CC BY
28
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
УДК 517.21.3 ББК 22.161.1 С 78
Сташ А.Х.
Ассистент кафедры математического анализа и .методики преподавания .математики факультета .математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
О существенных значениях характеристик колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядка
(Рецензирована)
Аннотация
Приводится линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с непрерывными ограниченными коэффициентами со счетным множеством существенных точных полных (векторных) частот ненулевых решений.
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решений, число нулей функции, полная (векторная) частота решения.
Stash A.Kh.
Assistant Lecturer of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, email: [email protected]
On essential values of variability characteristics for the solutions of third order linear differential equations
Abstract
In this paper we present a third order linear differential equation with continuous, bounded variable coefficients with countable set of essential exact complete (vector) frequencies of nonzero solutions.
Keywords: linear differential equation, variability of solutions, number of zeros of function, complete (vector) frequencies of solutions.
Через £n обозначим множество линейных однородных уравнений n -го порядка
yn + ai()yn+1 + ••• + an-i)y + an)y = 0, te R + =[0;~),
с ограниченными непрерывными коэффициентами, образующими строку
a = (, ..., an):R + ^Rn
(каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Множество всех ненулевых решений уравнения ae £n обозначим через S* (a).
Определение 1 [1, 2]. Нижней (верхней) частотой нулей решения y e S* (a) будем называть величину
v n ^Л ___п ^
v(y) = Пт-v(y,t) v(y) = Нт-^ t) ,
t ^ t у
где v(y, t) - число нулей функции у на промежутке [0; t). В случае совпадения нижней частоты решения у с верхней будем называть ее точной и обозначать просто v(y).
Определение 1 [1, 2]. Нижней (верхней) частотой нулей решения у Е S*(a) будем называть величину
П ( ---- п \
а(у) = lim -v(y,t) v(y) = lim -v(y,Ш ,
t—o t V t—O t J
где v(y, t) — число нулей функции у на промежутке (0; t]. В случае совпадения нижней частоты решения у с верхней будем называть ее точной и обозначать просто v(у).
Определение 2 [3]. Каждому решению у Е S*(a) поставим в соответствие его нижнюю (верхнюю) полную частоту и нижнюю (верхнюю) векторную частоту
П I л - п \
а (у) = inf lim — v (y,m,t) I 7 (у) = inf lim — v (y,m,t) I ,
m€Rn t——^o t \ m€Rn t—O t J
ПП
((у) = lim inf — v(у,т, t) ( ((у) = lim inf — v(y,m,t)
t—o m€Rn t V t—o m€Rn t
где v(у, m, t) — число нулей при т Е (0; t] скалярного произведения (фу(т),т), фу = (у, у,■■■, у(п-1^ .
у
ее точной и обозначать просто а (у) (соответстве нно, ((у)).
Заметим [3, 4], что частоты ненулевых решений автономного уравнения совпадают с модулями мнимых частей корней его характеристического многочлена.
Определение 3 [5]. Множество всех значений показателя к: S*(a) ^ R назовем спектром этого показателя уравнения а Е En.
Определение 4 [5]. Значение показателя, принадлежащее спектру системы, назовем существенным, если оно принимается на решениях, начальные значения которых содержат множество положительной меры в Rn.
Теорема. Существует уравнение а Е £3, имеющее последовательность решений у1,у2, ■ ■ ■ с точными частотами, удовлетворяющими условиям
аЫ = Су) = vу) = 2-г, г Е N,
причем все эти значения частот являются существенными.
Теорема, частично анонсированная в докладе [6] и развивающая результаты доклада [7], обобщает теорему 3 [1] на случай уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. Доказательству сформулированной теоремы предпошлем ряд лемм.
Лемма 1. Пусть последовательность положительных чисел t1 < t2 < ■ ■ ■ удовлетворяет условиям
lim tk = оо, lim = 1. (1)
k—O k—O tfc
Тогда для любого решения у Е S*(a) любого уравнения а Е Еп :
1) справедливы равенства
п I ---- П \
а(у) = Иш —v(у,4) Шу) = lim —v(у,и М , (2)
k—O tk \ k—O tk J
п I --- П \
а (у) = inf lim— v ^m^k) <7 (у) = inf lim — v ^m^k ) , (3)
mmn k—o tk \ mmn k—O tk J
- П ( л ---- П \
С(у) = Lim inf —v^m^k) С(у) = ,lim inf 7-v(^,m,tk) ; (4)
k—o mmn tk \ k—O mmn tk J
2) если последовательности T1,T2,... ^ 0 и v1 ,v2, ■ ■ ■ ^ 0 удовлетворяют условиям
lim —k = lim — = 0, (5)
k—o tk k—o tk
то после уменьшения в правых частях формул (2)-(4) каждого из чисел tk в знаменателе дроби — на Tk, а каждого из чисел v(y,m,tk) — нa vk значение этих правых частей не изменятся. Доказательство (см. лемму 6 [1]).
