Дифференциальная игра между подвижными и неподвижными объектами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

268

%

ИНФОРМАЦИОННЫЕ

ТЕХНОЛОГИИ

уДК 62.501.72 в. И. ПОТАПОВ

Омский государственный технический университет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА МЕЖДУ ПОДВИЖНЫМИ И НЕПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ______________________________________

Дана постановка игровой задачи типа «нападение — защита» для двух игроков, располагающих подвижными и неподвижными объектами соответственно. Приводится детальный алгоритм решения задачи методом дискретизации.

Ключевые слова: игровая задача, игроки, подвижные объекты, неподвижные объекты, алгоритм.

Рассмотрим следующую игру двух лиц. Игрок 1 располагает Ь управляемыми объектами, находящимися в начальных точках Гк0' 1 < к < Ь. Игрок 2 — N единицами защиты, которые он может расставлять в заданной области Г, причем гк0 еГ . Игрок 1 старается поразить к-м управляемым объектом (1 < к < Ь) заданную точку Гк1 е Г которую защищает игрок 2, а игрок 2 старается помешать этому. Обозначим через 1к1 время полёта к-го объекта от точки Гк0 до гк[. Число 1к1 зависит от траектории Гк = гк (^), выбираемой к-м объектом, причем гк(0) = гк0, гк (:1) = Тк[.

На траектории гк = Гк (^) наложим очевидные ограничения:

к, < Тк, (1)

1“ ^)| < Мкдля любогоtе[0,tk[]. (2)

Неравенство (1) диктуется ресурсом двигателя, которым располагает к-й подвижный объект, управляемый игроком 1; неравенство (2) отражает прочностные характеристики к-го подвижного объекта. Из (2) следует, что для любого t е[0, tk[ ]

|?к ^М^ + Уим (3)

|гк ^Mkt2/2 + Укot,

где у0 — начальная скорость подвижного объекта.

Введем, наконец, последнее ограничение на траектории:

гк ^) е V для любого t е [0,4, ], (4)

где V — заданная конечносвязная область в Я3, причем гк0 (1.) е V и Г с V. Это ограничение «запрещает»

для траектории некоторые односвязные области пространства.

Пусть, далее, множество пунктов защиты игрока 2 может быть расположено в О точках (N < О) с заданными координатами с{ = (с1;, с2|, с3|), 1 < I < О. Обозначим множество {с1г с2 сО} через С.

Итак, игроки 1 и 2 обладают каждый Ь А[1, 1 кд (t, гк)] -системами соответственно (д = 1, 2), поведение которых, при аппроксимации марковским процессом [1], описывается уравнениями

Р'к1 = -1кД гк )Рк1 - 1 < к < Ь

Рк2 = к2 (t, -к )Рк2 ,

с начальными условиями рк1(0) = рк 2 (0) = 1, где Ркд (t) — вероятность безотказной работы к-й А-системы, принадлежащей д-му игроку (1 < к < Ь; д = 1,2) к моменту времени t, а 1 кд (t, -к) —интенсивность отказов этой системы, где гк = -к ^) — траектория к-го объекта, управляемого игроком 1.

Интенсивности отказов систем зададим следующим образом:

Ясно, что

bi(Irk - d)

c*) '

I - - ibk

rk - rkf k

bi(x) =

0, если x > gi,

1, если 0 < X < у;.,

—*

где У| — дальность действия пункта защиты с{ игрока 2.

Интенсивность отказов 1 м(^ -к) можно представить в виде

1 к1 (t, Гк ) = 1 к (t, Гк ) + 15Ь-(|7к~Я,

I=1 I -к- с1

где 5 = (81,62,..., 5О) — вектор, определяемый следующим образом:

0, если в точке с1 нет пункта защиты,

1 в противном случае,

а а; = а(с|) .

В качестве функции выигрыша возьмем

Ь Ь

к[г1' г2] = ^ Рк1^к[ ) - ^ Рк2 (tk[ ) ,

к=1 к=1

где е , а — множества стратегий д-го игрока (д= 1, 2).

W1 = {rl(t ),r2 (t)...........rL (t )}

w 2 = {dl, 62..........6r},

где R

где 1 к ((, гк) — интенсивность отказов к-го подвижного объекта, определяемая объективными факторами; С * = {с* с2* с;} — некоторые подмножества множества С (пункты защиты игрока 2); {а(сі*)} — заданная последовательность действительных чисел, отвечающая множеству С *, элементы которой определяются физико-географическими или иными особенностями точки с*; {Ьк2} и {рк| — заданные последовательности действительных чисел, элементы которых определяются физико-географическими или иными особенностями точек гкг, подлежащих защите, и типом к-го подвижного объекта;

Далее, обозначим Ук0 = | -к(0) | и е — точность измерения траектории -к = -к(1.), при которой становится заметно отклонение траектории от касательной в окрестности произвольной точки t0 е [0, tk[].

Теперь для решения задачи можно применить аппарат дискретизации, разработанный в [2] для решения подобных задач.

За временной интервал дискретизации возьмем

число А t = V2е / М , где

М = тах {М,,М2 МЬ}.

Получим оценки для tk[. Очевидно, что

\rk (tf ^ = 1 їк[\ <Отсюда следует

tkf ^ M-(- Vko WVko + 2Mk|rkf|).

Пространственным аналогом временного интервала дискретизации будет шар с радиусом p(At), где

p(At) = (v0 + MAt /2)A t,

V 0 = min {V10 , ^О-- VL0}

M = min {M1, M2 ML}.

