Децентрализованное адаптивное управление многосвязными объектами с запаздыванием по состоянию и управлению Текст научной статьи по специальности «Математика»

АВТОМАТИКА, УПРАВЛЕНИЕ И ТЕХНИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА

УДК 62-50

ДЕЦЕНТРАЛИЗОВАННОЕ АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ МНОГОСВЯЗНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ И УПРАВЛЕНИЮ

© 2004 г. Е.А. Паршева

Введение

Задача управления многосвязными системами в условиях априорной неопределенности всегда привлекала внимание многих исследователей [1 - 7]. Наличие большого числа связанных между собой управляемых и управляющих величин, которые влияют друг на друга, усложняет традиционные проблемы управления и на передний план выдвигается требование децентрализации [3, 4]. Использование децентрализованных алгоритмов отвечает самой природе больших взаимосвязных систем, поскольку она предполагает распределенность компонент системы в пространстве, а децентрализованная структура управления позволяет получить более качественные и надежные системы управления, так как приближает управляющий орган к объекту и значительно упрощает структуру системы [8].

В задачах автоматизации технологических процессов часто встречаются объекты, содержащие запаздывание в управлении. Хорошо известно [9 - 12], что для качественного регулирования объектами такого класса необходимо иметь прогнозирующие устройства для прогноза значений регулируемых величин [13 - 19].

В данной статье исследуется задача децентрализованного адаптивного управления многосвязными объектами с запаздыванием по управлению, в которой запрещен обмен информацией между подсистемами управления. В работе развивается подход, исследованный в [8, 18], с использованием адаптивного предиктора и показывается, что синтезированные алгоритмы обеспечивают как выполнение основной цели управления, так и прогноз значений регулируемых величин.

Постановка задачи

Рассмотрим взаимосвязную систему, динамические процессы в локальных подсистемах которой описываются уравнениями:

м

х, = М (?) + Цхг (/-т,) + Бщ, (( - к,) +^Б1Ц]х], I Ф ],

;=1 (1)

хг(9) =щ(9),9е [-тг;0], и,(5) = 0, 5е [-к,;0], 1 = \М,

где х, е Кщ, ui е Я; элементы матриц А, е Rnгynг и

Б, е Ящ зависят от вектора неизвестных параметров

£е Е; где Е - известное множество возможных значений вектора £ ; Ьц е Яп - неизвестные векторы,

элементы которых, в общем случае, ограниченные непрерывные неизвестные функции; т,, к, - известные времена запаздывания в управлении.

Децентрализованное адаптивное управление для подобных систем определяется как задача построения таких М локальных блоков адаптивного управления, каждому из которых доступна только текущая информация о системе. При этом требуемое качество переходных процессов в подсистемах задается уравнениями локальных эталонных моделей:

с, = Ат£, (/) + БтГ (/), хш(Г) = С, (/ - к,);

_ (2)

С, (0) = С 0,, , = 1, м.

Здесь £г е Ящ, г, е Я; г, (?) - скалярные задающие воздействия, которые являются кусочно-непрерывными ограниченными функциями; Ат,, Бтй -числовые матрицы соответствующих порядков.

Эталонная модель для объектов с запаздывающим управлением должна содержать запаздывание, по величине большее или равное величине задержки управления в объекте. Однако в данном случае уравнение модели (2) не содержит запаздывания, оно присутствует в уравнении выхода, что позволяет получить прогноз значений вектора хт, (? + к,) = £, (?).

Предположение 1.

А.1. Пары (А,Б,) являются управляемыми.

А.2. Выполнены условия согласования локальных подсистем и эталонных моделей А1 = Ат1 + Б^01,

= Бг^0г , Бт, = Бгк0г, К > 0, где ^0,, ^0, и к0, -

неизвестные вектор и скаляр, зависящие от вектора £е Е .

А.3. Матрицы А, и Апй гурвицевы для любых £ е Е , и объект управления является устойчивым при щ = 0.

А.4. Элементы векторов Ьц (?) и скаляры г, (?) -ограниченные функции.

Требуется синтезировать систему управления, обеспечивающую выполнение целевых условий

тогда уравнение ошибки прогноза примет вид

lim еi(t) = lim(x,(t) - xmi (t)) = 0

(3)

для любых ^е Н, х0,, £ 0,. При этом в локальных системах управления не допускается использование измеряемых величин других подсистем. Это классическая постановка задачи [20] адаптивного управления с эталонной моделью.

