Динамическая сетевая модель управления запасами с интервально заданным спросом и задержками поставок Текст научной статьи по специальности «Математика»

Е.В. Чаусова

ДИНАМИЧЕСКАЯ СЕТЕВАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ С ИНТЕРВАЛЬНО ЗАДАННЫМ СПРОСОМ И ЗАДЕРЖКАМИ ПОСТАВОК

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ №МК-3097.2005.8

Рассматривается задача управления запасами в динамической системе с неизвестным интервально заданным спросом и задержками поставок. Модель с задержками поставок сводится к модели с мгновенными поставками, переменная состояния которой описывает фиктивный уровень запаса в системе в виде суммы наличного запаса и объема заказов на текущий момент. Для анализа и расчета оптимальной стратегии управления применяется аппарат интервальной математики, в том числе полная интервальная арифметика Каухера. Получены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, доказана теорема об оптимальном допустимом уровне запаса, определены достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Разработан вычислительный алгоритм построения оптимальной допустимой стратегии управления.

Рассматривается задача управления запасами в условиях неопределенности. Система управления запасами описывается динамической сетевой моделью. Узлы сети задают виды и размеры управляемых запасов, а дуги - управляемые и неуправляемые потоки в сети. Управляемые потоки перераспределяют ресурсы (запасы) между узлами сети, возможно перерабатывая их, и планируют поставки извне. Неуправляемые потоки описывают спрос на ресурсы в узлах сети, который формируется как со стороны других узлов, так и внешнего окружения. В виде такой динамической сети можно представить, к примеру, складскую, производственную, транспортную, и многие другие системы [1, 2]. Для описания неопределенности, присутствующей в системе, в отличие от классических стохастических моделей [3-6], используется интервальная модель спроса. Неизвестный спрос задается в виде интервала, в границах которого он произвольным образом принимает свои значения. На практике такое описание неопределенности по сравнению с вероятностным является более простым и доступным, так как границы интервала неопределенности оценить проще, чем вероятностные характеристики. Для решения задачи управления запасами используется аппарат интервальной математики, в том числе полная интервальная арифметика Каухера [7-11]. Полученные решения позволяют эффективно управлять запасами при минимальном уровне априорной информации о спросе, что особенно актуально в условиях неопределенности и неоднозначности реального рынка.

Эта работа является продолжением и развитием работ [12-14]. В ней рассматривается обобщение динамической сетевой модели управления запасами с интервально заданным спросом на случай с задержками поставок (запаздыванием управлений). В реальных системах управления запасами всегда существует ненулевой период времени между моментом заказа и поставкой, который определяется географическими факторами и видом деятельности системы. Поэтому принятие допущения о том, что поставки (управления) осуществляются мгновенно, как это предполагалось в работах [12-14], во многих случаях необоснованно. В работе показано, что модель с задержками поставок сводится к модели с мгновенными поставками. Для этого вводится понятие фиктивного уровня запаса, который определяется в виде суммы наличного запаса и объема заказов на текущий момент. Динамика фиктивного запаса описывается уравнением без задержек управлений, однако в нем появляется новая составляющая, которую можно рассматривать как дополнительное воздействие на систему, принимающее значения из заданного интервала в зависимости от текущего состояния системы. Используя этот факт и результаты, полученные для модели с мгновенными поставками, были определены необходимые и достаточные условия существования допустимого управления, доказана теорема об оптимальном допустимом уровне запаса и получены достаточные условия существования оптимальной допустимой стратегии управления. Разработан вычислительный алгоритм построения оптимальной допустимой стратегии управления с учетом задержек поставок.

Описание модели и постановка задачи

Рассматривается динамическая система управления многономенклатурными запасами с периодическим контролем уровня запасов и бесконечным горизонтом планирования. Динамика системы с запаздыванием управлений описывается следующим рекуррентным соотношением:

А!

x(t +1) = Ах(!) + ^ Вьц{! - + Ей(!), ! > 0, (1)

