Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом. 2 геометрически нелинейная постановка Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математика. Физика

УДК 539.3

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ЖЕСТКИМ ТЕЛОМ. 2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА Г.М. Куликов, С.В. Плотникова

Кафедра «Прикладная математика и механика», ТГТУ

Ключевые слова и фразы: геометрически нелинейная контактная задача; модифицированный метод множителей Лагранжа; пластина типа Тимошенко; смешанный метод конечных элементов.

Аннотация: Рассмотрена задача контактного взаимодействия упругой пластины типа Тимошенко, подверженной произвольно большим перемещениям и поворотам, с абсолютно жестким штампом. Разработан алгоритм численного решения контактной задачи на основе смешанного метода конечных элементов с использованием модифицированного метода множителей Лагранжа. В качестве искомых функций выбираются 6 перемещений лицевых плоскостей пластины, что позволяет упростить постановку контактных задач, поскольку с помощью этих перемещений формулируются условия непроникания контактирующих тел, и получить соотношения для компонент тензора деформаций Грина-Лагранжа, точно представляющие произвольно большие перемещения пластины как жесткого тела.

1 Постановка задачи

В [1] рассмотрена задача контактного взаимодействия геометрически линейной пластины типа Тимошенко с абсолютно жестким штампом и разработан алгоритм численного решения задачи на основе смешанного метода конечных элементов (МКЭ) с использованием модифицированного метода множителей Лагранжа. Здесь на основе теории упругих пластин типа Тимошенко, подверженных произвольно большим перемещениям и произвольно большим поворотам [2], разработан более общий алгоритм численного решения контактной задачи с использованием смешанных конечно-элементных аппроксимаций [3].

Как и в работе [1], в качестве искомых функций выбраны 6 перемещений лицевых плоскостей пластины. Это позволяет, во-первых, упростить формулировку контактных задач, так как в качестве искомых функций выбираются функции, с помощью которых формулируются условия непроникания контактирующих тел; и, во-вторых, разработать эффективные смешанные элементы пластины типа Тимошенко с точки зрения точного представления произвольно больших перемещений пластины как жесткого целого [4].

Рассмотрим пластину постоянной толщины И, ограниченную лицевыми

плоскостями £_ и £ + , расположенными на расстояниях 5- и 5+ от отсчетной

плоскости £, соответственно, и боковой поверхностью О , перпендикулярной к £ (рис. 1). Отнесем плоскость £ к системе декартовых координат *1, х2; поперечную координату Х3 направим по направлению нормали к £. Пусть £ - срединная плоскость пластины; Г = £ IО - граничный контур; е 1 - базисные векторы де-

± ч_/

картовой системы координат х^ ; р, - внешние поверхностные нагрузки, действующие на лицевых поверхностях £ ± ; q = qv V + I + qзe3 - вектор внешних поверхностных нагрузок, действующих на боковой поверхности О ; V, I - нормальный и тангенциальный единичные векторы к граничному контуру Г ; и1 -

компоненты вектора перемещений; е и - компоненты тензора деформаций Грина-Лагранжа; £^ - компоненты симметричного тензора Пиола-Кирхгофа. Здесь и далее латинские индексы 1, ], I, т = 1, 2, 3; а греческие индексы

а, р, у = 1, 2 .

Воспользуемся кинематической гипотезой Тимошенко о линейном распределении перемещений по толщине пластины в виде [5, 6]:

и = N" (х3)у-+ N +(х3)у+, (1.1)

и = £ и,е,, У±=Х е1, (1.2)

1 1

где V ± - векторы перемещений лицевых плоскостей £ ± ; У± (*1, х2) - компоненты этих векторов; N ± (*3) - линейные функции формы пластины:

N"(*3 ) = И(5+-хэ), N + (*3) = ИИ(х3-5"). (1.3)

Вводя перемещения (1.1), (1.2) в деформационные соотношения геометрически нелинейной теории упругости [7], приходим к деформационным соотношениям теории пластин типа Тимошенко [4]:

е а1 = N (х3 )Еа1 +N +(х3 )Еа1, е 33 = (1.4)

где £ар и Е,±3 - тангенциальные и поперечные касательные деформации лицевых

плоскостей пластины £ ± ; Е33 - поперечное обжатие, определяемые по формулам:

Здесь нижний индекс а, следующий после запятой, означает частное дифференцирование по координате ха .

