CC BY
45
УДК 519.63
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ И СДВИГОМ ПО КООРДИНАТАМ
© С.И. Солодушкин
Ключевые слова: уравнение переноса, запаздывание, численные методы,
функционально-дифференциальные уравнения в частных производных. Рассматривается краевая задача для уравнения переноса с запаздыванием времени и сдвигом по координатам. На основе метода характеристик сделана линейная замена переменных, после которой решение задачи сводится к решению однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений в обыкновенных производных, решаемой методами типа Рунге-Кутты.
Рассматривается краевая задача для уравнения переноса с запаздыванием по времени и сдвигом по координатам
ди + ади = / (х,Ь,и(х,Ь),и(х + ав,Ь + 8)), (1)
дЬдх
здесь х € [0,Х] — пространственная и Ь € [Ьо,0] — временная независимые переменные; и(х, Ь) — искомая функция; в € [—т, 0) — величина запаздывания, т > 0 , а> 0 — коэффи-
циент. Вместе с уравнением (1) заданы начальное и граничное условия
и(Ь, х) = ф(х, Ь), х € [—ат, 0], Ь € [¿о, 0 + х/а] У х € [—ат, X — ат], Ь € [Ьо — т, ¿о] и (2)
х € [X — ат,Х], Ь € [¿0 — (X — х)/а,Ьо]. ( )
Предполагается, что функционал / и функция ф таковы, что у задачи (1)—(2) имеется единственное решение. Вопросы существования и единственности решения краевой задачи (1)—(2) рассматривались в [1]. Работа продолжает исследования, начатые в [2].
Определение 1. Характеристическим уравнением для (1) назовем уравнение
Лх = а ЛЬ. (3)
Решения (3) х = аЬ + хо, где хо —константа, называются характеристиками уравнения (1).
Сделаем замену переменных таким образом, чтобы направить одну ось вдоль характеристики х = аЬ, а другую — перпендикулярно характеристике,
ах + Ь —х + аЬ . Л.
£ = ТШ5' п = ТШ ■ (4)
Искомую функцию, выраженную через £ и п, назовем ,ш(£,п); её связь с искомой функцией устанавливается тождеством и(х,Ь) = ,ш(£(х,Ь), п(х,Ь)) ■ Имеют место равенства
ди ди д£ д'ш дп д,ш д£ дп г-2 ^
дЬ + а дх д£ дЬ + дп дЬ + а д£ дх + а дп дх + а д£^
Пусть точке (х,Ь) соответствует (£,п), тогда в силу (4) точке (х + ав,Ь + в) соответствует (£ + в л/1 + а2, п) для всех в € [—т, 0); следовательно,
/(х, Ь, и(х, Ь),и(х + ав,Ь + в)) = /(х(£, п),Ь(£, п),^(£, п),м(£ + в\/1 + а2, п)) ■
2681
Обозначим последнее через f * (£, ц, w(£, m),w(£ + s\/1 + a2, ц)), тогда (1) можно представить в виде однопараметрического семейства функционально-дифференциальных уравнений в обыкновенных производных
Vl + a2 dw = f *&цМ£,п)М£ + S'/1 + a2,ц)), (5)
для численного решения которых можно применять методы, разработанные в [3].
Рассмотрим сетку Q = {xi,tj}j=o’'',M , где tj = t0 + jА, А = (в — t0)/M, xi = ih,h = X/N, M и N — число точек разбиения. Пусть для простоты изложения h = аА .
Приближения функции u(xi,tj) в узлах обозначим uj. Обозначим ej = u(xi,tj) — uj, i = 0,N, j = 0,M.
Определение2. Метод сходится с порядком hp + Aq, если существует такая константа C, что ||ej || ^ C (hp + Aq) для всех i = 0,..,N и j = 0,..,M.
Форма записи (1) в виде (5) позволяет построить метод численного интегрирования (1), основанный на последовательном применении метода Коши-Эйлера вдоль характеристик
j+i = uj+i + hf (xi, tj+i, uj+i, Vij+i()
uj+i+l = uj+i + 0-5hf (xi,tj+i,uij+i,vi’j+i(^)) + f (xi+1,tj+i+1 ,Щ+1+1, vi,3+i())) , (6)
где j = —N +1,M — 1, i = max{0, —j},min{N — 1,M — 1 — j} . Поскольку для вычисления функционала f необходимо знать значения функции u(x,t) между узлами сетки, применяется интерполяция и экстраполяция; vij(•) — результат кусочно-линейной интерполяции с экстраполяцией продолжением вдоль характеристики, проходящей через точку (xi,tj).
Теорема. Пусть шаги разбиения согласованы, h = аА, и применяется кусочнолинейная интерполяция с экстраполяцией продолжением вдоль характеристик для вычисления функционала f, тогда метод (6) сходится со вторым порядком по h и А .
Результаты численных экспериментов согласуются с теоремой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. New York, Springer-Verlag, 1996.
2. Карпенко Д.А., Солодушкин С.И. Численное решение уравнения переноса с эффектом последействия // Современные проблемы математики: тезисы Международной 44 Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург, 2013. C. 397-400.
3. Ким А.В., Пименов В.Г. i-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа проведена при поддержке гранта РФФИ 13-01-00089 и АВЦП 1.994.2011.
Solodushkin S.I. A NUMERICAL METHOD FOR SOLVING THE ADVECTION EQUATION WITH A TIME DELAY AND SHIFT IN THE COORDINATES
We consider a boundary problem for the advection equation with a time delay and shift in the coordinates. Based on the method of characteristics a linear change of variables is made, after which the solution of the problem reduces to the solution of one-parameter family of functional differential equations in ordinary derivatives. These equations are solved by Runge-Kutta type methods.
Key words: advection equation, numerical methods, partial delay differential equations.
2682
