CC BY
47
Шляхин Д.А.
Самарский государственный архитектурно строительный университет E-mail: [email protected]
ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ
Построено новое замкнутое решение осесимметричной нестационарной задачи теории электроупругости для жестко закрепленной сплошной круглой пьезокерамической пластины. Расчетные соотношения получены методом разложения по собственным вектор - функциям в форме структурного алгоритма конечных преобразований. Численные результаты позволяют проанализировать влияние толщины пластины на частотный спектр собственных колебаний, определить напряженно-деформированное состояние исследуемого элемента, а также потенциал и напряженность индуцируемого электрического поля.
Ключевые слова: вынужденные осесимметричные колебания, толстая пьезокерамическая пластина, задача электроупругости.
Широкое использование в современном приборостроении, в качестве основных рабочих элементов, толстые круглые пьезокерамические пластины предъявляет дополнительные требования к точности их расчета. Задача существенно усложняется при исследовании напряженно-деформированного состояния конструкций в случае динамическом воздействия и учете связанности механических и электрических полей напряжений. В связи с этим можно отметить достаточно ограниченный круг работ выполненных для тел конечных размеров в рамках трехмерной теории электроупругости. Причем большинство этих исследований посвящено определению собственных колебаний [1-4]. Результаты, справедливые для пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра конечной длины, для установившегося режима вынужденных колебаний получены в [ 2 ]. Использование базисных функций позволило понизить размерность и свести задачу к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в дальнейшем решается численным методом.
В исследованиях [5, 6] методом конечных интегральных преобразований построены замкнутые решения нестационарных осесимметричных задач для короткого анизотропного пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала при смешанных краевых условий на его торцах. Существенным представляется то, что построенный алгоритм справедлив для произвольного динамического воздействия.
В настоящей работе исследуется нестационарная осесимметричная задача теории электроупругости для круглой толстой пластины
с аксиальной поляризацией материала и жестким закреплением ее цилиндрической поверхности. В отличие от традиционно используемых краевых условий в заделке, записываемых в перемещениях, рассматриваются смешанные краевые условия, что позволяет получить достаточно простые, расчетные соотношения.
Постановка задачи
Пусть круглая сплошная пьезокерамическая пластина, занимающая в цилиндрической системе координат (,в,z*) область О:
{0<г* <Ь, 0<в<2п, 0<z* <к], представляет линейно-упругое анизотропное тело. Рассматривается случай, когда цилиндрические неэлектродированные (г* = Ь) поверхности элемента жестко закреплены, а на его торцевую плоскость (* = к) действует осесимметричная динамическая нагрузка (нормальные напряжения) д*(г* ^).
Краевая задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пьезоэффекта, когда механическое воздействие трансформируется в электрический сигнал, который фиксируется путем подключения эквипотенциальных электродированных торцевых плоскостей к измерительному прибору.
