Численный безитерационный метод моделирования электромеханических процессов в асинхронных двигателях Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.3.01:519.876.5

ЧИСЛЕННЫЙ БЕЗИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННЫХ

ДВИГАТЕЛЯХ

ПАТАЛАХ Д.Г. аспирант кафедры теоретической и общей электротехники Запорожского нацио-

нального технического университета, Украина, e-mail: patalakh.dmytro@gmail.com;

ТИХОВОД С.М. д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической и общей электротехни-

ки Запорожского национального технического университета, Украина, e-mail: stik-hovod@gmail. com;

КОРНУС Т.М. ст. преподаватель кафедры электрических и электронных аппаратов Запорожского

национального технического университета, Украина, e-mail: tmkornus@gmail.com.

Цель работы. Разработка безытерационного метода расчета переходных электромагнитных и электромеханических процессов в асинхронных двигателях.

Методы исследования. Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, программирование.

Полученные результаты. Поскольку в систему уравнений, описывающих динамику асинхронного двигателя, входят произведения токов ротора и статора и произведение частоты вращения ротора и токов, то эта система нелинейная. Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений предполагает итерационный процесс на каждом шаге интегрирования. Этот итерационный процесс может быть длительным и плохо сходящимся, что замедляет процесс расчета. Предложено усовершенствование численного метода, устраняющее итерационный процесс и сокращающее время моделирования. Усовершенствованный численный метод применен для интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромагнитных и электромеханических асинхронного двигателя.

Научна новизна. Предложено усовершенствование численного метода, позволяющее выполнять численное интегрирования дифференциальных уравнений, содержащих произведение функций, что позволяет избежать итерационного процесса на каждом шаге интегрирования и сократить время моделирования.

Практическая ценность. На основании предложенной методики может быть разработана универсальная программа моделирования электромеханических процессов в асинхронных двигателях, имеющая преимущество по быстродействию.

Ключевые слова: электромеханические процессы; асинхронные двигатели; численные методы; дифференциальные уравнения.

I. ВВЕДЕНИЕ

Переходные электромагнитные и электромеханические процессы в электротехнических системах представляют опасность для оборудования, поэтому исследование этих процессов актуально [1]-[4]. Для машин нестандартного, специализированного исполнения и машин общепромышленного применения, у которых динамический режим в процессе эксплуатации является определяющим (частые пуски, реверсы, повторные включения), необходим учет динамических режимов на стадии проектирования [5], [6].

Моделирование переходных электродинамических и электромеханических процессов в асинхронных двигателях (АД) сводится к составлению системы уравнений состояния и ее численному решению [6]-[8]. В систему уравнений АД входят произведения токов ротора и статора и произведение частоты вращения ротора и токов, поэтому эта система нелинейная [8]-[10]. Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений предполагает итерационный процесс на каждом шаге интегрирования [7], [8]. Этот итерационный процесс может быть длительным и плохо сходящимся, что замедляет процесс расчета [9]-[13].

II. АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ И ПУБЛИКАЦИЙ

Моделированию переходных электродинамических процессов в асинхронных двигателях посвящено много публикаций, например, [6]-[13]. Достаточно работ посвящено вычислению параметров моделей, например, [14]-[18].

В большинстве работ вычислительному механизму не уделяется достаточного внимания. Используются встроенные решатели в автоматизированные системы моделирования. Решатели автоматизированных комплексов моделирования, таких, как OrCAD Pspice [19] или MATLAB [20] используют традиционные методы численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений с использованием итерационного процесса на каждом шаге интегрирования. Это замедляет процесс численного расчета.

III. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является разработка безытераци-онного метода расчета переходных электромагнитных и электромеханических процессов в асинхронных двигателях, в результате чего может быть сокращено время моделирования.

© Паталах Д.Г., Тиховод С.М., Корнус Т.М., 2017

DOI 10.15588/1607-6761-2017-2-5

IV. ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО МАТЕРИАЛА И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Моделирование процессов в асинхронном двигателе проведем, используя уравнения состояния для двухфазного двигателя в системе координат dq, вращающейся с угловой частотой вращения ротора. В статоре рассматриваются две обмотки, расположенные друг к другу под углом 90° as и bs. В роторе также рассматриваются также две обмотки ar и br. Двигатель конденсаторный, поэтому две фазы двигателя питаются от одной фазы трансформатора.

Схема замещения двухфазного АД приведена на рис. 1 [6]. На этой схеме пятый контур иллюстрирует динамику механической части двигателя - ротора. В этом контуре роль тока исполняет круговая частота вращения ротора w. Роль индуктивности исполняет эквивалентный момент инерции ротора с присоединенной нагрузкой, деленный на количество пар полюсов. Электромагнитный и тормозной моменты представлены, как источники ЭДС, а тормозное сопротивление задано резистивным элементом Rt.

