Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и потерь запаса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Чаусова

ДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ИНТЕРВАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ СПРОСА И ПОТЕРЬ ЗАПАСА

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК-3097.2005.8

Рассматривается динамическая сетевая модель системы управления запасами с интервально заданным спросом и интервальными коэффициентами потерь запаса. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Разработан вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления. Рассмотрен пример.

Проблеме управления запасами в условиях неопределенности посвящено большое количество работ [1 - 3]. В классической теории управления запасами неизвестные параметры системы (факторы неопределенности) рассматриваются как случайные и описываются теоретико-вероятностными моделями. Однако практическое применение стохастических моделей управления запасами во многих случаях затрудняется, в основном, из-за отсутствия информации о вероятностных характеристиках системы. В таких случаях предлагается использовать адаптивный подход [2] и уточнять модель в процессе управления с учетом поступающей информации. Для определения оптимальной стратегии управления используются методы теории адаптации, математического программирования и стохастической оптимизации.

Интересный подход к управлению запасами, основанный на концепции «неизвестных, но ограниченных» воздействий (unknown-but-bounded inputs), предлагается в работах [4 - 6]. Отличительной особенностью этих работ является предположение о нестохастической природе неопределенности, присутствующей в системе. Неизвестный спрос описывается множеством, например интервалом, в границах которого спрос произвольным образом принимает свои значения. Эти границы с достаточной степенью достоверности можно оценить по статистическим данным или руководствуясь накопленным опытом и интуитивными предположениями. Для проверки условий существования оптимальных стратегий управления и вычисления их параметров используется аппарат теории множеств, что приводит к минимаксным игровым постановкам и гарантированным решениям в смысле заданного критерия.

В работах [7 - 10] для моделирования и оптимизации систем управления запасами с неопределенностью в данных предлагается использовать аппарат интервальной математики [11 - 15]. В работах [9, 10] рассматриваются динамические сетевые модели систем управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и потерями запаса. Коэффициенты потерь запаса учитывают естественные изменения в его количестве и свойствах (порчу, естественную убыль, устаревание запаса и т.д.) и считаются априорно известными. Однако на практике их довольно сложно оценить, и модели с точно заданными коэффициентами потерь могут оказаться слишком «грубыми», что снижает эффективность полученных с их помощью стратегий управления.

Результатом данной работы является обобщение и развитие работы [9] на случай с интервально заданными коэффициентами потерь запаса. Такая модель более точно соответствует реальности, поскольку в большинстве случаев известными бывают не сами значения коэффициентов потерь, а интервалы их возможных значений. С привлечением полной интервальной арифметики Каухера [14, 15] для этой модели были получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, доказана теорема об оптимальном допустимом уровне запаса и определены достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления, гарантирующей асимпто-

тическую сходимость системы к оптимальному запасу. Разработан вычислительный алгоритм определения оптимальной допустимой стратегии управления. Приведен численный пример.

ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим систему управления запасами в дискретном времени (с периодическим контролем уровня запасов), представленную в виде динамической сети. Сетевые модели описывают широкий класс систем управления запасами: системы снабжения, производства-распределения, транспортные, информационные и другие системы [6, 16, 17]. Узлы сети задают виды и размеры управляемых запасов, а дуги - управляемые и неуправляемые потоки в сети. Управляемые потоки перераспределяют ресурсы между узлами сети, возможно перерабатывая их, и планируют поставки извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы в узлах сети, который формируется как со стороны других узлов, так и внешнего окружения. Динамика сети описывается разностным уравнением

x(t +1) = A(t)x(t) + Bu(t) + Ed (t), t > 0, (1)

где x(t)eRn - вектор состояний системы, i-я компонента которого задает уровень запаса в i-м узле сети (на i-м складе) в момент времени t (x(0) считается известным); u(t)eRq - вектор управляющих воздействий (управление), компоненты которого представляют управляемые потоки в сети в момент времени t; d(t)eRm - вектор неуправляемых воздействий (спрос), компоненты которого описывают неуправляемые потоки в сети в момент времени t; структура сети определяется структурой матриц B е Rnxq, E е Rnxm ; диагональная матрица A(t) = Diag(ai(t), ..., an(t)) е Rnxn учитывает возможные потери запаса в узлах сети в момент времени t.

Спрос d(t) точно не известен, но диапазон его возможных значений ограничен интервалом:

d(t) е D, t > 0, (2)

где D е IRm, D = [D, D], D > 0; IR = {x = [x, x]| x < x,

x, x е R} - множество правильных интервалов [11 - 13].

На состояния системы x(t) и управления u(t) накладываются ограничения, которые обусловлены возможностями системы:

x (t) е X, t > 0; (3)

u (t) е U, t > 0, (4)

где X е IRn, X = [0,X] ; U е IRq, U = [0,^].

Коэффициенты потерь запаса а^/), ..., а„(0 заданы в виде интервалов:

АЦ) £ А, / > 0, (5)

где А = Diag(a1,..., ап) £ 1Япхп, А = [А, А], аг = [аг, аг ],

0 < аг < 1, wid аг < 1, г = 1, п; wid х = х - х - ширина интервала х, wid х > 0.