В общем случае дифференциальные уравнения осесимметричного движения и электростатики однородной упругой пьезокерамической среды, а также граничные условия рассматриваемой задачи в цилиндрической системе координат для установившегося режима вынужденных колебаний в безразмерной форме записываются в следующем виде [1, 2]:
Ся + ( + С55)
С11 Эz2 С11 ЭrЭz
>31 + Єі5 )д2ф+^2и _ 0 ,
ЭrЭz
(1)
С
С,, Эz2
'-V-С11 Эz
С55V2W+С3з + (+С55)эи
Э2ф
Є33 072
+ ^У2ф+д2ф + Я^ = 0,
Є15 у2^^ + Э^ + (езі + Є15 )уЭи
Э72
V—-Э7
С11Є11 У2ф- С11Є33 д 2ф _ о-
Є2 2
е33
У2Ф-
е^3 Э72
г _ 0,1 Ж(0,2)<^, U(0^)<го, ф(,2)<^, (2)
\
_ о,
^ _ С11£11 дф , е15
°г|г_1 _—е^ э-+7”
еэ, ОТ Є33
^ + эи
Эг Э7
и (1,2)= 0, Ж (и)_ 0; г_0,Ь о^ _-СиУи + С33^ + 1^_q(r , (3)
Сц Сц д7 д7
: Уи0
С - - -
С
С,
11
ЭW + эи
Эг Э7
С33 ЭW + Эф С11 Э7 Э7
+ ^15Эф = о Эф = 0 Є33 Эг Эг
В равенствах (1) - (3) общий для всех функций временной множитель ехр(- іві) опускается; о] к (г*,2*), и* (г*,2*), Ж* (г*,2*)- соответственно компонентні тензора механических напряжений и вектора перемещений (,к_г,z) Dr(г*,z*), ф *(п^*) -радиальная компонента вектора индукции и потенциал электрического поля; р,Стз,етз - объемная плотность, модули упругости, а также пьезомодули анизотропного электроупругого материала (т,з _ 1,5); £п,£33 - диэлектрические проницаемости материала;
{и,Ж,г,г,Ь}={/ ,Ж ,*,2*,^/Ь , ф_ф*е33/(ЬСП),
)_ їй, я2=^г _|1+і ± - -1,
С,, С,, Эг2 Г Эг г2
у2 _-ду+1 — у=—+1
Эг2 г Эг’ Эг г
Соотношения (1) - (3) представляют математическую формулировку рассматриваемой краевой задачи электроупругости.
Построение общего решения
Решение осуществляется методом конечных интегральных преобразований Ханкеля по координате г. Для того равенства (1) - (3) приводятся к стандартной форме, позволяющей провести данную процедуру разделения переменных. Принимая во внимание линейность данных соотношений и теорему о суперпозиции решений, функции и, Ш, ф представляются в виде следующих разложений и(г^)= ^ (г)(г)+ и(г^), W(г^)= f2 (г)К(z)+ 'м(т^),
(4)
ф(г ,z)=(г )К (z)+x(г,z),
где
/, ()_ г2 - Г, /2 ()_ ■ Сп£п
2(55£11 + е215 )
е15е33
2\С55£11 + е1
Кроме того, последнее условие (2) заменяется на равенство
С
с,
^, эи Эг Э7
Эф
Эг
_ К(7
(5)
Здесь К()= К*()/сп , К*() - касательные напряжения, приложенные к цилиндрической поверхности пластины, и определяемые в процессе решения задачи из условия отсутствия вертикальных перемещений при г=1.
При этом функция К() должна удовлетворять зависимость
|К(2)2 _-|д(г)^г ,
(6)
которая является условием уравновешенности пластины при действии осесимметричной нагрузки.
В результате подстановки (4) в (1) - (3), (5) получаем новую краевую задачу относительно функций и(г^), ^(г^), х(г^). Дифференциальные уравнения (1) и граничные условия (3) становятся неоднородными с правыми частями + Ы6, а (2), с учетом (5), при г=1 принимают вид
м(1,2)_ 0 , — _ 0 , ^ _ 0
дг \г_1 дг \г_1
В преобразованных равенствах
Р _-( +Я2 )і(г)і(г)]^
С13 + С55 df2 (г) + е31 + е15 df3 (г) С,, dr е33 dr
dK(z
dz
+
о
о
Р, _-
С5 (г )+ ^ (г № (г )
С11 е33
К(7 )-
С,
-*2 (г)+ f3 (г)
а2к(
К ()-
/2 (г)- (г)
N1 (г,Ь)— д(г)- С3 V/ (г)г(г)]-
С11
d2K (г
dz
^ ()+ /з ()
N2 (г,0)—- ^ V/()()]-
С
dK (2)
dz \2=і
■/2 ()+ /з ()
dK (г)
dz \г_0 !
