Деформационные соотношения дискретно-структурной теории многослойных оболочек высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДИСКРЕТНО-СТРУКТУРНОЙ ТЕОРИИ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

© Г.М. Куликов

Ключевые слова: многослойная оболочка; дискретно-структурная теория; тензор деформаций Грина - Лагранжа. Обсуждается дискретно-структурная теория многослойных оболочек, подверженных большим перемещениям и произвольно большим поворотам. В качестве искомых функций выбираются 3(2^ +1) перемещений лицевых и

срединных поверхностей слоев, где N - число слоев в пакете. Такой выбор перемещений позволяет построить принципиально новые соотношения для тензора деформаций Грина - Лагранжа, точно представляющие произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в локальных криволинейных координатах отсчетной поверхности. Полученные деформационные соотношения могут служить основой для разработки геометрически точных элементов многослойной оболочки.

1. ВВЕДЕНИЕ

Принципы построения дискретно-структурной теории многослойных оболочек заложены в фундаментальной статье Э.И. Григолюка по трехслойным оболочкам конечного прогиба [1], где впервые сформулирована гипотеза ломаной нормали, позволившая методологически строить теорию трехслойных оболочек в духе однослойных. Геометрически нелинейная теория многослойных оболочек, в которой для описания механического поведения оболочки принимается гипотеза ломаной нормали Григолюка, позднее была разработана в работах [2-9]. При этом в [9] построены принципиально новые соотношения для тензора деформаций Грина-Лагранжа, точно представляющие произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейных координатах отсчетной поверхности.

Как известно, метод конечных элементов на сегодняшний день стал наиболее мощным численным методом для решения задач механики оболочек. Вместе с тем проблема построения искривленных конечных элементов тонких оболочек, подверженных большим перемещениям и произвольно большим поворотам, ещё далека от решения. Причина кроется в неадекватном представлении деформационными соотношениями больших перемещений элемента оболочки как жесткого целого. Поэтому неудивительно, что в связи с отсутствием в литературе деформационных соотношений, способных в локальных криволинейных координатах представлять произвольное деформированное состояние элемента оболочки, в основном разрабатывалась концепция изопараметрического элемента, которая позволяла за счет существенного увеличения расчетного времени на компьютере представлять жесткие перемещения элемента как жесткого целого в глобальной декартовой системе координат [10, 11]. В этой связи отметим, что результаты [9] могут служить основой для разработки перспективных геометрически точных элементов оболочки. Термин «геометрически точный элемент» означает, что векторы перемещений внешних

поверхностей оболочки и поверхностей раздела слоев представляются в локальном базисе, связанном с от-счетной поверхностью.

В настоящей статье построены более общие деформационные соотношения дискретно-структурной теории многослойных оболочек, подверженных большим перемещением и произвольно большим поворотам, с использованием обобщенной кинематической гипотезы Григолюка. В качестве искомых функций выбираются 3(2 N +1) перемещений лицевых и срединных поверхностей слоев, что позволяет учесть параболическое распределение перемещений по толщинам слоев.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим оболочку, составленную из N слоев постоянной толщины Нк . В качестве отсчетной поверхности О примем внутреннюю поверхность какого-либо к-го слоя или поверхность раздела слоев, которую

отнесем к криволинейным координатам 91,92 . Поперечную координату 93 будем отсчитывать вдоль еди-

3

ничного вектора а 3 = а нормального к поверхности О (рис. 1). Пусть г(э1,92) - радиус-вектор точки отсчетной поверхности; аа = г а - ковариантные базисные векторы отсчетной поверхности; ав - контра-вариантные базисные векторы, определяемые стандартным соотношением аа- ав = 8^ , где 8^ - символ

Кронекера; яар = аа • ар и аав = а а • а в - ковари-

антные и контравариантные компоненты первого метрического тензора отсчетной поверхности;

