] + сЬ[(8 + je)11
22(|ю)
Комплексное сопротивление нагрузки запишется:
72Сю)=К^Хн, (25)
где Ян - активное сопротивление нагрузки; Хн - реактивное сопротивление нагрузки.
Комплексное волновое сопротивление гидросистемы равно:
в
2 ал.и®) = —(е- (26)
р • г0 • ю
Отношение 2ВЛ ^ю)^^) будет иметь вид:
2 В.Л.Рю) _ ВТР Н ХН5) - • ВТР (ХН - К Н5) =М+ш (27)
/• \ 2 /Т-. 2 -»т-2 \ Л 2 /Т-. 2 -»т-2 \
22(|Ю) ^Г02 •ю(ЯН + ХН) рГ02 •ю(ЯН + ХН)
После подстановки этого отношения в (24) и преобразований комплексная передаточная функция гидропривода с несогласованной нагрузкой запишется:
Р2и®,1) 2 ,
Р1(|ю,0) М1 + jNl,
(28)
где М1 _ [(1 + М)е54 + (1 - М)е 54 • соБ(е • 1) - ^е54 + е 54) • Бт(е • 1); (29)
N = [(1 + М)е5-1 - (1 - М)е-5-1 • бШ(е • 1) + ^е5'1 - е-5-1) • С0Б(е • 1). (30) Тогда амплитудная и фазовая частотные характеристики будут равны:
2
ЛР2Р1(ю) = / 2 2; (31)
л/м? + к2
N
Ф Р2Р1(ю) = -аГС1^Мк' (32)
М1
Частотные характеристически зависят от частоты колебаний гидропривода, параметров линии и нагрузки. Коэффициент затухания 5, и коэффициент фазы е, входящие в формулы (29) и (30) определятся:
5=
4С а п
г2
1
р
С рР' Е
(33)
ТР
С Рр'р
е = ю —-, (34)
Е
ТР
где ю - частота колебаний потока жидкости.
Коррективы са и СРЬ вычисляются по формулам:
Са = ^ + 0,4; (35)
С РР = 1 + (36)
Р 2л/ю
где ю - безразмерная частота колебаний потока жидкости
ю = юг02 /(5 • п). (37)
В случае приближённых расчётов коррективы принимаются равными единице. Если не учитывать вязкость жидкости п, то принимают д=0. При чисто активном сопротивлении нагрузки амплитудно - частотная
характеристика будет иметь максимумы при е • 1 = р + п • р, п=0,1,2,...
Резонансные частоты/р гидросистемы определяются:
С Л (1 + 2п л
^ =
(38)
Р 21 ^
где Сл - фазовая скорость.
Значениям п=0 и п=1 соответствуют первой /р1 и второй /р2 резонансным частотам гидросистемы. Амплитуда и фазовый сдвиг в зоне резонансной частоты равны:
АР2Р1(®Р) = М (39)
ф Р2Р1(®Р) = - ^ - п • (40)
В случае чисто реактивного сопротивления нагрузки амплитуда в зоне резонансной частоты стремится к бесконечности. Если в гидросистеме есть активное сопротивление нагрузки, то амплитуда ограничена, что объясняется демпфирующими свойствами гидросистемы.
В случае разгона ротора при запуске, момент сил сопротивления равен нулю, и система описывающая динамику гидропривода, примет вид:
Ф 1 / \
= пн - Я® - ауР
М К (р)
(41)
М® = _±_ _ л пЯР
М ^пр 2рл о '
Исходя из вышесказанного, можно построить модель, при помощи которой можно получить полную картину работы агрегата, начиная с момента его запуска, моделируя работу при помощи системы (41) до момента, когда частота оборотов ротора перестанет изменяться, затем продолжить моделирование рассматриваемой системы при помощи уравнений. Результат моделирования также целесообразно отобразить в виде графиков изменения давления рабочей жидкости в гидросистеме и скорости вращения ротора с течением времени [1].
Для простоты записи решения произведем замену:
цп = Н; ца 5; ау = а; Пн = п; дп = д; Кр = к; = J. Тогда получим систему уравнений в следующем виде:
— = — (дп — дю — ар);
Сю Ндр
С 2Jж5
0 дп , д , а Ид ,
Замена: — = I; — = Ь; — = с; —— = /. к к к 2 Jж5
— = I — Ью — ср, Ж
Сю .
