Децентрализованное Адаптивное управление многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию и управлению с компенсацией влияния запаздывания в управляющем воздействии Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 62-506.1(017)

Е. А. Паршева Астраханский государственный технический университет

ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ И УПРАВЛЕНИЮ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ВЛИЯНИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В УПРАВЛЯЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Введение

Задача управления многосвязными системами в условиях априорной неопределенности всегда привлекала внимание многих исследователей [1-7]. Наличие большого числа связанных между собой управляемых и управляющих величин, которые влияют друг на друга, усложняет традиционные проблемы управления, и на передний план выдвигается требование децентрализации [3, 4]. Использование децентрализованных алгоритмов отвечает самой природе больших взаимосвязных систем, поскольку она предполагает распределенность компонент системы в пространстве, а децентрализованная структура управления позволяет получить более качественные и надежные системы управления, так как приближает управляющий орган к объекту и значительно упрощает структуру системы [8].

В задачах автоматизации технологических процессов часто встречаются объекты, содержащие запаздывание в управлении. Хорошо известно [9-12], что для качественного управления объектами такого класса необходимо иметь прогнозирующие устройства для прогноза значений регулируемых величин [13-19].

В данной статье исследуется задача децентрализованного адаптивного управления многосвязными объектами с запаздыванием по управлению, в которой запрещен обмен информацией между подсистемами управления. В работе развивается подход, исследованный в [8, 18] с использованием адаптивного предиктора, и показывается, что синтезированные алгоритмы обеспечивают как выполнение основной цели управления, так и прогноз значений регулируемых величин.

Постановка задачи

Рассмотрим взаимосвязную систему, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются уравнениями

м

Х = АХ ({) + Вгиг ({ ~ К ) + X , І ф j,

j=1 _____________ (1)

х. (0) = х0., и (5) = 0, 5 е [-И. ;0], i = 1,М,

где xt е Rn‘, ut е R; элементы матриц At е Rni ni и Bt е Rn‘ зависят от

вектора неизвестных параметров £ еН, где Н - известное множество

возможных значений вектора £; Lt]. е Rn - неизвестные векторы, элементы которых, в общем случае, - ограниченные непрерывные неизвестные функции; h - известное время запаздывания в управлении.

Децентрализованное адаптивное управление для таких систем определяется как задача построения таких M локальных блоков адаптивного управления, каждому из которых доступна только текущая информация

о системе. При этом требуемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей:

Z. = A Z. (t) + B r (t), x . (t) = Z. (t - h),

~t mt^t^t mi t v■'* mi' t ~t v it' (2)

Zi (0) = Zoi, i =

n

Здесь Zi e R ', r e R; r (t) - скалярные задающие воздействия, которые являются кусочно-непрерывными ограниченными функциями; Ami, Bmi - числовые матрицы соответствующих порядков.

Эталонная модель для объектов с запаздывающим управлением должна содержать запаздывание, по величине большее или равное величине задержки управления в объекте. Однако в данном случае уравнение модели (2) не содержит запаздывания, оно присутствует в уравнении выхода, что позволяет получить прогноз значений вектора Xmi (t + К ) = Zi (t).

Пр е д п о л о ж е н и я:

А.1. Пары (AiBi) являются управляемыми.

А.2. Выполнены условия согласования локальных подсистем и эталонных моделей A, = Ami + BiV-0i , Bmi = B,k0,, k0. > 0, где ^0f А; и k0i— неизвестные вектор и скаляр, зависящие от вектора £ еН.

А.3. Матрицы Ai и Ami гурвицевы для любых £ еН, и объект управления является устойчивым при ui = 0.

А.4. Элементы векторов Ltj (t) и скаляры rt (t) - ограниченные функции.

Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевых условий

lim е t (t) = lim (х. (t) - xmi (t)) = 0 (3)

t^« t^«

для любых £ еН, x0t, Z0t. При этом в локальных системах управления не допускается использование измеряемых величин других подсистем. Это классическая постановка задачи [20] адаптивного управления с эталонной моделью.

Следует отметить, что для обычных динамических систем не требуется устойчивость системы, т. е. гурвицевость матриц At, но при наличии

произвольного запаздывания в управлении, даже для систем первого порядка, это условие обязательно [10].

