Неравенства для стохастических интегралов по непрерывному сильному мартингалу Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.А. Колодий, 2004

УДК 519.21

НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ ПО НЕПРЕРЫВНОМУ СИЛЬНОМУ МАРТИНГАЛУ

Н.А. Колодий

Исследуются свойства случайных полей, связанных со стохастическими интегралами по двупараметрическому непрерывному квадратически интегрируемому сильному мартингалу в случае, когда мартингал и подинтегральные функции зависят от пределов интегрирования. Получены неравенства для моментов равномерной нормы и модуля непрерывности траекторий непрерывных модификаций таких полей.

Введение

Для обозначения элементов Р+ будем использовать буквы х,у,г,и,у, причем, если в одном и том же выражении присутствует г и присутствует и (или) то всегда полагаем, что — первая координата, аг2- вторая координата вектора 2 (аналогично для х,у). Структурные операции х А 2, х V г и неравенства х < у и х ^ у определяются покомпонентно (например, хАг = (х\ í\Zl,X2/\z2), неравенство х < у эквивалентно системе неравенств х\ < у\ и х2 < у2). Далее \х,у] обозначает прямоугольник ]х.у) — {и : х < и ^ у} (пустой, если не выполнено условие х < у). Приращение функции д(-) : ь-> Я на непустом прямоугольнике ]х,у] определим

равенством

9(\х,у}) = д(у) - д(хъу2) - д(уг,х2) + д(х).

Если ]х,у\ = 0, то д(\х,у}) полагаем равным нулю.

Пусть (Г2,5, ^ = (У2, 2 ^ ^+))Р) ~' вероятностное пространство с фильтра-цией, удовлетворяющее «обычным» условиям [1]: 1)5’— Р-полная а-алгебра и

Зо содержит все Р-Нулевые элементы 5, 2) 5.Т с С 5 для любых X ^ г,

3) 5т = П 5г для всех х> 4) И 5г условно НеЗЗВИСИМЫ ОТНОСИТеЛЬНО 5хЛг ДЛЯ

х<г

всех х и 2 (условие Каироли и Уолша). Определим: 5* = V == V

22^0 21^0

г: = ^ уз1-

Далее ф обозначает а-алгебру Р-предсказуемых подмножеств х О, (см.

[1]); Ш?с обозначает пространство всех непрерывных квадратически интегрируемых сильных Р-мартингалов (см. [2] и [3]), т. е. Ш?|с — пространство Р-согласованных случайных полей (д(ж), I £ ^), удовлетворяющих условиям: ц(хъ0) = /и.(0,х2) = О

И Е/22(:г) < ОО ДЛЯ любого X Е Е{¡¿(]х,х']) |5*} = О для любых X ^ х'. Отметим,

что пространство Ш1|с с метрикой

Г2,с(м. = ^22~П 1 Л (Е SUP \Ф)-Ф)\2]

П=1 1610,(71,71)]

1/2-,

является полным.

Целью данной работы является поиск условий существования непрерывных модификаций и доказательство неравенств для моментов равномерных норм и для моментов модулей непрерывности случайных полей

rj(z) = J ß(z, х) ß(z, dx), •d(z) — J ß(x,x)n(x,dx), о 0

£(z) = J ß(z, x)^(z, dx) + J ß(x,x)n(x)dx)—

о о

2 2

- J ß((zi,x2),x)fi{(zux2),dx) - J ß({x1,z2),x)ß((xuz2),dx),

о 0

2 2

Ci(^) = ß({z1,x2),x)ß({zi,x2),dx) - ß(x,x)fi(x,dx),

0

2

C2OO = J ß({x1,z2),x)n((x1,z2),dx) - J ß(x,x)ß(x,dx), z E R+, о 0

где ß(z.x.ui) и h{z,x,uj) — 9В(Р^)®ф-измеримые функции с действительными значениями, (fj,(z,x), х Е R+) Е Щс для каждого г G R2+ (т. е. /i(-, •) — мартингальное интегрирующее ядро).

Замечание. Если (z;x,u) <—> x(z,x,cu) — 23^+)<8)ф-измеримая действительная функция, то функции (х,и>) н-»• х(х,х,и>) и (t;x, и>) x((t,x2),x, ui) являются

соответственно ф и *8(R+)(g)^-H3MepHMbIMH.