— = /р. С
Решаем второе уравнение системы:
Сю Сю 1
— = /р ^ р =---;
с с /
С 2ю Ср 7Г = * ~ •
(42)
са1
Ж
(43)
(44)
Возвращаемся к первому уравнению системы (42), подставив полученное уравнение (43):
Ср . . с Сю
— = I — Ью----.
С / С
Уравнение (45) подставим в (44), получим
С 2ю „ Сю /I — /Ью — с-
(45)
С2
Заменим: /I = т; /Ь = г, тогда
С 2ю Сю
Сг
—— + с--+ гю = т.
Ж Ж
ЬЦр://е1.киЬаего.ги/2011/10/ра1У16.р1
Для решения данного дифференциального уравнения отбросим правую часть и возьмем порядок дифференциального уравнения как степень некоторого числа у, получим
у2 + су + г = 0; Б = с2 - 4г;
- с ±л/Б (47)
у 1,2 =—2—• ()
Опытным путем установлено, что значение дискриминанта Б меньше нуля. Из высшей математики известно, с учетом этого, что уравнения (47) дают предварительный ответ
Ю = е"• (С1 со^ *) + С2 яп^ *))• (48)
Найдем константы С1 и С2, если известны граничные условия
ю 0|*=о = 0:
С1 + С2 = 0 ^ С1 = -С2.
Пусть С2 = 1, значит С1 = -1. Подставив полученные значения С1 и С 2 в (4.48), получим
--* лГо лГо
Юо = е 2 • (яп^ *) - со^ *))• (49)
Вернемся к правой части уравнения (46), пусть
О = А - в соответствии с уравнением, тогда О = 0; О = 0. Подставим значения О в (4.46):
А т
гА = т ^ А = —;
т
О = А ^ О = —. (50)
г
ю = юо + 0.. (51)
Окончательно получим решение уравнений относительно времени в момент разгона фрезерного барабана:
с = е• (яп^г) - ос^)) + —. (52)
В связи с тем, что угловая скорость с вследствие существования
константы —, в момент времени г = 0 приобретает значения, отличные от
г
нуля, этой константой можно пренебречь непосредственно при построении графиков для момента разгона лесной фрезы. Таким образом, уравнение (52) можно преобразовать к виду
--г 45 45
с = е 2 • г) - ос8(^ г)) +1. (53)
Графические зависимости угловой скорости от времени для различных значений коэффициента податливости упругих гидромагистралей представлены на рис.1. Из рис.1 видно, что с
увеличением значения коэффициента податливости от К = 1 • 10 5 до
-5
к 5 = 5 • 10 , время разгона ротора до максимальной частоты вращения возрастает от г1 »6 с до г5 » 20 с. Таким образом, можно подобрать наиболее оптимальные динамические качества гидропривода активных рабочих органов лесных машин.
Систему уравнений (41), описывающих движение ротора с гидроприводом, можно написать в таком виде:
^ пр 1, = ЦыР;
йю
йг
V йр (54)
Янпн = Яыю + ауР + •
Епр йг
Подставляя Р из первого уравнения во второе, находим:
, ау3 йю У3Пр Ж2а> цнпн = Чм ( + + -гг.
Чм Ж Епр Чм Ж
а
или, применяя символ Б = — и соответствующие преобразования,
Ж
получим:
о Р^ б 2 + 3 Б +1'
У Епр Ч М
чМ
/
Чнпн Чм
(55)
Рис. 1 График процесса разгона ротора при различных коэффициентах К(Р) Здесь постоянные величины перед символами Б имеют размерность времени и являются постоянными времени данной системы:
Т.
УЗ.
пр
2 Е 2 '
Епр Чм
т =
ау3 пр
чМ
(56)
(57)
Постоянные времени Тг и Т2 для данного гидропривода положительны и по предварительной оценке величин параметров гидропривода, входящих в их выражение, нами установлено, что 71=272,. Поэтому решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
2
(О = ю
1 - е
008 ((^ +
Т1
81П (О Л
2Т2юк к 0
(58)
Это уравнение описывает затухающий колебательный процесс, причем Т и Т2 показывают, в данном случае, затухание колебаний угловой скорости вала гидромотора, а юк - угловую частоту этих колебаний. Известно, что при других соотношениях постоянных времен Т1 и Т2 могут возникать различные переходные процессы, как гармонический колебательный процесс (^>0) и неустойчивый расходящийся процесс (Т;<0). Таким образом, постоянные времени определяют колебательные свойства гидропривода и являются динамическими характеристиками системы.