Адаптивный предиктор состояния объекта управления

Введем вспомогательный вектор, который формируется на основании следующего уравнения:

хі = аоіХі + воіУі ( + ¡її). (4)

Здесь Уі - дополнительное управляющее воздействие для управления процессом прогноза. Предположим, что выполнены условия структурного согласования объекта управления (1) и вспомогательного контура

(4) [18, 20]:

4 = А + ВіЯ0ї, в0і = Вік0і, 4 > 0, (5)

где Я0і и к0і - неизвестные вектор и скаляр, зависящие от вектора £ є5; матрицы Аоі гурвицевы.

Введем два вектора ошибок:

Оі (0 = х (ї - к) - х. (ї), (6)

Є (ї) = х(ї) - Сі(ї). (7)

Очевидно, что при выполнении условий

Ііт оі (ї) = 0,

Ііт е і (ї) = 0

справедливо (3), так как из оі ^ 0 следует хі(ї) ^ хі (ї + кі), а из е і ^ 0 имеем хі (ї) ^ хті (ї + кі) при ї ^ да . Иными словами, обеспечивается прогноз значений вектора хі на время кі вперед и выполняется цель управления (3), е і (ї - к) - Оі (ї) = х. (ї) - хті (ї) = Єі (ї).

Принимая во внимание (5), из (1) и (4) получим следующее уравнение для ошибки прогноза (6):

м

Оі = А°і- ВіД0і ■хі(ї - ¡і) - Віиі( - ¡і) + В0і^і(ї) - Ві ^ Цх].

І=1

Введем векторы:

юДґ- к) = \хг(і- кX и(ї - к)]

С0і = к0і !Я0і, 0і тогда уравнение ошибки прогноза примет вид

(8)

j=l

Зададим вспомогательный закон управления в виде

V(ґ) = сдоюдґ - к)+~(0,

V і (ґ + Ні ) = + Ні )<»,.(t) + ~(ґ + ^ X

(9)

где Сг- - вектор настраиваемых параметров, структура которого аналогична структуре вектора С0г-; ~Д0, ~(/ + hi) - скаляры, алгоритмы которых подлежат определению.

В данном случае невозможно сразу построить алгоритм настройки-вектора Сi (V+h i) с использованием ошибки о ДО = х( - к) - х1. (V) в силу отсутствия информации о значении регулируемой величины х 1 (V + к) в момент времени V, поэтому строится алгоритм по задержанной ошибке

оi (V), а затем берется С1 (V + ) = С1 (t).

Для синтеза алгоритмов настройки векторов С1 и закона изменения скаляров ~ (/' = 1,М) воспользуемся квадратичным критерием абсо-

лютной устойчивости нелинейных систем [21], применение которого в теории адаптивных систем рассмотрено в [14-15].

Выделим в (8) линейную и нелинейную нестационарные части:

В соответствии с квадратичным критерием [21], если линейные части (10) стабилизируемы, а они стабилизируемы, поскольку матрицы А1 -

(12) для любых £ єн, то при выполнении неравенства (11) ог-, иг- є ¿2. Следовательно, хі (ґ) ^ хі (ґ + Ні) при ґ ^ да , а значит, выполнен прогноз значений вектора состояния.

Утверждение 1. Если матрицы Аі и А0і - гурвицевы, выполнены

ляющие воздействия иі - ограниченные функции, тогда алгоритмы

(11)

гурвицевы, и выполнены частотные условия Re g¡'(7'ю Іпі - Аі) 1 В0і > 0,

неравенства (12) и условие (5) для любых £ єн и ю є (-да, да) и управ-

Ci(t) = Ci(0) - Г юг (t - ^) g'lQl - J Г2г юг ^) g;o(s)ds

0

~(t) = 0, (t )sign (°g),

~(t) = 0,-(t + h )sign (<ЯД.), 0,-(t + hi) = 0,-(t),

0, =-5, lGig обеспечивают выполнение целевых условий

lim (Х, (t) - x, (t + h,)) = 0,

t

(13)

(14)

где Г1г-, Г2,, Н / - положительно-определенные симметричные матрицы; 5г- > 0 - коэффициенты усиления.

Доказательство. Линейная часть (10) стабилизируема, так как матрицы А/ гурвицевы, и при и/ = 0 она асимптотически устойчива. В связи с этим при выполнении условий утверждения достаточно показать, что неравенство (11) выполнено, т. е. алгоритмы (13) должны обеспечить выполнение условия (11). Подставим значения и / из (10) в (11):

t M

Ч,=Л

0 2=1

г

- °i(s) g,

1

л'

(С, - Со, )'ю, (s - h) + ~ (t) + ^ 2 Lj (s)Xj (s)

t0i j=1

ds. (15)

Принимая во внимание гурвицевость матриц А/, ограниченность элементов векторов Lij и скаляров и1, воспользуемся оценками:

M

- s'gA-1 ZLj (t)xj(t) - - ф,

j=1

ф; - sup

M

k-J2 Lj (t) Xj (t)

j=1

Тогда, подставив (13) в (15), получим

м (t

П1 ^ Е I (о/ (5)§1 )2Ш (t - Ь1 )ГцШ (' - ь )ds +

+

+

} о;(s) g,

0

1 |°;(s) gi

J о; (*,) gi г2; Ш, (*,-h d+Co,-c, (0)

5; J |°i M g;|d^- Ф;

Ш; (s-h; )ds + (16)

i=1v 0

Очевидно, что первый интеграл в (16) положительный. Во втором и третьем интегралах введем обозначения:

Л- (?) = 1 о'&Г2г ш, (^ - к №+Со, - с, (0),

0

./2, С?) = 5,1 |о' (А0£,^- ф,

0

Тогда из (16) имеем

В силу ограниченности начальных условий и управляющих воздействий интегральное неравенство (11) выполнено с величиной уь определяемой выражением (17). Тогда, в соответствии с квадратичным критерием [21], о, е¿2, иг е L2, т. е. выполнены целевые условия (14). Ограниченность настраиваемых параметров следует из (13) в силу ограниченности управляющих воздействий, гурвицевости матриц А, и условия о, е ¿2 .

Децентрализованное управление динамической взаимосвязной системой

Введем блочно-диагональные матрицы:

А = 4— Ам}; А = diag{Аш1,..., Атм};

В = diag{B1,..., Вм }; Со = diag{Cо1,..., С(Ш };

Вт = diag {Вт1,..., В„м }; В0 = diag{B01,..., В0М }

Цо = &^{Ц01,.,Ц02};

^0 = ^ав{^01,...,^0М};

и векторы:

х = со1(х1,...,хм); и($ - к) = со1(и1 (t - hí)

С=со1(^1,...,См); V ^+к) = со1 V; (t+к) г = со1(г,...,,Гм); ш = со1(®1 ,...,Шм);

хт = Col(xm1,...,хтм); х = Col(X1,...,хм)

,...,им ^-км)); ,...Ум ( + км ));

Тогда уравнения системы (1), моделей (2) и вспомогательного контура (4) в составной форме примут вид:

x = Ax + Bu(t-h) + BL'x,

Z = AmC + ВтГ, Xm = Z(t - h),

x = Ajc - Вц'0£ + B0V (t + h),

M

где x e ; xm e ; x e ; n = ^i; L - блочная матрица с блоками L¡j .

¿=1

Преобразуем уравнение прогнозатора

x = Ax - B^0x + B0 V(t + h) ± C0ro) ± BL'x(t + h), или для каждой подсистемы отдельно

M

(у(t + h) - С0ш)-^о“12У (t + h) У=1

+

xi = 4-Х,- + во

+ Biui(t) + + Bi 2Lí]x](t + hi) = 4xi + B0iui(t + hi) + (18)

M

u

ii

У=1

M

+ Biui (t) + Bi 2 L ХУ (t +h ).

У=1

Поскольку иі (t + hi) є ¿2, на основании утверждения 1, эту составляющую можно не учитывать. Поскольку с помощью того же утверждения 1 было доказано, что хі ^ хі (t+hi), то уравнение (18) примет вид

м

х = 4хі + Віиі(t)+Ві 2 ¿чх і. (19)

І=1

Из уравнений (19) и (2), с учетом (А.2), получим уравнение ошибки (7):

Єі = АтіЄі + ДКі (Єі + Сі ) +

М ,! *\ (20)

+ Віиі “ Вті Гі + Ві 2 ¿І (еІ + С І )

І=1

Введем блочно-диагональные матрицы ко = diag{kol,...,ком}А = «^Ал^-Ам} и векторы е = ^(еь.^ем):

©2 = [Є, Г],

Ро = [“М^ ко].

Зададим основной закон управления в виде

/“01 ^2 " L\M " 0 L12 " Lm

L21 “02 •• ^М ; L = ^1 0 •• ^М

^М1 ^ 2 ' • “0М _ Ам 1 LM 2 ' 0

и(() = Р'ш2 + ~, (21)

где Р - блочная матрица настраиваемых параметров, структура которой аналогична структуре матрицы Р0; и - вектор, алгоритм которого подлежит определению.