Решением задачи является вычисление стратегий z~1 и ~2, для которых

K[zu~2]min max K[z1,z2].

За основу приведенного ниже алгоритма для решения этой задачи, принят разработанный автором в [2] алгоритм 1.

АЛГОРИТМ

1. Задать {1Д г); ^(^, г).....{тю,Гю,..., г10};

{^ V 2о,...,_^о};

{Гіо, Г»..^іо}; {Мі, М2 Мк}; {Гі,Г2 гк};

{у1, У2,..., У0}; {Ь12, Ь22, ..., 2};

{Рі, Ь2,..., Рі}; {с1, С2, ..., с0};

{alr a .....aQ};

N, V.

2. Вычислить Аt; p^t) по приведенным выше формулам.

3. Вычислить

Vko +л/ v„o + 2Mk kk,

4. Вычислить

~к =[(Тк - (Г)/ Аі]- 1 £ к £ і.

5. Выполнить процедуру 6 — 24 этого алгоритма для всех векторов 8 = (81,82,..., 8О), где 8( = о,1 и

81 +82 + • + 8О = N, 1 £ і £ О.

+ V k0tkf

i = 1 r

c

k

2

b

t

kf

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

6. Положить к = 1.

7. Положить у = о.

8. Вычислить (ы = Г + У А(.

9. Положитьі0 = 0.

10. Положитьv = 1.

11. Положить п = V.

12. Вычислить 1к1, Хук2 по формулам

= | р (Р + (А() ) ] | і^((, г)^,

(г-1 ІГ-Гк 1£Р

2

где К = у Аt; ^ = 0; -к = е|п-1; - = (х1 х2,хз);

ёу = ёх^ ёх2, ёх3; д = 1, 2.

13. Для всех целочисленных векторов I =(11, 12, ^)е

е/п, где 1п = /П о /П о У, а множества 1'п, ^ опреде-

ляются следующим образом:

I п

)((г - К )};

У = {і |еі єУ} тк, = еікг,

выполнить процедуру 14— 15 этого алгоритма.

14. Если Іп = 0, идти к 19.

15. Вычислить

К,[Гк ( )] =рк1 ( ) Рк2 ( ),

где рк? () = р^ ((г-1) єхр(- Кч А() я =1 2;

рк? ((т-1) = рк-1 (-1);

Р°кя(о) = 1 Г( ) = Бі .

16. Вычислить вектор іп єІп, для которого

к

у [гкп (К )] = Ш ах ку [гк ( )],

, Е 1п

Гкп (к ) = Біп •

17. Положить V = V + 1.

18. Если , идти к 11.

19. Положить у = у +1.

20. Если у £ *к, идти к 8.

21. Вычислить ~у , для которого

к~ [гк ((м)] = отаХ ку [Гк ((м)].

у о£"і

22. Положить к = к + 1.

23. Если к £ і, идти к 7.

24. Вычислить

с [] = £к~ [Гк ((„)].

к=1

25. Вычислить 8о , для которого

Ф] = ШІП с[].

26. Конец 8о и {Г1((), Г2 ((),..., Г, (()} — искомые оптимальные стратегии.

В пояснение к алгоритму заметим, что ркя (() в п. 15 есть решение уравнений

(Ркд ) = _Кд Ркд; д = 1 2

с начальными условиями ркд ^у _1) = рк_^у _Д которые являются дискретными аналогами уравнений (5), описывающих игру, на интервалах дискретизации.

Библиографический список

1. Ветцель. Е. С. Исследование операций / Е. С. Ветцель. — М. : Сов. радио, 1972. — 550 с.

2. Потапов, В. И. Дифференцированная игра между управляемыми подвижными объектами / В. И. Потапов, С. Г. Братцев ; Омский политехнический институт. — Омск, 1985. — 31с. — Деп. в ВИНИТИ 17.0785, № 6002-85.

ПОТАПОВ Виктор Ильич, доктор технических наук, профессор (Россия), заслуженный деятель науки и техники РФ, заведующий кафедрой «Информатика и вычислительная техника».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 11.05.2012 г.

© В. И. Потапов

£ £

п-1

Б

Книжная полка

Губарев, В. В. Информатика: прошлое, настоящее, будущее : учеб. для вузов по направлению 230100 «Информатика и вычислительная техника» и специальности 080801 «Прикладная информатика» и др. экон. специальностям / В. В. Губарев. - М. : Техносфера, 2011. - 431 с. -ISBN 978-5-94836-288-5.

В пособии излагается взгляд автора на то, что такое информатика, ее состав, основные понятия, концепция описания ее истории и поколений средств вычислительной техники. Особое внимание уделяется хронологии создания базовых средств и технологий информатики, сведениям о лицах, внесших весомый вклад в развитие разных разделов информатики, а также ближайшим перспективам их развития. Содержатся многочисленные справочные, в частности статистические, сведения и перечень междисциплинарных проблемных вопросов, касающихся понятия информации, информатики и ее разделов.В книгу включены учебные и справочные материалы, предназначенные для изучения в рамках учебного процесса при подготовке бакалавров и магистров по направлениям «Информатика и вычислительная техника», «Прикладная математика и информатика», «Программная инженерия», «Системный анализ и управление», «Информационные системы и технологии», «Прикладная информатика» (по отраслям), «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», «Управление в технических системах», «Бизнес-информатика», «Информационная безопасность» и т.д.