Семейство прямоугольников • ^ = {^,3 =Ыьз),и(ъ + М + !)] u(hi) = (ui,uU2,j)} i,j Е {0,1,...};

0 — uTtо < ur 1 < ..., lim игп = ос, г — 1,2/

’ 5 п—> оо 5 J

будем называть разбиением пространства R+. Введем обозначения:

Kf = |5| = sup|u(z,j) -u(i + l,j 4- 1)|.

hi

Применяя результаты работы [2] о существовании квадратической вариации двупараметрического сильного мартингала и используя методы доказательств возможности выбора измеримой по параметру характеристики однопараметрического мартингала из работы [5], получаем следующее утверждение.

Лемма 1. Существует такая 23(R2+) -измеримая функция p(z]x,u>) : х

R+ х R+, что для фиксированного z 6 RJ. случайное поле Jl(z, •) является квадратической вариацией мартингала p(z, •), т. е.

Jl(z, х) = P-lim для каждого х е R^_.

^ ° i,j

Снова применяя идеи работы [5] и формулу Ито для двупараметрических непрерывных сильных мартингалов, получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 2. Существует такая Ъ{Щ)®Ъ{^(2+)®^-измеримая функция J(z, у, х,ш) : R^ х R^ х R+ х R, что J(z,y,x) является стохастическим интегралом на прямоугольнике ]0,гг] от измеримой функции [3(z,-) по непрерывному квадра-тически интегрируемому сильному мартингалу р(у, ■):

3(г, у,х)= /3(г, х) р(у, <1х) п.н.

о

Для любых фиксированных г,у Є случайное поле J(г, у, •) является элементом пространства квадратическая вариация мартингала 3(г,у,-) на

прямоугольнике ]0, гг] равна

X

I' р2(г,х)Цу,(1х), о

существует такая константа С, что для любого р ^ 2

X

< С-р? ■ [ 02(г,и)р(у,(1,и)^ . (1)

Е sup

ііЄ]0,а:]

В дальнейшем константы, зависящие только от параметра в и возможно разные для одного и того же в, обозначаем через Сд.

1. Интегралы по мартингальным интегрирующим ядрам

В этом разделе осуществляется построение и исследуются некоторые общие свойства стохастических интегралов, входящих в случайные поля д, £, (і и

Для функций g(z,x) : R+ х R+ ь-» R, h(z,y,x) : R+ х R^ х R^ н-> R и произвольного разбиения S определим:

= Е яМьЛ*?/), 8й»,*,М) - ЕМ«иЛф.

iJ ï,j

s‘(A,i,]«,i]) = 8}(М,М)

Ss5(h,t,s,]v,x]) = 'Eh({uiii,t), (uu,s),ôlf ). jj

Определим случайное поле ß'(z,y,x) = ß(z,x) — ß(y,x) и заметим, что существует такая Я3^+)®93(р+)®ф-измеримая функция ß(z,y,x,w) : R^ х R^_ х R^_ х fl t-> R+, что для фиксированных z,y £ R+ случайное поле ß(z,y, •) является квадратической вариацией мартингала ß'(z,y,-).

Далее всегда будем предполагать, что случайное поле ß удовлетворяет условию: существует такая возрастающая функция д(-) : R+ н-> R+ и такая измеримая

функция X(z,x,u) : R+ х R2. х fü ь-» R+, что:

1) lim g(t) = 0;

■ f—>о

2) 0 ^ X(y,]u,v],u>) ^ X(z,]u, v),u!) для любых и < V, у ^ z;

3) EA(z,]0, 2]) < (X) для любого 2 G R^_;

4) для любых и < V

ß(z,y,]u,v]) ^ X(zVy,]u/u])g(\z - у\). (2)

Не умаляя общности, будем считать, что одновременно с неравенством (2) выполнены неравенства:

ß{z,}u,v}) < x(z,}u,v})] (3)

!~ß(z,]u,v]) - ß(y,}u,v])I ^ X(zVy,]u,v})e{\z - у!); (4)

|ß(z', x',]u, u]) — ß(z, x, ]и, u])| ^ Л(z'Vz Vx' Vx,]u, г»]) {g{\z — z\) + ß(\x' — x|)). (5)

