Автоматизированный программный комплекс «Анализ платежеспособности страховой компании» Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

^ № 5(23) 2009 А. Г. Реннер, О. Н. Яркова

Автоматизированный программный комплекс «Анализ платежеспособности страховой компании»

В настоящее время весьма актуальной является задача исследования влияния параметров рисков инвестирования и перестрахования на платежеспособность. В качестве характеристики платежеспособности, как правило, рассматривается вероятность неразорения, определяемая из интегро-дифференциального уравнения, построение численного решения которого предполагает использование соответствующего программного обеспечения.

Для реализации своей основной функции — осуществления выплат при наступлении страховых случаев — страховая компания должна располагать специальными денежными ресурсами, которые формируют ее капитал.

Формирование и использование капитала — основная сторона деятельности страховых организаций, направленная на обеспечение платежеспособности, в том числе за счет инвестирования и перестрахования.

Сегодня на российском рынке программного обеспечения можно найти много программных средств, предназначенных для автоматизации страховой деятельности, бухгалтерского учета и автоматизации налоговой отчетности страховых организаций.

Это, например, автоматизированная система ЬИНЭК, КСИС (корпоративная страховая информационная система) «ИНЭК-Страховщик», ИНСИС (интегрированная страховая информационная система) болгарской фирмы РДйДТД, «Финансовый риск-менеджер» компании ИНЭК и другие программные средства.

При этом отсутствуют программные средства, предназначенные для оценки влияния параметров процесса риска на вероятность неразорения, что стало предпосылкой создания автоматизированного программного комплекса (АПК) «Анализ платежеспособности страховой компании».

Математическое обоснование задачи

Пусть страховая компания инвестирует свободные средства в соотношении Р:а, соответственно, в безрисковый актив с доходностью r >0 и в рисковый актив, цены St которого удовлетворяют стохастическому дифференциальному уравнению [1]:

dSt = St (idt +adWt),

где ц и ст — доходность и волатильность цены рискового актива; Wt — винеровский процесс.

Капитал страховой компании, характеризующий процесс риска, согласно [2], удовлетворяет уравнению

dYt = ((ф + ац) dt + аст dWt )Yt +

(N (t) ^

+cdt - X j

Y0 =u, 0<а + [3< 1.

где Yt — капитал страховой компании в момент времени t;

u — начальный капитал компании; с — интенсивность поступления страховых премий;

N(t) — число поступивших исков за время [0,t], которое является пуассоновским случайным процессом с параметром \t;

9

№5(23)2009

а

а §

с

1

>а

0

«о

1 I

а 5

о £

53

о с

1 §

I

§

1

>а %

€ 1 I

>а

I

«о

0 §■

3

1 I

«о

{X,} — размеры выплат по искам страховой компании — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с неизвестной плотностью распределения вероятностей f(х).

С целью обеспечения платежеспособности страховщик может также воспользоваться пропорциональным перестрахованием. Интенсивность поступления премий цедента после оплаты премии перестраховщику будет равна

с = (1+0)-Х-т — (1+£)-Х-у т,

где 0 — относительная рисковая надбавка цедента;

^ — относительная рисковая надбавка перестраховщика;

т — математическое ожидание размеров выплат по искам X,; Ч:0<ч< 1 — доля перестрахования; (1 — ч) — объем собственного удержания.

По известным размерам выплат по искам X,, можно определить выплаты цедента

Xцед =(1 —ч)Х,

и аппроксимировать плотность распределения размеров выплат цедента fцед (х). Вероятность неразорения

ф(и)=р{у >0, у0 = и, г > 0},

в предположении о пуассоновском процессе поступления исков с учетом инвестирования в рисковый и безрисковый актив и перестрахования, как показано в работе [2], является решением следующей задачи:

1

^а2 ст2 и2 ф"(и) +

(1+0)-Х-т — —(1+0-Х-Т т + +((3 г + а^)и

Ф'(и)-

(1)

Хф(и) + Х/ф(и — у)Уцед (у)(3у=0,

ф(^) = 1, .

Так как плотность распределения размеров выплат аналитически не задана, а имеют-

ся только статистические данные о размерах выплат по искам, для получения решения задачи (1) необходимо представить Уцед (х) в виде отрезка обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов (например, Чебышева) — ~цед (х). Тогда задача (1) примет вид

1

^а2 ст2 и2 ф"(и) +

(1+0)-Х-т — ^ —(1+0-Х-ч- т + ф'(и) — +((г + а^)и ^

и

-Хф(и)+Х/ф(и — у)Уцед (у)ёу=0,

(2)

ф(^) = 1, .