5=0

где х(!) е Я" - вектор состояний запаса, /-я компонента которого задает уровень наличного запаса в /-м узле сети (на /-м складе) в момент времени ! (х(0) считается известным); и(!) е Я4 - вектор управляющих воздействий (управление), компоненты которого представляют управляемые потоки в сети в момент времени !; й(!) е Ят - вектор неуправляемых воздействий (спрос), компоненты которого описывают неуправляемые потоки в сети в момент времени !. Структура сети определяется структурой матриц В5еЯ"'4, 5 = 0, ..., Д!, и матрицей Е е Я"Ут. Целочисленная переменная 5 определяет период запаздывания управляемых потоков в сети, т. е. заказ на поставку, размещенный в момент времени !, поступает в момент времени ! + 5, при этом значение 5 = 0 соответствует немедленной поставке, а Д задает максимальный период задержки поставки. Диагональная матрица А = Diag(a1, ..., а") е Я"У", 0 < а, < 1, / = = 1, ..., п определяет потери запаса в узлах сети в момент времени !, коэффициенты потерь запаса учитывают естественные изменения в его количестве и свойствах (порчу, убыль, устаревание и т.д.).

Предполагается, что спрос й(!) точно не известен, но диапазон его возможных значений ограничен интервалом

й(!) е В, ! > 0, (2)

где В е 1Ят, В = D], В > 0; 1Я = (х = [х, X] | х < х,

х, х е Я} - множество правильных интервалов [7-9].

На размеры запасов х(!) и управления и(!) накладываются ограничения, обусловленные возможностями системы:

х(!) е X, ! > 0 , (3)

и(!) е и, ! > 0 , (4)

где X е 1Я", X = [0,X]; и е 1Я“, и = [0,й].

Для системы (1) необходимо найти оптимальную (с точки зрения минимума затрат) стратегию управления запасами, гарантирующую полное и своевременное удовлетворение спроса (2) на бесконечном периоде планирования с учетом потерь запаса, ограничений на размеры запасов и управления (3), (4) и задержек поставок.

Определение 1. Будем называть функцию и(ґ)=П(х(ґ), ґ), и(ґ)є и допустимым на интервале X управлением для состояния х(ґ) в момент времени ґ, ґ > 0, если для любого значения спроса й(ґ) є Б выполнено включение х(ґ+1) є X, где х(ґ) определяется рекуррентным соотношением (1).

Определение 2. Будем называть стратегию Ф={и(ґ), ґ > 0} допустимой на интервале X стратегией управления для начального состояния х(0) є X, если все управления, составляющие эту стратегию, являются допустимыми на интервале X. Множество стратегий, допустимых на интервале X при начальном запасе х(0) є X, будем обозначать Ф(х(0)).

Определение 3. Будем называть X, X є X допустимым уровнем запаса в системе, если для любого начального запаса х(0) є X(0, X) существует допустимая на интервале X(0, х) стратегия управления, где X(a,b) = [а,Ь] -интервальнозначная вектор-функция, которая определена для любых а, Ь є Я", а < Ь.

Определим затраты системы в единицу времени в виде функции

С (х) = кт х,

(5)

где х е X - допустимый уровень запаса; к е Я" - вектор затрат, к > 0, к Ф 0, /-я компонента которого представляет затраты на хранение единицы запаса в /-м узле сети; символ т означает транспонирование. Если для любого начального состояния х(0) е X существует стратегия управления Ф е Ф(х(0)), то X является допустимым уровнем запаса и, следовательно, затраты системы меньше либо равны С(X) при любом спросе ё(() е Б для всех t > 0. Чтобы минимизировать затраты системы, необходимо найти оптимальный допустимый уровень запаса х *, минимизирующий функцию затрат (5), и стратегию управления запасами Ф* е Ф(х(0)), гарантирующую условие

х(ґ) є X(0, х*), ґ >т* > 0 .

(6)

при любом спросе й(ґ)є Б. Стратегию Ф*є Ф(х(0)) будем называть оптимальной допустимой стратегией управления для начального состояния х(0) є X, а время т* - скоростью сходимости системы к оптимальному допустимому запасу х*.

Преобразование модели

Выполним преобразование модели (1) подобно тому, как это сделано в работе [15]. Введем расширенный вектор состояний системы (1):

|(ґ) = (х(ґ)т и(ґ-1)т и(ґ — 2)т ... и(ґ-Дґ)т )т,

тогда уравнение состояния системы (1) можно переписать в следующем виде:

§(ґ +1) = Д(ґ) + Ни(ґ) + Ой(ґ), ґ > 0, (7)

где Ь, Н, О - блочные матрицы

Ь =

' А в, В 2 . • Вдґ—1 Вдґ

09х" 0^х? 0^х? 0^х? 0^х?