Действительно, если (2) выполняется, то, учитывая соотношения

ß(z,]u,v]) - ß{z,Q,]u,v]),

Iß(z,]u,v]) -ß{y,]u,v]) I ^ ^y/ß(z,]u,v]) + y/~ß{y, }u, u])) y/ß(z, y, ]u, u]),

|ß(z,x,]u,v]) - ß{y,x,}u,v})I ^ (Vß{z,x,]u,v]) + y/ß{y, x, ]u, г;])) y/ß(z, y, ]u, г»]),

получаем, что одновременно выполняются все неравенства (2)-(5) при замене прежнего поля X(z,x) и функции g(t) на 2X{z,x){l + É>(|^|))(1 + \/ ß(\z\)) и

Теорема 1. Существуют такие функции АA%(t,B,w), A%(t,B,u>), A%(z,B,üj) и A£(t, s. В,ш) аргументов В £ 23(R+), -г £ R+, t,s £ R+, uj £ fl, что:

1) для любых я € Р+, г £ ш £ 1], функции множеств А^(-,и), Аз(<,-,ы), А%(г,-,ш) и Ад (¿, 6',-,ш) являются о-конечными мерами;

2) с вероятностью 1 для любых £, в е И+, г, у, х, 6 Р^_

А^(]^, х]) = lim Sf(^,]u,x]),

|ö|—*0

A^(t,]v,rc}) = lim Ss2(fi,t,]v,x]),

\S\—>0

A§(i,]ü,x]) = lim S3(fi,t,]v,x\), A%(z,]v,x\) = lim Sl(fi,z,}v,x\),

|<5|—>0 ¡¿[—>-0

A%(t,s,}v,x}) = lim Sf (Д, i, в,]г>, ж]),

|o|—>0

3) случайное поле (х,и) н-> А^(]0, х\,и) является непрерывным и предсказуемым; поля (t; х, ш) нч А2 (i, ]0, x],(J) и (£; х, и) н-> A3 (¿, ]0, х],ш) Ъизмеримы и непрерывны по х; поля (z;x,uj) н-> A%(z, ]0, х], ш) и (t,sm,x,u)) t-» А~ (t, s, ]0, x], u) 53(R2+)®^U3MepUMbl и непрерывны по X.

Доказательство. Предположим, что разбиения <5 = {5tj =]u(i,j),u(i + 1, j + 1)]}

--. XN

и 5 = {öij =}u(i,j),u(i + 1 ,j + 1)]} пространства R+ связаны соотношением 6 С 8 в том смысле, что любой прямоугольник разбиения 5 может быть представлен в виде объединения прямоугольников разбиения S. Тогда для любых t,s £ R+, v,x,£ R+, v ^ х, учитывая условие (5), имеем

Sf (Д, t, s, }v, х}) - S65(p, t, s. ]'«, x]

E ( Ши1t)> Ol,г, s), ¿lf) - E Ж(«1,Г, *)> (“l.r, s), ÖVrp

1,3 \ u(i,j)^u(r,k)<u(i+l,j + l)

<

< E E

hi u(i,j)^u(r,k)<u{i+l,j+l)

^ 2A(x, ]z;,x])p(|J|).

MultUt), (ultl,s),6vrfk) ~ -ß((u^r,t), {ultr,s)X%)

Следовательно, lim sup

ществует Ag (t, s, ]'ü, x]) = lim S¿(Д, i, s, ]u, x]). Более того,

l<5|—*0

lim sup sup

e"~*0 S,S'\ ¡¿|v|<5'|<£ xe[0,z]

^(Д, t, s, ]0, x]) - Sf(fi,t,s,]0,x])

0. Поэтому cy-

0.

Поэтому (х,ш) н-» А£(?,, з, ]0, х], и>) — предсказуемое и п. н. непрерывное случайное поле (для любых фиксированных t,s £ Р.+).

Для любых £, 5 £ Р+ и для Р-почти всех и £ О, отображение ]г>, х\ >—> > А5 (£, 5, ]'у, х], и) является положительной, а-конечной, аддитивной и ст-полуад-дитивной функцией множеств, определенной на полукольце прямоугольников {]г»,х] : ь,х £ V ^ х}, и, значит, имеет единственное продолжение до а-конечной меры

А£(М>->и) на ®(Р+).

Аналогично получаем доказательства остальных утверждений теоремы.