Деформационные соотношения (1.4), (1.5) являются весьма привлекательными с точки зрения их использования в МКЭ, поскольку они точно представляют произвольно большие перемещения пластины как жесткого тела. Действитель-

но, перемещения лицевых плоскостей пластины как жесткого целого [8] можно представить в виде

V ±к = А + ФЯ ±- Я ±, (1.6)

А = ZA ie i, R ±=Z xae a+8±e 3.

Здесь А - вектор поступательного перемещения пластины; Я - радиус-векторы

точек лицевых плоскостей £ ± ; Ф - ортогональная матрица, характеризующая вращение пластины как жесткого целого вокруг точки 0 (рис. 1)

Ф =

cos 9 cos у cos 9 sin у - sin 9

-cos фsiny+sinфsin9 cos у cos фcos у+sinфsin9siny sinфcos 9

sinфsiny + cos фsin9 cos у - sinфcos у + cos фsin9siny cos фcos 9

(1.7)

где ф, 9 , у - углы Эйлера-Крылова. Для производных векторов жестких перемещений (1.6) с учетом представления (1.7) нетрудно получить формулу

v ±R = Фє - e

(1.8)

Вводя далее (1.6), (1.8) в деформационные соотношения (1.5) и учитывая свойство ортогонального преобразования сохранять скалярное произведение векторов, получим

2є 41і =(Фе, )(фе ])-е, е ] = 0 ,

IX

что и требовалось доказать.

В целях использования деформационных соотношений (1.5) в алгоритме численного решения контактных задач представим их в скалярной форме

С± — ± ± С± — ± ± С —

Е ар- еар+пар , Е а3 - еа3 +па3^ Е33 - е33 +п 33^

(1.9)

2еар - уа,р + у±,а, 2еа3 - Ра + у±а, е33 -в3,

2П±р - XУ±а^±р, 2П+а3 - Хв

±

2"Л33 - Xе2’

2 Смешанное вариационное уравнение для упругой пластины типа Тимошенко

Вариационный принцип Ху-Васидзу [9] для упругой пластины, подверженной конечным деформациям, может быть записан в виде

где иу , и{, и3 - компоненты вектора перемещений в локальном базисе V , 1 е3 , связанном с граничным контуром Г (см. рис. 1); Ьі]£т - компоненты тензора эффективной жесткости; є “ - компоненты тензора деформаций Грина-Лагранжа, вызванных полем перемещений; є ] - компоненты тензора независимо введенных деформаций.

Подставим в смешанное вариационное уравнение (2.1) независимые аппроксимации перемещений (1.1) и деформаций

деформации лицевых плоскостей; Е33 (1, х2) - поперечное обжатие. В результате, учитывая деформационные соотношения (1.4), (1.9) и вводя результирующие напряжений и внешних поверхностных нагрузок

Л

^ ^ Ьі]ІтєІт 5єі] +(єX єи )5^гу ^і]5єи ^х3^ +

? 5- і,] V І,т )

єаі N (х3 )Еаі + ^ (х3 )Еаі, є 33 Е33,

(2.2)

где Еі±р(х1, х2), Еа±3 (х1, х2) - тангенциальные и поперечные касательные

5+

(2.3)

5

5

5+

Т±ж - | 7Ж N ±(х3 )й?х3 (ж -V, ґ, 3) ,

5-

приходим к следующему вариационному уравнению:

(2.4)

5JHW - U I

S Ii+J<6

T- -

iJ

I (

^+m<6

Dip0mE£m + Di0'£mE£m ) - DiJ33E33

5E- +

T+ -

iJ

I (D°lmEi’m + DljtmEtm )- D+33E33

^+m<6 .