Следует отметить, что для обычных динамических систем не требуется устойчивость системы, т.е. гур-вицевость матриц А,, но при наличии произвольного запаздывания в управлении, даже для систем первого порядка, это условие обязательно [10].

Адаптивный предиктор состояния объекта управления

Введем вспомогательный вектор, который формируется на основании следующего уравнения:

Ху, = AotxVl + BoV (t + h,).

(4)

Здесь V, - дополнительное управляющее воздействие для управления процессом прогноза. Предположим, что выполнены условия структурного согласования объекта управления (1) и вспомогательного контура (4) [18, 20]:

= Ао, + в, mV о,

D, = Bi * v o,,

B0i = Bi kV 0i, kV 0i > 0,

(5)

где 0, и ку0, неизвестные вектор и скаляр, зависящие от вектора ^е Н; матрицы А0, гурвицевы. Введем два вектора ошибок:

стi (t) = Ху i (t - h, ) - x, (t); e, (t) = ху, (t) -Zi (t).

(6) (7)

Очевидно, что при выполнении условий

lim стi (t) = 0, lim ei (t) = 0, справедливо (3), так как

t

из ст,- ^ 0, следует xVi (t) ^ x, (t + h,), а из e, ^ 0 имеем xVi (t) ^ xmi (t + hi) при t ^ ^. Иными словами, обеспечивается прогноз значений вектора xi на время hi вперед и выполняется цель управления (3), e, (t - h,) - CT, (t) = xt (t) - Xm, (t) = е, (t).

Принимая во внимание (5), из (1) и (4) получим следующее уравнение для ошибки прогноза (6):

CT, = A, а, - B, m'V 0ixv,(t - h,) - B, * V 0,xi(t-T i) -

M

- B,u, (t - h,) + B0V (t) - B, XL'jXj.

j=1

Введем векторы

Ю, (t - h, ) = [[у,- (t - hi X x, (t - T ) ui(t - hi )]

C0i = [[V01 Mv0i,kV01 *V0i, kV01 ] ,

M

CTi = ACT + B0i(((t) - С0,юг(t - h,))-Bi XLjXj. (8)

j=1

Зададим вспомогательный закон управления в виде

V- (г) = С'(г)т, (г - ^) + ~ (г); V- (г + А,) = С'(г + А,- )®, (г) + ~ (г + А,),

где С, - вектор настраиваемых параметров, структура которого аналогична структуре вектора С0,; ~ (г), ~ (г + А,) - скаляры, алгоритмы которых подлежат определению.

В данном случае невозможно сразу построить алгоритм настройки вектора С, (г + А,) с использованием ошибки ст, (г) = (г - А,) - х, (г) в силу отсутствия

информации о значении регулируемой величины х, (г + А,) в момент времени г. Поэтому строится

алгоритм по задержанной ошибке ст, (г), а затем берется С, (г + А,) = С, (г).

Для синтеза алгоритмов настройки векторов С, и закона изменения скаляров ~ (, = 1,к,М) воспользуемся квадратичным критерием абсолютной устойчивости нелинейных систем [21], применение которого в теории адаптивных систем рассмотрено в [14, 15].

Выделим в (8) линейную и нелинейную нестационарные части

CT, = A,CT, (t) + B0, и1,, и =-ui,;

и = -

M

(((t) - C0,) ш, (t - h,) + ~ (t) - к-, X LjXj

j=1

(9)

и сформируем интегральную связь

t ( M

П1 = J XCT, (s)g,u, (s)

ds >-Y1, Y1 > 0. (10)

В соответствии с квадратичным критерием [21], если линейные части (9) стабилизируемы, а они стабилизируемы, поскольку матрицы А, - гурвицевы, и выполнены частотные условия

Яе я' С/т 1т- А, )-1 Б0, > 0, (11)

для любых ^е Н , то при выполнении неравенства (10) ст,, и, е Ь2. Следовательно ху, (?) ^ х, (? + А,) при ? ^ ^, а значит, выполнен прогноз значений вектора состояния.

