CC BY
34
УДК 517.98
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ С ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНОЙ
ГРУППОЙ ДВИЖЕНИЙ
© С.В. Цыкина
Ключевые слова: группы и алгебры Ли; псевдоортогональные группы; симплектиче-ские пространства; пара-эрмитовы симметрические пространства; инвариантная метрика; инвариантная симплектическая форма; скобка Пуассона; оператор Лапласа-Бельтрами.
Изучается дифференциально-геометрическая структура пара-эрмитовых симметрических пространств G/H, для которых группа G есть псевдоортогональная группа SOo(p, q).
Мы рассматриваем пара-эрмитовы симметрические пространства G/H, для которых группа G есть псевдоортогональная группа SOo(p, q) , а связная компонента единицы He подгруппы H есть SO0(1,1) х SO0(p — 1, q — 1) . Все такие пространства (сданной G ) получаются факторизацией из «самого большого» пространства G/He . Отображение накрытия не более чем четырехкратно. Размерность всех этих пространств G/H равна 2n — 4, где n = p + q , сигнатура есть (n — 2, n — 2) , а ранг равен 2.
Введем в пространстве Rn следующую билинейную форму:
[x y] = Y1х
i xi yi,
i=l
где А1 = ... = Ар = -1, Ар+1 = ... = А„ = 1, х = (хь ..., жп), у = (у1,..., Уп) — векторы из Мп . Группа С = Я0о(р, д) , п = р + д, есть связная компонента единицы в группе линейных преобразований пространства Мп с определителем 1, сохраняющих билинейную форму [х, у] . Для простоты мы будем рассматривать общий случай р > 1, д > 1. Мы считаем, что группа С действует в Мп справа: х м хд , так что векторы х из Мп будем записывать в виде строки.
Алгебра Ли д группы С = Я0о(р, д) состоит из вещественных матриц X порядка п, удовлетворяющих условию X'I + IX = 0 , где I = diag {А1,..., Ап} , штрих означает матричное транспонирование. Группа С действует в д сопряжениями: X м- д-1Хд . Будем записывать матрицы п -ого порядка в блочном виде, отвечающем разбиению п = 1 + (п — 2) + 1. Наше однородное пространство С/Н есть С -орбита в алгебре д, содержащая
001 ^о = I 0 0 0 100
Оператор ad ^о в алгебре д имеет три собственных значения: — 1, 0, +1. Соответственно, алгебра Ли д распадается в прямую сумму собственных подпространств: д = q-+h+q+ , где § это алгебра Ли подгруппы Н . Оба пространства являются абелевыми подалгебрами алгебры д , они имеют размерность п — 2 . Подгруппа Н сохраняет подпространства в присоединенном представлении.
Обозначим через C конус [x, ж] = 0, x = 0, в Rn . Возьмем в конусе следующие две точки: s+ = (1, 0,..., 0,1) , s- = (1, 0,..., 0, -1) . Рассмотрим следующие сечения конуса:
г+ = {xi + Xn = 2} = {[x, s-] = -2}, Г- = {xi - xn = 2} = {[x,s+] = -2}
Сечения Г± пересекаются почти с каждой образующей конуса C . Поэтому линейное действие группы G на конусе дает соответствующее дробно-линейное действие группы G на Г± . Для подгрупп Q± = exp q± это действие оказывается линейным: x ^ xg . Кроме того, подгруппы Q± действуют на Г± просто транзитивно. Это позволяет ввести координаты на Г- и на Г+ с помощью векторов £ = (£2, • • •, £n-1) из q- и п = (п2, • • •, пп-1) из q+ , соответственно, а именно, для x € Г- и y € Г+ имеем:
x = (1 + (£,£), 2£, -1 + (£,£)),
y = (1 + (п,п), 2п, 1 -<п,п)),
где - билинейная форма на Rn-2 с матрицей /1 = diag {Л2,..., An-1} . Стацио-
нарная подгруппа в G пары (s-,s+) есть H, следовательно, мы получаем вложение Г- х Г+ ^ G/H. Таким образом, (£, п) из Rn-2 x Rn-2 являются локальными координатами на G/H. Назовем эти координаты орисферическими координатами. Отметим, что:
[x(£),y(n)] = -2N (£,п),
где N(£, п) дается формулой:
N(£,n) = 1 - 2(£,п) + (£,£)(п,п). (1)
Эта функция есть многочлен от £, п степени 2 отдельно по £ и по п . Форма Киллинга Bg(X, Y) = tr (adgX ■ adgY) есть
B0(X,Y) = (n - 2)tr (XY).