1. Условия (1) позволяют заключить каждое значение t > ti в свои границы tk < t ^ tk+i и записать цепочку соотношений
/\Ч^/\1 — / \ 1 — / \1 tk+i
v(y) = iim -v(y,t) ^ lim ---v(y,tk) = Jim v(y,tk) ■ lim —- =
t—tt t k — tt tk+1 k—tt tk + 1 k — tt tk
= Jim —v(y,tk) = Jim t~v(y, tk+i) = Jim v(y,tk+i) ■ lim =
k—tt tk k — tt tk+1 k—tt tk + 1 k — tt tk
— —
= Jim —v(y,tk+i) ^ Jlm ~v(y,t) = %), k—tt tk t—tt t
в которой все неравенства обращаются в равенства, откуда и следует справедливость первого утверждения настоящей леммы для нижней частоты, т. е. первой из формул (2).
2. Таким образом, на основании равенств (5), с учетом доказанной ранее формулы (2), установим справедливость второго утверждения настоящей леммы для нижней частоты:
... . Jim — v (y, tk) — — Jim —
. — (v (y ,tk) vk) k—tk k—tt tk — , . -('N
lim-----—T---------------------------------------------------=-t-= — Tv (y,tk) = v(y)■
k—tt tk T k 1 Jim T k k—tt tk
k—tt tk
3. Далее, используя доказанные утверждения для частот нулей (заметим, что в качестве функ-v(y, t)
t
—
a(y) = inf v((ipy,m)) = inf lim — v((фy,m),tk) =
m€R" теК" k—tt tk
—
= inf lim — v(y,m,tk),
теК" k—tt tk
— —
Z(y) = Jim — inf v((^y,m),t) = Jim — inf v((фy,m),tk) =
t—tt t теК" k—tt tk теК"
—
= Jim — inf v(y,m,tk), k—tt tk теК"
и, во-вторых,
inf Jim — (v(y,m,h) — vk) = inf ^m))^),
теК" k—tt tk T k теК"
, , + ^ ч — inf v(y,m,tk) — vk
Jim inf — (v(»mk) — vk) = цт те
Jn
k—tt т^К" tk Tk k—tt tk Tk
— inf v(y,m,tk)
теК" \
= lim---------1-----------= Z(y)-
k—tt tk
4. Для верхних частот все утверждения настоящей леммы доказываются аналогично. Лемма 1 доказана.
К определениям 1 и 2 добавим обозначения
v (y,M) = v (y,t) — v (y,s), v (y,m,t,s) = v (y,m,t) — v (y,m,s).
В работе [1] сформулированы и доказаны следующие две леммы.
Лемма 2. Для любых п Е N и й ^ 0 существует такое I = 1п(й) > 0, что для любого уравнения а Е Еп, удовлетворяющего условию ||а|| ^ й, на любом отрезке полуоси К+, имеющем длину I, любое решение у Е §*(а) имеет менее п нулей.
Лемма 3. Для любого решения у Е §*(а) любого уравнения а Е Еп при любом Т > 0 справедлива оценка
"(у'3 + Т-3)«(п- Ч1 + йр)) • (6)
Доказательство теоремы.
1. По выбранному Т0 ^ 1 и каждом к Е N обозначим через
Дк = 2кТо + 2к+\ (7)
и возьмем любую последовательность {ек} положительных чисел, стремящуюся к нулю. Зададим последовательность
Ьо = 0, 4+1 = Ьк + Дь к Е N и {0}
Начиная с некоторого номера к1; всегда можно добиться, чтобы выполнялось неравенство у1 < Меняем элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера к2 так
4+1 = -к + А2, к ^ к2,
чтобы выполнялось
4+1 ___ і | Д2 ^ | 7^7
—— — 1 + —— < 1 + 62, к ^ к2-
-к -к
Далее, по индукции продолжаем менять полученную последовательность. Если для любого і Е N построена последовательность -1,-2,... ,-к,■■■■, удовлетворяющая условиям
4+1 = 4 + Д^ к ^ кг,
Ік+1 — 1 + Д < 1+ 6і , к > кг,
-к -к
то выбираем кг+15 так чтобы при любом к ^ кг+1 были выполнены условия
4+1 = 4 + Дг+Ъ 4+1 і I Дг+1 , 1 ,
— 1 + —-------- < 1 + 6г+1.