Утверждение 1. Если матрицы А, и А0, - гурви-цевы, выполнены неравенства (11) и условие (5) для любых ^е Н и те (-»,и управляющие воздействия и, - ограниченные функции, тогда алгоритмы

С,(?) = С,(0) - Гт(г - А,)я'ст, - |Г2,ю,(5 - А,

~ (t) = 9, (t)sign(a'lgl ), ~ (t) = 9i (t + hi )sign(e[HiBi), 9i (t + hi) = 9,(t) , (12)

9 i = -S i Hg|

обеспечивают выполнение целевых условий

lim (xVi (t) - x, (t + hi) )= 0, (13)

t

где Г1г, r2i, Hi - положительно-определенные симметричные матрицы; Si > 0 - коэффициенты усиления.

Доказательство. Линейная часть (9) стабилизируема, так как матрицы Ai гурвицевы, и при ui = 0 она асимптотически устойчива. Поэтому при выполнении условий утверждения достаточно показать, что неравенство (10) выполнено, т.е. алгоритмы (12) должны обеспечить выполнение условия (10). Подставим значения ui из (9) в (10):

t м

П1 = JX

0 i =1

(

-al (s)g,

(Ci - C0i )'ш, (s - hi) + ~ (t) +

1 M \

+ ~ (t) + — X Lj (s)Xj (s)

kV0i j =1

ds .

Принимая во внимание гурвицевость матриц А,, ограниченность элементов векторов Ьу и скаляров ui, воспользуемся оценками

м

- ^г^- X Lij (t)Xj (t) > -Kgi| Ф,

j =1

Ф, > sup

t

-1 м

kv-1 X Lij (t) Xj (t)

j =1

Тогда, подставив (12) в (14), получим":

м (t

П > X J (( (s)gi )2 ю' (t - h, )Гью, (t - h, )ds +

i=1 ^ 0

Jal (s)g,

Ja,(X)^ю, (X- h, )dX + C0, - С,(0)

(15)

хю, (s - h, )ds + J|ai (s) g,

S, JK(X) g,-|dX - Ф,

ds

Очевидно, что первый интеграл в (15) положительный. Во втором и третьем интегралах введем обозначения:

/и (*) = } ст'^ю, (X - Н,) СХ + Сш - С,■ (0);

f2, (s) = S, JK (X) gi\dk-Фl.

0

Тогда из (14) имеем

(t

м (t 1 t

П1 >X J f да-Ч, + - J fi (s)df2i

Si n

i =1 ^ 0

1 м ( 1

>- - X f (0)r2i1./1i (0) + - f2l (0)

2 г=1 о,

= -Y1.

В силу ограниченности начальных условий и управляющих воздействий, интегральное неравенство (10) выполнено с величиной у1, определяемой последним выражением. Тогда, в соответствии с квадратичным критерием [21], ст,е Ь2, и, е Ь2, т.е. выполнены целевые условия (13). Ограниченность настраиваемых параметров следует из (12) в силу ограниченности управляющих воздействий, гурвицевости матриц А, и условия ст, е Ь2.

Децентрализованное управление динамической взаимосвязной системой

Введем блочно-диагональные матрицы

A = diag{A1,... , AM }; Am = diag{Am1, *

B = diag{B1,..., Bm };

(14)

C0 = diag{C01, B0 = diag{B 01, D = diag{D1,.

■ ■ , AmM }; , C0M }; , B0M };

, Dm };

Вт = ... , Втм};

Цо = ^{^01= К , Ц02}; х0 = К , X0М}

и векторы

х = со/((1,к, хм); и(/ - Н) = со/((/ - Н1),...,им (/ - Нм ));

С = со(,..., С м); + Н) = со( + к1),к,¥м (I + Нм ));

г = со(..., Гм); ю=со/Ц,..., Юм);

хт = со1(хт1,К, хтм ); ХГ = со1(сУ1,К, ХУ м ),

Х(/-Т) = со1(хх(г-Т[),к, хм (/-Тм )) ■

Тогда уравнения системы (1), моделей (2) и вспомогательного контура (4) в составной форме примут вид:

х = Ах + Вх(г - т) + Ви(г - Н) + ВЬ'х ;

С = АтС + ВтГ, хт = ^ - Н) ; ху = Ахк - Вц'0ху + В0К(/ + Н),

где xе Rn; xm е Rn; xv е Rn;

м

n = X i; L - блочная

i =1

матрица с блоками Lj . Преобразуем уравнение про-

гнозатора

xv = Axv - B^'0xv + B0 (((t + h) ± C0ю)± BL'x(t + h); или для каждой подсистемы отдельно