Для системы (1) необходимо найти оптимальную (с точки зрения минимума затрат) стратегию управления, гарантирующую полное и своевременное удовлетворение спроса (2) на бесконечном периоде планирования с учетом возможных потерь запаса (5) и ограничений (3), (4).

Определение 1. Будем называть функцию и(/)=и(х(/), /), и(/) £ и, допустимым на интервале X управлением для состояния х(/) в момент времени /, / > 0, если при любых потерях запаса А(/) £ А для любого значения спроса ё(/) £ Б выполнено включение х(/+1) £ X, где х(/) определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 2. Будем называть стратегию Ф={и(/), / > 0} допустимой на интервале X стратегией управления для начального состояния х(0) £ X, если все управления, составляющие эту стратегию, являются допустимыми на интервале X. Множество стратегий, допустимых на интервале X при начальном запасе х(0) £ X, будем обозначать Ф(х(0)).

Введем интервальнозначную функцию X(a,b) = [а, Ь] для а < Ь, а, Ь £ Яп, тогда X = X(0, X).

Определение 3. Будем называть х, х £ X, допустимым уровнем запаса в сети, если для любого начального состояния х(0) £ X(0, х) существует допустимая на интервале X(0, х) стратегия управления.

Определим затраты системы на хранение запаса в виде функции

С(х) = кт х, (6)

где х £ X - допустимый уровень запаса в сети; к £ Яп

- вектор затрат, к > 0, к Ф 0, г-я компонента которого представляет затраты на хранение единицы запаса в г-м узле сети; символ Т означает транспонирование. Очевидно, что если для любого начального состояния х(0) £ X существует стратегия управления Ф £ Ф(х(0)), то X является допустимым уровнем запаса и затраты системы в момент времени / не превышают С(X) при любых потерях запаса А(/) £ А и спросе ё(/) £ Б, / > 0. Чтобы минимизировать затраты системы, необходимо найти оптимальный допустимый уровень запаса х * , минимизирующий функцию затрат (6), и стратегию управления запасами Ф* £ Ф(х(0)), гарантирующую включение

х(/) £ X(0, х*), / >т* > 0, (7)

при любых потерях запаса А(/) £ А и любом спросе ё(/) £ Б. Стратегию Ф* £ Ф(х(0)) будем называть оптимальной допустимой стратегией управления для начального состояния х(0) £ X, а время т* - скоростью сходимости системы к оптимальному запасу х*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО УРОВНЯ ЗАПАСА

Теорема 1 (о существовании допустимого управления). Для любого состояния системы х(/) £ X в момент времени /, / >0, допустимое на интервале X управление с обратной связью и(/)=и(х(/), /), и(/) £ и, существует и определяется из включения

Ах(/) + Ви (/) £ (I - wid А^ + орр ЕБ, (8)

если и только если выполнены условия

wid ЕБ < (I - wid А)X, (9)

ЕБ с (I - А'^ + {- Ви}, (10)

где интервальный вектор ЕБ=ЕБ £ 1Яп, ЕБ = [ЕБ, ЕБ]; орр х = [ - х, - х ] - интервал, противоположный интервалу х в полной интервальной арифметике Каухера [14, 15], х + орр х = 0; множество {-Ви} = {х£Яп | х = - Ви, и £ и}; I £ Япхп - единичная матрица.

Доказательство. Для состояния системы х(/) £ X построим управление и(/) в виде (8). Покажем, что включение (8) имеет смысл, если и только если выполнено (9). Действительно, интервал (I - wid А^ + орр ЕБ является правильным, если и только если

(I - wid А^ + оррЕБ < (I - wid A)X + оррЕБ »

» (I - wid А)X - ЕБ < (I - wid А)X - ЕБ »

» ЕБ - ЕБ < (I - wid А)(X - X) »

» wid ЕБ < (I - wid А)X, так как X = 0 по условию (3). Покажем, что такое управление существует для любого х(/) £ X, если и только если выполнено условие (10). Имеем Ух(/ )£X Зи(/)£и |Ах(/)+Ви($ )£( I - wid А) X+орр ЕБ » »Ух(/) £ XЗи (/) £ и | Ах(/) + ЕБ с (I - wid А)X-Ви(/)»

«Ух(/)£X |Ах(/)+ЕБ с( I-(А - А)) X+{-BU }»

» AX+ЕБ с (I - +АК+{-Ви}»

» ЕБс (I - А^+Ъ Ви }.

Покажем, что управление вида (8) является допустимым на интервале X для состояния х(/) £ X, то есть УА(/) £ А Уё(/) £ Б | х(/ +1) £ X. Действительно,

УА(/) £ А У ё (/) £ Б | х(/+1)=А(/)х(/)+Ви (/)+Её(/) £

£Ах(/) + Ви(/) + ЕБ = Ах(/)+Ви(/)+X(0,wid А) х(/)+

+ЕБ с (I - wid A)X+оррЕБ+X(0, wid A)X+ЕБ=X,

так как X(0,wid А) • X = X(0,wid А • X) = wid А • X. Теорема доказана.