{N3 (г, Ь), N4 (г,0 )]= - С^М){К к (о )],
Сп ог ’
{N5 (г, Ь ) N6 (г,0 )] = - ^ {К (ь) К (0 )]. ог
К краевой задаче относительно и(г^), ^(гД, х(г^) применяем преобразование Хан-келя с конечными пределами по переменной г, используя следующие трансформанты 1
иН (пи(,^1 (пг)°г , (8)
0
1
{^Н (п АфН (п ,z)]= /Мг,4х(г,Ф-?0 (пг)°г,
и формулы обращения
и(г,г)_ 2 І („г),
п_1 30 ( „ )
(9)
^Ы= 2 £ ОпфЫ— 2 0„г)
„_0 30 („ ) „_0 ч/и )
В равенствах (8), (9) /„ корни такого трансцендентного уравнения
31 (п)_ 0 ( — 0,~; ї0 — 0). (10)
В пространстве изображений получаем следующую краевую задачу:
;2и , С55 ^иН (С13 + С55 К- ^Н
- Лмн +^----п--------------^-^п ~
С11 dz
С1
11
dz
(е31 + ^15 + Я иН — ^
dz
Н ~Л1Н ,
(її)
С55 ;2„, + С33 <І2^Н +(С13 + С55 К-
/ п^Н +
11 С11
С1
dz
е15 ;2ф , ^фН , Я2,„ _ ^
-------/пфН + , 2 +Я ^ _ г2Н ,
е33 -'"2
dz2
е15 ;2
- — /П^н + —+
е33 dz е33
. С11£11 ;2ф С11£33 ^Фн
+-----2-----3 пфН------------------
п
dz
е33 dz'
2 _ Р3Н;
т С13 ; и . С33 ^Н + dфH
7=0, Ь тг~ ] пин +7; 3— +—,—
’ С11 С11 dz dz
= {Nlн (п, ^ )Ън (п ,0 )}, (12)
С55
С11
duн
dz
_ {N3H (п, N4Н (п,0)},
- /пфН _{5Н (п, ^)^6Н (п ,0)},
где
Кн, ^н ,^н, N5н N6Н НК ,N3, N4 ,N5 ,N6 Н ((г, 1
{2Н, ^3Н, , ^'2Н ]= ]К2 ,К3, ^'1 ^2 Н 0пг)г.
0
Система уравнений (11) приводится к следующему разрешающему уравнению относительно
dz
dz
(І ^Н . к >1 ™Н . к >1 ™Н . к _ г /-ІОЧ
к1п—тт~ + к2п~ГТ~ + к3п^н _гн , (13)
где
/, _ а8па10п + а8п (а2па8п а3па9п І+ а9п Ка2па7п а4па9п
к1т, —
)+ а9п (а
к2п=
а7па10п + а8п (а2па7п а4па9п )+ а2па6па9
абпа10п + а2п абп а8
-12 ,-2 „ _ С55 е31 + е15
22 , - А - ]п, а2п _
С
]п^3м
11 е33
е31 + е15 ■ а3п _------------------]п51п
е33
С13 + С55 ■ е31 + е15 ■
Я4п _----------------------^-]п-----------]п$2п ,
С11 е3
е33
2
а5п — ]п
С
С55 + е15 „
^ + 32п
С11 е33
+я2
33 е15 ;2
С11 е3
/п31п + 32п ,
а7п — я1п , а8п —
С13 + С55
С„
е15 .2 /п--------Зп33п
а9п 33п, а10п а1па9п а2па8п,
а11п _ а9п (а2па8п - а3па9п ),
Я1п ~-Е4п (3С33£33 + 1),
23 [/^ (15е33 + С55£33 )- Я2С11£33 ],
32п _ 34пе33
Я3п _ 34п/пе33 [33 (С13 + С55 )+ е33 (е31 + е15 )],
^4и -2
/иС11
ІпС11 (^11^33 ^33^15 )
+
3
Є
33
Jl0nJlln
d2
J9n ,7 + J8 dz
\
1 J7 F2H -
dF
F1H = F1H +
e,i + ei
dz
dF3H + Cll£33 dF2H
dz
2
e323
el5 f2 d \ F + —Jn -TT \ F3H + e33 dz2 I
Cii£i
dz
+ F2
Левая часть дифференциального уравнение (13) допускает факторизацию на коммутативные дифференциальные сомножители
d2 , Ї d4 , d2 , —J + k4n \ —J + k5n—J + k6n
dz I dz4 dz
wH = FH,
(Ї4)
где к5п = к1п - к4п , к6п = к3пк, к4п - действительный корень алгебраического уравнения 3-ей степени:
к4п - к1пк4п + к2пк4п - кзп = 0 .