а = йеі[аар ] - дискриминант первого метрического

тензора отсчетной поверхности; Ьв = —ав • а3 а -

смешанные компоненты второго метрического тензора отсчетной поверхности; zk-i, zk_^ и z* — поперечные координаты точек нижней Q k-i, срединной Q к_ij2 и верхней Q к поверхностей k-го слоя, при этом

hk - zk _ zk _1, zk-1/2 - T (zk _1 + zk );

x(k) — радиус-вектор точки k-го слоя:

X(k)- Г + 03«3, zk_1 <03 <zk;

(1)

(2)

ГZk) — радиус-векторы точек определяющих поверхностей Q т :

т k

Здесь и далее тензорные греческие индексы а, Р, у, 5 = 1,2 ; тензорные латинские индексы

/,у,т,п = 1,2,3 ; индекс слоя к = 1,2,...,N ; индексы нижней, срединной и верхней поверхностей к-го слоя 1к, Jk е {к -1, к -1/2, к}; индексы нижней и верхней

поверхностей к-го слоя Ак, Вк е { -1, к}.

Будем полагать, что перемещения распределены по толщине к-го слоя согласно квадратичному закону, т. е.

.Zk) =

(k) v (h) 'Ik ’

(8)

где vZk )(01,02 ) — векторы перемещений определяющих поверхностей Q^ ; L)(э3 ) — многочлены Ла-

гранжа второй степени [12]:

г Zk) - г + zT «3 ;

(3)

L'Zkk_)1 - ~Г (zk-1/2 _ 03 )(zk _ 03 ),

g) — ковариантные базисные векторы k-го слоя: gOf) - x? - )в«р . gZk) - x f} - «3 .

)P-5P_03^P , zk_1 <03 < zk;

(4)

аZjk) — ковариантные базисные векторы поверхностей

Q, :

jk

а(lk) = Г(lk) = )Р« )Р = ЯР _ - bР . (5)

аа - Г,а -Ла «в , Ла - °а zIk°a ; (5)

gZk) — ковариантные компоненты пространственного метрического тензора k-го слоя:

7(к) = g). g) = )Yu(k)яa

>аР gа gв ца цр ayS •

gZ3k}- g Z)- gZk }-5 ,

(6)

aZe) — ковариантные компоненты метрических тензоров определяющих поверхностей Qi :

a(4) = «Zi* ).«(4) _ п(т*)уп(4)яa ,

аав - «а ’ «в -Па Лр ayS ;

(7)

дискриминант пространственного

§(к ) = аег[^(,к)]

метрического тензора к-го слоя; а(к)= ёе1 [аО^р)] -

дискриминанты метрических тензоров определяющих поверхностей ^ 1к , при этом §(к1к )= а(/к); (...)г- -символ частного дифференцирования по координате 01; (...)|а - символ ковариантного дифференцирования на отсчетной поверхности ^ по координате 0а .

4-\/2 = ~2 (03 - гк-1 )(гк - 03 ), (9)

Пк

4к ) = ~2 (03 - гк-1 )(03 - гк-1/2 )

"к

такиe, что ^) {zJk )= 1 при Jk = 1к и 4*Нч )= 0

при Jk ^ 1к . Таким образом, здесь изучается 3(2^1)-

параметрическая модель оболочки, т. к. рассматривается N+1 лицевых и N срединных поверхностей слоев. Отметим, что кинематическая гипотеза (8), принятая для всего пакета слоев, была использована ранее для построения 9-параметрической модели оболочки в работах [12, 13].

Рис. 1. Геометрия многослойной оболочки

I

С целью более компактной записи разрешающих уравнений дискретно-структурной теории соотношения (2)-(5) полезно переписать так:

x(k) =X L(k )r(Ik ), r((_V2) = 1 (j.(k_l) + r(k)),

(10)

gik^I I(kk ]a'I‘), «ik-V’-)-2 ( + )),(11)

(k )=V N (k )a (Ak) a (Ak ) =

A a3 k \ a3 k' = a3

где nA )(03 ) - многочлены Лагранжа первой степени:

Nkk_1 = -1 (z, _03), N()= -і-(03 _z,_]) (12)

тжи^ что ^)(вк ) = 1 при Вк = Ак И ^(вк )= 0

при Вк * Ак .