5Ei+ +(E( -e- -n/-) +

+ (+ -4 -ni+ )5Ti+ -TiJ (5eJ + 5Пij)-1+ (5e+ +5n+)}-

T33 -

К

£+m<6

D33imEim + D33imEi’m )- D3333E33

5E33 +(E33 - e33 -n33 )5T33 -

-T33 (33 +5П33) + I(p+5v+ -pi 5vi )

dx1dx2 +

+$(Tvv5v - + TJv5v + + Tv-5v- + Т+ 5v+ + Tv-35v3- + ^3+) ds,

(2.5)

± ± ± ч_/ ч_/ С'Т +

где , Уз - компоненты векторов перемещений лицевых плоскостей о в

локальном базисе V , 1 ез; - компоненты тензоров жесткости пластины:

(•Г 1 2-p - q г и p+q

Drjlm -j biJim N“(x3) ГN (x31 dx3 (p, q - 0, 1) , (2.6)

p+q

DiJ33 - DiiJ03 + DiJ33 5 D+33 - J + d1J33 5 D3333 - D3333 + D3+333.

При вычислении компонент симметричного тензора напряжений Пиола-Кирхгофа могут быть использованы полные соотношения обобщенного закона Гука

SiJ biJ£m є tm.

t, m

(2.7)

Однако, при расчете пластин из несжимаемых или близких к ним по характеристикам материалов, у которых коэффициенты Пуассона близки к 0,5 [2, 5], а также с целью преодоления так называемого Пуассоновского заклинивания [3, 4, 10] будем приближенно полагать в (2.7) Ьар33 - 0. Вместе с тем уравнение

для поперечного нормального напряжения используется в неизменном виде, т.е. ^33ар ^ 0. Сказанное означает, что согласно (2.6) подчеркнутые члены в вариационном уравнении (2.4), (2.5) следует опустить. В результате приходим к несимметричной матрице жесткости, что, однако, не вносит существенных корректив в численную реализацию контактной задачи.

+

5

5

3 Модифицированное вариационное уравнение для решения геометрически нелинейной контактной задачи

Предположим, что контакт пластины с абсолютно жестким гладким выпуклым штампом осуществляется, как и в [1], по части внешней плоскости 0с+с о + , причем трение в области контакта отсутствует, т.е. для вектора контактных усилий имеем

(3.1)

q + = -q+n b,

q+ < 0,

где д+(х1, х2) - контактное давление; пь - единичный вектор внешней нормали к поверхности штампа (рис. 2).

Рис. 2 Взаимодействие пластины с жестким штампом

Пусть поверхность штампа задается уравнением

Т(хь х2, хз) = 0, (3.2)

при этом внутри штампа х1, х2, Х3 )< 0, вне его х1, х2, Х3 )> 0.

Сдвинем штамп на величину А вертикально вниз, тогда уравнение поверхности штампа будет иметь вид

х1, х2, хз +А) = 0. (3.3)

В результате перемещения штампа точка М +(х1, х2, 8+), принадлежащая поверхности предполагаемого контакта 0+, переходит в новое положение М + (*1, ^2, *з), где обозначено:

ха = х а + V а, *3 =8++ V 3+. (3.4)

Учитывая формулы (3.3), (3.4), условие непроникания контактирующих тел можно записать в следующей форме

¥(хь х2, Х3 + Д)> 0, (3.5)

которое для простейшего случая цилиндрического штампа с образующей параллельной оси Ох1 принимает вид

^ (х2, V+, ^) = (х2 + V+) +(V++Д-Я) - Я2 > 0, (3.6)

где Я - радиус цилиндра.

Неравенства (3.1), (3.5) необходимо дополнить условием того, что контактное давление определяется в точках, которые вступают в контакт с жестким штампом, т.е. должно выполняться равенство

д+Т(, Х2, Х3 +Д) = 0. (3.7)

Для решения задачи контактного взаимодействия пластины с жестким штампом в геометрически нелинейной постановке рассмотрим вариационное уравнение (2.4), (2.5), дополнив его слагаемым, отвечающим за выполнение условия непроникания (3.5), и еще одним слагаемым [11], связанным с регуляризацией задачи

-8Ц 5+

где Х(*1, х2) - множитель Лагранжа; еге§ - регуляризационный параметр. Заметим, что в случае решения геометрически линейной контактной задачи для пластины и пологого штампа [1], когда контактные усилия q + распределены по не-

деформированной поверхности Б+ в направлении оси Ох3, множитель Лагранжа совпадает с контактным давлением, т.е.

