CC BY
11Динамические доменные структуры в длинном джозефсоновском переходе
Захаров Ю.В (1, 2) ( [email protected] ), Уваев И.В. (2)
(1)Институт физики им. Л.В. Киренского СО РАН, (2)Сибирский государственный технологический университет
Поиск новых свойств различных неоднородных структур представляет интерес не только в теоретическом плане, но и позволяет создавать новые приборы и другие технические устройства на основе новых найденных свойств.
Большой класс неоднородных структур - это слоистые материалы. Свойства таких структур во многом определяется свойствами их поверхностей, т.е. граничными условиями. Такие системы всегда имеют характерные размеры, поэтому следует ожидать появления в них размерных и частотных эффектов.
Одним из наиболее известных размерных эффектов является Эйлерова неустойчивость при продольном изгибе стержня конечной длины. Основополагающая работа М.А. Лаврентьева и А.Ю. Ишлинского [1] показала, что в упругих системах, помимо пороговой Эйлеровой силы, существуют более высокие, названные ими динамическими, пороги, достижение которых возможно путём динамического (взрывного) нагружения. При таком динамическом воздействии на систему время нарастания нагрузки должно быть меньше времени релаксации системы.
В работах Ю.В. Захарова [2, 3] была найдена аналогия задачи об устойчивости упругого стержня-консоли при продольной нагрузке и задачи о перемагничивании двухслойной магнитной системы «магнитомягкий слой на магнитожесткой подложке», которая обладает несимметричными граничными условиями (закрепление магнитного момента на одной поверхности и свободный магнитный момент на другой). Таким образом, показано, что динамическая потеря устойчивости характерна не только для упругих систем, но и для более широкого круга систем.
Одним из представителей слоистых систем является переход Джозефсона. Проведённые ранее исследования [4-6] показали, что стационарный эффект Джозефсона может быть описан уравнениями, аналогичными уравнениям равновесия для упругих и магнитных систем. Поэтому представляет интерес попытаться рассмотреть процессы в джозефсоновском переходе как Эйлерову потерю устойчивости.
Ранее было показано [7], что электродинамика протяженного джозефсоновского контакта для разности фаз ф волновых функций сверхпроводников, образующих контакт, описывается дифференциальным уравнением в частных производных, которое имеет вид
. 1 д2ф в дф 1 .
Аф—-—-2= -^sm ф, (1)
с2 дt с2 дt X2J
_ 1/2
где с = с (1 / 4 п C d) - скорость распространения вдоль поверхности туннельного перехода
1/2
электромагнитных волн (скорость Свихарта), XJ =(h /2 edJc) - джозефсоновская глубина проникновения, т.е. ширина области по краям контакта, в которой протекают джозефсоновские токи. Здесь Jc - джозефсоновский критический ток, С - емкость контакта, приходящаяся на единицу площади, d - толщина области контакта, в которую проникает магнитное поле, в = а0 / С - диссипативный член, здесь a0(V) - представляет собой квазичастичный туннельный ток.
Плотность протекающего через переход тока J определяется уравнением
J = Jc sin ф, (2)
а взаимодействие джозефсоновского перехода с магнитным полем может быть найдено из выражения
и 1
х п
(3)
В случае, когда разность фаз ф не зависит от времени I, уравнение (1) переходит в хорошо известное уравнение нелинейного маятника
Дф = -^зт ф.
(4)
Нелинейное уравнение (1) описывает всю электродинамику джозефсоновского контакта, а характерные величины указывают на наличие в нём размерных и частотных эффектов. Рассматривались статические задачи [4-6] и задачи о колебаниях. В частности, были проведены численные расчеты устойчивости статических решений и частот колебаний в работах [10, 11].