Для установившегося режима вынужденных колебаний, как правило, выполняется следующее соотношение коэффициентов к4п < 0 и к25п < 4к6п . В этом случае, общий интеграл дифференциального уравнения (14) имеет вид:
МН = ^п еХР(- к4п-^+ )2п ехр(-у1- k4nz)+
+ «ХРСхЛ^п СОЗ(вп^+
+ D4n Зт^п^Ь ехр(- Хп^5п СО4Рп^+
+ Яп
+<15>
Здесь |БТО|| - определитель Вронского,
составленный для частных решений однородного уравнения (14) ( = (6, в = 16),
От^^,%) - определитель полученный из
Бт5\ путем замены каждый раз в -го столбца на столбец элементов \\0 0 0 0 0 1||Т и умноженный на соответствующее частное решение (15),
Xn =-
2(k6n У2 - k5
Pn =
kllL +х2 2
Выражения для иН,фн, полученные в результате приведения (11) к (13), имеют вид
d2Wr
du
H
dz
in , 2 + S2nWH + S3n— +
dz
F + Cu^3iF
(16)
uH On ,z)= Jli
d5w, ' dz5
d3wH
6n + S7nwH + F4H
dz3
гдЄ F4H = F1H J2nJL
d F11
dz2
dF2
_ 2 -i
s7n = J2J52Ji02 J4n ’■
S52 = J22J102 (J32J92 J22J7n
S62 = J22J10l2 (42J92 J22J6n
dz
),
)-«32 .
Подстановка (15), (16) в краевые условия (12) позволяет определить постоянные интегрирования Dln D6n.
Расчетные соотношения
Применяя к трансформантам (15), (16) формулы обращения (9) получаем, с учетом (4), следующие разложения для U (r,z), W (r,z), ф(г^):
U (,,z)= fi (rfe(r)+ -t^j^Ji (nr). (17)
n=1 J0 (n )
W(r,z)= f-(r)K(z)+ 2 j Wf (n)J (jnr),
n=0 J0 (n )
*(,--)= f, (r) (z)+ - t^jijo (Jnr ).
n=0 J0 Un )
Заключительным этапом данного исследования является определение функции K (z), которую для упрощения расчета можно представить в виде следующего многочлена
K (z)=£ Ak
m-k
(ЇВ)
k=i
В результате подстановки (18) во второе равенство (17) и приравнивания нулю вертикальные перемещения W (1, z)в т -1 точках по высоте сечения, с учетом (6), формируется система неоднородных алгебраических уравнений относительно постоянных А1 + Ат .
Разложения (17) удовлетворяют исходные дифференциальные уравнения (1), граничные условия (2), (3) (последнее условие (3) с заданной точностью) и являются замкнутым решением рассматриваемой краевой задачи электроупругости.
Для определения спектра частот собственных колебаний пластины <япк (п = 1( к = 1,^) необходимо исследовать однородные дифференциальные уравнения и граничные условия (11), (12) с учетом замены Я на Япк (Япк - собственные значения осесимметричных колебаний).
+ Jl 7..F
В результате <япк определяется равенством
ю = Япк 1С11
пк Ь У р .