Ограничение формы Киллинга B0 на подпространство q = q- + q+ является невырожденной билинейной формой сигнатуры (n - 2,n - 2) . Соответствующая квадратичная форма на q :
B0(X,X) = (n - 2)tr (X2), X € q, (2)
в координатах (£,п) есть
Bg(X, X) = 4(n - 2)(£, п). (3)
Следовательно, матрица квадратичной формы Bfl(X, X) на q в координатах (£, п) есть
0 h
4(n - 2)' /1 0
Напишем в орисферических координатах £, п на G/H инвариантную метрику ds2 , оператор Лапласа-Бельтрами А , инвариантную симплектическую форму и и соответствующую скобку Пуассона. Все они порождаются формой Киллинга B0 на пространстве q , см. (3).
В силу (3) значение метрики в точке х0 (тогда £ = п = 0) есть, с точностью до множителя, Аг (пг . Нормируем метрику так, чтобы в точке х0 она была такой:
Аг (Пг- (4)
Теперь напишем явное выражение для (з2 . Для функции /(£, п) будем обозначать
через / и (п / частичные дифференциалы:
* / = £ §((& • / = £
Теорема1. Инвариантная метрика (§2 на С/Н с нормировкой (4) дается формулой
(з2 = —
где N = N(£, п); в координатах имеем:
(й2 = —(п 1п N, (5)
(з2 = 2 ^ "Ш^к , (6)
где
1 / с^ ^ ™гк = — ^тт^ N
2^ V д£гдпк д£г дпк
АгАк
N 2
^ ■ (Ак5гк — 2£пк) +2 ■ (пг — (п, п)£г) ■ (£к — <£, £)пк) } - (7)
0
X
Доказательство. С помощью разложений Гаусса и анти-Гаусса для всякого элемента д € С определим преобразование £ м £ = £•д пространства q- и преобразование п м п = п°д пространства , соответственно, а именно, £ и п получаются соответственно из разложений
ехр X% ■ д = ехр У ■ Н ■ ехр Ху, (8)
ехр Уп ■ д = ехр X ■ Н ■ ехр (9)
где УК € , XX € q- . Эти действия определены на плотных множествах, зависящих от д. Функция N(£, п) преобразуется при этом следующим образом:
N(£,п) = N(£, п) ■ Х(Н)-1 ■ х(Н), (10)
где Н, Н берутся из (8) , (9) .
Покажем, что для всякого д € С квадратичная дифференциальная форма (п 1п N на С/Н инвариантна относительно преобразований £ м- £ , п м П , задаваемыми формулами (8), (9), то есть что для всякого д € С справедливо
(п 1п N(£, п) = (п 1п N(£, п)- (11)
Формула (10) дает
1п N(у,п) = 1п N(£, п) — 1п х(Н) + 1п х(Н).
В правой части здесь второе слагаемое зависит только от £ , а третье слагаемое зависит только от п. Поэтому дифференциал (п на этих слагаемых обращается в нуль, и мы получаем (11).
1513
Проверим нормировку (4). В силу (1) разложение функции 1пN(£, п) в точке х0 , то есть в точке £ = 0, п = 0 , таково:
1пN(£,п) = —2<£,п> + ... .
Следовательно,
—^^ 1пN(£,п) 0 =2 <^п>,
X0
а это и есть (4).
Формулы (6), (7) сразу получаются из (5) и (1). □
Пусть ад-1 имеет матричные элементы -шгк , тогда
-гк = N2 Аг Ак -кг .
Отсюда и по (6), (7) получаем
-гк=—1ААк СN 92N — =
2 г к у д£к % д£к % / =N ■ (Ак¿к — 26пг) +2 ■ (пк — <П, П>£к) • (£г — <£, £>Пг). (12)
Итак, в переменных ^£2,..., ¿£п-1 , ¿П2,..., ^Пп-1 (всего 2п — 4 переменных) матрица квадратичной формы есть
Ш = ( - 0 ) ■ <13>
штрих означает транспонирование. Определитель матрицы ш равен N2-п det 11 , поэтому определитель матрицы Ш равен N2(2-п) ■ (—1)п-2 , тогда
= ^ |2-п. (14)
Обратная матрица для Ш есть
Ш" К -/-. Ш0"^ ■ (15)
Напомним, что оператор Лапласа-Бельтрами А на многообразии с метрикой = = ^ дг^'дается формулой
А = ^ £ £ £ ^ ■ (16)
" г
где д = | det(gгj)| , (д") - обратная матрица для матрицы (дг") .