^^v, = Aixvi + B0

м

(((t + h) - ^ю)- k- X L,'xj (t + h,)

j =1

+ BiX'v0, x (t - T,) + Bu (t) + B, X L'ijxj (t + h,) =

j =1

= Axvг + B01U1 (t + h,) + Dx (t - T,) +

м

+ Bu (t) + B, X L'ijxj (t + h,). j =1

х

+

Поскольку (/ + кг) е Ь2, на основании утверждения 1 эту составляющую можно не учитывать. Так как с помощью того же утверждения 1 было доказано, что ху . ^ хг у + к), тогда уравнение (15) примет вид

м

iVi = A,xVi + DiXvi (t - t,) + Бгщ (t) + Бг £ L'jXvj. (17)

j=i

Из уравнений (17) и (2), с учетом (А.2), получим уравнение ошибки (7)

ег = Ашгег + БгК)г (ег + Сг ) + БгХ'ог ХУг ^ - Т ) + М , V

+ БгЩ - ВшгГ + Вг X Ц; ( +С) (18)

' =1

Введем блочно-диагональные матрицы к0 =

= diag{kol,к, ком }, ^о = diag{Л о!,..., Хом } и векторы е = ео1(е1, к, ем):

Ю2 = [е,Ху,г]; во = [-Мо,-Хо, ко].

Зададим основной закон управления в виде и(/) = Р'ю2 + где в - блочная матрица настраиваемых параметров, структура которой аналогична структуре матрицы во; и - вектор, алгоритм которого подлежит определению.

Введем матрицы

L =

М-01 L

Ln

12

М- 02

LM1 LM 2

L=

12

21

LM1 LM 2

1M L2M

М"0М L1

1M

L

2M

0

тогда уравнение ошибки (18) в составной форме примет вид

е = Аше + Б(в - во )ю2 + Би + в(е + ¿Т'с), (19)

или для каждой локальной подсистемы уравнения ошибок примут вид

e, = Amie,

' м I ~ \

Am,eг + Бг (ß - ß0, ) ®2г + Бг~г + Бг X ( + L'С j )-

j=1

Для синтеза алгоритмов настройки векторов вг и скаляров ~ ( = 1, к, М) воспользуемся квадратичным критерием абсолютной устойчивости нелинейных систем [21], его применение в теории адаптивных систем рассмотрено в [14, 15].

Для этого выделим в (19) линейную и нелинейную нестационарные части

e = Ame +

и3 =-u2 ;

u2 = -

Б(в - во )ю2 + Би + в(е + ¿Т'С)],

сформируем интегральную связь

t

П2 = |(е'+ к2е'(5)Яи2(5))) > - у2, у2 > о, (2о)

о

где к2 > о - пока неизвестная константа, Н - положительно-определенная матрица.

Если выбрать алгоритмы изменения векторов вг и скаляров ~ как частное решение неравенства (2о), то для выполнения условия

lim e(t) = lim(xV (t) - Z(t)) = 0 ;

(21)

в соответствии с [21], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось частотное условие

1 *

Яе HW('ю) > —Ш ('ю)Ш('ю)

к2

для любых юе (-тс,тс), где Ш('ю) = 0'ю/„ -Аш)-1. Принимая во внимание то, что матрицы Н и Аш являются блочно-диагональными, получим систему неравенств для каждой подсистемы

1

Яе НгШг ('ю) > — Шг ('ю) Ш ('ю), г = 1,М.

к2

Учитывая произвольность выбора константы к2, находим, что всегда можно подобрать к2 , если выполнено неравенство ЯеНгШг('ю) > о, т.е. матрицы НгШг ('ю) должны быть строго положительно вещественными (СПВ), что эквивалентно определению матриц Нг из уравнений Ляпунова

НгАтг + А'ШИ г = -Q .

(22)

где Qi - произвольные положительно-определенные симметричные матрицы.

Утверждение 2. Пусть выполнены условия А.1 -А.4), матрицы Нг определяются из уравнения (22). Тогда алгоритмы

вг(( ) = вг(о)-Гзгю2г е'Н Д - К ю^ ( ( )Н ^ \

о

~г (()=Т((^(е'НА ); Тг = -§2г |ег'Нг Бг-1

обеспечивают выполнение целевых условий (21), а следовательно и (3). Здесь Г3г, Г4г - положительно-определенные симметричные матрицы; 82г- > о -коэффициент усиления.

t ^^

0

0

Доказательство данного утверждения аналогично доказательству утверждения 1 в [8], поэтому здесь не приводится.