Функциональное назначение АПК

Программное средство АПК «Анализ платежеспособности страховой компании» предназначено для выявления связи между параметрами процесса риска и вероятностью неразорения в условиях диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы, а также для оценки характера влияния объема собственного удержания при перестраховании на вероятность неразорения страховой компании в различных условиях инвестирования. В АПК «Анализ платежеспособности страховой компании» на основе численного решения задачи (2), могут быть построены следующие виды зависимостей:

1) зависимость вероятности неразорения от размера начального капитала в различных условиях инвестирования и перестрахования;

2) зависимость между вероятностью неразорения и рисковой надбавкой при фиксированном значении начального капитала, в различных условиях инвестирования;

3) зависимость между необходимым начальным капиталом и рисковой надбавкой при фиксированном значении вероятности неразорения, в различных условиях инвестирования;

4) зависимость между вероятностью неразорения и доходностью безрискового актива при фиксированном значении начального капитала, в различных условиях инвестирования;

10

0

2

0

2

№5(23)2009

5) зависимость между необходимым начальным капиталом и доходностью безрискового актива при фиксированном значении вероятности неразорения;

6) зависимость между вероятностью неразорения и доходностью рискового актива при фиксированном значении начального капитала;

7) зависимость между необходимым начальным капиталом и доходностью рискового актива при фиксированном значении вероятности неразорения;

8) зависимость между вероятностью неразорения и волатильностью цен рискового актива при фиксированном значении начального капитала;

9) зависимость между необходимым начальным капиталом и волатильностью цен рискового актива при фиксированном значении вероятности неразорения;

10) зависимость между вероятностью неразорения и долей инвестирования в рисковый актив при фиксированном значении начального капитала;

11) зависимость между необходимым начальным капиталом и долей инвестирования в рисковый актив при фиксированном значении вероятности неразорения;

12) зависимость между вероятностью неразорения и долей инвестирования в безрисковый актив при фиксированном значении начального капитала;

13) зависимость между необходимым начальным капиталом и долей инвестирования в безрисковый актив при фиксированном значении вероятности неразорения;

14) зависимость между вероятностью неразорения и объемом собственного удержания в случае пропорционального перестрахования, при фиксированном значении начального капитала, в различных условиях инвестирования;

15) зависимость между необходимым начальным капиталом и объемом собственного удержания в случае пропорционального перестрахования, при фиксированном значении вероятности неразорения, в различных условиях инвестирования;

16) зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива;

Замечание. Понятие точки инвестиционного равновесия вводится для определения области значений начального капитала, при которых вложения, на условии диверсификации в рисковый и безрисковый актив, обеспечивают более высокий уровень вероятности неразорения, чем вложения в безрисковые активы, из соотношения

фа' ,г и *) = фг ( и *) = ф*,

где (и*,ф*) — точка инвестиционного равновесия;

и* — равновесный капитал;

Ф * — равновесная вероятность.

17) зависимость между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива.

Программная реализация

Процесс расчета с помощью АПК продемонстрируем на примере нескольких задач.

Задача 1. Поставим задачу определения стратегии инвестирования, основанную на принципе диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы.

Исходные данные (статистические) — размеры выплат страховой компании,количество поступающих исков в единицу времени, объем полученных страховой компанией премий в единицу времени (или агрегированные данные о скорости поступления премий).

Рассмотрим этапы решения задачи.

Подготовка. Предварительно необходимо аппроксимировать плотность распределения размеров выплат с помощью отрезка обобщенного ряда Фурье по системе ортогональных полиномов (например, Чебышева). Для этого можно воспользоваться специализированным программным средством (ПС), например «Прохоров АЗР».

Расчет.Запустить модуль ДЬН^у 1п5игапсв_ Company.exe. Ввести исходные данные: файл коэффициентов полинома, аппроксимирующего плотность распределения размеров выплат; файл с данными о количестве поступающих исков в единицу времени (гипотеза о пу-ассоновском характере распределения слу-

«з

«о §

&

11

№5(23)2009

§ «г

I

>а

0

00

1

и

о

Рис. 1. Основное окно программы. Зависимость вероятности неразорения от начального капитала, при 0,4;ст =0,25, а = 1, |3=0, ^ = 1

§

I

£

§

-о а: €

I

I &

I

«о

о &

€ о

чайной величины «количество поступающих в единицу времени исков» проверяется автоматически); файл с данными об объеме полученных страховой компанией премий в единицу времени (или агрегированные данные о скорости поступления премий).

Для фиксированных параметров:

, ст, р, а, |3, ^ = 1

можно получить решение задачи (2), нажав кнопку «Произвести расчет». На рис. 1 представлено основное окно программы. Выберите пункт «Доля инвестирования». При расчете зависимости между начальным капиталом и долей инвестирования в рисковый актив предполагается, что |3 = 1 —а.

График зависимости подобного рода позволяет сформировать стратегию инвестирования, основанную на принципе диверсифи-

кации вложений. Например, для страховой компании с начальным капиталом 373 тыс. руб. с целью обеспечения вероятности неразорения 0,95 необходимо инвестировать 50% свободного капитала в рисковые активы с доходностью 0,4 и волатильностью цен 0,25 и 50% свободных средств в безрисковые активы с доходностью 0,13.