Радиус-вектор точки к-го слоя оболочки в деформированном состоянии с учетом соотношений (8) -(10) представим в виде

х(к) = х(к)+ и(к) = 2 4{кук), гк-1 <03 < гк , (13)

ь

где г(к)(,02 ) - радиус-векторы точек определяющих поверхностей к-го слоя оболочки в деформированном состоянии:

r (i, ) = r (i, ) + v (i, )

(14)

Дифференцируя равенства (13), (14) и учитывая (11), приходим к формулам для базисных векторов k-го слоя оболочки в деформированном состоянии:

§3k)=x, )=

=IL

Ik

I N^f,) + p (; Ak)),

(15)

в ( ;к) = и(к )(к)=—(у (-1) - 4 V (-12)+3у ()).

, К

3. ДЕФОРМАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Тензор деформаций Грина-Лагранжа к-го слоя оболочки имеет вид

2slk ) = g(k ^ g (k)_ g(k ^ g (к).

(18)

Вводя базисные векторы (11), (15) в пространственные деформационные соотношения (18), приходим к деформационным соотношениям 3(2№1)-параметри-ческой дискретно-структурной модели многослойной оболочки

2е<к) =

= X 444к) (} ■ а()+у((° яО1к}+у(ак° у!(зк О,(19)

2^з=

= IN К a3A)+ p(;A) ■«&) + р(;Л) ■ v())

A, 1,

2s(k) =

2Ь33 _

= I NkNB)(k () ()+ p(k;(,) ,a(Ak) + p(k; Ak) ■p(,;Bk)).

Как видим, тангенциальные бОр), поперечные касательные Бак) и поперечные нормальные е3к>) компоненты тензора деформаций Грина-Лагранжа аппроксимируются по толщине к-го слоя с помощью многочленов четвертой, третьей и второй степеней, соответственно. Это является существенным препятствием для их использования в практических приложениях, поэтому более удобные деформационные соотношения рассматриваемой дискретно-структурной теории высокого порядка представим, учитывая кинематическую гипотезу (8), в следующем виде:

((k) = V Ik)(lk) ((k) = V Ik)(;jk )

ap-/^ blke ap , bl3 -bItel3

(20)

где аЦк)(э1,92) - базисные векторы определяющих поверхностей к-го слоя оболочки в деформированном состоянии; в(к’Ак )(э1,9 2 ) - значения производной

вектора перемещений к-го слоя по координате 93 на лицевых поверхностях ОА :

a (I,) = r (I,) = a (I,) + v (I,)

а ,а а ,а

(1б)

p(k;k_l) = u(k)(zk_1 ) = _L (_ 3v(k_l) + 4v(l2) _ v(),(17)

Здесь е%)=є0кр)(2/к ) и е(к’Н)=є(3)(гік ) - точные значения тангенциальных и поперечных компонент тензора деформаций Грина-Лагранжа к-го слоя на определяющих поверхностях О^ :

2)ajPk)=v &) ■ apik)+v ) ■ aaik)+v (ak) ■v ), (2l)

^)=vj) ■ «з+e(k ;ik) ■ «a*)+e(k ;ik) ■ v &),

2)3k;Ik) = 20(k;Ik) ■ a3 + P(k;Ik) ■ P(k;Ik),

I

k

I

k

A

k

1,, J

kk

A ,B

k> k

I

I

k

k

k

k

где

р<к•к-V2) , и()_,/2 )= ±(- у<к-1) + у()). (22)

Кк

Замечание 1. Важно отметить, что компоненты точного 8У) и приближенного ((к) тензоров деформаций Грина-Лагранжа удовлетворяют связующим условиям на определяющих поверхностях ^ 1к :

й<к )=( Жк )= ],

(3)(-1к )=8(3)(-1к )= 4; 1к).

(23)

Геометрическая интерпретация условий (23) показана на рис. 2.

Представим далее векторы перемещений V(1к) и

- р(;Ь)

производные векторов перемещении ру к' в локальном базисе, связанном с отсчетной поверхностью ^ , т. е.