Введем матрицы L =

тогда уравнение ошибки (20) в составной форме примет вид

е = Ате + В(р -Р0) ю2 + Ви + в(ь'е + Ь%), (22)

или для каждой локальной подсистемы уравнения ошибок примут вид

г м / ~ \

е = Ат1е1 + В г (В,. - р0г) ю2г + Виг + В Т(Ц1е1 + Ц.£,).

, , § 0, / 2, 11 , \ и ^ и ^^ )

}=1

Для синтеза алгоритмов настройки векторов Р,- и скаляров и,-( = 1,..., М) воспользуемся квадратичным критерием абсолютной устойчивости нелинейных систем [21], применение которого в теории адаптивных систем рассмотрено в [14-15].

Для этого выделим в (22) линейную и нелинейную нестационарные

части:

е = Ае + и

и3 = -и

и2= -

В(р-р0)ю2 + Ви + В(Ц'е + Ь%) , сформируем интегральную связь

П2 =| (е'(ФС?) + к2в'(5)Ни2 (?))* > - у2, У2 > 0,

(23)

(24)

где к2 > 0 - пока неизвестная константа; Н - положительно-

определенная матрица.

Если выбрать алгоритмы изменения векторов Р,- и скаляров и,- как частное решение неравенства (24), то для выполнения

Ііт е(і) = 1іт( х(і) - £(і)) = 0,

І І

(25)

в соответствии с [21], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось частотное условие

1 *

Re HW (}ю) >— W ((}ю) для любых ю е (-да, да), где

k 2

W(}ю) = (}<ю1п - Ат )-1. Принимая во внимание то, что матрицы Н и Ат являются блочно-диагональными, получим систему неравенств для каждой подсистемы:

1 * ------------------

Re НЩ (}ю) > — W( }юЖ, (}ю), ,= 1, М. (26)

k 2

Учитывая произвольность выбора константы k 2, получаем, что всегда можно подобрать k2, если выполнено неравенство Яе Н^ (}ю) > 0, т. е. матрицы Н^, (}ю) должны быть строго положительно вещественными (СПВ), что эквивалентно определению матриц Н, из уравнений Ляпунова:

Н ,Ат, + Ат ,Н, =-<2,, (27)

где Qi - произвольные положительно-определенные симметричные матрицы.

Утверждение 2. Пусть выполнены условия (А.1)-(А.4), матрицы Н определяются из уравнения (27). Тогда алгоритмы

t

р, (I) = в (0) - г>,А'НД - Jг1i ю„ ндж,

0

~(I) = т, (Г^щп(е;нД), (28)

*,=-82,и;н,д,|

обеспечивают выполнение целевых условий (25), а следовательно, и (3). Здесь Гз,, Гц - положительно-определенные симметричные матрицы; Ъ2, > 0 - коэффициент усиления.

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству утверждения 1 в [8], поэтому здесь не приводится.

Рассмотрим нестационарную динамическую систему шестого порядка, которую представим в виде двух подсистем:

" 0 1 0 " " 0" " 0 0 0

Х^) = 0 0 1 х^) + 0 - 1) + 0 0 0 ¿2 (),

- 50 - 40 - 20 10 - 5 -2 -1 + sin(t)

" 0 1 0 " " 0 " 0 0 0 "

^) = 0 0 1 ¿2(t)+ 0 и2(1: -1) + 0 0 0 х (t).

- 40 - 30 -10 10 -1 -2 1 + sin(t)

Нестационарная система устойчива при = 0, и матрицы А1, А2 гурвицевы. Уравнение локальных эталонных моделей имеет вид

" 0 1 0 " "0"

* ті V) = 0 0 1 Хті « + 0

-1 4 - -1 1

г.і (t), і = 1,2,

где г1 (t) - единичный входной сигнал. Вспомогательный контур задан уравнением (4), в котором выбраны параметры А0г- = Аш, В01 = Вш . Вспомогательный и основной законы управления, а также алгоритмы настройки их параметров формируются в соответствии с (9), (21), (13) и (28), где матрицы Г1 = diag(0,5), Г2 = diag(1), Г3 = diag(5), Г4 = diag(10), 5г- = 2, Ъ2, = 0,1. Зададим матрицу Qi единичной и найдем матрицу Нг- из

2,5 1,5 0,5"

уравнения (27):

Ні =

і = 1,2. Проверим справедливость

1,5 4 0,5

0,5 0,5 1

неравенства (12), представив матрицу Аі объекта управления в виде

"0 1 0"

Аі = 0 0 1 , где аі є [10;50], і = 1,2,3

- аз - а 2 —а

Ие- Аі) 1 В0і =

4 2

(а1ё3 - ё2)ш + (а2g2 - аlgl - а3ё3)ш + а3gl 2 2 3 2

(аз — а^ ) + (а2® — ш )

Очевидно, что для выполнения неравенства (12) должны выполняться условия:

10ё 3 > ё 2 ,

10ё 2 > 50ё1 + 50ёз,

так как аі є [10; 50]. Выберем векторы ё' = [0,1; 5; 0,8].