09х" !«хд 0^х? 0^х? 0^х?

0^хи 0^х? !«хд 0^х? 0^х?

09хп 0^х? 0^х? !«хд 0^х?

Г в л 0 Г Е Л

!«хд 0?хт

Н = 0 ^х? , О = 0?хт

0 ?х? Л9хт К0 У

(здесь I - единичная матрица, 0 - нуль-матрица соответствующих размерностей).

Введем переменную

у(ґ) = х(ґ) + Х ви(ґ — j),

j=l

(8)

Дґ

где в} =£в, є Я"х?, j = 1, ..., Дґ .

Рассмотрим

Дґ /V

г(ґ) = ^ в ju(ґ - j) = (В1 + В2 +... + Вдґ )и(ґ -1) +

j=l

+ (В2 + В3 + к + Вд )и(ґ — 2) + к + В^и(ґ — Дґ) =

= Ди (ґ — 1 ) + В ^и (ґ — 2) + к + В дґ и( ґ — Д3) +

придет в момент времени ґ

+ В 21 (ґ — 1) 1В зЫ (ґ — 2) + . . + В д^и (ґ — Дґ + 1) + к

придет в момент времени ґ+1

Видно, что і(ґ) определяет количество заказанных на момент времени ґ, но еще не поступивших ресурсов, так называемый «товар в пути». Таким образом, у(ґ) = = х(ґ) + і(ґ) представляет собой сумму наличного запаса и объема заказов на момент времени ґ. Будем называть у(ґ) фиктивным уровнем запаса в системе [6]. Очевидно, что

у(ґ) = Fv ф), х(ґ) = Ех %(ґ).

(9)

где р = (Т" В В1.. £Д-1 ВД), Рх = (1пхп 0"^ 0"^... 0"^ 0"^).

Умножив обе части уравнения (7) на матрицу ¥у слева, получаем

Руы +1) = ЕуЩ«) + ЕуИи(t) + ЕуОй(0, t > 0, где ЕуЬ = (А В В2 ... ВВДt) = Ру - (I - А)Ех,

РуН = Х в>

РуО = Е.

Применив преобразование (9), будем иметь

у(ґ +1) = у(ґ) - (I - А)х(ґ) + Би(ґ) + Её(ґ), ґ > 0, (10)

Дґ

где Б = £ Б5 .

5=0

Поясним смысл матрицы Б. Пусть и* задает к-й управляемый поток в сети, который действует с задержкой на 5 периодов. Тогда вектор (Б0)к ик(ґ) определяет действие ик на состояние запаса в системе в момент времени ґ, а вектор (Б8)к ик(ґ) - в момент времени ґ + 5, где (Б0)к и (Б8)к есть к-е столбцы матриц Б0 и Б, соответственно. Если, например, ик описывает производственную линию, которая, начиная производство в момент времени ґ, берет по ик(ґ) единиц ресурсов А и В и производит из них 2ик(ґ) единиц продукта С в момент времени ґ + 1 и 3ик(ґ) единиц продукта Б в момент времени ґ + 2, то

(B0) k =

Графически описанная ситуация представлена на рис. 1.

Г-1> Г 0 ^ Г 01

-1 0 ,(Bl) k = 0 2 , (B2) k = 0 0

V 0 V V 0 V V 3J

(B) k =

Г- 11 -l 2

v 3 v

Vy(t) є Y | x(t) є X »

Д /V

» Vy(t) є Y I x(t) = y(t) - XBJu(t - j) є X »

» Y-XBJU с X » Y с X + duall XBJU

j=i V j=i

где dual x = [x, x] - операция дуализации в полной интервальной арифметике Каухера [10, 11]. Так как Bj > 0

для всех j = 1, ..., At (это следует из неотрицательности матриц Bs для s = 1, ..., At), то интервал возможных значений фиктивного запаса имеет вид

Y =

U X bJ, X

J=l

Y > 0.