-к -к
В результате получим последовательность {-к}, обладающую свойством
Ііт -к — ю, Ііт -к+1 — 1.
к^ж к^ж -к
2. Первые два элемента построенной в п. 1 последовательности соответственно равны
-о = 0, -1 = Д1.
Разобьем промежуток (0, -1] точками Т0, -0 = Т0 + 2п, -° + Т0, -1 = -° + Т0 + 2п на промежутки
(0; Tо]) (Т0; -0]) (-0; -о + Tо]) (-о + Т0; -1].
Остальные промежутки (Ьк ,Ьк+1], образуемые соседними элементами этой последовательности с шагом Д1, также разбиваем на промежутки
(ьк; Ьк + То], (ьк + То; 4], (ьк; 4 + То], (ьк + То; tk+l],
где Ьк = То + 2п, Ьк+1 = Ьк + То + 2п
Промежутки (Ьк, Ьк+1], образованные соседними элемента ми с шагом Д2 построенной последовательности, начиная с номера к2 до к3 — 1, разбиваем точками
Ьк + То, Ьк = Ьк + То + 22п, Ьк + То, = Ьк + То + п,
Ьк + То, Ьк = Ьк + То + 2п, Ьк + То, Ьк+1 = Ьк + То + п
на промежутки
(Ьк; 4 + То], (Ьк + То; 4 ], (Ьк; Ьк + То]> (Ьк + То; Ьк]>
(Ьк; Ьк + То], (Ьк + То; Ьк]> (Ьк; Ьк + То]> (Ьк + То; 4+^
Любые два соседних элемента (с номерами к > кз) построенной последовательности свя-
заны соотношением
Ьк+1 = tk + Дi, кг ^ к ^ кг+1 — 1 (8)
Промежуток (Ьк, Ьк+1] разбиваем на две группы по 21 частей:
(Ьк;Ьк + То], (4;Ьк + То], (Ьк;Ьк + То]> — >(Ькк 1;Ькг 1 + То]> (9)
(tk + To; tkL (tk + T0; tkL (tk + T0; t3L • • • > (tk i + To; tk+i],
(10)
где
tk = tk + To + 2*—, tk = tu + To + 2
tk =
t%k, = t%k. 1 + To + —
}i—2
— ,
tk+i = tk + To + 2—, tk+2 = tk+i + To + —
tk = tk + To + 2 i+2 — ,i+i
i-3
— ,
_i_2i—i — i2i—2 I rri | r)'
tk = tk + To + 2
i3
— ,
tk+i = tki~i + To + 2i-2
—.
3. Построим уравнение третьего порядка, фундаментальная система решений которого на каждом из промежутков (10) при некотором фиксированном значении к будет совпадать с наперед выбранными фундаментальными системами решений.
Для набора функций fi(t) = exp(sint) + a, f2(t) = 1, f3(t) = costexp(sint) определитель Вронского
W/l,/2,/3 (t) =
exp(sin t) + a 1
cos t exp(sin t) 0 (cos21 — sin t) exp(sin t)
(cos21 — sin t) exp(sin t) 0 (cos31 — 3sin t cos t — cos t) exp(sin t)
cos t exp(sin t)
— exp(2 sin t) (cos41 — 3 sin t cos21 — cos21 — cos41 + 2 sin t cos21 — sin21) =
= exp(2sint) (l + sint cos21)
при любом t £ R положителен, а линейное однородное уравнение, решениями которого они являются, имеет вид (см. [8])
exp(sin t) + a 1 cos t exp(sin t) y
cos t exp(sin t) 0 (cos21 — sin t)exp(sin t) y
(cos21 — sint) exp(sint) 0 Fi(t) y
Fi(t) 0 F2(t) y
где
Fi (t) = (cos31 — 3 sin t cos t — cos t) exp(sin t),
F2(t) = (cos41 — 6 sin t cos21 — 4 cos21 + 3 sin21 + sin t) exp(sin t).