Заключение

В настоящей работе удалось получить полностью децентрализованную адаптивную систему с запаздыванием по управлению с эталонными моделями локальных подсистем, т.е. для формирования управляющих воздействий и в алгоритмах настройки используются только измеряемые переменные локальных подсистем.

Основным результатом данной статьи является компенсация влияния запаздывания на качество и устойчивость взаимосвязной системы. Показано, что адаптивный предиктор осуществляет прогноз значений регулируемой величины, а предложенные алгоритмы управления обеспечивают нулевые ошибки слежения за локальными эталонными моделями в условиях априорной неопределенности параметров подсистем и взаимосвязей. Кроме того, применение адаптивного предиктора позволяет использовать для объектов с запаздывающим управлением богатый арсенал методов синтеза адаптивных систем управления, разработанных для систем без запаздывания.

Литература

1. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М., 1990.

2. Ядыкин И.Б., Шумский В.М., Овсепян Ф.А. Адаптивное управление непрерывными технологическими процессами. М., 1985.

3. Ioannou P.A., Kokotovich P. Adaptive systems with reduced models. Berlin, 1983.

4. Gavel D.T., Siljak D.D. Decentralized adaptive control: structural conditions for stability // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. Vol. 34. № 3. P. 413-426.

5. Ortega P., Herrera A. A solution to the decentralized adaptive control: A new model reference scheme // IEEE Trans. Automat. Control. 1993. Vol. 38. № 2. P. 1717-1727.

6. Ioannou P.A. Decentralized adaptive control of interrcen-nected systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1983. Vol. 31. № 4. P. 362-367.

7. Миркин Б.М. Адаптивное децентрализованное управление

с модельной координацией // А и Т. 1999. № 1. С. 90-100.

8. Паршева Е.А., Цыкунов А.М. Адаптивное децентрализованное управление многосвязными объектами // А и Т. 2001. № 2. С. 135-148.

9. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М., 1973.

10. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., 1981.

11. Клюев А.С., Карпов В.С. Синтез быстродействующих регуляторов для объектов с запаздыванием. М., 1990.

12. Солодовников В.В., Филимонов А.Б. Упреждающее управление линейными стационарными объектами с запаздыванием // А и Т. 1982. №11. С. 57-60.

13. Цыкунов А.М. Адаптивное управление объектами с последействием. М., 1984.

14. Цыкунов А.М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем. Фрунзе, 1990.

15. Цыкунов А.М. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости в теории адаптивных систем // А и Т. 1983. № 1. C. 122-129.

16. Hasanul Basher A.M., Mukundan R. Model reference control of uncertain systems whith time delays in plant state and controll // Jnt. J. Syst. Sci. 1987. Vol. 18. Р. 1609-1626.

17. Cheres E., Palmor Z., Gutmon S.Mim-Max. Predector control for uncertain systems whith input delays // IEEE Trans. Automat. Contr. 1980. Vol. 35. Р. 210-214.

18. Цыкунов А.М. Адаптивное управление с компенсацией влияния запаздывания в управляющем воздействии // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 4. С. 78-81.

19. Миркин Е.Л. Синтез прогнозирующего устройства для систем с запаздыванием по управлению // Вестн. МУК. №1(5). Бишкек, 1999.

20. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М., 1982.

21. Лихтарников А.Л., Якубович В.А. Приложение к кн: Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М., 1983.

22. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М., 1975. С. 74-180.

24 декабря 2003 г.

Астраханский государственный технический университет

УДК 621.395.3

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВЫХ ШУМОВ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕИЗВЕСТНОСТИ ХАРАКТЕРА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СИГНАЛА И ПОМЕХИ

© 2004 г. В.Н. Таран, М.Н. Любченко

Оценка логарифма отношения правдоподобия

Решению задачи различения сигналов на фоне помех посвящены многие работы. Так, например, в [1] предложен алгоритм различения при условии, что наблюдаемый процесс представляет аддитивную

смесь нормального стационарного шума и одного из двух детерминированных сигналов s1(f) и s2(t). Ниже приводится алгоритм различения сигналов на фоне негауссовых помех в условиях, когда правило взаимодействия сигнала и помехи неизвестно.