CC BY
61Электронный журнал «Техническая акустика» http://www .ejta.org
2008, 13
А. М. Ахтямов1, Г. И. Гарипова2
1 Институт механики УНЦ РАН, 450054, г. Уфа, пр. Октября, 71, e-mail: AkhtyamovAM @mail.ru
2 ГОУВПО БашГУ, 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, e-mail: [email protected]
Диагностирование механической системы с двумя степенями свободы по собственным частотам и амплитудам её колебаний
Получена 30.04.2008, опубликована 20.05.2008
Механические системы, состоящие из тел с массами, соединенных пружинами, является составной частью многих технических конструкций, находящих широкое применение в различных областях деятельности человека. Известно, что коэффициенты жёсткости пружин и обобщенные массы со временем могут менять свои значения в связи с изношенностью. Поэтому определение коэффициентов жёсткости пружин и обобщенных масс важно для проверки надежности работы механической системы. Об этих характеристиках чаще всего можно судить после разборки устройства, но этот процесс может быть опасным, трудоемким, дорогостоящим и может привести к нарушению приработки деталей. Поэтому в настоящее время интенсивно развивается акустическое диагностирование, решающее задачи оперативного контроля технических конструкций по собственным частотам и амплитудам её колебаний. В настоящей статье предлагается метод, который позволяет восстановить коэффициенты жёсткости пружин и обобщенные массы в механической системе с двумя степенями свободы по значениям собственных частот и амплитудам её колебаний.
Ключевые слова: неразрушающий контроль, амплитуда колебания,
собственные частоты, коэффициенты жёсткости пружин, обобщенные массы.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время получило широкое развитие направление, возникшее на стыке теории механизмов с акустикой [1-3], решающее задачи безразборной диагностики технических конструкций. Это направление называется акустической диагностикой. Оно позволяет при диагностировании какой-либо недоступной для визуального осмотра части механической установки сложной структуры проводить анализ её технического состояния, не используя дорогостоящую разборку и не нарушая приработку деталей. Это удобный и наиболее безопасный способ, не требующий больших затрат времени.
Ранее теоретические задачи акустического диагностирования систем, состоящих из тел, соединённых пружинами, решались в [4, 5]. В этих работах были найдены коэффициенты жёсткости пружин сj, считая массы тел m}- известными. В нашей же
статье мы считаем неизвестными как с, так и т. Также подобные задачи
рассматривались в [6-10], где проводили акустическую диагностику закреплений струн, мембран, стержней, пластин и цилиндрических оболочек.
1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА
Прежде чем поставить обратную задачу, напомним прямую.
Общий вид дифференциальных уравнений движения может быть получен в форме уравнений Лагранжа, которые при консервативных силах имеют известную из курса теоретической механики форму [11, 12]:
Также известно, что при малых движениях голономной системы со стационарными связями около положения равновесия кинетическая энергия в канонической форме и потенциальная энергия следующим образом выражаются через обобщенные координаты:
где Т и П — кинетическая и потенциальная энергии, сук — обобщённые
коэффициенты жёсткости или квазиупругие коэффициенты, а у — коэффициенты
инерции или инерционные коэффициенты (иногда их называют также обобщёнными или приведёнными массами), qj и ¿[у — обобщённые координаты и обобщённые
скорости, у = 1, 2 — номер координаты. Число степеней свободы равно двум.
Если соответствующее нулевым значениям координат положение равновесия устойчиво, то потенциальная энергия в этом положении имеет изолированный минимум, а второе из выражений (2) есть положительно определённая квадратичная форма. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялся критерий Сильвестра. В этом случае система, выведенная из положения равновесия, совершает свободное колебание [13].
Подставив выражения (2) в уравнение Лагранжа, получим следующую систему линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
к=1
Если условие устойчивости равновесия выполнено, то общее решение этой системы дифференциальных уравнений имеет вид:
где к1 — собственные частоты, Л}1 — амплитуды колебаний (первый индекс означает номер координаты, а второй — номер собственной частоты).
М {бд- J бд- бд-
(1)
(2)
аді +Е= о, ] = 1 2.
(3)
(4)
і=і
При подстановке частного решения в уравнение (3), получим систему алгебраических уравнений, однородную относительно неизвестных амплитуд Л-і. При
колебаниях все Л}1 не могут равняться нулю; поэтому, согласно общему свойству
однородных систем, должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов этой системы. Приравняв определитель к нулю, получим частотное уравнение, решив которое, найдём спектр собственных частот. Для рассматриваемых систем, совершающих движение около состояния устойчивого равновесия, все корни этого уравнения вещественны и положительны.