у(1к) = у(1к )а', р(к; 1к ) = р (к; 1к )а ',

(24)

(25)

где

р (;к-1) = ± (- 37М + 4^2) - ^)), (26)

Кк

в (;к-12 )= ±_ (- ^-1) + у(к)),

Кк

в (к ;к )= и-1)_ 4^(-^2) + 3^(к)).

К

Производные векторов перемещений к-го слоя по координате 0а находим согласно формулам [12]:

77 (1к ) | = 77 (1к ) Г у 77 (1к )

7 |а= ,а -Г1а7у ,

(27)

(28)

где Г' - символы Кристоффеля:

Г' в = а ' ■аа,в, Г3ва = -6Р, Г33а = 0 . (29)

Вводя формулы (5), (25), (27) в деформационные соотношения (21), приходим к скалярной форме этих соотношений

2еар) =Пв1к ^ 7ук) 1а +П«к )т 7 ^) 1в + а' 7(1к )7 У °, (30) 2^*) = ^) |а +пОк } + а‘у в(к;1к)7У) |а ,

2е33;1 к) = 2в3к;1 к) + в(к;1 к Мк ;1к),

где принято удобное обозначение а'3 =513 .

Рис. 2. Распределение точных деформаций 8 (к), 8 (к+1) (---) и приближенных деформаций 8(к), 8(к+1) (----) по толщинам

к-го и к+1-го слоев в 6^3-параметрической модели многослойной оболочки

8

Рис. 3. Распределение точных деформаций 8(к), 8(к+1) (-) и приближенных деформаций 8(к), 8(к+1) ( “

к-го и к+1-го слоев в 4^3-параметрической модели многослойной оболочки

Деформационные соотношения 6N + 3 -пара-

метрической дискретно-структурной модели оболочки (20), (30) можно упростить, рассматривая 4N + 3-параметрическую дискретно-структурную модель первого порядка. В этой модели предполагается, что тангенциальные перемещения распределены по толщине к-го слоя согласно линейному закону, в то время как распределение поперечных перемещений остается неизменным:

(к) =

(к)л(Ак) „(кь(кI,(1к)

Ак а

1к 3

(31)

Ак

1к

Таким образом, в качестве искомых функций принимаются 3(N +1) тангенциальных и поперечных перемещений лицевых поверхностей слоев и дополнительно N поперечных перемещений срединных поверхностей слоев. Предполагается также, что тангенциальные и поперечные нормальные деформации распределены в пределах слоя по линейному закону, а поперечные касательные деформации являются постоянными, т. е. имеем

(к)=X 4%), 8 33=X Ак), (32)

А А

(к)=8(«о 8(к)=1 (е-1)+е(;к))

а3 еа3 , еа3 0 \еа3 а3 /.

Замечание 2. Компоненты точного 8(к) и приближенного 8(к) тензоров деформаций Грина-Лагранжа удовлетворяют связующим условиям на лицевых поверхностях к-го слоя ^ а :

е^-Ак )=8!ф(-Ак )= еЦк>, (33)

8 (3 )(-Ак )= 8 (3 )(--Ак )= # А).

Отметим, что более общие условия представлены формулами (23), и геометрическая иллюстрация условий (33) показана на рис. 3.

4. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ОБОЛОЧКИ КАК ЖЕСТКОГО ЦЕЛОГО

Деформационные соотношения (20), (30) являются весьма привлекательными с точки зрения их использования в методе конечного элемента, поскольку они точно представляют произвольно большие перемещения оболочки как жесткого тела в криволинейной системе координат, связанной с отсчетной поверхностью ^ . Действительно, перемещения к-го слоя оболочки как жесткого тела можно представить в векторной форме так:

(u(kf = А + (Ф _ Е)«, z,_l < 03 < z,.. (34) (eS = 0, (e(:kJk f*“

= 0.