Замечание 1. Нижняя граница интервала допустимых значений фиктивного запаса 7 зависит от возможностей управления, и чем больше и , тем выше должен быть фиктивный уровень запаса в сети. Это обусловлено тем, что чем больше спрос, тем больше требуется ресурсов на его удовлетворение. И если фиктивный уровень запаса опустится ниже 7 , то за время поставки в системе может возникнуть дефицит. Для того чтобы уменьшить 7, можно ограничить возможности управления на уровне, достаточном для полного и своевременного удовлетворения спроса. Для этого требуется найти

(

U * = arg min

йєи

EDc( I - A) X+{-bU }

Д^

сГ X B jU

v j=

Рис. 1. Пример управляемого потока динамической сети с задержкой во времени

Заметим, что матрицы Б,; неотрицательны для всех 5 = 1, ..., Д/. Если все управляемые потоки действуют с запаздыванием, то для любого к найдется такое 5 е {1, ., Д/}, что (Б,)к > 0, (Б,)к Ф 0. И наоборот, если в сети существует мгновенный управляемый поток, то для любого 5 = 1, ..., Д/ соответствующий столбец матриц Б8 будет нулевым.

Для рассмотренного на рис. 1 управляемого потока

где (Б)к есть к-й столбец матрицы Б. Таким образом, матрица Б в уравнении (10) описывает структуру управляемых потоков в сети без учета задержек.

Определим далее интервал допустимых значений фиктивного запаса У = [7,7 ] таким образом, чтобы для любого значения у(ґ) є У было выполнено ограничение (3). С учетом (4) имеем

где с е Я" - вектор затрат, с > 0, с Ф 0, {-Ви} = = {-Ви е Я" | и е [0,и]}. Тогда необходимый уровень

Д/ л _

фиктивного запаса уменьшится до величины ^ Бр *.

>1

Подобного рода задачи рассматриваются в работе [16].

Построение оптимальной допустимой стратегии управления

Д/

Введем вектор у(/) = у(/) - 7 , где 7 = и ^ Б], тогда

>1

из (10) получаем

У(/ +1) = у(/) - (I - А) х(/) + Би (/) + Её (/), / > 0, (11)

при ограничении

у(/) е¥ = [0,-та У ], / > 0,

где widх = х - х - ширина интервала х, wid х > 0 [7-9].

Уравнение (11) описывает динамику сети с переменной состояния у(/) без потерь запаса в узлах сети и запаздываний поставок. Для управления такой систе-

j=i

мой можно применить результаты, полученные в работах [12, 14]. Если потери запаса в узлах сети отсутствуют, т.е. А = I, то результаты применяются напрямую. Если матрица А Ф I, то в уравнении динамики системы появляется новая составляющая (I- А)х(/). В этом случае х(/) можно рассматривать как дополнительное воздействие на систему, принимающее значения из интервала X в зависимости от текущего состояния системы у(/). Интервальные величины у(/) е V и х(/) е X являются зависимыми (или связанными), поскольку связаны соотношением

у(/) = х(/) + 2(/) - 7 . (12)

Поэтому, в отличие от спроса ё(/), который принимает произвольные значения из интервала Б, величина х(/) может принимать не произвольные значения из интервала X, а только те, которые удовлетворяют существующей зависимости (12). Кроме того, необходимо учитывать, что в отличие от ё(/), значение х(/) становится известным в момент времени /. С учетом этого были получены следующие результаты.

Теорема 1 (о существовании допустимого управления). Для любого состояния системы у(/) е V и любого уровня наличного запаса х(/)е X в момент времени /, / > 0, допустимое на интервале V управление с обратной связью и(/)=и(у(/), /), и(/) е и, существует и определяется из включения

у(/) - (I - А)х(/) + Би(/) е V + орр ЕБ, если и только если выполнены условия

wid ЕБ < V , (13)

ЕБ с (I - А)X + {- Би}, (14)

где интервальный вектор ЕБ е Ш", ЕБ = [ЕБ, ЕП] получен умножением матрицы Е на интервальный вектор Б [7-9]; орр х = [-х,-х] - интервал, обратный по сложению к интервалу х в полной интервальной арифметике Каухера, х + орр х = 0 [10, 11]; множество {-Би} = {-Би е Я" | и е и}; I е Я"х" - единичная матрица.

Теорема 2 (об оптимальном допустимом уровне запаса). Оптимальный допустимый уровень запаса V* является решением задачи

С(£) = ктV ^ щи,

V

при ограничениях

wid ЕБ < V < wid У ,

ЕБ с (I - А)X(0, V + 7) + {- Би}.