Раскладывая в последнем равенстве определитель по элементам последнего столбца, по-
лучим
или
W/l,/2,/3 (t) ■ У — Ai(t) ■ y + A2(t) ■ y = 0,
Ai(t)
/l ,/2 ,/3
(t)
y +
A2(t)
W/
/l,/2,/3
(t)
■y
(11)
где
Ai (t)
exp(sin t) + a 1
cos t exp(sin t)
cos t exp(sin t) 0 (cos21 — sin t)exp(sin t)
Fi(t) 0 F2(t)
= — exp(2 sin t)(cos tF2(t) — Fi(t)(cos21 — sin t)) =
= — exp(2 sin t)(cos51 — 6 sin t cos31 — 4 cos3(t) + 3 sin21 cos t+ + sin t cos t — cos51 + 3 sin t cos31 — cos3 (t) + sin t cos31—
— 3sin21 cos t — sin t cos t) = exp(2sin t)(5cos3(t) + 2 sin t cos31),
A2(t) =
exp(sin t) + a
1 cos t exp(sin t)
(cos21 — sin t) exp(sin t) 0
Fi(t)
0
Fi(t)
F2(t)
= — exp(2 sin t)(F2(t)(cos21 — sin t) — Fi2(t)) =
= — exp(2 sin t)(cos61 — sin t cos41 — 6 sin t cos41 — 6 sin21 cos21 — cos41+
+4 sin t cos21 + 3 sin21 cos21 — 3 sin31 + sin t cos21 — sin21 — cos61+
A /10 0 0 0
+6 sin t cos t + 2 cos t — 9 sin t cos t — 6 sin t cos t — cos t =
= exp(2sin t)(1 + 2cos41 + sin t cos41 + sin t cos21 + 3sin31).
Именно таким и возьмем по определению искомое уравнение a £ E3 на всех промежутках
(10).
Теорема 3 [9] позволяет строить уравнение a £ En, имеющее фундаментальную систему решений, совпадающую слева и справа от заданного отрезка [to,ti] С R+ с заданными фундаментальными системами решений с положительными определителями Вронского. На основании этой теоремы при каждом фиксированном к £ N строим уравнение следующим образом:
- на участке (tk; tk + To] — найдем уравнение, переводящее набор
(exp(sint) + 4, 1, cos t exp(sin t)) решений, заданных слева от точки tk, в набор
(exp(sin t) + 1, 1, cos t exp(sin t))
(12)
(13)
решений, заданных на [Ьк + То; 4] (здесь первое решение начального набора переходит в первое решение конечного набора, второе — во второе, и третье — в третье);
- на участке (4; Ьк + То] — найдем уравнение, переводящее набор (13) решений, заданных слева от точки Ьк, в набор (12) решений, заданных на [Ьк + То; Ьк];
- на участке (Ьк; Ьк + То] — найдем уравнение, переводящее набор (12) решений, заданных
слева от точки tk, в набор
(exp(sint) + 7, 1, cos t exp(sin t))
(14)
0
решений, заданных на [tk + To; tk];
— ... и т.д.;
- на участке (tk; tik + To] — выберем уравнение, переводящее набор
(exp(sin t) + 3i — 5, 1, cos t exp(sin t)) решений, заданных слева от точки t^, в набор
(exp(sin t) + 3i — 2, 1, cos t exp(sin t))
(16)
решений, заданных справа от точки tik + To;
- на участке (tik+1; ti+l + To] — выберем уравнение, переводящее набор (16) решений, заданных слева от точки tih+1, в набор (15) решений, заданных справа от точки tih+1 + To;
- на участке (tk+2; tik+2 + To] — выберем уравнение, переводящее набор (15) решений, заданных слева от точки tj+2, в табор (exp(sint) + 3i — 8, 1, cos texp(sint)) решений, заданных справа от точки tk+2 + To;
- ... и т.д.;
- на участке [t^-1; t‘ki—1 + To] — совпадающим с уравнением, переводящим набор (14) решений, заданных слева от точки t‘ki—1, в набор (12) решений, заданных справа от точки t‘ki—1 + To;
- во всех остальных точках полуинтервала (tk; tk+1 ] — имеющим вид (11).
Таким образом, построили уравнение на промежутке (tk; tk+1], фундаментальная система решений y1,y2,y3 которого удовлетворяет условиям:
(yi,y2 ,y3)(t)
(exp(sint) + 1, 1, costexp(sint)), (exp(sint) + 4, 1, costexp(sint)), (exp(sin t) + 7, 1, cos t exp(sin t)),
tk + To <t ^ tk, tk + To <t ^ tk, tk + To <t ^ t3k,
(exp(sint) + 3i — 2, 1, costexp(sint)), t— + To < t ^ tk,
(exp(sint) + 3i + 1, 1, costexp(sint)), tik + To <t ^ tk+1,
(exp(sint) + 3i — 2, 1, costexp(sint)), tih+1 + To < t ^ tih+
(exp(sint) + 7, 1, costexp(sint)), (exp(sint) + 4, 1, costexp(sint)),
2i-2
k
2i— 1
k
2i— 1
k,
k+1.