д+=Х. (3.9)

Принципиально иная ситуация возникает при решении геометрически нелинейной задачи для пластины, взаимодействующей с непологим штампом, когда контактные усилия q + распределены согласно (3.1) по деформированной поверхности 5С в направлении нормали к поверхности штампа.

Чтобы обобщить формулу (3.9) рассмотрим виртуальную работу, произведенную контактными усилиями,

8ЛС = и q+5у+(Лх^х2. (3.10)

5+

Этой работе в вариационном уравнении (3.8) отвечает следующий член

8ЛС =- Х5Т(, *2, Х3 + Д) йх^х 2. (3.11)

5+

ХТ((, Х2, Х3 +Д) X2

йх^Сх 2 = 0,

(3.8)

Далее, учитывая соотношения (3.4), вычисляем вариацию функции Т

5Т(хь ^ х3 +А) = ^—— (хь ^ х3 + А—+ ,

і ^і

откуда

5Т(, %2, Х3 + А) = У¥((, х2, Х3 + А—у+. (3.12)

Сопоставляя формулу (3.10) с (3.11) и принимая во внимание (3.12), получим

q + =-Х|УТ(х1, х2, х3 + А) пь. (3.13)

Сравнивая соотношения (3.1), (3.13), приходим к требуемой формуле для контактного давления

X2, х3 +А)|.

(3.14)

В заключение, вариационное уравнение (3.8) запишем в более удобной для численного алгоритма форме

5Ы нш -5Ыс = 0,

где

5Ыс = Ц<! ХУТ(х1, *2, *3 +А)5у + +

(3.15)

5Х [■ Сх^х 2.

(3.16)

4 Алгоритм численного решения геометрически нелинейной контактной задачи смешанным МКЭ

Смешанное вариационное уравнение (3.15) для элемента пластины в его локальных координатах ^, £,2 , которые изменяются от -1 до 1, представим с учетом (2.5), (3.16) в матричной форме 1 1

Ы

нш

| Д(Т - БЕ — 5Е + ( -е -п+ 8Т - Тт (8е + 5п) + Р2

5у

-1 -1

+ ф Тг 5у г ds,

^1с 2 +

(4.1)

1 1

-1 -1

5Ыс = { }рт5у + + У1+,12 + V2+,5+ +А+ У3+)—— X

5Х[- С 12, (4.2)

1 + + + т і - + - + - + т

у = V v1 ^2 v2 ^ v3 , її и > Vv ^ П v3 v3

Е =

Е11 Е1+1 Е12 Е22 2Е12 2 Е1+2 2 Е13 2 Е13 2 Е23 2Е 23 Е33

Є = Єн ви Є

Єц 2Є1 2 2єц 2є1 3 2Є13 2є23 2Є'>о Є3

11 е11 е22 е22 іе12 іе12 іе13 іе13 іе23 іе23 е33

і’

Г

П = [пп п+1 п 22 п +2 2^12 2п+2 2^13 2п+3 2п 23 2п +3 К 1 1 ГГ ГГ

Т = [Т1"1 Т+ Т22 гр + гр — гр + гр — гр + гр — гр + Т 22 Т 12 Т 12 Т13 Т13 Т 23 Т 23 Т33

Т = \т~ т+ Аг 1 1 ^ 1 vv Т- Т+ Т-3 Т\3 ] , Р = [-Р- Р1+ -Р2 Р 2 Р Ы | Р Т

Е = [0(уШ)1 0(уШ)2 0(УШ)3 ] Т ,

ЛШ / Ч

(УШ) =--------------+(^1 + , 12 + У+, 8+ +Д + Уз+)!