При этом проведенные ранее аналитические исследования решения нелинейного уравнения (4) для фазы с определенными граничными условиями показали наличие спектра собственных значений для критического поля потери устойчивости. В работах Кулика [8] было показано, что джозефсоновское минимальное критическое поле является первым собственным значением данной задачи. Позднее Оуэном и Скалапино [9] найденный спектр решений был связан с условием периодичности и получил геометрическое толкование, как кратность глубины проникновения и размера перехода Ь, описываемая соотношением
Ь = 2п Ь к К (к 2), (5)
где К - полный эллиптический интеграл первого рода с модулем к.
Представляется интересным в этой работе последовательно рассмотреть решение статической задачи о распределении поля в джозефсоновском переходе как аналог Эйлеровой задачи об устойчивости упругих и магнитных систем.
Для определенности возьмем контакт простейшей геометрии в одномерном случае, представленный на рис. 1. В стационарном одномерном случае уравнение для распределения разности фаз ф вдоль перехода имеет вид
0 её
ё 2ф
= Л
^т ф,
ёхг " Н где 0 < х < Ь. Граничные условия имеют вид [7] 'ёф^ = н 2пё (ёф\ 2пё
ёх
Ф0
^ = Не
ёх
Ф0
' х=0 ^0 Ух=Ь ^0
Для удобства введём обозначение л _ 2ц0её
Я =
-Л
Рис.1. Одномерный джозефсоновский переход с симметричной линейной геометрией.
Н
здесь коэффициент, стоящий перед размерность обратного тока. Введём величину
(6)
(7)
(8)
имеет
10 =
Н
Ф0
0её Ь0
(9)
Нетрудно заметить, что 10 есть не что иное, как минимальный ток, создающий в переходе с индуктивностью Ь0 = 2п ё квант магнитного потока Ф0. Обычно индуктивность вводится в виде Ьс = Ф0 / 2п 1С (см., например, [8]). Мы будем пользоваться определением индуктивности Ь0, связанным с размерной характеристикой перехода, а именно, с толщиной ё. Отсюда величина минимального магнитного поля, при котором в переходе возникает квант магнитного потока, имеет вид
10^ 0
Н 0 =■
Ь
Далее, делая замену ф = п + ф, получим
ё2 ф
ёх
+ я 2 sin ф = 0
(10)
(11)
Это хорошо известное уравнение нелинейного маятника, общее решение которого записывается с помощью эллиптических функций Якоби и эллиптических интегралов с модулем к, который определяется плотностью тока, протекающего через переход. Как было показано в работе [7], в случае, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля, модуль к > 1, а в случае, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля перехода, модуль к < 1.
В первом случае решение уравнения (11) после замены к 1 = к* принимает известный стандартный вид
ф = 2 arcsin {к* sn [д (х + х^), к*]} - п. (12)
Во втором случае, когда к < 1, решение уравнения (11) имеет вид
ф = 2 am [д (х + хс2)/к, к] - п. (13)
В выражениях (12) и (13) sn и ат - эллиптический синус и амплитуда Якоби; хс1 и хс2 -константы интегрирования, которые будут ниже определены из граничных условий (7).
а) Случай, когда собственное поле перехода больше внешнего магнитного поля Для нахождения пространственного распределения магнитного поля (3) и распределения плотности тока (2) найдём первую производную ф и определим константы интегрирования. Имеем
^ = 2дк *сп [д(х + хС1), к *], ах
отсюда
д(х + хС1 ) = Е
arccoss
2дк
аф ах
, к
(14)
(15)
Здесь Е - неполный эллиптический интеграл первого рода. Из первого граничного условия (7) находим константу интегрирования хс1
х
с1
= 1Е
д
г
arccos
Не па дк * Ф{
Л
к *
о у
или, вводя обозначение
Ец = Е
arccos
(не паЛ
дк * Ф
к *
о у
(16)
(17)
находим
хс1 = (1/д) Ец. (18)
Подставляя выражение (16) в (15), используя второе граничное условие (7) и учитывая периодичность неполного эллиптического интеграла Е, получим
2 J
д = Г=
4тК(к ) Ь
т = 1, 2,
(19)
Введем, по аналогии с Эйлеровой силой для упругого стержня Рс = (п/2)2 Е1 / Ь 2, критическое значение плотности тока при т = 1 и к = 0
Jl = (2п)2/о/Ь2. (20)
В нашем случае минимальный ток в выражении (20) является аналогом жесткости упругого стержня, т. е. произведения модуля Юнга Е на момент инерции I сечения стержня. При этом нетрудно заметить, что первое критическое значение плотности тока в виде (20) есть плотность минимального тока 10, который должен протекать через площадь Ь2/(2п)2, нормированную на период разности фаз ф [8]. При такой критической плотности тока в переходе соответствующих геометрических размеров возникает квант магнитного потока.