Для схемы замещения двухфазного конденсаторного АД система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, имеет вид [6]:

e(t) = (Lm + Ls ) ^ + Rsias + Lm^dtT ’ dt dt

0 = Lm-f- + Rr*ar + (Lm + Lr )~7Г +

dt dt

+ wLribr + wLmPibs;

e(t) = (Lm + Lr + Rsibs + Lm~jp + U°P;

0 = -wLmPias - w(Lm + Lr )Piar +

+ (Lm + Lr )~dr~ + Rribr + Lm—dr~;

dt dt

ducp

Cp-Cf - ibs = 0.

dt

(1)

Систему уравнений (1,2) будем решать численным неявным методом Эйлера.

Выполним модификацию неявного метода Эйлера так, чтобы за один цикл можно было вычислить на новом (k+1) шаге интегрирования не только значения искомых функций, но и произведения этих функций.

Пусть в некоторое обыкновенное дифференциальное уравнение входит произведение двух функций x(t) и y(t). Тогда, согласно неявному методу Эйлера имеем:

где ias, ibs, iar, ibr - токи в обмотках статора и ротора фаз «а» и «b»; w - частота вращения ротора; Lm - взаимная индуктивность обмоток; Ls, Lr - индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора; Rs, Rr -активные сопротивления обмоток статора и ротора; e(t) - ЭДС источника питания; иСр - напряжение на фазосдвигающем конденсаторе Cp.

К системе (1) следует присоединить уравнение динамики ротора:

JdW + Rtw + Mt = ke ■ \_ibsiar - iasibr], (2)

P dt

где Mt - внешний момент, приложенный к валу ЭМ; Rt - тормозное сопротивление ротора; ke = P ■ m ■ Lm/2; P - число пар полюсов; m - число фаз обмотки статора; J - приведенный момент инерции вращающихся частей машины и связанных с ними тел.

(xy)k+1 = (xy)k + h(xy)k+1. (3)

В уравнении (3) преобразуем второе слагаемое правой части:

(xy)' = xy' + x’y . (4)

Согласно (4) имеем:

(xy)'k+1 = xk+1yk+1 + xk+1yk+1 = (5)

= (xk + hxk+1) yk+1 +(yk + hyk+1) xk+1 Учитывая выражение (5), уравнение (3) примет

вид:

(xy)k+1 = (xy)k + %xk+1 + hxky'k+1 + 2h2x'k+1y'k+1 (6)

Пренебрегая в (6) последним слагаемым, содержащим h2, получим окончательно:

(xy)k+1 - hykx'k+1 - hxky'k+1 = (xy)k . (7)

Уравнение (7) позволяет вычислить произведение функций x(t) и y(t) на новом шаге интегрирования исходя из известных значений функций на предыдущем шаге интегрирования.

Уравнение, аналогичное (7), можно получить исходя не только из метода Эйлера, но и из какого-нибудь другого многошагового метода, например, метода Гира второго порядка:

2 4 1

xk+1——hxk+1=—xk- 3 xk-1

2 4 1

(xy)k+1- з h( хуУк+1 = з( xy)k- 3( хУ)к-1-

При этом точность метода повышается.

Рассмотрим вектор-столбец, содержащий следующие переменные:

Xd = [w' ias' ibs' iar’ ibr’ uc’ w

ias ibs iar ibr uc ias.ibr ibs.iar]T; (8)

Система уравнений (1,2) в матричной форме приобретет вид;

Md ' Xd = Fd , (9)

где матрица Md имеет вид (10), а вектор правых частей Fd имеет вид (11).

Система уравнений (1,2), рассмотренная на текущем к+1 шаге интегрирования, имеет 14 неизвестных, но содержит только 6 уравнений. Чтобы ее решить, нужно добавить уравнения численного метода Эйлера (12). Добавим также два уравнения численного метода (7) для произведения токов (13).