Повторяя эту процедуру построения на каждом промежутке (tk, tk+1] к £ N, получим уравнение a £ £3 на R+.
4. Определим функцию u(t) = exp(sin t) — 1 и установим, что число нулей функции
(^u(t), m) = m1 (exp(sin t) — 1) + m2 cos t exp(sin t) + m3 exp(sin t)(cos21 — sin t)
на полуинтервале (0, 2—] при любом ненулевом векторе m = (m1,m2,m3) не меньше двух. Для этого проследим за значениями функции (фи, m) в точках 0,—/2, —, 3—/2, 2— :
(фи(0), m) = (фи(2—), m) = m2 + m3,
(17)
(фи(—), m) = — m2 + m3,
(18)
(фи (п/2), т) = т1е — т1 — т3е,
(19)
е(фи (3п/2), т) = е (Ш — т, + —) .
е
(20)
нуля.
Если т2 = т3 = 0 (т1 = 0), то функция (фи, т) совпадавт с т1и, а значит, имеет два
Предположим, что имеет место следующая система
т2 + т3 = 0,
—т2 + т3 > 0, т,(е — 1) — т3е > 0, т,(1 — е) + т3 > 0.
т2 2т3 > 0.
(1 — е) т3 > 0,
из которого следует т3 < 0. Полученное противоречие означает невыполнимость системы. Аналогичными рассуждениями, можно показать, что следующие системы
т2 + т3 = 0,
—т2 + т3 < 0, т,(е — 1) — т3е < 0, т,(1 — е) + т3 < 0,
т2 + т3 > 0,
—т2 + т3 > 0, т1(е — 1) — т3е = 0, т,(1 — е) + т3 > 0,
т2 + т3 < 0,
—т2 + т3 < 0, т1(е — 1) — т3е < 0, т,(1 — е) + т3 = 0,
т2 + т3 > 0,
—т2 + т3 = 0, т,(е — 1) — т3е > 0, т,(1 — е) + т3 > 0,
т2 + т3 < 0,
—т2 + т3 < 0, т,(е — 1) — т3е = 0, т,(1 — е) + т3 < 0,
т2 + т3 > 0,
—т2 + т3 > 0, т,(е — 1) — т3е > 0, т,(1 — е) + т3 > 0,
т2 + т3 < 0,
—т2 + т3 = 0, т,(е — 1) — т3е < 0, т,(1 — е) + т3 < 0,
т2 + т3 > 0,
—т2 + т3 > 0, т,(е — 1) — т3е > 0, т,(1 — е) + т3 = 0,
т2 + т3 < 0,
—т2 + т3 < 0, т,(е — 1) — т3е < 0, т,(1 — е) + т3 < 0
не имеют места.
Следовательно, для значений (17)-(19),(21) исключили десять критических случаев, а все оставшиеся случаи обеспечивают существование по крайней мере двух нулей функции (фи(Ь), т) на полуинтервале (0, 2п].
Таким образом, установили следующее равенство
т£ V(и,т, 2п) = V(и, 2п) = 2.
т&
5. Для произвольного решения у = С1У1 + с2у2 + с3у3 £ §*(а) определим величины
„ ЛЛ - V(У,Ьк, Ьк + То) + V(У,Ьк,Ьк + То) + • • • + V(У,Ьк+1,Ьк<к)-1 + То)
Кк (у) — 2*(к)+1 ,
3
Кк (У,т*) — (V (У,Ш*,Ьк ,Ьк + То) + V (У,т*,Ьк ,Ьк + То) + • • • +
+V (У,т*,Ьк+1 ,Ь2кг(к)- 1 + То))
—к— т£ (v(У,т,гк,Ьк + То)+ 2г(к) + 1 тШ2
+V (У,т,Ьк ,Ьк + То) +-----+ V (У,т,Ьк+1,Ь2кг(к)-1 + То)),
где г (к) совпадает с номером шаг а между Ьк и Ьк+1.