г)\} ' '

др

где V - столбец перемещений; V г - столбец перемещений граничного контура

Ге; Е - столбец независимо введенных деформаций лицевых плоскостей пластины; е, п - столбцы, характеризующие линейные и нелинейные составляющие тензора деформаций Грина-Лагранжа (1.9); Т - столбец результирующих напряжений; Тг - столбец внешних результирующих нагрузок, действующих на границе элемента Ге ; Р - столбец поверхностных нагрузок; Б - несимметричная матрица коэффициентов упругости размера 11x11, элементы которой определяются на основе соотношений (2.6) с учетом допущений [2 - 6], принятых для расчета несжимаемых материалов, а также с целью преодоления Пуассоновского заклинивания.

В вариационном уравнении (3.15), (4.1), (4.2) вектор-функции V, Е, Т и множитель Лагранжа X являются независимыми функциональными переменными, поэтому для них на элементе надлежит использовать независимые аппроксимации. Для перемещений воспользуемся стандартной билинейной аппроксимацией

(4.3)

где Vг =

Пг у1г

^2г у2г

и3г

v3г

- столбцы узловых перемещений;

Nг ( 1, £, 2 ) - линейные функции формы.

Для деформаций и результирующих напряжений согласно методу двойной аппроксимации [12, 13], обобщенному на случай учета поперечного обжатия [2 - 4], имеем еще более простые зависимости

(4.4)

гЬ г2

г00 _ т-,-00 ,7+00 т-,-00 77+00 0 77-0^ 77+00 0 77-00 Т 77+00 0 77-0^ 77+00 ,700

Е = Е11 Е11 Е22 Е22 2Е12 2Е12 2Е13 2Е13 2Е23 2Е23 Е33

Е01 = 1 Е-01 Е+01 2Е-301 2£+)1 ^33

Е10 =1 Е

-10 ,7+10

22

-22

2Е2"310 2Е

7+10 77Ю

23

-33

Е11 =

г

(4.5)

Г1 Г2

н о о N "т —00 т +00 т —00 111 111 122 гр +00 1 22 1 20 о гр +00 112

т01 - Г!—01 гр +01 111 гр —01 113

гт’~00 т"1 т00 ГТ~00 Т 1 13 1 13 1 23 1 '

00 ^ +00 ^00

гр10 _ I гр —10 гр + 10 гр —10 гр +10 гр10

т - 122 122 123 123 133

13

гр +01 гр 01

113 133

1

23

23

33

] ’

] , т11 -[13131 ]

где О00 - единичная матрица размера 11x11; матрицы О01, О10 размера 11 х 5

и столбец О11 размера 11x1 определены в [1]. Здесь и далее в этом разделе индексы Г1, г2 принимают значения 0 или 1.

Если ввести аппроксимации (4.3) - (4.5) в вариационное уравнение (3.15),

(4.1), (4.2) и использовать стандартную процедуру смешанного МКЭ, то можно придти, как и в [1], к уравнению равновесия элемента. Однако, принимая во внимание тот факт, что даже в простейших задачах (см., например, условие непрони-кания (3.6)) функция Т зависит от перемещений нелинейно, при вычислении вариации интеграла 3 с из (4.2) будем придерживаться иной схемы

Ыс-X

XгБгг5уг +| ТГ — 1

ге§

-XГ І8ХГ

(4.6)

где X Г, Т Г, Е Г - значения соответствующих функций в узлах элемента. В результате, получаем следующие уравнения равновесия элемента:

Е Г1Г2 -(о Г1Г2 )1 (в Г1Г2 + А Г1Г2 V ) V , тГ1Г2 =(оГ1Г2 )1 ВдГ1Г2 ЕГ1Г2 ,

X (вГ1Г2 + 2АГ1Г2 V)1 оГ1Г2 тГ1Г2 + Ос (V)Л - Р,

(4.7)

r1, Г2

где V -

1111 VI V 2 V 3 V 4

- столбец узловых перемещений элемента;

Л = [ X 2 X з X 4 ] - столбец узловых значений множителя Лагранжа; Р -

столбец узловых нагрузок; ВГ1Г2 - матрицы размера 11 х 24, характеризующие

линейные составляющие тензора деформаций Грина-Лагранжа (1.9); АГ1Г2 -трехмерные массивы размера 11 х 24 х 24, характеризующие нелинейные составляющие тензора деформаций Грина-Лагранжа (1.9); О с - матрица размера 24 х 4 , отвечающая контактному взаимодействию элемента:

О с -

Е1 0 0 0

0 Е 2 0 0

0 0 Е3 0

0 0 0 Е 4

(4.8)

Г

Отметим, что под обозначением АГ1Г2V в уравнениях (4.7) следует понимать матрицы размера 11 х 24, элементы которых вычисляются по формулам

(АГ1Г2V) =ХЛ™V, (р = ГТГ; Ч, , = 1, 24).

рч ,

Уравнения равновесия элемента (4.7) необходимо дополнить соотношениями, отвечающими согласно (4.1), (4.6) за выполнение условий контакта. В зоне контакта (р е 1с) должны удовлетворяться условия

Тр-;^ хр= 0 хр^ 0, (4.9)

а вне зоны контакта (р £ 1с) - условия

Тр> 0, Хр= 0, (4.10)

где 1с с { 1, 2, 3, 4} обозначает множество узлов, входящих в контакт.

Исключая далее в уравнениях (4.7) столбцы ЕГ1Г2 и ТГ1Г2, приходим к разрешающей системе уравнений

О(V) + Ос (V)Л = Р, (4.11)

где

О(V) = X ~Т+Г(ВГ1Г2 + 2АГ1Г2 V)Т БГ1Г2 (ВГ1Г2 + АГ1Г2 V) V. (4.12)

Г1, Г2 3 1 2

В формуле (4.12) для удобства записи введены матрицы размера 11 х 11:

\Т I \Т

Drr = Qrr (Qrir2 ) DQrir2 (qr1r2 ) .

Уравнения равновесия (4.8), (4.11), (4.12) и условия непроникания (4.9), (4.10) являются нелинейными, поэтому для решения сформулированной задачи применим метод Ньютона-Рафсона. Линеаризованные уравнения равновесия имеют вид

Kn V [n+1] + G с (v [п])л [n+1] = F - G (v [n]) + K [n]V[n], (4.13)

K [n] = dG(~ ЛйП dG, dV

Ц V (V М) л М.

■\ / ЗУ V '

При этом в зоне контакта (р е 1с) должны выполняться условия

■*т (v [йП v [”+1]_L х!”+1]= et (v [n] v [n] - W v [n]

P „ reg p ^

(4.14а)

x[,”+1] < 0; (4.14б)

вне зоны контакта (р £ 1с) - условия

(4.15а)

(4.15б)

На стандартной процедуре сборки элементов в ансамбль с получением системы уравнений относительно глобального вектора узловых перемещений здесь останавливаться не будем. Далее, как и в [1], был использован метод проб и ошибок, суть которого состоит в следующем. Вначале задается начальное приближение зоны контакта и решается методом Гаусса линейная система уравнений (4.13), (4.14а), (4.15б), затем проверяется выполнение неравенств (4.14б), (4.15а). Если неравенство (4.14б) не выполняется, то узел выводится из зоны контакта. В случае, если не выполняется неравенство (4.15а), то узел добавляется к зоне контакта.

Рассмотрим задачу цилиндрического изгиба пластины абсолютно жестким цилиндрическим штампом радиуса Я. Будем полагать, что к обоим торцам пластины приложены равные по величине консервативные силы Р, при этом сам штамп является неподвижным (рис. 3). Условие непроникания контактирующих тел может быть записано в виде (3.6) с учетом условия Д = 0.

Результаты решения задачи в геометрически линейной [1] и нелинейной по-

пластины, представлены в табл. 1, 2. Изучены случаи пологого (Я = 1000 мм) и непологого (Я = 100 мм) цилиндрических штампов. Вследствие симметрии задачи рассмотрена одна половина пластины, которая разбивалась на 40 элементов. Для параметра регуляризации были выбраны такие значения: в случае пологого

метра регуляризации является важным этапом обсуждаемого алгоритма, существенно влияя на результаты расчета контактного давления [1]. Однако, при определенных навыках, анализируя распределение контактного давления по деформированной поверхности пластины, можно придти практически к оптимальному значению для этого параметра.