Следствие 1. Для любого начального состояния х(0) £ X допустимая на интервале X стратегия управления Ф £ Ф(х(0)) существует, если и только если выполнены условия (9), (10). Управления, составляющие эту стратегию, определяются из включения (8). (Доказательство легко получить с учетом определения 2.)

Замечание 1. Интервал (I - wid А^ + орр ЕБ определяет уровень запаса, гарантирующий полное и своевременное удовлетворение спроса, и должен быть неотрицательным. Это условие выполняется, когда ЕБ < 0.

Будем считать далее, что условия теоремы 1 выполнены и для любого начального состояния х(0) £ X

существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф е Ф(х(0)).

Теорема 2 (об оптимальном допустимом уровне запаса). Оптимальный допустимый уровень запаса х*, минимизирующий функцию затрат (6), определяется из решения оптимизационной задачи

C(х) = hT х ^ min (11)

х

при ограничениях

(I - wid A)-1 wid ED < х < X ,

ED с (I -A)X(0,х) + {- BU}.

Доказательство. Пусть х - допустимый уровень запаса, тогда по определению 3 х е X и для любого начального состояния х(0) е X(0, х) существует допустимая на интервале X(0, х) стратегия управления.

По следствию 1 такая стратегия существует, если и только если выполнены условия теоремы 1 для X = X(0, х). Получаем систему ограничений, которой должен удовлетворять допустимый уровень запаса: х е X, wid ED < (I - wid A)х,

ED с (I - A)X(0,х) + {- BU}.

Из второго ограничения имеем

(I - wid A)-1 wid ED < х, откуда с учетом первого ограничения 0 < х< X получаем

(I - wid A)-1 wid ED < х < X ,

так как 0 < (I - wid A)-1 wid ED < X в силу (9). Теорема доказана.

Следствие 2. Если оптимальный допустимый уровень запаса х* = (I - wid A)-1 wid ED, то он не зависит от расходов системы на хранение запаса. (Доказательство основывается на том, что функция C(х) возрастает по х.)

Допустим, что в некоторый момент времени т* состояние системы попадет в интервал X(0, х*). Из доказательства теоремы 2 видно, что для X =X(0, х*) условия теоремы 1 выполнены. Следовательно, для любого х(/) е X(0, х*) в момент времени t > т* допустимое на интервале X(0, х*) управление и(0=и(х(0, t), u(t) е U, существует и определяется из включения

A?(t) + Bu (t) е (I - wid A)X(0, X*) + opp ED , (12)

причем, если х* = (I - wid A)-1 wid ED , то включение (12) имеет вид

Лх(0 + Bu(t) = -ED . (13)

Управления u(t), удовлетворяющие (4) и (12), гарантируют х(^ е X(0, je*) для t > т* и составляют оптимальную стратегию управления.

Замечание 2. Начиная с момента времени т*, управления u(t) логично выбирать, минимизируя затраты на управления (транспортные расходы, затраты на производство и т.д.) при ограничениях (4) и (12), поскольку любое управление, удовлетворяющее этим ограничениям, является оптимальным в смысле (7).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ДОПУСТИМОЙ СТРАТЕГИИ УПРАВЛЕНИЯ

Проблема существования оптимальной допустимой стратегии управления не возникает в двух случаях:

1) когда оптимальный допустимый уровень запаса х* = X, тогда любая допустимая на интервале X стратегия управления будет оптимальной;

2) когда оптимальный допустимый уровень запаса х* < X, х* Ф X, и начальный запас х(0) £ X(0, х*), тогда любая допустимая на интервале X(0, х*) стратегия управления будет оптимальной.

В этих двух случаях управления, составляющие оптимальную стратегию Ф* £ Ф(х(0)), существуют и определяются из включения (12) в каждый момент времени / > 0 и скорость сходимости системы к оптимальному запасу т* = 0. В тех случаях, когда хотя бы в одном из узлов начальный запас превосходит оптимальный допустимый уровень запаса, то есть Зг: х г* < хг (0) < Xi, необходимо определить условия существования оптимальной допустимой стратегии Ф* £ Ф(х(0)), гарантирующей сходимость к оптимальному запасу х*, и оценить скорость сходимости системы.

В работе [9] показано, что если потери запаса отсутствуют либо коэффициенты потерь запаса точно известны, то сходимость системы к оптимальному запасу достигается за конечное число шагов при любом начальном состоянии х(0) £ X, и найдена оценка скорости сходимости. Для случая с интервально заданными коэффициентами удалось доказать лишь асимптотическую сходимость системы и получить стратегию управления, гарантирующую

х(/) £ X(0, х*) при / (14)

для любого х(0) £ X. Достаточные условия существования такой стратегии приведены в следующей теореме.

Теорема 3 (о существовании оптимальной допустимой стратегии). Для любого начального состояния х(0) £ X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф* £ Ф(х(0)), гарантирующая (14), если выполнены условия (9), (10) и существует такое число е>-щд{(1 -аг )wid аг}, для которого

г=1,п

справедливо

ЕБ+(еI+widA)X(O,0)с(I-A)X(0,х*) +{-Ви} , (15)

где 0 £ Яп, 0 = X - х*.