Решение г1 — (у1 — 2у2) : [0; то) ^ М. при любом к £ N представимо в виде
21(Ь) =
ехр(вт Ь) — 1, ехр(вт Ь) + 2, ехр(вт Ь) + 5,
ехр(вт Ь) + 3г(к) — 4, ехр(вт Ь) + 3г (к) — 1, ехр(вт Ь) + 3г(к) — 4,
ехр(вт Ь) + 5, ехр(вт Ь) + 2,
Ьк(к)-1 + То <Ь ^ Ьк(к),
к г(к) к
г(к)+1
к
Ь2г(к)-2 + То < Ь ^ £(к)-1,
г1т-1 + То <ь ^ Ьк+1,
и оно на каждом из промежутков (Ьк + То; ^], к € N имеет 2г(к) нулей, тогда как любая функция (у1, т) те может иметь менее 2г(к) нулей в силу предыдущего пункта, а на любом другом промежутке вида (10) - отделено от нуля, поэтому т* = (1, 0, 0) и
кк(г1,т*) = кк(г1) = 2-1, к £ N.
Решение 22 — (у1 — 5у2): [0; то) ^ М. при любом к ^ к2 представимо в виде
22(Ь)
ехр(вт Ь) — 4, ехр(вт Ь) — 1, ехр(вт Ь) + 2,
ехр(вт Ь) + 3г(к) — 7, ехр(вт Ь) + 3г(к) — 4, ехр(вт Ь) + 3г(к) — 7,
ехр(вт Ь) + 2, ехр(вт Ь) — 1,
Ьк + То <Ь ^ Ьк, Ьк + То <Ь ^ гк, Ьк + То <Ь ^ Ьк,
(к)-1
к
(к)
г(к)+1
(к)+1
г(к)+2
гк(к)-2 + То < г ^ гкг(к)-1
к
2г(к)-1
к
ок + То < Ь ^ Ьк+1
и любая функция (у2,т) каждом го промежутков (Ь1к + То; Ьк], (Ьк (к) 1 + То; Ьк+1], к £ N имеет 2 (к)-2
т* = (1 , 0, 0)
Кк(Х2,т*) = Кк(22) = 2 , к £ N.
к
к
к
При любом фиксированном q £ N решение — (у1 — (3q — 1)у2): [0; то) ^ М. (начиная с первого момента к9 появления Д9 - го шага) при любом к ^ к9 представимо в виде
6. Последовательность {Т} сумм длин всех промежутке в (длины То) вида (9), попавших в полуинтервал (0,Ь], можно задать формулой Т — (2Р1 + 4Р2 + • • • + 2](1)Р^(г))То, где Р1 — число всех элементов последовательности {Ьк} с шагом Д1, Р2 — число всех элементов последовательности {Ьк} с шагом Д2 и т.дР^) — число всех элементов последовательности {Ьк} с шагом Дj, те превышающих Ь — Ь-1 + Дj(l)■ Ясно, что (см. 7)
и из I ^ то следует ] ^ то.
Благодаря выше сформулированной лемме 3, найдется такое число Ь, что любое ненулевое решение построенного уравнения а £ Е3 на любом промежутке длины То имеет не более чем
ехр(вт Ь) + 2 — 3q, ехр(вт Ь) + 5 — 3q,
Ьк + То <Ь ^ Ьк,
ехр(вт Ь) — 1,
ехр(втЬ) — 1 + 3(г(к) — q), Ьк^-1 + То <Ь ^ Ьгкк\
2д(Ь) = < ехр(втЬ) + 2 + 3(г(к) — q), Ькк + То <Ь ^ Ьгкк')+1,
ехр(втЬ) — 1 + 3(г(к) — q), Ьк(к)+1 + То <Ь ^ Ьгкк')+2
ехр(вт Ь) — 1,
»2г(к)— Я+1 | гр , I ^ ,2г(к) —^+2
Ьк + То <Ь ^ Ьк
ехр(вт Ь) + 8 — 3q, ^ехр^п Ь) + 5 — 3q,
и любая функция (гя ,т) на каждом из промежутков
(22)
имеет не менее 2г(к) 9 нулей в силу п.4 настоящего доказательства, а на любом другом проме-
т* = (1, 0, 0)
Кк (2д, т*) = Кк (2д) = 2 9, к £ N.
(23)
Ь1 — (22р1 + 23р2 + • • • + 2,?'(г)+1р;;(0)п + (2Р1 + 4Р2 + • • • + 23 (1)^(1))То
Ь нулей. Поэтому последовательность {VI} сумм возможных наибольших чисел нулей функции у £ §*(а) на каждом го всех промежутков (9), попавших в (0,Ь], записывается в виде
Щ — (2Р1 + 4Р2 + • • • + 2] (1)^(1))Ь.