Теорема 2. Оператор Лапласа-Бельтрами для нашего многообразия С/Н, отвечающий метрике , см. (6), есть
я2
А = 2 £ °гк • (17)
где коэффициенты шгк даются формулой (12) .
Доказательство. По (16) и по (13), (14), (15) имеем
А/ = * "-2£ ¿£ "2-п -гк £+
к
+ Nп-2У А у N 2-п шкг А (18)
^ дпг ^ д£к
1514
Покажем, что в окончательном выражении для А/ отсутствуют частные производные
д/ д/
первого порядка —— и —- .
д£к д£к
д/
Покажем, что в (18) коэффициент, например, при —— равен нулю. Для этого надо
дпг
показать, что
У N 2-п = 0.
V д£к
к г
Обозначим здесь левую часть через Тг и используем (12). После приведения подобных членов мы получим
T' = -1 * ^ ~ (2 - „ ? Лк^ + ~ E ^ +
л i v- , fdN\2 dN ^ Л d2N dN ,
+ <» - 2) N Е Ы аП- - ? Лк' • (19)
Обозначим для краткости (7, 7) = A , (n, n) = B . Вычисляем:
dN d2N
д^ = -2Лк (nfc - BCfc)) =
Поэтому
v- , d2N
ЕЛ* -qPT = 2(n - 2)B fc k
E Лк 2 = E 4(B - 2(7, n) + B2A) = 4BN,
, d3N . dB
? Лк dTfan- = 2(n - 2) %'
y^ Л dN d2N =1 д y^ Л /dN\2 = 2 /dBN + BdN
Подставляя это в (19), получим, что T- = 0. Аналогично доказывается, что коэффициент
df п
при равен нулю. П
Симплектическая структура w на G/H определяется следующей билинейной формой на q :
w(X, Y) = const • B0(X, ad Zo • Y)• Нормируем ее аналогично (4): ее значение в точке x0 есть
wxo = ^ Е Л- Л dn-. (20)
Теорема 3. Инвариантная симплектическая форма w на G/H с нормировкой (20) дается формулой
w = ^Е w-fc Л d^fc • (21)
-fc
1515
Матрица этой формы в переменных ^£2,..., ¿Пп-1 есть
0 ш ч —ш' 0
Обратная к ней матрица есть
0 —ш'-1 ч ш-1 0
ср. (13), (15).
Для многообразия М с симплектической формой ш = ^ ^хг Л ^х^ скобка Пуассона есть
г" /
где (uij) - обратная матрица для матрицы (wij-) , см. (12). Это дает следующую теорему.
Теорема 4. Для нашего многообразия G/H скобка Пуассона {/, g} , порожденная формой и , см. (21), есть
f ^ = v Г wifc d/ dg + wifc d/ dg = y / -dg — d/ dg
V^ni d£fc d£fc dni
ЛИТЕРАТУРА
1. Tsykina S.V. Realizations of para-Hermitian spaces with pseudo-orthogonal group of translations // Tambov University Reports. Series Natural and Technical Sciences. Tambov, 2013. V. 18. Iss. 6. P. 2831-2835.
2. Цыкина С.В. Операторы Лапласа на пара-эрмитовых пространствах с псевдоортогональной группой движений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2008. Т. 13. Вып. 6. С. 620-631.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952-а, Госзаданием Министерства образования и науки 2014/285, проект № 2476 и Фондом содействия отечественной науке.
Поступила в редакцию 16 мая 2015 г.
Tsykina S.V. DIFFERENTIAL-GEOMETRICAL STRUCTURE OF PARA-HERMITIAN SPACES WITH A PSEUDO-ORTHOGONAL GROUP OF TRANSLATIONS
We study differential-geometrical structure of para-Hermitian symmetric spaces G/H for that the group G is a pseudo-orthogonal group SO0(p, q)
Key words: Lie groups and Lie algebras; pseudo-orthogonal groups; symplectic spaces; para-Hermitian symmetric spaces; invariant metric; invariant symplectic form; Poisson bracket; Laplace-Beltrami operator.
Цыкина Светлана Викторовна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, ассистент кафедры математического анализа, e-mail: [email protected]
Tsykina Svetlana Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Assistant of the Mathematical Analysis Department, e-mail: [email protected]
1516