Доказательство. Введем вектор

х(/ +1) = Ах(/) + Ви (/), / > 0,

который определяет минимальный возможный уровень запаса в сети после поставки в момент времени /, но до очередного предъявления спроса. Тогда

х(/ +1) = (А(/) ± А) х(/) + Ви (/) + Её (/) =

= х(/ +1) + (А(/) - А)х(/) + Её(/), / > 0.

Покажем по индукции, что для любого начального состояния х(0) £ X существует допустимая на интер-

вале X стратегия Ф є Ф(х(0)), такая, что х(ґ )є[-Е5,шах{( I - wid А) х*- Е5,( I - wid А) X -ЕБ -

-(I - А + ЄІ )(1 + А + ... + /-2)б}], ґ > 1. (16)

Так как выполнены условия (9), (10), то по теореме 1 для любого начального состояния х(0) є X существует допустимое на интервале X управление, такое, что

х(1) є (I -widА)Х+оррЕБ=[-Е5, (I -widА)X-Е5].

Так как х* < X , включение (16) справедливо для ґ = 1. Пусть (16) справедливо для произвольного ґ, ґ > 2. Покажем, что оно справедливо и для ґ + 1. Для этого, используя разложения

I = А + (I - А), I - А = (I - А)( I - wid А) - А wid А и свойства интервально-арифметических операций (а + Ь) х = ах + Ьх, У а, Ь > 0, а, Ь є Я,

(а - Ь)х = ах + Ь • орр х, Уа > Ь > 0, а,Ь є Я, орр(сх) = с • орр х, Ус є Я, с(х + у) = сх + су, Ус є Я,

представим (15) в виде эквивалентного включения

А • ЕБ + (I - А)ЕБ + (є! + (I - А) • Х(0,0) +

+А wid А • Х(0,0) с (I - А)^ - wid А)Х(0, х*) +

+А wid А • орр Х(0, х*) + {-Ви },

откуда имеем

А-ЕБ+(єI+(I - А> Х(0,0)+

+Awid А^(Х(0,0)+Х(0, х*)) с (I - А)( I - wid А)Х(0, х*)+ +(I - А)оррЕБ+{-Ви }

и, так как

wid А • (Х(0,0) + Х(0, х*)) = wid А • Х =

= Х(0, wid А • X) = Х(0, wid А) • Х = (А - А) • Х, получаем

А • ЕБ + (^ + (I - А) wid А) • Х(0,0) + А( А - А)Х с с (I - А) • ((I - wid А)Х(0, х*) + орр ЕБ) + {-Ви }. ( )

Рассмотрим

х (ґ +1) = Ах(ґ) + Ви (ґ) = А( х (ґ) + Её (ґ -1) +

+(А(ґ -1) - А)х(ґ -1)) + Ви(ґ) ± (єI + (I - А) wid А) • 0(ґ), где 0(ґ) є Х(0,0). По условию (17) существует такое и(ґ) є и, что для любых

й(ґ - 1) є Б, А(ґ - 1) є А, х(ґ - 1) є Х и 0(ґ) є Х(0,0)

выполнено включение

А-Её (ґ-1)+(^+(I - А)-0(ґ)+А( А(ґ-1) - А)-х(ґ-1)+

+Ви(ґ) с (I - А)і( I - wid А)Х(0, х*)+оррЕБ). Следовательно,

(ґ +1) = Ах(ґ) - ^ + (I - А) wid А) • 0(ґ) + Д (ґ), (18)

где Д(ґ) є (I - А) • ((I - wid А)Х(0, х*) + орр ЕБ).

Будем выбирать компоненты вектора 0(ґ) в момент времени ґ по следующему правилу:

если аг.хг- (ґ )-(є+(1-аг. )wid аг- )0г- >

>аг- ((1-widaг■) хі *-Е5г-), (19)

0г(ґ)=

Покажем, что в этом случае 0(/) £ X(0,0). Действительно, 0,(/) либо равна 0,- (верхней границе г-й компоненты интервала X(0, 0)), либо равна нулю (нижней границе г-й компоненты интервала X(0, 0)), либо

0 (/) а хг (/) - а ((1 - wid аг )хг * -ЕБг ) >()

г е + (1 -а^ )wid аг ’

но при этом

0 (/) а хг (/) - а ((1 - wid аг ) хг * - ЕБг ) <0^

г е + (1 -аг )wid аг г

из условия

агхг (/)-(е+(1-аг )widаг )0г <аг ((1-widаг)хг *-ЕБг) с учетом того, что е + (1 -аг )wid аг >0 У г =1, п , так как е > -щц{(1 - аг) wid аг}.