График зависимости между начальным капиталом и долей инвестирования представлен на рис. 2.

Задача 2. Для определения области значений начального капитала, при которых вложения, на условии диверсификации в рисковый и безрисковый активы, обеспечивают более высокий уровень вероятности неразорения, чем вложения в безрисковые активы, нажмите кнопку «Инвестиционное равновесие» основного окна программы.

12

№ 5(23) 2009

Рис. 2. Зависимость между начальным капиталом (тыс. руб.) и долей инвестирования а в рисковый актив с доходностью 0,4 и волатильностью цен 0,25 при Х=3,82 исков/день, с = 196,5тыс. руб./день, ф=0,95, [3=1-а,г=0,13

График зависимости между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива представлен на рис. 3 (с. 14), зависимости между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива — на рис.4 (с. 14).

Полученные результаты позволяют сформировать стратегию инвестирования в зависимости от условий диверсификации и положения начального капитала относительно точки инвестиционного равновесия. Так, например, для заданных параметров процесса риска (г13 = 0,13, ^=0,5, | =0,4, а=0,5, г=0,13) для ст<32 вложение на условии диверсификации в рисковый и безрисковый активы дает более высокие значения вероятности неразорения при любых значениях начального капитала; для ст>47 более высокий уровень неразорения обеспечивает инвестирование только в безрисковые активы;при 32<ст<47зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива приведена на рис. 4. Точка (0,4; 252) на графике означает, что при и <252 тыс. руб. лучше инвестировать 50%

свободных средств в рисковые активы с доходностью |=0,4и волатильностью ст=0,4 и 50% средств в безрисковые активы с доходностью 0,13, а при и >252 тыс. руб. инвестирование в безрисковые активы с доходностью г=0,13 обеспечит более высокие значения вероятности неразорения.

Задача 3. Проанализируем, как влияет на платежеспособность страховой компании объем собственного удержания при пропорциональном перестраховании. Для этого необходимо нажать кнопку «Перестрахование» основного окна программы и ввести все необходимые данные. На рис. 5 приведен график полученной зависимости.

Построенная зависимость позволяет выбрать приемлемые для страховщика объемы перестрахования с учетом характеристик инвестиционного процесса. Например, страховой компании с начальным капиталом 350 тыс. руб. для обеспечения вероятности неразорения 0,98 необходимо инвестировать 50% свободных средств в рисковые активы с доходностью 0,4 и волатильностью цен 0,25, 50%

№5(23)2009

Г

а §

1 о

I

I! §

I

>=3

I

И

I &

Рис. 3. Зависимость между равновесной вероятностью и волатильностью цен рискового актива, при \=3,82 исков/день, с = 196,5 тыс. руб./день, а=0,5, |=0,4,3=0,5, г 3 = 0,13, г=0,13

Рис. 4. Зависимость между равновесным капиталом и волатильностью цен рискового актива, при \=3,82 исков / день, с = 196,5 тыс. руб./день, а=0,5, |=0,4,3=0,5, г3 = 0,13, г=0,13

14

№5(23)2009

со

I

Э=

О f

.Si

Рис. 5. Зависимость между начальным капиталом и объемом собственного удержания, при а =0,5, |=0,4, ст=0,25, (3=0,5, г=0,13, \=3,82 исков/день, 9=0,7, £= 0,8, и =350 тыс. руб.

свободных средств — в безрисковые активы с доходностью 0,13 и отдать на перестрахование 29% рисков.

Автоматизированный программный комплекс «Анализ платежеспособности страховой компании» разработан для расчета характеристик риска и платежеспособности страховой компании, в условиях инвестирования свободных средств и передачи части риска перестраховщику, требующих проведения многовариантных численных решений интегро-диф-ференциальных уравнений.

Комплекс позволяет оценить влияние на вероятность неразорения страховщика важных характеристик процесса риска. Сюда включаются такие характеристики, как:

• начальный капитал;

• относительная рисковая надбавка;

• доходность рискового и безрискового актива;

• волатильность цен рискового актива;

• доля инвестирования в рисковые и безрисковые активы;

• объем собственного удержания при пропорциональном перестраховании и др.

Оценка проводится на основе статистической информации о размерах выплат по искам, в условиях диверсификации вложений в рисковые и безрисковые активы.

Функциональное назначение и основные принципы работы с программным средством продемонстрированы на примере конкретных задач.

Программный комплекс может представлять интерес для страховых компаний при рассмотрении вопросов, связанных с обеспечением высокого уровня вероятности неразорения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мельников А. В., Волков С. Н., Нечаев М. Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

2. Paulsen J. Ruin models with investment income / Probability Surveys. 2008. Vol. 5. P. 416-434.