5 Анализ численных результатов

Р

О

Р

Рис. 3 Взаимодействие бесконечно длинной пластины с жестким цилиндрическим штампом

становках при Е = 2 -104 МПа; v= 0,3; к = 2 мм; I = 100 мм, где 21 - длина

штампа егеё = 105 (см. работу [1]), непологого штампа егеё = 101. Выбор пара-

Таблица 1

Сравнение результатов расчета в геометрически линейной [1] и нелинейной постановках для пологого цилиндрического штампа

(Я = 1000 мм)

Вариант Линейная задача [1], мм Нелинейная задача, мм

Р, Н/мм ЬтХ Ьехі ^3 (±^) Ьехі ^3 (±^)

0,1 0,0 0,0 1,138 0,0 0,0 1,138

0,3 0,0 2,5 3,410 0,0 2,5 3,407

0,5 40,0 42,5 4,427 40,0 42,5 4,419

1,0 70,0 72,5 4,857 70,0 72,5 4,846

2,0 85,0 87,5 4,965 85,0 87,5 4,952

3,0 90,0 92,5 4,985 90,0 92,5 4,971

Таблица 2

Результаты решения геометрически нелинейной задачи для непологого цилиндрического штампа (Я = 100 мм)

Р, Н/мм Ьшь мм Йехь мм Vз (±^), мм

1,25 0,0 2,5 26,39

2,5 0,0 37,5 39,62

5,0 0,0 65,0 43,85

10,0 0,0 82,5 45,11

20,0 0,0 92,5 45,50

Из табл. 1 видно, что в случае пологого штампа учет геометрической нелинейности не влияет на результаты расчета координат начальной Ь;п1 и конечной ЬеХ точек контакта, поскольку в контакт со штампом вступают лишь несколько узлов. Достаточно близкие результаты получены и для нормальных перемещений срединных точек торцевых сечений пластины Уз (±£). К принципиально иной

картине приходим в случае непологого штампа, когда контакт согласно данным табл. 2 является многоточечным. Здесь уже не наблюдается отрыва центрального сечения пластины от штампа во всем диапазоне исследованных нагрузок. Рис. 4 дополнительно показывает распределение контактного давления по деформированной поверхности пластины при ее взаимодействии с непологим штампом для нескольких значений безразмерного параметра нагружения.

В заключение проанализируем результаты расчета реакции контактного давления в направлении оси Ох3

£

Рс = 2|х(у+- Я )х 2.

0

Так, в случае неполого штампа при нагружении пластины по торцам силами Р = 20 Н/мм для реакции контактного давления было получено значение Рс = 20,00000002 Н/мм, что свидетельствует о достаточно высокой точности вычислений.

P = \2S P = 2.5

по длине деформированной пластины при различных значениях безразмерного параметра нагружения P = 16 PR 2/Eh

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 04-0100070).

Список литературы

1. Куликов Г.М. Контактное взаимодействие упругой пластины с жестким телом. 1. Геометрически линейная постановка / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова, Д.В. Казаков // Вестник ТГТУ. - 2004. - Т.10, № 1Б. - С. 180 - 194.

2. Куликов Г.М. Исследование локально нагруженных многослойных оболочек смешанных методом конечных элементов / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 2002. - Т. 38, № 6. - С. 815 - 826.

3. Kulikov G.M. Non-linear strain-displacement equations exactly representing large rigid body motions. Part I. Timoshenko-Mindlin shell theory / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. -V. 192, Ш 7 - 8. - Рр. 851 - 875.

4. Kulikov G.M. Finite deformation plate theory and large rigid-body motions / G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. -2004. - V. 39, Ш 7. - Рр. 1093 - 1109.

5. Куликов Г.М. Сравнительный анализ двух алгоритмов численного решения нелинейных задач статики многослойных анизотропных оболочек вращения. 2. Учет поперечного обжатия / Г.М. Куликов, С.В. Плотникова // Механика композитных материалов. - 1999. - Т. 35, Ш 4. - С. 435 - 446.

