CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том XVI 1985
№ 4
УДК 532.526
629.7.015.3.036 : 533.697.2
ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ПЛОСКОГО КАНАЛА С ОСТРЫМИ КРОМКАМИ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ
В. А. Сабельников, Е. А. Смирных
С помощью метода дискретных вихрей проведен расчет турбулентного течения на начальном участке простейшего воздухозаборника — плоского канала с острыми кромками — при всасывании в него жидкости с постоянным расходом. Найдены поля средних продольной и поперечной скоростей, дисперсий скоростей, двухточечной корреляционной функции скорости. Результаты расчетов качественно согласуются с известными в литературе экспериментальными данными, полученными на начальном участке цилиндрического канала с острыми кромками.
Метод дискретных вихрей широко применяется для расчета отрывных течений газа и жидкости. Особенно значительный прогресс в этом направлении достигнут в исследовании отрывных течений идеальной жидкости (см., например, [1—3]). В работах [4] и[5] модель дискретных вихрей обобщена на случай уравнений Навье—Стокса при больших числах Рейнольдса.
В настоящее время большое количество исследователей склоняется к тому, что крупномасштабная вихревая структура в турбулентных потоках с хорошей точностью может быть описана в рамках идеальной жидкости (см., например, обзор в [6]). Возможности и ограничения метода дискретных вихрей расчета турбулентных течений проиллюстрированы, например, в [7—9]. Круг задач, рассмотренных в этих работах, ограничивается свободными турбулентными течениями — слоем смешения и спутной струей.
В данной работе с помощью метода дискретных вихрей проведен расчет внутреннего турбулентного течения — начального участка в плоском канале с острыми кромками при всасывании в него жидкости с постоянным расходом (простейший воздухозаборник). Известно [10], что в коротких каналах можно пренебречь порождением вихрей на стенках по сравнению с образованием их у острых кромок. Это обстоятельство позволяет надеяться, что главные особенности такого течения могут быть описаны на основе уравнений идеальной жидкости.
Рассматривается нестационарное течение идеальной жидкости в плоском полубесконечном канале с острыми кромками при всасывании
в него с постоянным расходом жидкости из неподвижного пространства. Предполагается, что до момента времени £ = 0 жидкость покоится, а всасывание начинается в момент ?=+0. Скорость на бесконечности внутри канала предполагается постоянной и равной К*,, ширина канала к (рис. 1).
Течение, за исключением вихревых поверхностей и 2г, стекающих с острых кромок канала, предполагается потенциальным. На стенках канала выполняется условие непротекания. Условиями, которые определяют эволюцию вихревых поверхностей, являются непрерывность давления и нормального компонента скорости на этих поверхностях. Ско-
©
У Lk А Е VL,
4 2 С
х° т X —г
1 г И
F
- ^А+_2а + 1£^_
Рис. 1
рость образования циркуляции находится из гипотезы Чаплыгина — Жуковского об ограниченности скоростей на острых кромках.
Для решения сформулированной задачи использованы методы теории функций комплексного переменного. С этой целью канал связывается с комплексной плоскостью z = x+iy. Конфигурация вихревых поверхностей представляется в следующем параметрическом виде:
z(A) = Z<*> (Г, t), 0 < I Г I < ГЛ> k = 1, 2,
где Г — циркуляции отрезка вихревой поверхности, отсчитываемая от ядра.
Комплексный потенциал течения W, удовлетворяющий граничным условиям непротекания, при наличии в потоке поверхностей разрыва тангенциальной компоненты скорости, может быть легко получен методом отражений, если сделать конформное отображение комплексной плоскости z с двумя вырезами, соответствующими стенкам канала, на внутренность полосы 0<Re£</z/2 в плоскости комплексного переменного £ = £+iri (см. рис. 1):
г = [ехр (г'4тсС) + т — 4-тс/С]. (1)
Выражение для W в плоскости £ имеет вид [11]:
w'К) = ш ЕIdr {ln sin Т(С - с'> -ln sin т(С ~с7)}+
/=1 Sy
где А = — Ш V*, С' = С (Г', t), 0 = h- Re (С') + i Im (С').
Изменение положения вихревых поверхностей во времени происходит согласно уравнению [12]
И<*> - Й><*> = = V [г(*) (Г, *), А, (2)
где 1/(2, ч — — —комплексная сопряженная скорость
движения точек вихревых поверхностей, &=1, 2; черта сверху обозначает комплексно-сопряженное выражение.
В соответствии с гипотезой Чаплыгина — Жуковского должны выполняться условия
— = 0, С = — 0, С = С2 = А/2. (3)
Уравнения (2) — (3) решались численно методом дискретных вихрей. Поскольку в соотношении (1) переменную £ нельзя выразить через 2 в явном виде, движение вихрей рассматривалось в преобразованной плоскости £. Уравнение движения вихря в этой плоскости имеет вид [11]:
Здесь Сг, Г„ ыг — гг>,= соответственно комплексная ко-
ордината, интенсивность и скорость /-го вихря; /= 1, ... , /V; Л/ — число вихрей в потоке.