Амплитудное значение разности потенциалов между эквипотенциальными электродиро-ванными поверхностями пластины определяется по формуле:
У*=ф(г* ,0 )-ф(г*, к). (19)
Численный анализ результатов
В качестве примера рассматривается пластина, выполненная из пьезокерамики состава ЦТС-19 [ 7 ].
Для учета влияния связанности электрических и механических полей напряжения на динамическую реакцию упругой системы было также построено аналогичное решение задачи теории упругости.
В таблице приведены собственные значения Я1к свободных осесимметричных колебаний элемента изготовленного из пьезокерамики и обычного керамического материала имеющего
аналогичные упругие характеристики. Расчеты выполнялись для различных значений относительной толщины Ь. Анализ результатов подтверждает известный факт [ 2 ], что связанность механических и электрических полей напряжения приводит к «ужесточению» системы и следовательно, более высокому спектру собственных значений Япк. Однако данное свойство оказывает влияние, в основном, на первые частоты колебаний. Высокочастотная часть спектра при этом изменяется незначительно.
На рис.1 приведены графики изменения касательных напряжений ог2 (т=4) по высоте пластины (Ь=0,4) справедливые соответственно для задач теорий электроупругости. Расчеты выполнялись при действии равномерно-рас-
Таблица
1* Теория электроупругости Теория упругости
Ь=0,1 L=0,2 L=0,4 Ь=1 Ь=0,1 L=0,2 L=0,4 Ь=1
к=1 0,389 0,726 1,199 1,764 0,349 0,648 1,057 1,500
к=2 3,229 3,206 3,109 2,381 3,228 3,206 3,104 2,237
к=3 15,147 8,131 4,945 3,283 15,140 8,119 4,928 3,203
г, і / дс
Рисунок 1
^ г, I / д с
гі
Рисунок 2
№ г,і / дс
V / Си дс
Рисунок 3
11
Рисунок 4
пределенной гармонической нагрузки интенсивностью q0 с частотой вынужденных колебаний в = 0,5 ~п. Цифрами 1-4 обозначены результата для г = 1; 0,75; 0,5; 0,25 .
Следует обратить внимание, что в работе [8] при исследовании напряженно-деформированного состояния круглых изотропных пластин для лучшего схождения бесконечных рядов нарушалось условие парности касательных напряжений в угловых точках (г=1, z=0, К) справедливое для симметричной теории упругости. Аналогичный подход используется также при вычислении функции К(г) (рис.1,2 - кривые 1). В результате существенного уменьшения численных значений
0К() , входящих в краевые условия (12), по-
dz \2=0 ,ь
лученное решение становится устойчивым.
Графики изменения вертикальной компоненты вектора перемещений Ш(г,г) по координате г пьезокерамического и керамического элементов (Ь=1, в= 0,1) отражают рис. 2, 3. Цифрами 1-3 обозначены кривые соответствующие
сечениям г=Ь, , 0. Следует отметить, что свя-
занность электрических и механических полей напряжения оказывает заметное влияние на деформированное состояние рассматриваемых пластин, как в качественном, так и количественном отношениях. В пьезокерамическом элементе наблюдается уменьшение перемещений с более равномерным сжатием по высоте сечения.
На рис. 4 показаны графики характеризующие зависимость разности потенциалов У* от частоты вынужденных колебаний в для пластин различной толщины. Цифрами 1-3 соответственно обозначены результаты справедливые для параметра Ь=1; 0,6; 0,4. Следует отметить, что для толстых пластин увеличение частоты вынужденных колебаний приводит к уменьшению У*. Однако при Ь=0,4 наблюдается противоположная картина. Дальнейшее снижение Ь приводит к резкому уменьшению разности потенциала, что объясняется небольшой степенью сжатия тонких пластин по толщине.
Предложенная методика позволяет исследовать установившийся режим вынужденных колебаний пьезокерамических пластин при произвольных граничных условиях на их торцах.