В дальнейшем будем применять следующие естественные обозначения для интегралов от измеримых случайных полей (а(х), х £ по мерам (-), А^, •), Аз(^-). и А£(М, •):

У У _ У У _

/ а(х)/7,(х,(1х) = / а(х)А^{Ах), / а(х)'Ц((х1,£), ¿х) = [ с/х),

0 0 о о

У У ^ У У

/ а(х)р((х1,^,х,йх) = f а(ж)Аз(£, ¿х), / а(х)/и(г, (х1; г2), (1х) — J а(х)А^(г,йх),

О 0 0 о

/ a(x)ß((xi,t), (xi, s), dx) = f a(x)Ag(t, s, dx).

Теорема 2. Существуют такое ф-измеримое поле (х,ш) i—> М^(х,и), *B(R+)®^-измеримые поля (t;x,u)) и [t\x.uj) ь-> М3 (t,x,w) и Q3(R^)®^-

измеримые поля (z;x,lü) н-> М4 (z,x,u>) и (t,s]x, си) i—» Mg (i. s, ж, и), что для любых фиксированных t,s е R+, г G R^_ случайные поля Mi(-), М%(t, •), М3 (£, • ), М4 (г, •) и Mg (t,s, •) являются элементами пространства Ш1|с с квадратическими вариациями Af(]0, •]), Ajf(i, ]0, ■]), A%(t, ](),■]), A%(z,]0, •]) и A^(t, s, ]0, •]) соответственно и

Mi(0 = 1|тпsi(M, ]0, •]), M£(i,-) = lim Ss2(ß,t,]0,-}),

|d|—»0 |5|—0

мз (V) = Jim S£(//,i,]0, •]), Щ‘(2, •).= lim S^(//,z,]0, •]),

|oj »0 |<5|—»0

M5(t,s, •) = lim I<5|—►O

в топологии пространства c.

Доказательство. Заметим, что для каждого t G R+ случайное поле S^/i, t, ]0, -]) является элементом пространства с квадратической вариацией S^iß, t, ]0. •]).

Если разбиения 6 и 5 пространства R^_ связаны соотношением д С <5, то

S|(/x, t, ]0, ij) - Ц(ц, t, J0, ij) =

= E E =

hi \ u(i,j)0i(r,k)<u(i+l,j + l) /

= E _ E ,r>*).?,*)•

ij u(ij) <?7(г;/с)<г/(г-г 1 J-f 1)

Следовательно, £,]0, ж]) — £, ]0, г]), ж 6 е с квадратической

вариацией

X] X! Д((иМ. *)>(“!,г, *).%), жеР*

У «(М')<и(г,<!)<и(1+1^+1)

Применяя неравенство Каироли [6] и условие (2), получаем, что Е sup Is^At, i, ]0,х]) — sf(/i, i,]0, ж]) ^ 16EA(z, ]0, г])^(|5|) —> 0 при )5| —^ 0-

ге]0,z\ '

Таким образом,

є—»0

S.S1: |5|v!<5'!<e хЄ]0,z]

lim sup Е sup S^/i, i,]0, ж]) — S2 (/¿,i,]0, х])

= 0

для каждого г € Следовательно, существует предел Мз(£, •) = Нш £, ■) в

¡51-0

топологии пространства Ш2с и квадратическая вариация мартингала (^, •) равна

А^КЧ).

Доказательства остальных утверждений теоремы могут быть получены аналогично.

В дальнейшем будем применять следующие обозначения для интегралов от предсказуемых случайных полей (а(х), х Е ^) по сильным мартингалам М^(-),

/ a(x)/j(x,dx) = f a(x)Mj(dx),

о

j a(x)ß((xi)t), dx) = f a(x)M%(t, dx),

0

0

У У , У У ,

fce(x)ß'((x],t)..x,dx)= I а(х)М% (t, dx), f a(x)p'(z, (xj, z2), dx) = f a(x)M% (z, d, о о о 0

У ‘ У

f a(x)/i/((xі, t), (xi, s), dx) = f a(x)M^ (t. s, dx). о 0

2. Непрерывные модификации и неравенства

Согласно теореме 2 и лемме 2, случайное поле 'в является элементом простран-

ства с и

Е sup

ze]0,z)

V /in \ Р/2

'ß(x) ^ СрEi / ß (x,x)ji(x,dx)J , p ^ 2.