Поскольку
Рк
-к ^ 1, к = 1, 2,...,] — 1,
Р Р j
в силу неубывания последовательности {Pj}, то
— < L(2P1 + 4P2 + + 2j(l)Pj(l)) < L(2 + 4 + • • • + 2j(/)) _ L(j2(l) + j(/))
ti
n2j(l)+1Pj
j(i)
n2j(l)+1
n2j(l)+1
T < To(j2(l)+ j(l))
tl < n2j(l)+1
Поэтому для построенных последовательностей выполнены
lim Tl = lim — = 0.
l — Ж tl l — Ж tl
7. Для любого q E N обозначим через mq вектор, на котором реализуется инфимум в определении нижней векторной частоты решения zq. Тогда очевидно, что при любом значений к на каждом го промежутков (10) число нулей функций zq и (zq ,mq) совпадут, а на каждом из промежутков (9) число нулей функции (zq,mq) те превзойдет числа нулей решения zq. Поэтому все рассуждения, проводимые в п. 6 настоящего доказательства для решения zq, справедливы и для функции (zq,mq).
8. На основании пп. 6,7 настоящего доказательства при вычислении векторных частот будем пользоваться леммой 1, согласно которой можно не учитывать как полуинтервал (0, T0], так и все полуинтервалы (9) (т. е. не учитывать их вклад ни в длину промежутка, на котором подсчитывается число нулей решения, ни в само это число). Следовательно, при любом q E N для решения zq, с учетом равенств (23), получим
п
Z(zq) = lim inf — V (zq ,m,tp) =
р—ж mER3
п П
lim — V(zq ,mq ,tp) = lim — V(zq ,tp) = V(zq)
р — Ж tp р — Ж tp
\
lim
р—Ж
р
п — (zq ,tkq )+ п Y, (v (zq ,ti+1,ti))
i=kq
tp
/
lim
п — (zq ,tkq ) + lim <—4
П E ( — (zq ,ti+1,ti))
i=kq
tp р—ж tp
+2 Д
lim
p—— <Ж>
n ^2 (v(zq ,t1,ti+To)+V (zq ,t2,t1+To)+----+v(Zq ^ +To ))
i=kqK___________________________________________________________
(2j(kq )+1+2j(fcq+1)+1 +--+2j(P)+1)n
= / 2^ )+1ккд (у*) + 2^+1)+1Хкд+1(у*) + • • • + 2^)+Ч(у*)'
1 2зк )+1 + 2зк+1)+1 + • • • + 2^'(р)+1
/ 2-* (2з(кч )+1 + 2з(кч+1)+1 + • • • + 2-?'(р)+1) \
= цО \ 2з(кч)+1 + 2з(кч+1)+1 +-+ 2^'(р)+1 ) = 2 ’
где ] (г) совпадает с номером шага между ti, ti+1.
Для выбранных решений имеет место следующая оценка
п п _
a(zq) = inf lim ——(zq,m,tp) < lim — v(zq,mq,tp) = 2-q, q E N.
mEK3 р—ж tp р—ж tp
Аналогичные равенства и неравенства справедливы соответственно для верхних частот, поэтому имеем
V(zq) = Z (zq) = 2-q, q E N. (24)
a(zq) < 2-q, q E N.
Из соотношений
2-q = Z(zq) < a(zq) < 2-q, q E N
(первое неравенство из которых вытекает непосредственно из определения точных векторной и полной частот) следует, что
a(zq) = 2-q, q E N. (25)
9. Зафиксируем номер q решения, сколь угодно малую 7 > 0 и набор с1,с2,сз коэффициентов, удовлетворяющих условиям
C1 E (1, 1+ Y), С2 E (1 - 3q, 1 - 3q + 7), С3 E (0, 7). (26)
По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных значений решение z =
c1y1 + c2y2 + c3y3 на любом отрезке будет мало отличаться от zq. Поэтому решение z ни разу
zq
участках вида (22), где функция zq имеет в ид exp sin t — 1, решение z представимо в виде
zq = c1(exp(sin t) — 1) + c2 + c3 cos t exp(sin t),
где c2 - положительное, достаточно малое число.