Эта же система позволяет выразить все амплитуды Л-і через какую-либо одну из
них, например через первую. Каждому корню частотного уравнения будет соответствовать своя собственная форма, определяемая отношениями:
Так решается прямая задача определения собственных частот и амплитуд колебаний механической системы с известными т1, т2, с1, с2. В настоящее время эта задача достаточно хорошо изучена [11].
2. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, состоящую из двух тел с массами т1 и т2, соединенных двумя пружинами, жесткости которых соответственно равны с1 и с2 (см. рис. 1.). Пружины будем считать безмассовыми. За обобщенные координаты q1, q2 примем горизонтальные перемещения х1, х2 грузов, отчитывая эти перемещения от состояния равновесия, в котором пружины не деформированы. Пренебрегаем действием сил трения.
Сформулируем теперь обратную задачу. Амплитуды колебаний Л-і и спектр собственных частот кі нам известны. Требуется найти коэффициенты жёсткости пружин с - и массы тел т-, где і =1, 2.
(5)
Рис. 1.
СІ
Механическая система
т 1
ш2
3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Запишем для исходной механической системы уравнения (3), положив
Подставим частное решение системы дифференциальных уравнений
Получили систему четырёх линейных однородных уравнений с четырьмя неизвестными. Однородная система всегда совместна, так как она имеет тривиальное решение. Поскольку ранг матрицы г не может превосходить размера матрицы
г < 4. Если г < 4, то система линейных однородных уравнений имеет бесчисленное множество решений. Если г = 4, то соответствующая система имеет единственное, причём тривиальное решение. Эти два случая нас не интересуют.
Предположим, что одно из значений т1, т2, с1, с2 (т1 Ф 0, т2 Ф 0, с1 Ф 0, с2 Ф 0)
нам известно. Тогда будем иметь систему четырех линейных алгебраических неоднородных уравнений с тремя неизвестными. Согласно теореме Кронекера-Капелли, полученная система будет совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Допустим, что нам известно значение т1. Расширенная матрица в этом случае будет иметь вид
т13с1 + с1х1 - с2 (х2 - хх) = 0, т2Х2 + С2 (х2 - Х1 ) = 0
(6)
Ч- = Л;>пх + Рг ^ соответствующее собственной частоте к, в данную систему:
т1к1 Л11 + (с1 + с2) А11 с2 ^21 0,
—т2к1 ^21 — с2 Л11 + С2 Л21 ~ 0,
<
—т1к2Л12 + (С1 + С2)Л12 — С2Л22 ~ 0, —т2к2Л22 — С2Л12 + С2Л22 ~ 0.
(7)
Перепишем (7) в виде
к1 Л11т1 + А11С1 + (Л11 А21)С2 0,
-к1 А21т2 + (Л21 — Л11 )С2 ~ 0,
< . —к2Л12т1 + С1Л12 + (Л12 — Л22 )С2 ~ 0,
^—к2Л22т2 + (Л22 — Л12)С2 ~ 0.
(8)
(0 < г < шіп{п, т}, где т — число уравнений, п — неизвестных), то, очевидно, что
0 ¿11 ¿11 ■ 1 2 к12 ¿11т
> 0 — ¿11 + ¿21 0
0 ¿12 ¿12 "¿22 к 2 ¿12 т
0 ¿22 — ¿12 0
Преобразуем эту матрицу к виду
к1 А21 0
0
0
0
¿и
0
0
- А11 + А21
А11 — А21
А А — А А
21 12 22 11
к12 ¿11т1
т1 ¿12 (к 2 — к1 ) 0
где I=
¿22 ¿11к 2 ¿21 ¿22 к 2 ¿21¿12 к1 + ¿22 А21к1
к12 ¿.
21
В последней строчке имеем 1с 2 = 0.
Так как по условию с2 Ф 0, следовательно I = 0. Получили нулевую последнюю строчку. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, то есть трём. Ранг основной матрицы также равен трём. Следовательно, система совместна. А так как ранг равен числу неизвестных, то у системы будет единственное решение. К аналогичному выводу мы придём, если будем считать, что известны либо т2, либо с1, либо с2.