Отметим, что использование данного метода с применением конформного отображения физической плоскости на вспомогательную плоскость позволяет точно удовлетворить граничному условию непро-текания. В связи с этим подчеркнем, что в традиционных способах [2] удовлетворения рассматриваемого условия в методе дискретных вихрей вводится система присоединенных вихрей, а граничное условие непро-текания выполняется в достаточно большом, но конечном числе контрольных точек, расположенных на твердых поверхностях. В остальных точках условие непротекания выполняется приближенно.
Численное решение задачи находилось по следующему алгоритму. Предполагалось, что в момент /=+0 реализуется безотрывное потенциальное обтекание, а количество вихрей равно нулю. Через промежуток времени № (значение М указано ниже) в поток на линии | = 0 в плоскости £ на расстоянии 0,02 к от точек схода вихревых поверхностей вводятся два вихря, интенсивности которых определяются из условия Чаплыгина — Жуковского. Новые положения этих вихрей на следующем шаге по времени находятся путем решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих движение вихрей. Координаты следующей пары вихрей, стекающих с кромок канала, находились по формуле* (см. рис. 1).
= гА + (нл + «л) Д*. г2 = гв + {ив + ив) Д*1, и* - “А =Н* = *Л £=10-3А.
1 А А
* Необходимо отметить, ЧТО В момент определения Ид" И ид (иИд) условие Чаплыгина—■ Жуковского на кромках не выполнено. Вследствие этого в точках А и В имеет место циркуляционное течение, искажающее значения и+ и иг. Однако это движение не дает вклада в сумму (и+-\-иг).
В преобразованной плоскости для положения новых вихрей из соотношения (1) с точностью до малых третьего порядка имеем
С = Са — гл) ' ^ = ^в + |/"-4
Порядок системы уравнений, описывающих движение вихрей, с каждым временным шагом возрастает. Поэтому при численном расчете приходится ограничиваться либо временным, либо пространственным интервалом. Расчет выполнялся по тому и другому принципу. В результате предварительных методических расчетов были найдены оптимальные шаги интегрирования по времени. В первом варианте — Д/ = = 0,02 А/У», во втором — Д^ = 0,03 к/Уж. При указанных значениях М достигается вполне приемлемая точность расчета движения вихрей, а их количество остается в пределах возможностей используемой ЭВМ (ЕС-1040). В первом варианте удалось продвинуться по времени до ТУ<х>/к = 2,8. При этом количество вихрей достигло 280. Во втором варианте рассматривалась область течения на расстоянии к от кромок канала. Количество вихрей достигло 120. Временной промежуток интегрирования составил ГУсю/Л = 8.
Чтобы избежать неограниченного возрастания модуля скорости, индуцированного точечным вихрем, в расчетах, следуя работе [4], применялся мелкомасштабный срез с параметром среза а=Ю 3 к. (Сближение вихря со стенкой рассматривалось как сближение двух вихрей). Значение сг выбиралось опытным путем из условия слабого влияния величины этого параметра на статистические характеристики течения.
2. В сечениях х/к^-— 0,3; 0,6; 1,4; 2,5 определялись следующие статистические характеристики; средние продольные и поперечные скорости (и> и <г>>, дисперсии продольной и поперечной скоростей (и'2), {V'2), и' = и—(и), v' = v—<V) и безразмерные поперечные корреляционные функции скорости
< и' {х, у) и' (х, у + Ду) > _ (v'(x, y)v'(х, у + Ьу))
{и'Нх, у)) ’ <и'2(х, у))
Осреднение проводилось по времени; например, для средней продольной скорости (и) имеем:
1 "
(и) = -у[и(х, у, Г)<Н,
о
где Т — интервал осреднения.
Необходимо отметить, что в интервал Т, вообще говоря, нельзя включать начальный этап развития течения. Численный эксперимент,
Рис. 2 Рис. 3
однако, показал, что продолжительность этого этапа сравнительно мала. Поэтому без большой потери точности осреднение можно производить по всему отрезку времени.
На рис. 2 показана зависимость продольной средней скорости от интервала осреднения в сечении х/к=1,3. Цифрами на рисунке обозначены: 1 — профиль (и) к моменту 1Уос,1к = 0,2\ 2 — 0,8; 3—1,6; 4 — 2,8. Неустановившееся течение является существенно несимметричным — профили ( и ) в верхней и не приведенные здесь профили (и) в нижней части канала различаются между собой (то же самое относится и к расходам жидкости через эти части канала). Расчет показал, что в этом сечении (а) устанавливается к моменту времени 1,8—2,0к/'У<х>.