Таким образом, для джозефсоновского перехода неустойчивость состоит в появлении следующего кванта магнитного потока при всегда неоднородном распределении плотности джозефсоновского тока, что характерно для больших переходов. В упругой системе исходной
1
х=х
2
является однородная, не искривленная форма стержня, и неустойчивость состоит в появлении очередной моды искривления.
*
Из (19) и (20) получаем уравнение для определения зависимости модуля к от плотности
тока J
J = J1 (2/п)2 [mK (к*)]2 (21)
* *
Рассматривая случай m = 1, видим, что при J ^ J1, модуль к ^ 0, а при J ^ да к ^ 1,
*
следовательно, к определяется значением плотности тока, протекающим через переход. Из выражения (21) при к = 0 находим величины порогов потери устойчивости
J(m) = m2J1, m = 1, 2, ... . (22)
Поскольку внешней силой является магнитное поле, введём первое критическое значение магнитного поля в виде
Н1 = 4пН0, (23)
тогда выражение для поля имеет вид
H = Я1- mK (к *), (24)
п
а для пороговых значений поля
Hhm) = mH1, m = 1, 2, ... . (25)
Из выражения (25) нетрудно заметить, что величина порогового поля увеличивается дискретно. Физически это означает, что в переход проникают кванты магнитного потока.
Распределение плотности тока в переходе и магнитного поля согласно (2), (3), (21) и (24) имеет вид
J (x) = -f[mK ((* )]2 к * 2 J1snf 4mK ((* )X + F11, к * 1 dnf 4mK (к * )X + F11, к * 1 (26)
п J L 4 /J 1 I v 'L
у
L 11
V J
Н (х) = 4тК(к *) к * Н0 сп^4тК (к* )х + ^11,к* ^ (27)
Полученное распределение плотности тока и магнитного поля вдоль перехода представлены на рис.2.
Рис.2. Распределение плотности тока (слева) и магнитного поля (справа) вдоль перехода для случая а) при к = 0.5 для разных порогов: 1 - статического (т = 1); 2 и 3 - динамических (т = 2 и т = 3).
б) Случай, когда собственное поле перехода меньше внешнего магнитного поля Рассмотрим ситуацию, когда внешнее магнитное поле больше собственного поля перехода. При этом распределение плотности тока и магнитного поля в пространстве будет найдено аналогичным образом. Согласно (3) имеем
ф = 2q dn
dx к
q ( -(-x
'c. 2
), к
(28)
к
Аналогично случаю а), используя оба граничных условия (7), найдём хс2 = — Е12, где
д
Ец = Е
arcsin
1
1 -
и
2 J
д = Г = 10
/ Нек п^ д Ф0 у
2
2ткК (к )
Ь
, т = 1, 2, ... .
(30)
22
Используя первое критическое значение плотности тока в виде J1 = (2п) 10/Ь , получаем уравнение для определения зависимости модуля к от плотности тока Jm
J = (1/ п)2 [ткК (к )]2 J1. (31)
Аналогично для магнитного поля, используя выражение для первого критического поля в виде Н1 = 4пН0, получим
Н = Н11 ткК (к).
п
(32)
Найдем область определения модуля к. Подставим выражения (32) и (30) в (29), получим Е12 = Е[шгаш(к'/к), к], где к' - дополнительный модуль (к2 + к'2 = 1). Отсюда видно, что в этом
случае область определения к имеет вид: 72 < к2 < 1.