Для исследования полей £, ^ и (2 будем применять следующее утверждение из работы [4].

Лемма 3. Для произвольного измеримого случайного поля 7(-,-) : ^ х П н Я и фунции Ь,(‘) : ^ ь-»• Я определим:

Фа(р,е, 7) = 8ир{(Е|7(о') -7(а")|р)1/р : а\ а" Е [0, а]; |а; — а"| ^ ег},

Д(а, 1г, г) = вирЦН(а!) - к(а") | : а', а" £ [0, а]; |а' - а"| ^ е},

е > 0, р ^ 1, а £ Предположим, что эир (Е|7(а/)|р)1/р < оо для некоторого

а'е[0,а]

р > 1 и существует такая возрастающая функция ('ф(з))о<3^1, что 0 < 'ф(в) ^ ^ и

1

[ 5_1_^^')Фа(1/'0(8), Й, 7)с^ < ОО. (6)

Тогда существует непрерывная модификация 7 случайного поля 7 и

(Е|Ш1/Р « ска\ зир (Е|7(а')Г)1/!,+ (7)

V. а'б[0,а] J )

(ЕАг'(а,е,7))1/р ^

О

(8)

для любых а Е и е б]0,1].

Определим ¡З'(г,у,х) = ,в(г,х) — в(у,х) и рассмотрим условие:

(Н) существуют такие возрастающие функции (у?(£))^о и (^(5))о<з^1 и измеримое случайное поле /3(г,х), что:

1

/{р (9) с13

+Эдэ) °°; 0 ^^Для г ^ г';

о

Д(>, г;,]х,у]) ^ Х(г V г',]х,у))^2(\г - г'\) для ж ^ у;

\(3'(г,у,х)\ у,х)(р(\г-у\)] (9)

2

ЕВЯ (г) < оо для д е [2, Пт(1/'0(5))[, где В(г) = (^ j р2(г,х)Х(г,с1х)^ .

о

Не умаляя общности, будем_считать, что одновременно с неравенством (9) выполнено неравенство |/?(г,х)| ^ /3(г,х). Введем обозначение:

В{г,.э) = (Е В1Ма\г))^8\

Теорема 3. Если условие (Н) выполнено, то случайные поля г), Сі и Сг имеют непрерывные модификации и для этих модификаций при р Є [2,1/ф(1)\ справедливы неравенства:

(.«*«)*• < т

О

(ЕЛЧг1,Сі(-,г2),с))’/!' + (ЕД'^.Сг^і.О.е))1'^

Доказательство. Заметим, что при у ^ г имеет место равенство

£(*) ~£(у) = Зг(г,у) ~32(г,у) - З3(г,у) + 34(г,у) + 35(г,у),

где

у у

Зі^,у) = / р(г,х)р'(г,у,(1х) + / (3і(г, у, х)р(у, (1х), о о

У У

32(г,у) = / Р((г1ух2),х)р'((гъх2),(уих2)^х) + //?'((2Ь х2), (уь х2), х)^((уь х2), с£х), о о

У У

З3(г,у) = } 0{(хі,г2),х)ц'((х і,г2), (х1,у2),(іх) + / Р'Цхі, г2), (хг, т/2), ж)/х((хі, у2), сіх), 0 0

За^,у) = / Р(х,х)р'(г,(г1,х2),сІх) + / /?(2> (¿і, ж2), х)/і((2Ь х2), (іх) -(0,2/2) (0,з/2)

.г 2

- / /?((Я'і, 22), х) // ((х і, ^г), х, <іх) / Р'((хі, г2), х, х)/і(х, <іх),

(Ода) (О.уг)

(21,2/2) (21,2/2)

Л5(>,?/) = / Р(г,х)ц'(г, (хЬ2:2),с/х) + / /?'(г, (хь г2), х)^((хь г2). сіх) -

(2/1,0) (2/1.0)

(21,3/2) (гі.уг)

- / /?((21,х2),х)/и/((2:ьх2),2:,(гх) - / Р'((гі,х2),х,х)іл(х,(іх).

(г/і,о) (2/1,0)

Применяя неравенство (1), при q £ [2, Hm(lM(s))[ имеем

s—>0

г / у \ ч>2

Е|Зг(г, у)|« < ( / |ß(z, x)\2Jl(г, у, dx)j +

/у \ 9/2 >.

