Схема с весами для численного решения одномерного уравнения теплопроводности с запаздыванием для случая переменного коэффициента теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

СХЕМА С ВЕСАМИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЕРЕМЕННОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

© А.В. Лекомцев

Ключевые слова: уравнения параболического типа; запаздывание; схема с весами; переменный коэффициент теплопроводности.

Рассматриваются одномерные уравнения параболического типа с эффектами запаздываний по временной составляющей для случая переменного коэффициента теплопроводности. Конструируется схема с весами для численного решения этих уравнений. Исследуются порядок погрешности аппроксимации построенной схемы, устойчивость и порядок сходимости.

Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности с эффектом последействия вида:

ди д2 и

дк = дх2 + Лх,Ь,и(х,Ь),щ(х, •)), (1)

здесь х € [0,Х] — пространственная и Ь € [Ьо,9] — временная независимые переменные; и(х,Ь) — искомая функция; щ(х, ) = {и(х,Ь + 8), —т ^ в< 0} — функция-предыстория искомой функции к моменту 1; т — величина запаздывания. Коэффициент а(Ь) удовлетворяет условию

0 < е\ ^ а(Ь) ^ с2, Ь € [Ь0,9].

Пусть заданы начальные и граничные условия

и(х, Ь) = ф(х,Ь), х € [0, X], Ь € [Ьо — т,Ь0], (2)

и(0, Ь) = и(Х, Ь) = 0, Ь € [Ь0, 9]. (3)

Задача (1)-(3) представляет собой простейшую краевую задачу для одномерного уравнения теплопроводности с эффектом запаздывания общего вида для случая переменного коэффициента теплопроводности. Будем предполагать, что функции а(Ь), ф(х,Ь) и функционал f таковы, что эта задача имеет единственное решение и(х,Ь), понимаемое в классическом смысле. Отметим, что случай постоянного коэффициента теплопроводности рассмотрен в работе [1].

Обозначим через Q = Q[—т, 0) множество функций и(в), кусочно-непрерывных на полуинтервале [—т, 0), с конечным числом точек разрыва первого рода, в точках разрыва непрерывных справа, также функции и(в) имеют конечный левый предел в нуле. Определим норму функции на Q соотношением ||и(-)|и = вир ||и(з)||. Дополнительно будем

—Т^£<0

предполагать, что функционал f (х, Ь, и, V) определен на [0, X] х [Ь0, 9] х Я х Q и липшицев по двум последним аргументам [2, с. 93].

Разобьём отрезки изменения переменных [Ьо,9] и [0,Х] на части с шагами А и Ь, соответственно, введя точки Ьк = Ьо + к А, к = 0,..., М, хг = гЬ, г = 0,...,М. Будем считать, что величина т/А = т — целое число.

Приближения функций и(хг,Ьк), а(Ьк) в узлах будем обозначать через игк и ак, соответственно. При всяких фиксированных г = 0,..., N введём дискретную предысторию к

2574

моменту Ьк, к = 0,...,М : {и^к = {иг,к — т ^ I ^ к}. Оператором интерполяции-экстраполяции дискретной предыстории назовём отображение I: {иг1} к ^ vi(•) € Q[—т, А].

Для 0 ^ в ^ 1 рассмотрим семейство методов

Ufc±1 U4 2 ufc+1 2uk+1 + Uk±1 4 2 + U*. 1 i N

-4±1^-k = »al+,-4±1--------------h±-------*±1 + a — S)02+------------_4----S_ + П (,f (.)),

где г = 1,..., N — 1, к = 0,..., М — 1, с начальными и граничными условиями иг0 = ф(хг,Ь0), 1/(Ь) = ф(хг,Ь), Ь<Ь0, г = 0,...^,

и0к = ик =0, к = 0,..., М.

В качестве функционала Г)(уг() будем рассматривать f (хг,Ьк+1/2,игк+1/2^1к+1/2( )). Значение функционала Г£ (уг() вычисляется явно за счет интерполяции и экстраполяции.

В силу нелинейного характера зависимости функционала f (а, следовательно, и Г) от состояния и его предыстории, обычные методы исследования устойчивости [3] не применимы. Однако к данной задаче, как и к другим эволюционным задачам с эффектом запаздывания, для исследования сходимости схем применим аппарат абстрактных схем с последействием, ранее разработанный в [4] для случая функционально-дифференциальных уравнений.

Теорема 2. Пусть невязка метода [2, с. 105] имеет порядок АР1 + ЬР2, функции Г£ липшицевы, оператор интерполяции-экстраполяции I Липшицев и имеет порядок погрешности АР0 на точном решении [2, с. 104]. Тогда метод сходится с порядком Атт{рьро} + . Также метод устойчив по начальным данным и по правой части.

С помощью данной теоремы получаем, что схема с весами с кусочно-линейной интерполяцией и экстраполяцией продолжением имеет порядок А2 + Ь2 при в = 2. При значении

параметра в = схема с весами имеет порядок А + Ь2.

В работе был проведен ряд численных экспериментов, результаты которых показывают соответствие полученным теоретическим оценкам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лекомцев А.В., Пименов В.Г. Сходимость метода переменных направлений численного решения уравнения теплопроводности с запаздыванием // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 1. С. 102-118.

2. Ким А.В., Пименов В.Г. i -гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

4. Пименов В.Г. Общие линейные методы численного решения функционально-дифференциальных уравнений // Дифф. уравнения. 2001. Т. 37. № 1. С. 105-114.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ (проект 13-01-00089).

Lekomtsev A.V. SCHEME WITH SCALES FOR NUMERICAL SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL HEAT CONDUCTION EQUATION WITH DELAY FOR CASE OF VARIABLE COEFFICIENT OF HEAT CONDUCTIVITY

One-dimensional parabolic equations with delay effects in the time component for the case of variable coefficient of heat conductivity are considered. The scheme with scales is constructed for the numerical solution of these equations. The order of approximation error of the constructed scheme, stability and convergence order are investigated.

Key words: parabolic equations; delay; scheme with scales; variable coefficient of heat conductivity.

2575