11.04.2013
/
Список литературы:
1. Гринченко ВТ. Механика связанных нолей в элементах конструкций / ВТ. Гринченко, Л.Ф. Улитко, Н.Л. Шульга. -Киев: Наук. думка, 19В9. -279 с.
2. Шульга НА Колебания пьезоэлектрических тел/ НА Шульга, Д.М. Болкисев. -Киев: Наук. думка, 1990. -22В с.
3. Hussein M. Discrete layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoelectric Cylinders/ M.Hussein, P.R. Heyliger // J. of Sound and Viibration. 1996. 192. is.5. P. 995-101З.
4. Григоренко Д.Я. Об одном подходе к исследованию колебаний полых пьезокерамических цилиндров конечной длины / Д.Я. Григоренко, ХЛ. Ефимова, ИА Лоза // Доклады НДН Украины. 2009. №6. С. 61-66.
5. Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача электроупругости для неоднородного цилиндра/ Ю.Э. Сеницкий // ПММ. 199З. T.57. Вып.1. С. 116 - 122.
6. Шляхин ДА Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией /ДАШляхин // ПMиTФ.- 2009. T.50. №1. С.12-21.
7. Партон В.З. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел/ В.З. Партон, БАКудрявцев - М.: Наука, 19ВВ. -470 с.
В. Пространственные задачи теории упругости и пластичности/ Под ред. Д.Н. Гузя. -Киев: Наук. думка. T3. 19В5. -2В0 с.
Сведения об авторе:
Шляхин Дмитрий Аверкиевич, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики Самарского государственного архитектурно-строительный университета, кандидат технических наук 443001, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 194, е-mail: [email protected]
UDC 539.3 Shljakhin D.A.
Samara state university of architecture and civil engineering
DYNAMIC PROBLEM OF ELECTROELASTICITY FOR THICK ROUND RIGID PIEZOCERAMIC PLATE
The new closed solution of axially symmetric nonstationary problem of the theory of electroelasticity for thick round piezoceramic plate with rigid of its external radial surface is constructed. Calculated relations are obtained by method of expan-sion in eigen vector-functions in the form of structural algorithm of finite transformations. Numerical results allow to define the natural-vibration frequency, the stress-strain state of the testing element, and also the potential and intensity of the induced electric field.
Key words: the compelled axially symmetric fluctuations, thick piezoceramic plate, problem of electroelasticity.
Bibliography:
1. Grinchenko V.T. The mechanics of coupled fields in structural elements / V.T. Grinchenko, A.F. Ulitko, A.N. Shulga. - Kiev: Nauk. Dumka (1989)
2. Shulga A.N. Vibrations of piezoelectric bodies / N.A. Shulga, A.M. Bolkisev. -Kiev: Nauk. Dumka (1990)
3. Hussein M. Discrete layer Analysis of Axisymmetric Vibrations of Laminated Piezoelectric Cylinders/ M.Hussein, P.R. Heyliger // J. of Sound and Viibration. 192. is.5. 995-1013 (1996)
4. Grigorenko A.Ya. An approach to the study of vibrations of piezoceramic hollow cylinders of finite length / A.Ya Grigorenko, T.L Efimova, I.A. Vine / / Reports of NAS of Ukraine. No. 6. 61-66 (2009)
5. Senitskii Ya.E. Dynamic problem for an inhomogeneous cylinder electroelasticity / Ya.E. Senitskii / / PMM. V.57. Is. 1. 116 -122 (1993)
6. Shlyakhin D. A. Unsteady axisymmetric problem of electrodynamics for a piezoceramic cylinder with circumferential polarization / D.A. Shlyahin / / PMiTF. Vol.50. No. 1. 12-21 (2009)
7. Parton V.Z. Electromagnetoelasticity piezoelectric and electroconductive bodies / V.Z. Parton, B.A. Kudryavtsev -Moscow: Nauka (1988)
8. Spatial problems of elasticity and plasticity theory / Ed. A.N. Guz. -Kiev: Nauk.. Dumka. V.3. (1985)