г=1,п

Пусть условие (19) выполнено. Если аг Ф 0, то

х (0 > (1 - wid а() * -ЕБ, +е+О^^0( >

___ аг

> (1 - wid аг)хг * -ЕБг, откуда с учетом предположения индукции (16) получаем

(1 - ^ а) * - ЕБ, +е+(1 -а >'«<■а. % ^ (,) <

аг

< (1 - wid аг)Xi - ЕБг - (1 - аг + е)(1 + аг + • • • + аг )0г. Выбирая 0г(/) = 0г, имеем

хг (/+1)=агхг (/)-(е+(1-аг )widai )0г +Дг (/) <

<агхг (/)-(е+(1-аг )wid аг )0г +

+(1-аг )((1-wid аг) хг *-ЕБг) <аг ((1-wid аг) Xi - ЕБг -

/-2 \

-(1 -аг +е)(1+аг +.+аг ) 0г)-(е+(1-аг)'аг) 0г +

+(1-аг )((1-wid аг) хг *-ЕБг)=(1-wid аг) Xi - ЕБг -

/-2

-аг (1 -аг +е)(1+аг +.+аг )0г -(е+(1-аг )widаг)0г -

-(1 - аг )(1 - wid аг)(Xi - хг *) = (1 - wid аг)Xi - ЕБг -

і-1

ь )0і

-(1 - а + е)(1+аг + •+аг

для УДг(/) £ (1 -аг) • ((1 - widаг)X(0,х*г) + оррЕБг-).

Чтобы оценить нижнюю границу хг (/ +1), рассмотрим два случая:

1) если агхг(/)-(е + (1 -аг)widаг)0г -

-(1 - а) ЕБг > (I - wid аг) хг * - ЕБг, то хг (/ +1) = аг % (/) - (е + (1 - аг) wid аг) • 0г + Д г (/) >

> а *1 (/) - (е+(1 - аг) wid аг )0г - (1 - аг)еб, >

> (1 - wid аг) хг * - ЕБг для УДг (/) £ (1 - а) • ((1 - wid аг) X(0, х*г) + орр ЕБ, г;

2) если агхг (/)-(е+(1-аг )widаг )0г -(1-аг)ЕБг <

< (I - wid аг) хг * - ЕБг, то хг (/ +1) > аг хг (/) - (е + (1 - а) wid аг) • 0г + Д г (/) >

> а (/) - (е + (1 - аг) wid аг )0г - (1 - аг)ЕБг >

> аг ((1 - wid аг)хг * -ЕБг) - (1 - аг)ЕБг =

= аг ((1 - wid а,)х,*- ■wid ЕБг) - ЕБг > -ЕБг

Ґ аіхі (ґ)-аі ((1-widаі)х *-Е5і)^ шах 0^=^

є+(1-а )wid аг-

иначе.

для УДі (ґ) є (1 -аі) • ((1 - wid аг-) Х(0, х*і) + орр ЕБ,).

Если а, = 0, то 0, = 0 (иначе (19) не выполнено). Выбирая 0,(/) = 0, имеем

х, (/ +1) = Д, (/) £ (1 - wid а, ^(0, х *,) + орр ЕБ,. Таким образом, если (19) выполнено, то

х, (/ +1) £ [ - ЕБ, ,(1 - wid а,)X, - ЕБ, -

!-1 т

- (1 - а, + е)(1+а, + •+а, )0, ].

Пусть условие (19) не выполнено. Рассмотрим три случая:

1) если а,х, (/)-а, ((1-widа,)х1 *-ЕБ,)>0, то есть а, Ф0 и х, (/) > (1-widа,)х, *-ЕБ,, тогда выбираем

9 г (t ) =

аг хг (t) - аг ((1 - wid a, )хг * -EDi ) є + (1 -а, )wid a,

и получаем

хг (t +1) = агхг (t) - (є + (1 - аг ) wid a, )9г (t) + Дг (t) =

= а ((1 - wid a, )xг * -EDi ) + Дг (t) є аг ((1 - wid a, )хг * -

- EDi ) + (1 - аг )((1 - wid a, )X(0, x* ) + opp ED, ) =

= [а, ((1 - wid a, )хг * - wid ED, ) - ED,,

>0

(1 - wid a, ) x * - EDi ] ç (1 - wid a, ) X(0, x * ) + opp ED. для VA. (t) e (1 -a. ) • ((1 - wid a. )X(0, X * ) + opp ED. ) ;

2) если aX (t ) -a. ((1 - wid a. ) X. * - ED. ) < 0, но a. Ф 0, тогда с учетом предположения индукции (16) получаем - ED. < Xci (t ) < (1 - wid a. ) Xt * - ED.. Выбирая

0.(0 = 0, имеем

Xi (t +1) = a. Xi (t) + A. (t) e a. ((1 - wid a. )X(0, X * ) +

+ opp ED. ) + (1 - a. ) • ((1 - wid a. )X(0, X *. ) + opp ED. ) = = (1 - wid a. )X(0, X * ) + opp ED. для VA. (t) e (1 - a. ) • ((1 - wid a. )X(0, X *■ ) + opp ED. ) ;

3) если a. = 0, то выбираем 0i(t) = 0 и получаем Xt (t +1) = A. (t) e (1 - wid a. )X(0, X * ) + opp ED..