Из выражения (31) при к2 = 7 находим величины порогов потери устойчивости
=52т2J1, т = 1, 2, ... . (33)
где 52 = К2 (1/л/2 У 2п2 = 0.174 и для пороговых значений поля при к2 = 7 найдём
Н(т] = 5тН1, т = 1, 2, ... . (34)
При J ^ J1 модуль к2 ^ 7; когда J > J1, то к2 > 7. Распределения в переходе плотности
тока и магнитного поля имеют вид
2
( Л\ ( \ (
J(х) = -I - 1 [ткК(к)]2 22тК(к)- + Е12 ,к сп| 2тК(к)- + Е12 ,к п У Ь У I Ь
Н(х)= 4тК(к)Н0dnl 2тК(к)- + Е12,к
(35)
(36)
Полученные распределения плотности тока и магнитного поля вдоль перехода представлены на рис.3.
Рис.3. Распределение плотности тока (слева) и магнитного поля (справа) вдоль перехода для случая б) при к2= 0.5 для разных порогов: 1 - статического (т = 1); 2 и 3 - динамических (т = 2 и т = 3).
к
Анализ представленных на рис. 2 и рис. 3 распределений магнитного поля в переходе в зависимости от соотношения внешнего и собственного магнитных полей показал, что поведение проникающих в переход вихрей подобно поведению одномерной цепочки спинов в магнитном поле.
В случае, когда внешнее магнитное поле больше собственного, упорядочение системы вихрей происходит «ферромагнитным» способом, вектор напряженности поля проникающих вихрей направлен в одну сторону (рис. 3). В противоположном случае упорядочение происходит «антиферромагнитным» способом, вихри, проникающие в переход, образуют структуру вихрь-антивихрь (рис. 2). Можно сказать, что в переходе возникает своего рода "динамическая доменная структура". При увеличении приложенного внешнего поля может происходить упорядочение спинов по полю, или «намагничивание динамической доменной структуры». Этот процесс рассмотренным уравнением не описывается.
Случай, когда начальное внешнее поле больше собственного поля перехода, также был рассмотрен в работах [4-6]. При импульсном воздействии на такую систему в ней также будет наблюдаться динамическая потеря устойчивости. Однако в связи с тем, что начальное состояние не является собственным состоянием системы, а является наведённым состоянием системы, то пороги потери устойчивости появляются при отличном от нуля значении модуля k.
Следует отметить, что в ферромагнитном слое с несимметричными граничными условиями, который перемагничивается внешним магнитным полем, параллельным или перпендикулярным направлению закрепления магнитного момента, возможно появление динамической доменной структуры, т.е. неоднородного распределения магнитного момента с периодическими знакопеременными областями [12].
Рассмотрим связь критических значений тока и поля. Из выражений (22) и (25) для определения пороговых полей потери устойчивости нетрудно заметить, что зависимость приведенной к первому порогу плотности критического тока от аналогичным образом приведенного внешнего магнитного поля имеет квадратичный вид
Jm (Hm ^2
Для разных порогов (разных т) зависимость J (НН) начинается с разных пороговых значений
Jth{m) / 1 = т 2 (38)
Проекции всех кривых на одну плоскость J (НН) совпадают. Найденная зависимость плотности критического тока от внешнего поля для разных значений т представлена на рис. 4.
При рассмотрении электродинамики джозефсоновского перехода необходимо найти критерий, характеризующий величину перехода, т. е. определяющий, относится переход к
«большим» или «малым».
Подставляя выражение (8) в выражение (20), найдем, что критическая плотность тока, определяемая формулой (20), выражается через джозефсоновскую критическую плотность тока Jс как
(37)
J - J
Л = х2 1.
Здесь введен безразмерный параметр х = Ь 2тсА, 1
(39)
(40)
Рис.4. Зависимость плотности критического тока от внешнего поля для разных значений т.