Постоянная времени Т1 гидропривода имеет следующее соотношение с частотой собственных колебаний юо:
Т = — (59)
О
Постоянная времени Т2 связана с постоянной времени Т1 зависимостью
Т2 = 2пТ,, (60)
где п - относительный коэффициент демпфирования, который равен:
п » — 1п К
АЛ
V Аз 0
(61)
Здесь А1 - амплитуда первой полуволны колебаний угловой скорости над линией установившегося значения;
А3 - амплитуда первой нижней полуволны. Таким образом, значения динамических характеристик можно определить по экспериментальным значениям частоты свободных
колебаний и относительного коэффициента демпфирования с помощью соотношений (60) и (61).
Частотные характеристики можно построить по результатам решения дифференциальных уравнений движения лесной фрезы с гидроприводом или по осциллограммам её рабочих процессов. Период колебаний давления в гидроприводе равен:
Г t 1,8 0 26
T = — = — = 0,26 с, N 7
где N - количество колебаний за контролируемый промежуток времени
Тогда первая резонансная частота колебаний определится:
^ = — = = 3,85 Гц.
Р1 Г 0,26
Вторая резонансная частота колебаний определится по второй гармонике колебаний, накладывающуюся на первую. В соответствии с осциллограммой на один период (колебание) первой гармоники приходится 8...10 колебаний второй гармоники, следовательно частота второго резонанса в 9 раз больше, т.е./р2=34,65 Гц.
Отношение коэффициентов неравномерности крутящих моментов на валу гидромотора Кнм и на валу гидронасоса Кнн характеризует отношение амплитуд сигналов на выходе и входе гидросистемы.
Рис. 2 Частотные характеристики гидросистемы с распределёнными параметрами и с
активной нагрузкой
Максимальное значение отношения равно:
А
л
V Кии 0
59 = 2,78.
21,2
Так как эти частотные характеристики относятся к гидроприводу,
работающему на обычных минеральных маслах, то их характер соответствует графикам частотных характеристик, рассчитанным теоретически .
Начиная с частоты ./=1,6 Гц сдвиг фазы давления насоса Рн относительно крутящего момента гидромотора Мк, составляет 180°.
Переходный процесс при несогласованной нагрузке и известном входном воздействии Р](*), можно определить по передаточной функции :
Р1М)
Р 2 (в, 1) = Р1(в,0)^гс(в) = —--
^В.Л. (в)
(62)
По переходному процессу определяются прямые показатели качества: длительность переходного процесса, перерегулирование, частота и период колебаний, статическая ошибка, декремент затухания, наклон фронта и т.д. [3].
Экспериментально установлено, что время разгона барабана почвообрабатывающей фрезы с гидроприводом составляет *ии=1,5...1,8 с., частота колебаний /=3.4 Гц., период Т=0,2...0,3 с., коэффициент неравномерности на валу гидромотора Кнм=40.. .59% .
Проведённые теоретические и экспериментальные исследования могут использоваться при динамических расчётах и не только вращательного гидропривода активных рабочих органов лесохозяйственных машин, но и гидропривода поступательного действия манипуляторов, при описании колебательных свойств и устойчивости движения.
Литература
1. Моделирование сельскохозяйственных агрегатов и их систем управления[Текст]: учеб. для вузов / под ред. А. Б. Лурье. - Л.: Колос. Ленингр. отд-ние, 1979. - 312 с.
2. Попиков, В. П. Имитационное моделирование технологического процесса лесной машины с гидроприводом дискового рабочего органа [Текст] / В. П. Попиков, В. Н. Коротких, М. В. Драпалюк // Вестн. КрасГАУ. - 2009. - № 5 -С. 129-132.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем [Текст]: учебное пособие / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев- М.: Высш. шк., 1998. - 319 с.
