CC BY
32
Деформированные мартингалы и их свойства
О.В. Назарько, И.В. Павлов
Настоящая работа посвящена изучению некоторых основополагающих
свойств деформированных мартингалов 1-го и 2-го рода. Актуальность
научного направления, в рамках которого выполнена работа, подробно
обоснована во введении статьи [1], которая посвящена моделированию
деформаций (см. также работы [2-3]). Приложения данной тематики
продемонстрированы, например, в работах [4-5].
Пусть (0,Р) — фильтрованное пространство с дискретным временем, где О — произвольное множество, а Р = (р п )да=0 — возрастающая последовательность а -алгебр на нем (фильтрация). Для удобства мы введем также Р_1 = {0,0}. Рассмотрим семейство О = (<2("), рп )п=0 вероятностных мер
Q(п), определенных на р п. Семейство О называется деформацией 1-го рода
(О1), если при всех п е N = {0,1,2,...} выполняется соотношение абсолютной
непрерывности Q(п+1) Рп << Q(п), и деформацией 2-го рода (О2), если
выполняются обратные соотношения. Если выполняются и те, и другие соотношения, то деформация О называется слабой ("О). О1 (соотв., О2) ограниченной — ББ1 (соотв., ББ2),
называется
если Vn е N
(П+1)
dQ
(п)
< с < да
п
Q(п) -п.н. (соотв.,
dQ
(п)
dQ
(п+1)
< с(п) < да Q
(п+1)
-п. н.).
Основные свойства деформаций подробно изучены в [6].
Предположим, что при всех п е N случайные величины (с.в.) 2п
интегрируемы по мере Q(п).
Определение 1. 1) Пусть О - Б1. Процесс 2 = (п, р п, Q(п^^ будем называть деформированным мартингалом первого рода (ОМ1), если Vn е N
справедливо равенство
1(п+1)
Рп]= 2 Q
(п+1)
-п. н.
(1)
р
п
р
п
р
п
р
п
2) Если Q есть D2, то процесс Z = (zn, f n, Q(nбудем называть
деформированным мартингалом 2-го рода (DM2) при выполнении Vn е N равенства
EQiM\zJFn]= Zn Qln'-п.н. (2)
3) Предположим, что Q есть WD. Если процесс Z = (zn, fn,Q(n));i=0 является
одновременно DM1 и DM2, то его будем называть слабо деформированным мартингалом (WDM).
Замечание 1. 1) Предположим, что f и g являются представителями
условного матожидания в равенстве (1). Ясно, что Q(n+l){f ф g} = 0, однако
Q(n)/ ф g} может не равняться нулю. Поэтому некорректно требовать
выполнение равенства (1) Q(n)-п.н. Покажем корректность формулы (1). Если
процесс Z Q-неотличим от процесса Z' = (Z'n, F n )П=0, то для всех n >-1
Zn+1 = z;+1 Q(п+1)-п.н. Известно, что EQ(n+1([z„++11fn]= EQ("+1)[zn+11f,] Q(n+1)|fn -п.н. Также Z = Z' Q(n)-п.н. ^ Z = Z' Q(n+1^ f -п.н. Из всего этого вытекает,
n n n n fn
что EqQ )[z;++1|fn]= Zn Q(n+1) f -п.н. Аналогичным образом обосновывается
корректность формулы (2). Примеры деформированных мартингалов можно найти в [7].
Предложение 1. 1) Если Z есть DM1, то Vn е N
EQ<;+1\Z„1 ]= EQ(;+1)[Z; ] 2) Если Z есть DM2, то Vn е N
EQ(n + 1,[Z„1 • h^ l]= E^" )[Zn ] Доказательство тривиально.
Определение 2. Процесс Z = (z; , f n, Q(n ))nn=0 называется
деформированным субмартингалом 1-го рода - DSubM1 (соотв., деформированным супермартингалом 1-го рода - DSupM1), если в формуле
(1) знак "> " поставить вместо знака "=" (соотв., знак "<" поставить вместо знака "="). По тому же принципу определяются деформированные субмартингалы и супермартингалы 2-го рода и слабо деформированные суб-и супермартингалы (ББиЬШ, ББирМ2, БББиЬМ, БББирМ).
Предложение 2 (телескопическое свойство). Пусть О есть Б2 (соотв.,
ББ2), а случайный процесс 2 = (2п, рп,(п))п=0 таков, что Уп е N 2 е дДо, рп,£)(п)) (соотв., 2 е (о, рп,£)(п))). Этот процесс является БМ2 (соотв., ББиЬМ2, ББирМ2) если и только если Ук,п е N,к < п справедливо равенство
Е12п = 2к Q(к)-п.н.
(соотв., равенство
и
К2п > 2к Q(к) -п.н.
Епк2п < 2к Q(к)-п.н.
Доказательство опускается.