Таким образом, если (19) не выполнено, то X. (t +1) e [ - EDi ,(1 - wid a. ) X * - EDi ] . Следовательно,

X(t+1)e[-ED,max{( I - wid A) X*- ED,(I - wid A) X - ED -

-(I - A+ei )(I+A+•••+Ai-1)e}]. (20)

Управление u(t), удовлетворяющее (20), является допустимым на интервале X в момент времени t. Действительно, из (20) видно, что X(t+1) e [-ED, (I - wid A) X - ED] = (I - wid A)X+oppED , так как 1 - a. +e > (1 - a. ) wid a. +e > 0 Vi = 1, n .

По предположению индукции X(t) e X, следовательно,

VA(t )eA Vd (t )eD|X(t+1)=X(t+1)+( A(t ) - A) X(t )+Ed (t )e e X(t+1)+(A - A) X(t ) + ED ç ç ( I - wid A)X+oppED+wid A-X+ED=X.

Таким образом, утверждение (16) имеет силу для любого t > 1.

Покажем далее, что стратегия Ф e Ффф)), удовлетворяющая (16), гарантирует включение (14). Для этого представим включение (16) в виде

% (ґ) є [-ЕБ,, шах{ (1 - wid аі)хі * -ЕБі,

(1 - widа)хі *-Еб, + Х,(ґ)0і}], ґ > 1, (21)

ґ-2 ------

где Х,(ґ)=1-widаі-(1-аг- +є)(1+аі +•••'+аі ), і,”, и для каждого і найдем момент времени Ті такой, что х (ґ) є [-Е5, (1 - wid аг)ъ * -ЕБг ] =

= (1 - wid аі)Х(0, хі *) + орр ЕБі, ґ > Ті , (22)

то есть Цґ)0, < 0.

Очевидно, что если 0і = 0 (хі* = Xi), то Ті = 1. Если

0і > 0, рассмотрим три случая:

1) если аі = 1, wid аі = 0 (потерь запаса в і-м узле

нет), то Х,(ґ) = 1 - є (ґ - 1). Имеем

Х, (ґ) < 0 »1 -є(ґ -1) < 0 »ґ > 1/є +1. Учитывая то, что система наблюдается в дискретные моменты времени ґ = 0, 1, 2, ..., Ті = [1/є"| +1, где [ х"|

- округление вверх до ближайшего целого числа;

2) если 0 < а < 1 (потери запаса в і-м узле есть), то

х, (ґ) = 1 - wid аі - (1 - а і + є)(1 - аі) /(1 - аі).

Учитывая то, что

1 -аі +є > (1 -аі)widаі + є > 0,

имеем

Хі (ґ) <0 »1-wid аі -(1 -аі +е)(1-а|_1 )/(1-аі) <0 » »а^-1 <((1-аі )widai +є)/(1-аі +є)»

>0 >0

іп аі <0

»іпаГ' <іп(((1-аі )widai +є)/(1-аі +є)) »

»ґ - 1> іп(((1 -аі )widai +є)/(1-аі +є))/іпаі,

отсюда

Ті =

ln (((1 - аг ) wid a, + є) /(1 - аг + є))

ln а.

+1;

3) если а, = 0,widа, =а, (весь запас в ,-м узле может быть потерян),

Х,(1) = 1 - wid а, > 0, Ц/) = - (wid а, + е) < 0, / > 2, (widа, + е > (1 -а,)widа, +е > 0),

следовательно, Ti = 2.

Покажем по индукции, что (22) гарантирует

х, (/) £ X(0, х* + ^а, У+1-Т • X(0,0г), / > Т. (23) Действительно, если в момент времени / = Т, х, (/) £ (1 - wid а, )X(0, х, *) + орр ЕБ,, то, с учетом того, что х (/ -1) £ X ,

Уа, (/ -1) £ а, Уё, (/ -1) £ Б, | х, (/) =

= х, (/) + (а, (/ -1) - а,)х, (/ -1) +

+(Её(/ -1)), £ х, (/) + (а, - а,)х(/) + ЕБ, с с (1 - wid а,)X(0, х, *) + орр ЕБ, + wid а, • X, + ЕБ, =

= X(0, х, *) + wid а, • X(0,0г),

значит, (23) справедливо для / = Т,. Допустим, что (23) выполняется для произвольного /, / > Т,+1, тогда Уа, (/)£а, Уё, (/)£ Б, | х, (/+1)=х, (/+1)+(а, (/) - а,) х, (/)+ +(Её (/)), £х, (/+1)+(а, - а,) х(/)+ЕБ, с с (1-widа,)X(0, х, *) + орр ЕБ, +

+widai (X(0, х*+(wid аг )/+1-Т' X(O,0г ))+ЕБг =

=X(0, х{ *)+(widai )/+2-Т) X(O,0г). Следовательно, (23) имеет силу для любого / > Т.