При отсутствии потерь запаса V* = wid ЕБ.

Теорема 3 (о существовании оптимальной допустимой стратегии). Для любого начального состояния у(0) е V существует допустимая на интервале V стратегия управления Ф* е Ф(у(0)), гарантирующая (6), если выполнены условия (13), (14) и существует число е > 0, такое, что

ЕБ + еX(0,0) с (I - А)X(0, V* +7) + {-Би},

где 0 = V - V* е Я", 0> 0, 0^ 0.

При отсутствии потерь запаса сходимость к оптимальному допустимому уровню запаса V* достигается не более чем за конечное число шагов Т = \И е] +1.

При доказательстве теорем 1, 2, 3 используется тот факт, что интервальная величина у(/) е V аддитивно зависит от интервальной величины х(/) е X, следовательно:

{у(/) - (I - А)х(/) | у(/) е V х(/) е X} = V + орр(! - А)X.

Учитывается также, что если у(/) е X(0, V), то х(/) е X(0, V + 7). В остальном доказательство повторяет доказательство аналогичных теорем для случая с мгновенными поставками [12, 14].

Оптимальные управления и*(/), составляющие оптимальную допустимую стратегию Ф*={и*(/), / > 0}, определяются из решения следующей оптимизационной задачи:

"

8р Л = ^ шт

^ и(/),X,, X

г=1 \ 1 > "

при ограничениях

-ЕП < у(/) - (I - А)х(/) + Би(/) < V)* -ЕП + Л0, и (/) е и,

0 <Хг- < 1, I = 1,",

где у(/) определяется рекуррентным соотношением (11), х(/) вычисляется из (12), Л = Пiag(X1, ..., X") е е Я" ", Хь ..., X" - вспомогательные параметры, 8р Л -след матрицы Л. Момент времени т*, начиная с которого 8р Л = 0, определяет скорость сходимости системы. Полученная стратегия является оптимальной допустимой стратегией для системы (1) с запаздыванием управлений.

Таким образом, в работе предложено обобщение динамической сетевой модели управления запасами с интервально заданным спросом на случай с задержками поставок. В результате преобразования над переменной состояния модель с задержками поставок была приведена к модели с мгновенными поставками, что позволило применить полученные ранее результаты для построения оптимальной стратегии управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ловецкий С.Е., Меламед И.И. Динамические потоки в сетях // Автоматика и телемеханика. 1987. № 11. С. 7-29.

2. GloverF., KlingmanD., PhillipsN.V. Network models in optimization and their applications in practice. NY.: Wiley, 1992.

3. Рубальский Г.Б. Вероятностные и вычислительные методы оптимального управления запасами. М.: Знание, 1987.

4. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. М.: Наука, 1991.

5. РыжиковЮ.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.

6.Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. М.: Наука, 1969.

7. Moore R.E. Methods and applications of interval analysis. Philadelphia: SIAM, 1979.

8. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

9. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987.

10. KaucherE. Interval analysis in the extended interval space IR // Computing Supplement. 1980. Vol. 2. P. 33-49.

11. Шарый С.П. Алгебраический подход во «внешней задаче» для интервальных линейных систем // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, № 2. С. 67-114.

12. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и устареванием запаса в узлах сети // Вестник Томского государственного университета. 2004. N° 284. С. 103-108.

13. ChausovaE.V. Dynamic Network Inventory Control Model with Interval Nonstationary Demand Uncertainty // Numerical algorithms. 2004. Vol. 37. P. 71-84.

14. Чаусова Е.В. Динамическая сетевая модель управления запасами с интервальной неопределенностью спроса и потерь запаса // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С. 208-215.

15. Blanchini F., Pesenti R., Rinaldi F., Ukovich W. Feedback control on production-distribution systems with unknown demand and delays // IEEE Transaction on robotics and automation. 2000. Vol. 16, №. 3. P. 313-317.

16. Blanchini F., Rinaldi F., Ukovich W. A network design problem for a distribution system with uncertain demands // SIAM Journal on optimization. 1997. Vol. 7, №. 2. P. 560-578.

Статья представлена кафедрой математических методов и информационных технологий в экономике экономического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Экономические науки» 2 октября 2006 г.