Предложение 3. Пусть 2 = (2п, р п, д{п ))Н0 - ББиЬМ1 (соотв. ББиЬМ2). Этот
процесс является БМ1 (соотв., БМ2) в том и только в том случае, когда Уп е N
Ее(п+1)(2п+1 )= ^(п+1)(2п)
(соотв.,
Е^+'^+.Л(п >] = Е'[2. ]). Доказательство опускается.
Предложение 4. Пусть ^п^, р п, 0>(п))п=0 - некоторое семейство, состоящее из ББирМ1 (соотв., ББирМ2), где а — параметр. Определим 2п := вББ ш! 2па) е (о, рп,0(п)), Уп е N. Тогда процесс (, рп,0(п))П=0 есть
ББирМ1 (соотв., ББирМ2).
Доказательство. Имеем Уп е N:
р. ]= Е^^ р. ]< ей к.Г Е^^ р. ]< ею Ш Ц = 2..
1 а 1 а 1 а
Нетрудно проверить, что если деформация О есть Б1 (то есть речь идет о Б8ирМ1), то записанные равенства и неравенства понимаются Q(n+l) Р -п.н.
Если же деформация О есть Б2 (то есть речь идет о ББирМ2), то эту цепочку соотношений можно понимать Q(()-п.н., что и требовалось доказать.
Предложение 5. Если 2 = (2., р., Q(())((=0 есть деформированный
мартингал 1-го или 2-го рода (соответственно, деформированный субмартингал 1-го или 2-го рода), а ф - выпуклая (соответственно, выпуклая
возрастающая) функция на Я1, удовлетворяющая условию ф о 2п е А (о, р., Q(n)), п е N, то процесс (ф о , р., Q(())С=о -деформированный субмартингал того же рода, что и 2 .
Доказательство. Обозначим У. := ф о 2п. Если 2 - БМ, то
У. =ф ° 2. =ф о EQ(n+l)[2n+l| р п ].
Если 2 - ББиЬМ, то У. =ф о 2. <ф о EQ( ^^ р. ] в силу монотонного
возрастания функции ф. В обоих случаях У. <ф о Е^ '\2п+\ р. ]. Применяя неравенство Йенсена, получаем V. е N:
У. <фор.]<Е^[фо2.+11р.] = Eq(n+1)2+l|р.]. Легко видеть, что если Q - Б1 и 2 - БМ1 (соотв., Б8иЬМ1), то все записанные в этом доказательстве соотношения можно понимать Q(n+l) Р -п.н. Если же Q - Б2 и 2 - БМ2 (соотв., ББиЬМ2), то все соотношения можно понимать Q()-п.н. Доказательство закончено.
В заключение отметим, что классические варианты доказанных в данной работе результатов можно найти в [8-9]. Применение метода хааровских интерполяций к деформированным финансовым рынкам продемонстрировано в [10].
Данная работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-00637а.
Литература:
1. Назарько О.В., Павлов И.В. Рекуррентный метод построения слабых деформаций по процессу плотностей в рамках модели стохастического базиса, снабженного специальной хааровской фильтрацией [Текст] // Вестник РГУПС, 2012. - №1. - С. 200-208.
2. Назарько О.В. (Б^)-рынки на деформированных стохастических базисах [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2008. - Вып. 3. - С. 19-21.
3. Назарько О.В. Слабые деформации на бинарных финансовых рынках [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010. - Вып. 1. - С. 12-18.
4. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Моделирование оптимальной полосы пропускания телекоммуникационных каналов при условии гарантированной и негарантированной доставки пакетов [Электронный ресурс] // «Инженерный Вестник Дона», 2012, №1. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1v2012/652 (доступ свободный). -Загл. с экрана. - Яз. рус.
5. Красий Н.П. О вычислении спрэда для обобщённой модели (Б^)-рынка в случае скупки акций [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №4 (часть 2). - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2v2012/1378 (доступ свободный). - Загл. с экрана. - Яз. рус.
6. Назарько О.В., Павлов И.В., Чернов А.В. Деформации и деформированные стохастические базисы [Текст]// В сб.: «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания: материалы региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава и молодых ученых РГЭУ (РИНХ)», 2012. - Ростов-на-Дону: Ростовский государственный экономический университет (РИНХ). - С. 37-53.
7. Назарько О.В., Павлов И.В. Два «классических» примера деформированных мартингалов 1-го рода [Текст] // Тезисы международной научно-практической конференции «Строительство 2012», 2012. - Ростов-на-Дону, РГСУ.
8. Neveu J. Discrete-Parameter Martingales [Текст] // North-Holland Pub. Company, Amsterdam, 1975. - 236 p.
9. Long R. Martingale Spaces and Inequalities [Текст] // Peking University Press, 1993. - 346 p.
10. Павлов И.В., Назарько О.В. Хааровские интерполяции финансовых рынков на деформированных стохастических базисах (Электронный ресурс) // Тезисы докладов международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование», 2011. - ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, Волгодонск. - С. 155-156.