6. Kulikov G.M. Refined global approximation theory of multilayered plates and shells / G.M. Kulikov // Journal of Engineering Mechanics. - 2001. - V. 127, ^ 2. -Рр. 119-125.

7. Новожилов В.В. Теория упругости / В.В. Новожилов - Л.: Судпромгиз, 1958. - 370 с.

8. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация / А.Ю. Ишлинский - М.: Наука, 1976. - 672 с.

9. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу - М.: Мир, 1987. - 542 с.

10. Bischoff M. On the Physical Significance of Higher Order Kinematic and Static Variables in a Three-Dimensional Shell Formulation / M. Bischoff, E. Ramm // International Journal of Solids and Structures. - 2000. - V. 37. - C. 6933 - 6960.

11. Zhong Z.H. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems / Z.H. Zhong - Oxford: Univ. Press, 1993. - 371 p.

12. Hughes T.J.R. Finite Elements Based upon Mindlin Plate Theory with Particular Reference to the Four-Node Bilinear Isoparametric Element / T.J.R. Hughes, T.E. Tezduyar // Trans. ASME, Journal of Applied Mechanics. - 1981. - Vol. 48. -P. 587-596.

13. Wempner G. A Simple and Efficient Approximation of Shells via Finite Quadrilateral Elements / G. Wempner, D. Talaslidis, C.M. Hwang // Trans. ASME, Journal of Applied Mechanics. - 1982. - Vol. 49. - P. 115-120.

Contact Problem for the Elastic Plate and Rigid Body.

2 Geometrically Nonlinear Formulation

G.M. Kulikov, S.V. Plotnikova

Department of Applied Mathematics and Mechanics, TSTU

Key words and phrases: geometrically nonlinear contact problem; Timoshenko-type plate; mixed finite element method; perturbed Lagrangian formulation.

Abstract: A contact problem for the elastic Timoshenko-type plate undergoing arbitrarily large displacements and rotations and the rigid punch is considered. The numerical algorithm has been elaborated for solving the contact problem on the basis of the mixed FEM by using the perturbed Lagrangian formulation. Six displacements of the face planes of the plate are chosen as unknown functions. This allows to simplify a solution of the contact problems, since with the help of such displacements the kinematic conditions of no penetration are formulated, and to derive relationships for the components of the Green-Lagrange strain tensor exactly representing arbitrarily large rigid body motions.

Kontaktzusammenwirken der elastischen Platte mit dem Hartkorper

Zusammenfassung: Es ist die Aufgabe des Kontaktzusammenwirkens der elastischen zu den Verlagerungen und Drehungen untergezogenen Platte von Timoschenko-Klasse mit der absolut harten Stanze betrachtet. Es ist der Algorithmus der zahlenmaftigen Losung der Kontaktaufgabe auf Grund der gemischten Methode von Endelementen mit Benutzung der modifizierten Methode von Lagrange-Multiplikatorn erarbeitet. Als gesuchte Funktionen werden б Verlagerungen von Vorderplattenflachen gewahlt. Das erlaubt, die Einstellung von Kontaktaufgaben zu vereinfachen und die Verhaltnisse fur die Komponente des Deformationstensors von Green-Lagrange zu erhalten.

Interaction de contact d’une plaquette elastique avec un corps rigide.

2. Procedure non-lineaire geometriquement

Resume: Est examine le probleme de l’interaction de contact d’une plaquette elastique du type Timochenko soumise aux grands deplacements arbitraires et aux detours avec une etampe absolument rigide. Est elaboree l’algorithme de la solution du probleme de contact а la base de la methode mixte des elements finies avec l’utilisation de la methode modifiee de Lagrange. En qualite des fonctions recherchees sont choisis б deplacements des surfaces de face de la plaquette ce qui permet de simplifier la formation des problemes de contact parce que c’est a l’aide de ces deplacements que sont formulees les conditions de la non-penetration des corps de contact; et d’obtenir les relations pour les composants du tenseur de Green-Lagrange qui representent avec precision les grands delpacements arbitraires de la plaquette etant un corps rigide.