Параметр х есть отношение линейного размера перехода к периоду изменения фазы ф и джозефсоновской глубине проникновения Можно считать, что если параметр X > 1, то переход считается "большим", и в нем в принципе возможно появление кванта потока магнитного поля. А в
случае, когда х<1, переход считается "малым", и распределение тока в нём однородно. Соответственно для поля имеем
Таким образом, формулы (39) и (41) показывают связь между размерными параметрами устойчивости системы - критической плотностью тока J1 и критическим полем H1, с одной стороны, и макроскопическими параметрами, характеризующими само вещество -джозефсоновской критической плотностью тока Jc и минимальным критическим полем Hco, с другой стороны.
Поведение джозефсоновского перехода по отношению к воздействию внешних полей как аналога упругого стержня при продольной нагрузке, насколько известно авторам, ранее не рассматривалось. Кроме того, магнитное поле перехода было рассмотрено как аналогия одномерной цепочки спинов с антиферромагнитным упорядочением, в зависимости от величины внешнего поля. При этом важно отметить, что в магнитной аналогии модуль к является величиной, обратно пропорциональной восприимчивости [3].
В случае преобладания собственного поля перехода над внешним, как и в случае противоположного неравенства, в зависимости от величины и скорости нарастания внешнего поля могут наблюдаться динамические пороги потери устойчивости, приводящие к появлению в переходе вихрей, количество которых зависит от величины порога.
Полученные результаты этой работы по статической и динамической потере устойчивости и распределении магнитного поля в переходе на разных модах могут иметь значение при исследовании высокочастотных свойств перехода [13, 14]. Подобное исследование является предметом отдельного изучения.
Работа поддержана грантом РФФИ № 02-01-01017.
1. Лаврентьев М.А., Ишлинский А.Ю. Динамические формы потери устойчивости упругих систем // ДАН СССР - 1949. - Т. 64. №6. - С. 779-782.
2. Захаров Ю.В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании // ДАН - 1995. - Т. 344. №3. - С. 328-332.
3. Захаров Ю. В. Статическая и динамическая потеря устойчивости ферромагнитного слоя при перемагничивании. Пороговые поля и частоты магнитного резонанса // Препринт №758Ф. -Красноярск: Ин-т физики СО РАН, Ин-т биофизики СО РАН - 1995 - С. 40.
4. Иванченко Ю.М., Свидзинский А.В., Слюсарев В.А. Электродинамика эффекта Джозефсона // ЖЭТФ - 1966. - Т. 51. Вып. 1(7). - С. 194-200.
5. Кулик И.О. // ЖЭТФ - 1966. - Т. 51. - С. 1952.
6. Owen C.S., Scalapino D.J. Vortex structure and critical currents in Josephson junctions // Phys. Rev., 164, 538 - 544 (1967)
7. Кулик И.О., Янсон И.К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. -М.: Наука, 1970.
8. Лихарев К.К. Введение в динамику Джозефсоновского перехода. - М.: Наука, 1985.
9. Бароне А., Патерно Дж. Эффект Джозефсона. Физика и применения. - М.: Мир, 1984.
10. Васенко С.А., Жарков Г.Ф. // ЖЭТФ - 1978. - Т. 74. - С. 665.
11. Васенко С.А., Жарков Г.Ф. // ЖЭТФ - 1978. - Т. 75. - С. 180.
12. Zakharov Yu.V, Uvaev I.V. Dynamic domain structures // Proceedings of Moscow International Symposium on Magnetism, P. II. - M.: Физический факультет МГУ, 1999, Р. 44-47.
13. G.S. Patrin, G.A. Petrakovskii and I.E. Kharitonov Detection of magneto-depended higher harmonics in HTSC ceramics via the change of the low field microwave response under the passing of an alternating current // Phys. Lett. A, 158, 167 - 170 (1991)
14. Ю.М. Алиев, В.П. Силин, С.А. Урюпин К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсоновских контактах // СФХТ - 1991. - Т. 5. - С. 228-235.