Согласно (23), если 0,- = 0, то x, (t) e X(0, x,*), t > 0, так как x, (0) e X(0, x,*). Если 0, > 0, но wid a, = 0 (a,(t) = a,, t > 0), то x, (t) e X(0, X,*) для t > T,, в противном случае, x, (t) e X(0, X,*) при t , так как wid a, < 1. Таким образом, стратегия Ф e Ф^(0)), удовлетворяющая (16), гарантирует асимптотическую сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса x*. Теорема доказана.

Замечание 3. Если коэффициенты потерь запаса a(t) e a, = [0, 1], wid a, = 1, , = 1, ..., n, то wid ED = 0 (иначе условие (9) не выполняется). Это значит, что для существования допустимой стратегии управления спрос должен быть точно известным и постоянным во времени. Оптимальный уровень запаса в этом случае x* e [0,X], но, как следует из (23), сходимость системы к оптимальному запасу возможна только при 0 = 0, при этом скорость сходимости т* = 0.

Из доказательства теоремы 3 следует, что управления, составляющие оптимальную стратегию, надо выбирать так, чтобы было выполнено (21). Будем определять управления u*(t) из решения следующей оптимизационной задачи:

XX, ^ (. ^п . (24)

l~t u(t X V-A

при ограничениях

- ED < Ax(t ) + Bu (t ) < ( I - wid A) x * - ED + Л9, u(t) e U,

0 <X, <1 - wid a,,, = 1, n, где x(t) определяется рекуррентным соотношением (1), Л = Diag(Xj, п, Xn) e Rnxn, Xj, п,Xn - вспомогательные параметры. Момент времени т*, начиная с кото-

n

рого X X, = 0, определит скорость сходимости сис-

,=1

темы.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Модель с детерминированными коэффициентами потерь. Предположим, что коэффициенты потерь запаса a,(t) точно известны и постоянны во времени, то есть

A(t) = A, t > 0,

где A = Diag(ab ..., on) e Rnxn , 0 < a, < 1, ,= 1, n . В этом случае wid a, = 0. Тогда теоремы 1, 2, 3 примут вид.

Теорема 1. Для любого состояния системы x(t) e X в момент времени t, t > 0, допустимое на интервале X управление с обратной связью u(t)=U(x(t), t), u(t) e U, существует и определяется из включения Ax(t) + Bu (t) e X + opp ED , если и только если выполнены условия

wid ED < X ; (25)

ED ç (I - A)X + {- BU}. (26)

Теорема 2. Оптимальный допустимый уровень запаса x*, минимизирующий функцию затрат (6), определяется из решения оптимизационной задачи C(x) = hTx ^ min,

x

при ограничениях

wid ED < x < X ,

ED ç (I - A)X(0, x) + {-BU}.

Видно, что при интервально заданных коэффициентах потерь уровень оптимального запаса увеличивается, x* > (I - wid A)-1 wid ED > wid ED . Это повышение следует рассматривать как вынужденную плату за работу в условиях дополнительной неопределенности, источником которой являются коэффициенты потерь запаса.

Теорема 3. Для любого начального состояния x(0) e X существует допустимая на интервале X стратегия управления Ф* e Ф^(0)), гарантирующая (14), если выполнены условия (25), (26) и существует такое число е > 0, для которого справедливо

ED + eX(0,9) ç (I - A)X(0, x*) + {-BU}.

Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса x* достигается не более чем за конечное число шагов

T = max

,=1, n: 9, >0

(Доказательство формулы (27) следует из утверждения (23), так как wid a, = 0.)

Управления u*(t) определяются из решения оптимизационной задачи

n

XX, ^ min

и u (t X V-A

при ограничениях

- ED < Ax(t ) + Bu(t ) < x * - ED + Л9, u(t) e U,

0 <X, < 1,, = 1, n.

Когда a, = 0, ,= 1, n , система сходится не более чем за 2 шага. (Это можно показать, выполнив предельный переход при a,- ^ 0 в формуле (27).)

Модель при отсутствии потерь запаса. При отсутствии потерь запаса a,(t) = 1, , = 1, ., n, то есть

A (t) = I, t > 0.

Теоремы 1, 2, 3 имеют вид.

Теорема 1. Для любого состояния системы x(t) e X в момент времени t, t > 0, допустимое на интервале X управление с обратной связью u(t)=U(x(t), t), u(t) e U, существует и определяется из включения x(t) + Bu (t) e X + opp ED , если и только если выполнены условия

wid ED < X ; (28)

ED ç {-BU}. (29)

Теорема 2. Оптимальный допустимый уровень запаса x*, минимизирующий функцию затрат (6), имеет вид

x* = wid ED . (30)

Доказательство. Пусть x - допустимый уровень запаса, тогда x e X и выполнены условия существования допустимой стратегии управления на интервале

ln(e /(1 -а, +е)) ln а,

+1.

(27)

Х(0,х): widЕБ<х и (29). В силу (28) 0<widЕБ<X, следовательно, х є [wid ЕБ, X]. Так как функция затрат (6) возрастает по х, то для любого к > 0, к Ф 0, ее минимум достигается в точке х* = wid ЕБ, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Для любого начального состояния х(0) є Х существует допустимая на интервале Х стратегия управления Ф* є Ф(х(0)), гарантирующая (14), если выполнены условия (28), (29) и существует такое число є > 0, для которого справедливо ЕБ + єХ(0,0) с {-Ви}.