(41)

Здесь А = Дг- а1 - вектор поступательного перемещения оболочки; Е - единичная матрица; Ф - ортогональная матрица вращений [14]:

cos0cosy cos0siny _sin0

Ф = _cosфsiny+sinфsinеcosy cosфcosy+sinфsinеsiny sinфcosе

sinфsiny+cosфsinеcosy _si^cosy+cosфsinеsiny cosфcosе

,(35)

где ф, 0, ^ - углы Эйлера - Крылова, характеризующие вращение оболочки как жесткого целого вокруг точки О (рис. 1). В частности, перемещения определяющих поверхностей О1к можно записать в виде

(v,Ik ))Rigid = А + (Ф _ E)r,Ik

(36)

Учитывая соотношения (10), (17), (22), (34), (36) и очевидные формулы для производных

Д l = 0, Ф= о,

(37)

приходим к выражениям для производных векторов перемещений:

(v ik ))Rigid =(Ф _ E)aaik К,

(3(3 ;k _l))Rigid =( )(z, _l )

(38)

(39)

(ф _ e)

_e)_3r3_lK + 4r(k_V2) _r(k)|= (_

r=

)=(ф _ e)

( (k ;k ))Rigid =(u,k )(zk ))Rigid =

= — (Ф _ e) 3 _lK _ 4r3 _1/2) + 3r3 К = (Ф _ E)a3

Равенства (41) означают, что все компоненты тензора деформаций Грина — Лагранжа на лицевых и срединных поверхностях слоев (30) дают строгие нули для произвольных перемещений оболочки как жесткого тела. Таким образом показано, что деформационные соотношения (20) точно представляют большие перемещения оболочки как жесткого целого.

ЛИТЕРАТУРА

1. Григолюк Э.И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 1. С. 26-34.

2. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Нелинейные уравнения тонких упру-телем // Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 5. С. 68-80.

3. Либреску Л. Нелинейная теория упругих анизотропных многослойных оболочек // Избранные проблемы прикладной механики. М.: Наука, 1974. С. 453-466.

4. Epstein M., Glockner P.G. Nonlinear analysis of multilayered shells // Int. J. Solids and Structures. 1977. V. 13. № 11. P. 1081-1089.

5. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. К теории упругих слоистых анизотропных оболочек // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275. № 5. С. 10771079.

6. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

7. Куликов Г.М. Термоупругость гибких многослойных анизотропных оболочек // Изв. АН РАН. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 33-42.

8. Kulikov G.M. Computational models for multilayered composite shells with application to tires // Tire Science and Technology. 1996. V. 24. № 1. P. 11-38.

9. Куликов Г.М. Деформационные соотношения, точно представляющие большие перемещения оболочки как жесткого тела // Изв. АН РАН. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 130-140.

10. Голованов А.Н., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: КФТИ АН СССР, 1989. 269 с.

11. Bathe K.J. Finite Element Procedures. NJ: Prentice Hall, 1996. 1037 p.

12. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell element with seven displacement degrees of freedom // Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2008. V. 28. № 1. P. 15-38.

13. Kulikov G.M., Carrera E. Finite deformation higher-order shell models and rigid-body motions // Int. J. Solids and Structures. 2008. V. 45. № 11—12. P. 3153-3172.

14. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 670 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00373) и Министерства образования и науки РФ (проект № 2.1.1/660).

Поступила в редакцию 25 марта 2009 г.

k

k

k

Если ввести формулы (38), (39) в деформационные соотношения (21), то после несложных преобразований получим

2(5 ) = ())' ())- а^к)' а(1к), (40)

2(е(;1к ^ = ())' (Фа3)- а(1к3а3 .

Принимая во внимание, что ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение векторов, из (40) вытекает

Kulikov G.M. Strain-displacement relationships of higher-order discrete-layer shell theory. A discrete-layer theory of shells subjected to large displacements and arbitrarily large rotations is discussed. As unknown functions 3(2N +1) displacements of

outer and middle surfaces of layers are chosen, where N is the number of layers. Such choice of displacements permits to develop the principally new equations for the Green - Lagrange strain tensor, exactly representing arbitrarily large rigid-body shell displacements in local curvilinear coordinates of the reference surface. The derived strain-displacement relationships can be taken as a basis for development of the geometrically exact multilayered shell elements.

Key words: multilayered shell; discrete-layer theory; Green -Lagrange strain tensor.