На рис. 3 представлены профили {и) в различных сечениях от входа в канал (1 — х/к = 0,3\ 2 — 0,6; 3— 1,3; 4—2,5). Отметим, что в сечении х/к = 2,5 установление профиля ( и ) , по-видимому, окончательно не произошло. Видно, что течение вблизи кромок можно разбить на три характерные области: 1) практически равномерный поток (потенциальное ядро); 2) слой смешения; 3) область рециркуляционного движения. В первом приближении границы потенциального ядра являются прямыми линиями, расположенными под углом 2°—3° к плоскости симметрии канала. Следовательно, слои смешения смыкаются на расстоянии порядка 4,5 калибров от входа в канал. Необходимо отметить, что область обратных токов весьма обширна и занимает, например, в сечении х/к = 0,6 примерно 30% сечения канала.
На рис. 4 приведены результаты расчетов дисперсии продольной скорости в сечении х/к —0,6*. В этом же сечении в точке у = 0,5к рассчитывались корреляционные функции Ии и К». Они изображены на рис. 5. Вид корреляций и свидетельствует о наличии в потоке достаточно крупномасштабной вихревой структуры.
В литературе, по-видимому, отсутствуют измерения характеристик турбулентного потока на начальном участке в плоском канале с острыми кромками. Такие измерения проведены в цилиндрическом канале [10] (в этих опытах число Ре/1 = 3,4-105). Поэтому речь может идти только о качественном сравнении результатов расчета с данными эксперимента [10]. Эти данные приведены на рис. 3 (5 — х/к =0,7; 6—1,5; 7 — 2,7) и рис. 4 (х/к=0,6). Видно, что рассчитанные характеристики качественно согласуются с экспериментальными данными. Отличия в профилях средней продольной скорости возникают лишь на достаточно больших удалениях от входа в канал. Главная причина расхождения,
* Для других сечений канала графики дисперсии не строятся, так как время установления этой величины значительно превышает время установления средней скорости.
видимо, заключается в неустаиовившемся (в статистическом смысле) характере рассчитываемого течения в удаленных сечениях.
Остановимся еще на одном важном вопросе — о закономерности изменения во времени интенсивности вихрей, сходящих с острых кромок. График этой величины для одной из кромок изображен на рис. 6*. Видно, что после момента 1Уоо/к = 0,3 интенсивность изменяется статистически стационарным образом. На рис. 6 также видно, что в поведении интенсивности имеются весьма значительные выбросы . Безразмерная частота таких выбросов /Тг/Уоо (т. е. число Струхаля) близка к 0,4.
Можно дать следующее объяснение обнаруженному поведению интенсивности вихрей. На интервале времени 0<г^оо//к0,6 происходит установление величины Г и образование вихревых поверхностей, которые стекают с кромок канала. Одновременно вследствие неустойчивости начинается разрушение этих поверхностей. Оно тем сильнее, чем больше вихрей в потоке. Отдельные вихри собираются в вихревые «комки», что приводит к резкому изменению характера обтекания острых кромок, вследствие чего и наблюдается сильная пульсация Г.
В заключение авторы искренне благодарят Г. Г. Судакова и А. С. Петрова за ценные советы при выполнении работы и полезное обсуждение полученных результатов.
* Характер изменения интенсивности вихрей, сходящих со второй кромки, аналогичен приведенному на рис. 6.
ЛИТЕРАТУРА
1. Судаков Г. Г. Расчет отрывных течений около конических крыльев малой толщины. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. V, № 6.
2. Белоцерковский С. М., (Ништ М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкости.— М.: Наука, 1978.
3. 3 а х а р о в С. Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки. — Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 6.
4. Chorin A. J., “Numerical study of slightly viscous flow.—J. Fluid Mech., 1973, vol. 57.
5. Петров А. С. Метод расчета нестационарного отрывного обтекания плоских тел потоком вязкой несжимаемой жидкости.—Труды ЦАГИ, 1978, вып. 1930.
6. S u f f m a n P. G. Coherent structures in turbulence flow. —• Lect.
Not. Phys, 1981, 136.
7. Айрапетов А. Б. Вихревая модель плоской турбулентной струи. — Труды ЦАГИ, 1976, вып. 1784.
8. Ашурст В. Т. Численное моделирование турбулентных слоев смешения через динамику вихрей.—В сб.: Турбулентные сдвиговые течения, ч. I. — М.: Машиностроение, 1982.
9. Дудоладов И. В. Осредненные и пульсационные характеристики слоя смешения, образованного спиральными вихревыми структурами. — Ученые записки ЦАГИ, 1980, т. XI, № 4.
10. Зимонт В. Л., Козлов В. Е., Прасковский А. А. Исследование турбулентного течения на начальном участке цилиндрического канала с острыми кромками.—Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. XII, № 1.
11. Вилл я Г. Теория вихрей. — ОНТИ, 1936.
12. Никольский А. А. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых^ потоков).—ДАН СССР, 1957, т. 116, № 2.
Рукопись поступила 9/1 1984 г.
