CC BY
43
Реннер А.Г., Буреш А.И.
Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]
ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
Строится модель вероятности неразорения страховой компании, инвестирующей средства в портфель из рисковых и безрисковых активов. Обсуждается вопрос оптимизации во времени вероятности неразорения.
Ключевые слова: вероятность неразорения страховой компании, безрисковые и рисковые активы, инвестирование.
Работы Башелье, Самуэльсона положили основу применения методов теории случайных процессов в портфельном инвестировании, позволяющих наиболее адекватно описывать динамику основных и производных ценных бумаг, а следовательно ввести в рассмотрение дополнительный параметр время. Наиболее заметным результатом портфельной теории прошлого века является теория Блэка-Шоулза [1]. В основе теории лежит предположение:
- о непрерывной временной аппроксимации параметров оборота активов;
- постоянство безрисковой процентной ставки г для всех сроков погашения;
- по акциям не выплачиваются дивиденды;
- отсутствие арбитража;
- доходность акции имеет логнормальное распределение.
Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ито, характеризующее изменение цены одного рискового актива
аБ(г)= S(tXиdt+odWt) (1)
где ц - средняя ставка доходности актива;
а - волатильность, показывающая стандартное отклонение доходности актива;
Wt - винеровский процесс.
Если в состав инвестиционного портфеля страховой компании включается безрисковый актив 50(£) с постоянной процентной ставкой г
dSo ()= (ХИ (2)
и п рисковых активов Si 1 = 1, п с ожидаемыми средними доходностями |Л.()={|Л.; ()}=— и ковариационной матрицей активов Е=Ыокк,
Мп
то динамика цены каждого актива
dSi(t)= S, (
ц i (t)dt+ £а (dWj (t)
s.()= S(t), i = 1,n
j=1
(З)
где W(t)= ( ().^п ())т - п-мерный винеровс-кий процесс.
При этом естественно считать, что ц1 > г.
На основе моделей динамики рыночных активов построим модель динамики инвестиций страховой компании в портфель
п(г.)={п1 ().п п (t)}.
Пусть У(г;) - капитал инвестора (страховой компании) в момент времени t (стоимость портфеля), а N (1) 1 = 1, п - число единиц г-го актива в портфеле в этот момент. Тогда
Y(t)=]ГN10 ()+ N0 (t)So (t). (4)
1=1
Отметим, что среди N () могут быть отрицательные, что соответствует так называемой короткой продаже (продаже актива, которого у продавца в наличии нет, осуществленная в ожидании падения цен).
Динамика капитала портфеля страховой компании У(Ь) описывается задачей Коши для стохастического дифференциального уравнения
dY(t)= No (t)dSo (t)+£ Ni (t)dSi (t) Y(o)=Yo “ (5)
Если учитывать поступающие с интенсив-
ностью Є(ґ) премии и выплаты Zi,і = 0,N0 по искам
( N (t)
dY(t) = Y(t)(l - П/)r + Пц] + Y(t)П£dW(t)+ C(t)dt - d £Zt
A, -=“
(б)
где и - начальный капитал компании;
С(Ь) - интенсивность поступления страховых премий
Ы(Ь) - число поступивших исков за время [0,^] - пуассоновский процесс с параметром А£;
{Zl }=0к( - размеры выплат страховой компании по искам - последовательность неза-
висимых, одинаково распределенных случайных величин с плотностью распределения вероятностей /(х);
I = (1,1...l)т - п-мерный единичный вектор;
1 - Ш = а - доля безрискового актива; г - доходность безрискового актива. Модель (6) перепишем в виде
dYt = Y (t )(l - П/ )r + Пц] + Y (t )п£ dWt + C (t )dt - J zP(dt, dz)
Z
Ylt-0 = “■
(7)
Здесь Р(&,&) - [2] - целочисленная случайная мера с компенсатором )=MtF(dz),
соответствующая точечному случайному процес-
N0'
су
N()
£ Zi.
i=1
Решение (7) можно последовательно искать на каждом полуинтервале [^,t1+1) 1 = 0,1,...п, где t1,t2 ..дп моменты скачков Пуассоновского процесса. Аппроксимируя в (7):
| zp(dt,dz )= ^()си, (8)
средний суммарный раз-
- 1 N(1)
где 2(,)=
мер иска в момент скачка Пуассоновского процесса, мы У(ґ) можем рассматривать как марковский процесс.