Таким образом, нам удалось показать, что если одно из значений т1, т2, с1, с2 (т1 Ф 0, т2 Ф 0, с1 Ф 0, с2 Ф 0 ) известно, то остальные однозначно определяются по набору собственных частот и амплитудам колебаний механической системы.
В ходе вычислений были получены следующие расчётные формулы. Если известно
т1, то
т1 ¿12 ¿11 (к2 к1 ) _ к1 ¿11т1 (¿11 ¿21 )С
^ , , ................... А21/^2 (¿11 ¿21 )С2
С2 = , V ; / , с1 = ——2^, т2 = 11 , 2 2 2;
¿ ¿ ¿ ¿
21 12 22 11
11
— к2 A
1 21
С2
¿21к1 т2 ¿21 — ¿11
С1 =
к2 ¿12 С2 (¿11 ¿21 ) + к1 ¿11С2 (¿22 ¿12 ) ¿11 ¿12 (к1 — к2 )
т1 =
¿11С1 (¿11 ¿21)С2 . — к2 ¿11 ’
С1:
¿11 ¿12 С1(к 2 к1 )
k2¿l2(¿21 ¿11 ) + ^¿11^12 ¿22 )
т = (¿11 ¿21)С2 т = ¿11С1 (¿11 ¿21)С2 .
2 _ ,2 л ’ ГП1 — , 2
— к2 A
1 21
— к1 ¿11
С 2 •
к2 ¿12 С2 (¿11 ¿21 ) + к1 ¿11С2 (¿22 ¿12 ) ¿11 ¿12 (к1 — к 2 )
(¿11 -¿21 )С 2 — к1 ¿21
, т1 =
— ¿11С1 — (¿11 —¿21)С2 — к12 ¿11
0
I
т2 •
С1
т2
4. ПРИМЕР
Пусть известны собственные частоты kf « 0,725, k^ « 8,275, a также амплитуды колебаний = 1, A12 = 1, А21 = 1,569 , А22 = -0,319 . Найдём коэффициенты жёсткости пружин с1, с2 и массы тел m1, m2.
Подставим известные нам данные в систему (8):
-0,725m1 + Cj - 0,569c2 = 0,
-8,275m2 + с1 +1,319c2 = 0,
-1,137m2 + 0,5687c2 = 0,
2,637m2 - 1,319c2 = 0.
Эта система будет иметь ненулевое решение только тогда, когда будет известно одно из значений m1, m2, с1, с2 (m1 Ф 0, m2 Ф 0, c1 Ф 0, с2 Ф 0). Так, например, если будет
известно, что с2 = 4, то можно найти, что
c = k2 A12 C2(A11 - A21) + k1 A11C2 (A22 - A12) = 3 m = (A11 - A21 )C2 = 2
о-) 3 , m2 о 2 ,
1 A„42(k2 -k22) 2 -k2Л
m1 = - Anc - ( А - A21)C2 = 1. (Аналогично с с1 ).
- k1 A11
Те же результаты можно получить, зная либо m1, либо m2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решенная задача позволяет диагностировать механические системы, состоящие из тел, соединённых пружинами. Найденные формулы дают способ определения неизвестных масс и коэффициентов жёсткости пружин по набору собственных частот и амплитудам колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
1. Артоболевский И. И., Боровицкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.
2. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987.
3. Павлов Б. В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971.
4. Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration. Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986.
5. Gladwell G. M. L. Inverse problems in vibration-II. Appl Mech Rev, vol. 49, №10, part 2, 1996.
6. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам её колебаний. Известия РАН, МТТ, №6, с. 137-147, 2003.
7. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений. Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, № 7, с. 51-52, 2004.
8. Akhtyamov A. M., Moufrakhov A. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies. Inverse Problems in Science and Engineering, vol. 12, №4, p. 393408, 2004.
9. Ахтямов A. M., Сафина Г. Ф. Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2004, 19.
10. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления прямоугольной мембраны по собственным частотам её колебаний. Акустический журнал, т. 52, № 2, с. 1-4, 2006.
11. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1991.
12. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960.
13. Кузьмин П. А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1973.
14. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-томах. Под. ред.
И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, т. 1. 1968.
15. Вибрация в технике. Справочник, т .1. Колебания линейных систем. Под ред.
В. В. Болотина. М.: Машиностроение. 1978.
16. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978.