+ V о У' Х^2^У' dx4 J ^

/ 2 __ \ Я/%

^ ^CgVG* - y|)E( }ß2(z,x)X(z,dx)J ;

E|J2(z,?/)|9 ^2« ^ifEjy ж2),ж)|2Д((^1, ж2), (2/1,^2),

/у \^21

+ ( / 104(21,X2),(yi,X2),x)\2ß((yl:x2),dx)J I <

/г___ \ 9/2

^ 29CgV(ki - 2/i I) Е i f ß2(z,x)A(z,dx)j ;

/2 __ \ 9/2

Е| J3(^, 2/)l9 ^ 2qCqqLp4(\z2 - y2|)Ei J ß2(z,x)X(z,dx)\ ;

Кг \ 9/2

/ |/?(г,х)|'2Д(2, (2bX2),rfx) I + (0,y2) /

/г \ 9/2

+ / |/?'(,Z, (2i,X2),x)|2^((zi,X2),(ix) +

M°^2) /

/ Z \ ^/^

+ ( / |0((а:1,2;2),х)|2Д((а;1,2;2),х,о;ж) 1 +

40,и) /

/ Z \ ^/^ 'J

+ ( f |/3/((a:i!22),a;,x)|27i(x;dx) ) l

40,w) / -»

/г___ \ 9/2

sC 4’С'д9у?9(|г2 - 2/2DEf f ß2(z,x)X(z,dx)J ;

/ Z _ \ 9/2

E|Jb(z,y)\q < 49CgV9(ki - 2/i!)E( f ß2(z,x)A(z,dx) j .

\ 9/2

+

Следовательно,

9/2^ 1/9

$z(g, S, 0 ^ C"^(s) ß 2(z, x)X(z, dx)

0

Снова применяя неравенство (1), имеем

Е|С(г)|р < С’У£П'Р\г,х)\(7.,йх)у .

О

Применяя лемму 3, получаем, что случайное поле £ имеет непрерывную модификацию, для которой справедливо неравенство (11) и

/ Ч1 \1/р Г/ п. л 1/'Р <р(з)В(г, 1

Заметим далее, что при у ^ г

ООьУг) - (1(2/1,2/г) =

(г/1. г/г) , \

= / (/3/((21, Х2), (г/1, х2), х)/и((г1, х2), ¿г) + /?((г/1, Жй), х)/х'((2Ь х2), (2/1, х2), <£г) 1 +

о '

(гъУг) .

+ / (/3/((г1,х2),х,х)/и((гих2),(1х)+/3(х,х)/и'((г1,х2),х,с{х)

(у 1,0)

Поэтому

Е1(г(гг,у2) - СЦУ!-//-) 4 ^

г / (г/ьг/г) _ \<?/2

< 49_1С?9Е|( / |/3'((гьж2), (у1,х2),х)|2/х((2;1,х2),(7'х)] +

/ (у 1,3/2) \ ?/2

+ ( / |Д((2/1, з?2), х)|2Д((^1, а:2), (уъх2),<кс) ) +

/ (гьг/г) . \ <г/2

+ / |/?'((-Ьж2),Ж,.т)|27/:((2ьХ2),сгж) +

V (г/1,о) /

/ (гьуг)

+ 1 / |/?(ж,х)|2Д((2Ьх2),ж.о?х)

V (VI,0) / J

^ А9С(^(р9(\г-[ - у{\)е( }]32(г,х)Х(г,йх)\ ,

V о /

и, значит,

Г / г _ \ 9/2'] 1/9

$^(<7, 5, ОС-, 22)) ^ С"д^(5)^ЕУ /?2(2,х)Л(2,йх^ | .

о

Кроме ТОГО,

2 р/2 ЕЮМГ « С'УЕ(У^2(г,з:)Л(г1*)У .