Обозначим:
у^, 1) = Y(t)[(l - П1)г + Пц]+ С()- (9)
G(Y, 1)= Y(t)п£. (10)
Пусть Р(, X, т, Y) - условная плотность распределения того, что размер капитала в момент времени травен У, если в момент времени Ь<т он был равен X.
Известно [3], чтоP(t,X,т,Y) удовлетворяет второму уравнению Колмогорова
|Т[р( ^ т y)]-+jL [a(y, т)P(t, x т, y х
dx dy 2 dy2
x[b(y, x)p(t, x, x, y)]= 0, (11)
где a(y, x)=y(y, x) (12)
b(y, x)= G(y, x)GT (y, x) (13)
В качестве начального условия, учитывая то обстоятельство, что значение Y(t) в начальный момент x=t=0 задано и равно и, следует положить при t=0
р( x, т, y)x=t=o = §(x - у )t=o = §(u - y) (14)
Нас интересует вероятность того, что капитал компании в течение времени tе T(t,т)= (tjt + C)* - остается положительным (o < Y(x)< ^),т. е. вероятность неразорения компании.
Если обозначать далее P(x, y)- условную плотность распределения вероятностей, то вероятность P(x)= P (o < Y(x)< <х) вмомент времени т определяется равенством
р(т) = Jp(т, y )dy,
* C - любая положительная константа
** на практике у=^ заменяют y= ymax, где ymax -
j max
некоторое достаточно большое значение, такое что J P(x, y )dy = 1
Вероятность неразорения страховой компании
Рисунок 1. Зависимость вероятности неразорения от времени
а функция Р(т, у) определяется как решение уравнения (11), с начальным условием (14) и граничным условием
Р(т,0)= 0 т > t = 0, (16)
р(т, «,)= 0 ** т> t = 0. (17)
Приведем результаты расчетов для случая инвестирования средств страховой компании в один безрисковый (доля Ь) и один рисковый (доля а), а+Ь=1, активы. Модель (7) принимает вид:
dY(t) = Y(tXrp + ац)й + cdt + Y(t)аodWt - А£() = 0
(7а)
В смешанной краевой задаче (11, 14, 16, 17) для второго уравнения Колмогорова:
а(У,т)= Y(тXrP + ац(+ с -b(Y, т)=аоY(т)
Решая смешанную краевую задачу, численно, аппроксимировав её неявной разностной схемой при фиксированных значениях и, г,р, а,д, о, с, X, получим Р(т, у) и, в соответствии с (15) вычисляем Р(т)=р( и, г,р, а, ц, о,с, X).
При инвестировании средств в рисковый актив: р = 0, а = 1, X = 3,82 исков/день, с=196,5 тыс. руб./день, г=0,13, ц=0,4, 8=0,2, м=105 тыс. руб. - получим оценку зависимости Р(т), представленную на рисунке 1.
Как видно из рисунка 1 вероятность нера-зорения 0,9 достигается, при указанном наборе параметров, лишь к концу первого года функционирования страховой компании, что говорит о целесообразности оптимизации параметров инвестирования на начальном этапе. В частности, максимизировать вероятность неразо-рения наиболее целесообразно за счет диверсификации вложений. К примеру, инвестирование средств в безрисковый и рисковый актив в соотношении р = 0,5 а = 0,5 (при неизменных прочих параметрах) позволяет достичь уровня Р(т) = 0,9 почти вдвое быстрее (192 дня). Следует ожидать еще большего эффекта при варьировании параметров портфеля с несколькими различными безрисковыми активами.
15.11.2012
Список литературы:
1. Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. - 1973.
2. Paulsen, J. Risk theory in a stochastic environment // J. Stochastic Process. Appl. - 1993. - V. 21. - P. 327-361.
3. Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. - М.: МИР, 2003.
Сведения об авторах:
Реннер Александр Георгиевич, заведующий кафедрой математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета, доцент, кандидат технических наук Буреш Антон Игоревич, старший преподаватель кафедры математических методов и моделей в экономике Оренбургского государственного университета 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 6106, тел. (3532) 372444, e-mail: [email protected]