Причем сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса х* достигается не более чем за конечное число шагов

Т = Г1/є"|+1. (31)

(Это можно показать, выполнив предельный переход при а, ^ 1 в формуле (27).)

Управления и*(ґ) определяются из решения оптимизационной задачи

X :

• min

u(t ), X

при ограничениях

- ЕБ < Ах(/) + Ви (/) < - ЕБ + Х0, и(/) £ и,

0 <Х<1.

ПРИМЕР

Рассмотрим систему производства-распределения (рис. 1), которая описывается динамической сетевой моделью (1) со структурными матрицами

( 1 0 -1 -1> (-1 0 0 -1 0 1

B = 0 1 -1 1 , E = 0 -1 0 0 -1

10 0 1 0, 1 0 0 -1 1 1J

дополнительные производственные возможности системы между производственными линиями А и В (если и4 = 0, то все дополнительные возможности системы направлены на производство продукции А ); и3 описывает производственную линию, которая из А и В производит продукцию АВ. Неуправляемые потоки ёь ё2, ё3 определяют спрос в узлах сети на продукцию А, В и АВ соответственно; ё4, ё5 представляют спрос в 3-м узле на продукцию А и В.

Неопределенность спроса и коэффициентов потерь запаса задана в виде интервалов:

([5, 25] А

([0,6, 0,75] 0

A =

0

[0,5, 0,6] 0

0 [0,75, 0,8]

Л

X =

( [0, 130] 1 [0, 120] [0, 150]

U =

[20, 30] [60, 80] [0, 20]

V [0, 30]

Состояния системы и управления ограничены интервалами

Г [0,190]^

[0, 55]

[0,100]

V [0, 70]

Затраты системы на хранение запаса к = (70, 80, 30)т.

Для данной системы оптимальный допустимый уровень запаса х* = (47,06 22,22 52,63)т (решение оптимизационной задачи (11)), х* не зависит от расходов системы на хранения запаса (следствие 2), условия теоремы 3 выполнены (є = 0,252). В каждый момент времени ґ, решая задачу (24), получаем оптимальное управление и*(ґ), ґ > 0.

На рис. 2 показана динамика изменения запаса в узлах сети при стратегии управления Ф*={и*(ґ), ґ > 0} для начального состояния запаса х(0)=(130 120 150)т. Из графика видно, что скорость сходимости т*=2, так как х(ґ) є Х(0, х*) для ґ > 2.

X 3З

X1*

X *

Сеть состоит из трех узлов: узлы 1, 2 производят продукцию А и В, которая используется для производства продукции АВ в 3-м узле. Управляемые потоки щ, и2 определяют интенсивность производства продукции А и В соответственно; и4 перераспределяет

Рис. 2. Динамика изменения запаса в узлах сети при начальном запасе X^0) = 130; X2(0) = 120; X3(0) = 150

При детерминированном задании коэффициентов потерь запаса, когда A(t) = Diag(0,7; 0,5; 0,8), t > 0, оптимальный уровень запаса X* = (40 20 50)г , е = 0,326, максимальная скорость сходимости T = 4 (формула (27)).

При отсутствии потерь запаса X* = (40 20 50)T (формула (30)), е = 0,218, максимальная скорость сходимости T = 6 (формула (31)).

1. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. М.: Знание, 1987.

2. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. М.: Наука, 1991.

3. РыжиковЮ.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.

4. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. Least Inventory control of multistorage systems with non-stochastic unknown demand // IEEE Transaction on Robotics and Automation. 1997. V. 13. No. 5. P. 633 - 645.

5. Blanchini F., Pesenti R., Rinaldi F., Ukovich W. Feedback control on production-distribution systems with unknown demand and delays // IEEE Transaction on Robotics and Automation. 2000. V. 16. No. 3. P. 313 - 317.

6. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. A network design problem for a distribution system with uncertain demands // SIAM Journal on Optimization. 1997. V. 7. No. 2. P. 560 - 578.

7. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Применение интервальных методов в управлении запасами // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. № 2. С. 50 - 58.

8. Домбровский В.В., Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса // Вычислительные технологии. 2001. Т. 6. Ч. 2. С. 271 - 274 (Спец. выпуск, CD).

9. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запаса в узлах сети // Вестник ТГУ. 2004. № 284. С. 103 - 108.

10. Chausova E.V. Dynamic Network Inventory Control Model with Interval Nonstationary Demand Uncertainty // Numerical Algorithms. 2004. V. 37. P. 71 - 84.

11. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.

12. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

13. Алефельд Г., ХерцбергерЮ. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

14. Kaucher E. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Supplement. 1980. V. 2. P. 33 - 49.

15. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3. № 2. С. 67 - 114.

16. Ловецкий С.Е., Меламед И.И. Динамические потоки в сетях // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 7 - 29.

17. Glover F., Klingman D., Phillips N.V. Network models in optimization and their applications in practice. NY.: Wiley, 1992.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 25 октября 2005 г.