Моделирование на ЭВМ показало хорошую работоспособность синтезированных систем.

Заключение

В настоящей работе удалось получить полностью децентрализованную адаптивную систему с запаздыванием по управлению с эталонными моделями локальных подсистем, т. е. для формирования управляющих воздействий и в алгоритмах настройки используются только измеряемые переменные локальных подсистем.

Основным результатом данной статьи является компенсация влияния запаздывания на качество и устойчивость взаимосвязной системы. Показано, что адаптивный предиктор осуществляет прогноз значений регулируемой величины, а предложенные алгоритмы управления обеспечивают нулевые ошибки слежения за локальными эталонными моделями в условиях априорной неопределенности параметров подсистем и взаимо-

связей. Кроме того, применение адаптивного предиктора позволяет использовать для объектов с запаздывающим управлением богатый арсенал методов синтеза адаптивных систем управления, разработанных для систем без запаздывания.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Фрадков А. Л. Адаптивное управление в сложных системах. - М.: Наука, 1990.

2. Ядыкин И. Б., Шумский В. М., Овсепян Ф. А. Адаптивное управление непрерывными технологическими процессами. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

3. Ioannou P. A., Kokotovich P. Adaptive systems with reduced models. - Berlin: Springer Verlag, 1983.

4. Gavel D. T., Siljak D. D. Decentralized adaptive control: structural condiitions for stability // IEEE Trans. Automat. Control. - 1989. - Vol. 34, N 3. P. 413-426.

5. Ortega P., Herrera A. A solution to the decentralized adaptive control: A new model reference scheme // IEEE Trans. Automat. Control. - 1993. - Vol. 38, N 2. P. 1717-1727.

6. Ioannou P. A. Decentralized adaptive control of interrcennected systems // IEEE Trans. Automat. Control. - 1983. - Vol. 31, N 4. - P. 362-367.

7. Миркин Б. М. Адаптивное децентрализованное управление с модельной координацией // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 1. - С. 90-100.

8. Паршева Е. А., Цыкунов А. М. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами // Автоматика и телемеханика. - 2001. - № 2. -С. 135-148.

9. Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. - М.: Машиностроение, 1973.

10. Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. - М.: Наука, 1981.

11. Клюев А. С., Карпов В. С. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. - М.: Энергоатомиздат, 1990.

12. Солодовников В. В., Филимонов А. Б. Упреждающее управление линейными стационарными объектами с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. -1982. - № 11. - С. 57-60.

13. Цыкунов А. М. Адаптивное управление объектами с последействием. - М: Наука, 1984.

14. Цыкунов А. М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем. - Фрунзе: Илим, 1990.

15. Цыкунов А. М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. - 1983. - № 1. - C. 122-129.

16. Hasanul Basher A. M., Mukundan R. Model reference control of uncertain systems whith time delays in plant state and controll // Jnt. J. Syst.Sci. - 1987. - Vol. 18. -P. 1609-1626.

17. Cheres E., Palmor Z., Gutmon S. Mim-Max. Predector control for uncertain systems whith input delays // IEEE Trans. Aautomat. Contr. - 1980. - Vol. 35. -P. 210-214.

18. Цыкунов А. М. Адаптивное управление с компенсацией влияния запаздывания в управляющем воздействии // Изв. РАН. Теория и системы управления. -2000. - № 4. - С. 78-81.

19. Миркин Е. Л. Синтез прогнозирующего устройства для систем с запаздыванием по управлению // Вестн. МУК. - №1(5). - Бишкек, 1999.

20. Фомин В. Н., Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. - М.: Наука, 1982.

21. Лихтарников А. Л., Якубович В. А.: прил. к кн. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. - М.: Наука, 1983.

22. Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. - М.: Наука, 1975. С. 74-180.

Получено 8.09.2004

THE DECENTRALIZED ADAPTIVE CONTROL BY MULTILINKED OBJECTS WITH INFLUENCE COMPENSATION DELAY IN INFLUENCE CONTROLLING

E. A. Parsheva

The task of the decentralized adaptive control by multilinked systems with control delay is researched. In local regulators the exchange of information among subsystems is prohibited.

These regulators with the use of the predictor of the controlled value are built here.