Установим, что функция
(^zq (t), m) = m1(c1(exp(sin t) — 1) + c2 + c3 cos t exp(sin t)) +
+m2 exp(sin t)(c1 cos t + c3(cos21 — sin t)) +
+m3 exp(sin t)(c1 (cos21 — sin t) + c3(cos31 — 3sin t cos t — cos t))
на полуинтервале (0, 2п] ^^п ^^^левом векторе m E R3 имеет не менее двух нулей. Для
этого проследим за следующими значениями функции
(^zq(0), m) = (^zq(2п), m) = (c2 + c3)m1 + (c1 + c3)m2 + c1m3, (27)
(^zq(п), m) = (c2 — c3)m1 + (c3 — c1)m2 + c1 m3, (28)
(фгq (п/2), m) = m1(c1e + c2 — c1) — ec3m2 — ec1 m3, (29)
e^zq (3п/2), m) = m1(c1 + ec2 — ec1) + c3m2 + c1m3. (30)
m2 = m3 = 0
(^zq (t), m) = m{zq (t)
имеет на полуинтервале (0, 2п] ровно два нуля, поскольку условия (26) обеспечивают близость функций u, zq.
(фг*(0), т) = 0,
('фгд(п), т) > 0,
(фг* (п/2), т) > 0, е(фг* (3п/2), т) > 0,
(-фг*(0), т) > 0,
(фг*(п), т) = 0,
(фг* (п/2), т) > 0, е(фг* (3п/2), т) > 0,
(фг*(0), т) > 0,
(фг*(п), т) > 0,
(фг* (п/2) ,т) = 0, е(фг* (3п/2), т) > 0,
(фг*(0), т) > 0,
(фг*(п), т) > 0,
(фг* (п/2), т) > 0, е(фг* (3п/2), т) = 0,
(фг*(0), т) > 0,
(фг*(п), т) > 0,
(фг* (п/2), т) > 0, е(фг* (3п/2), т) > 0,
(фг* (0), т) = 0,
(фг* (п), т) < 0,
(фг* (п/2), т) < 0, е(фг* (3п/2), т) < 0,
(фг* (0), т) < 0,
(фг* (п), т) = 0,
(фг* (п/2) , т) < 0, е(фг* (3п/2) , т) < 0,
(фг* (0), т) < 0,
(фг* (п), т) < 0,
(фг* (п/2) , т) = 0, е(фг* (3п/2) , т) < 0,
(фг* (0), т) < 0,
(фг* (п), т) < 0,
(фг* (п/2) , т) < 0, е(фг* (3п/2) , т) = 0,
(фг* (0), т) < 0,
(фг* (п), т) < 0,
(фг* (п/2) , т) < 0, е(фг* (3п/2) , т) < 0,
не имеют места.
Следовательно, рассмотренные десять различных комбинаций знаков значений (27)-(30) не имеют места, а любая другая комбинация гарантирует существование хотя бы двух нулей функции (фг*, т) на полуинтервале (0, 2п] и тем самым установлено равенство
т£ V(г*,т, 2п) = V(г*, 2п) = 2.
(31)
т&
Таким образом, все решения г* с коэффициентами с1, с2, с3 из условия (26) обладают свой-
ством
°(г*) = С(г*) = V(г*) = °(г*) = 2 *, я ^ N.
Последнее означает, что значения, задаваемые равенствами (24),(25), являются существенными. Теорема полностью доказана.
3
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
Примечания:
1. Сергеев И.Н. Определение и свойства характеристических частот линейного урав-
// . . . -ского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
2. . . -
ских частот линейных уравнений произ-
вольного порядка // Труды Семинара им. ИТ. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414442.
3. . .
// -
ренциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11.
С.1577.
4. . ., . .
и векторной частот решений линейной ав//
уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
5. . . -
щественные значения показателей линей// -
ния. 2011. Т. 47, № 11. С. 1661-1662.
6. . .
частот линейных дифференциальных урав-
// -. 2012. . 48, 6. . 908.
7. . .
//
Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47,
11. . 1665.
8. . . -
ференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с.
9. . .
линейного дифференциального уравнения. // . Сер. 1. Математика. Механика. 2009. № 3. С. 25-33.
References:
1. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.
2. Sergeev I.N. Properties of characteristic frequencies of the linear equations of random order // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2013. Iss. 29. P. 414-442.
3. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential equations. 2008. Vol. 44, No. 11. P. 1577.
4. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.
5. Sergeev I.N. Metricaally typical and essential values of indices of linear systems // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 16611662.
6. Stash A.Kh. Spectra of full and vector frequencies of the linear differential tertiary equations // Differential equations. 2012. Vol. 48, No. 6. P. 908.
7. Stash A.Kh. On set of values of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P.1665.
8. Filippov A.F. Introduction in the theory of differential equations. M.: Editorial URSS, 2004. 240 pp.
9. Sergeev I.N. On control of solutions of the linear differential equation. // Bulletin of the Moscow University. Series 1. Mathematics. Mechanics. 2009. No. 3. P. 25-33.