о

Применяя лемму 3, получаем, что для каждого фиксированного г2 ^ О

Е эир

2/1 £¡0,21

{рЛР( г- ( П рЛ1/Р <п [^(£)^(2’£) I [ Ф)В(г,з№\ (ЕА (г1,С1(-,г2),е)) ^ Ср^г| +] ф(3у+ф(а) )■

является непрерывным

2/2^0

Для каждого 2а ^ О процесс ((1(21, 2/2) - (1(2/1, 2/2)) однопараметрическим (5г(21,г/2))г/2^о'мартингалом. Применяя условие Каироли — Уолша, получаем, что (Д(2Ь <!(•, 2/2), ¿0 ) - (5'(г1,у2))з/2^о-субмартингал. Поэтому для

V / г/2^0

сепарабельной модификации случайного поля ((1(2), г £ имеем соотношение

Е вир Ар(г1,(1(-,У2),£) ^ (——г) ЕАр(гъ(1(-,г2),е) -* 0 при е -» 0.

У2^2 \p-lJ

Так как для каждого ^ 0 процесс ((1(21,2/2)) п. н. непрерывен, то ((1(2),

V / у2

г 6 Р^_) имеет непрерывную модификацию.

Так как ( эир 1(1(2/!, 2/2)|) — однопараметрический (5(гьу2))г/2>о'субмартин-

''2/1<21 '2/2^0

гал, то

Е эир |(1(у)|Р = Е эир ( вир 10(2/1,2/2)1) < (~Гт)Ре эиР Кг(Уъг2)\р,

2/б] 0,2] У2&2 'у 1^21 ' \р I/ 2/1^21

что вместе с неравенством (12) влечет неравенство (10) с заменой буквы ?/ на (д. Используя равенство

(2(2/1,22) - (2(2/1,2/г) =

(&/1 1У2) у .

= / [Р'({х 1, 22), (жь г/2), , г2),(1х) + /?((жь г/2), ж)а*/((ж1, ^2), (^1,2/2), ¿&с) ) +

о 4 '

(2/1.22) ,

+ / (/34(^1, 22), ж, х)/^((о:1, 2Г2)., ¿ж) + /3(ж,:с)//((;г1,,г2),:г,сЬ)

(0,2/2)

справедливое при у < 2, и проводя рассуждения, аналогичные тем, что применялись при исследовании поля £ь получаем существование непрерывной модификации и неравенства для моментов равномерной нормы и модуля непрерывности по второму аргументу случайного поля ((2(2)1 2 е Я+).

Учитывая очевидное равенство 77(2) — ’д(г) +■ £(г) + (1(2) + (2(г), убеждаемся в справедливости утверждения теоремы.

Замечание. Если условие (Н) выполнено с функцией -0(s) = 1/р, р ^ 2, то

Е sup \т](х)\р ^ Ср^Е

x€[0,z]

О

EAp(z, е, е) + ЕД^, Ст (•, z2), s) + ЕДр(г2, С2О1, ■),£) ^

Z

< Ср,*>,*,£Е^У /?2(z,:r)A(2:,6fe)

о

где CPiiP'Zt£ —> 0 при £ —» О.

Summary

INEQUALINIES FOR STOCHASTIC INTEGRALS WITH RESPECT TO A STRONG MARTINGALE

N.A. Kolodii

We investigate the properties of the random fields connected with stochastic in-tergals with respect to a twoparameter continuous strong square-integrable martingale in the case when a martingale and integrands depend from limits of integration. We prove the inequalities for the moments of unifirm norm and modulus of continuity of trajectories of continuous modifications of such fields.

Литература

1. Гущин А.А. К общей теории случайных полей на плоскости // Успехи математических наук. 1982. Т. 372. Вып. 6(228). С. 53-74.

2. Гущин А.А., Мишура Ю.С. Неравенства Девиса и разложение Ганди для двупараметрических сильных мартингалов 1 // Теория вероятностей и математическая статистика. 1990. Вып. 42. С. 27-35.

3. Dozzi М. Twoparameter stochastic processes // Mathematical Research. 1991. Vol. 61. P. 17-43.

4. Kolodii A.M. On existence of continuous modifications of random processes // Theory of Stochastic Processes. 2000. Vol. 6(22). .N° 1-2. P. 54-57.

5. Strieker C., Yor M. Calcul stochastique dépendant d’un paramétré // Z. Wahrschein-lichkeitstheor. verw. Geb. 1978. Vol. 45. P. 109-133.

6. Walsh J.B. Martingales with a multidimensional parameter and stochastic integrals in the plane // Lecture Notes in Mathematics. 1986. Vol. 1215. P. 329-491.