M d =

w' ! ias' ! ibs' ! iar' 1 | ibr' ! uc’ w ias 1 | ibs iar 1 | ibr uc 1 | ias.ibr ibs.iar

1 1 1 Lm + + Ls 1 1 1 1 Lm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Rs 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

і 1 1 | 1 1 1 1 _L _L 1 | 1

1 1 1 1 I Lm 1 1 1 1 1 j Lm + j + Lr 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 Rr 1 1 1 1 _L w(Lm + + Lr) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1

1 1 1 1 Lm + | + Ls 1 1 1 1 1 1 Lm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Rs 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

I 1 | 1 1 1 | 1 _L 1 | 1

1 1 1 1 I 1 Lm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | Lm + + Lr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 -w(Lm + + Lr) 1 1 1 1 _L Rr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 \Cp 1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 1 1

j/p \ j 1 1 1 1 1 1 \Rt 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 ke 1 1

; (10)

Fd =[e(t)! ! e(t)! ! ! -Mt]

(11)

w' ! ias' 1 ibs' 1 iar' і ibr' ! uc' w ias ibs iar ibr uc ias.ibr I ibs.iar r

- h 1 1 1 1 П 1 1 1 1 j 1 I I 1 I 1 I 1 I I I I | w

1 1 1 J. 1 1 1 1 r 1 1 1 .4- 1 1 1 1 T 1 1 1 4- 1 1 1 1 1 1 1 1 1- 1* ias

! - h ' j ' ' I 1 1 1 1 I I —

r “I , Г “1 Г Г r r Г Г Г T T ■ Xd = ibs

-h I 1 1 1 1 I I —

Г “1 г 7 1 Г “ r ■ r ■ r ■ Г ! " Г “ Г “ “I* T iar

-h I 1 1 1 1 I I —

L J L J L L L L L L L J. _L ibr

-h I I 1 1 1 1 1 1 1 I I I I

J- -I 4. 4 1- 4- - 4- 4- 4- 4- 4- _ 4. J. uc

-h I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I

! - h ■ ibr !

! ! - h • ibr

1 - h • ibr !

і і і

h ibr

------------1-------------I---I-----|---|----

- h • ibr !

і і iii'

і і і 1 і

—i-—\—1--+-

1

i

і

' ' AJк

■ X d =

ias ■ ibr ibs • iar

(12)

к (13)

Учитывая, что частота вращения ротора w изменяется медленно, в уравнении (9) будем использовать ее значение предыдущего шага интегрирования. Таким образом, объединенная система уравнений (9), (12), (13) содержит 14 уравнений и имеет единственное решение - вектор неизвестных (8). Таким образом, объединенная система уравнений (9), (12), (13) позволяет вычислить значения всех неизвестных токов и производных переменных состояния в текущий момент времени, если известны значения переменных состояния в момент предыдущего шага интегрирования.

Если систему уравнений (9), (12), (13) решать в

цикле с пошаговым увеличением текущего времени до достижения заданного времени моделирования, то получим зависимости от времени всех токов и производных переменных состояния. Совокупность векторстолбцов решения Xd, полученных для всех моментов времени, изменяющихся с шагом h, объединяется в единый массив решений X.

По приведенной методике разработана компьютерная программа в системе GNU Octave [19], совместимой с системой MATLAB [20], и выполнены расчеты разгона двухфазного конденсаторного двигателя мощностью 500 Вт. Временные зависимости тока статора и частоты вращения ротора приведены на рис. 2

и рис. 3. Разработана также компьютерная программа расчета разгона этого же двигателя методом Эйлера с традиционным использованием итерационных процессов на каждом шаге интегрирования.

Рисунок 2. Зависимость от времени тока статора фазы «А»

Сравнение результатов расчета разными методами показало, что при одинаковой точности время расчета по предложенной методике в полтора раза сокращается.

4

Рисунок 3. Зависимость от времени частоты вращения ротора

V. ВЫВОДЫ

Использованный метод расчета переходных электромеханических процессов в асинхронном дви-гателет позволяет ускорить процесс моделирования в полтора раза и сделать оптимальный выбор параметров оборудования. При этом могут быть смоделированы режимы пуска, торможения, изменения напряжения питания, сброса и наброса нагрузки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] . Пивняк Г.Г. Переходные процессы в системах

электроснабжения / Г.Г. Пивняк, В.Н. Винослав-ский. - М.: Энергоатомиздат, Днепропетровск, Национальный горный университет, 2003. - 548 с.

[2] . Веников В.А. Переходные электромеханические

процессы в электрических системах / В. А. Вени-

ков. - М.: Высшая школа, 1985. - 536 с.

[3] . Ярымбаш Д.С. Особенности расчета токов корот-

кого замыкания мощных электротехнических комплексов графитации переменного тока / Д. С. Ярымбаш // Електротехніка та електроенергетика. - 2012. - № 1. - С. 23-30. DOI: 10.15588/1607-6761-2012-1-6

[4] . Ярымбаш Д.С. Особенности расчета электроди-

намической стойкости шихтованных шинных пакетов короткой сети печи графитации / Д. С. Ярымбаш // Вісник СевНТУ: зб. наук. пр. Вип. 146/2014. Серія: Механіка. Енергетика. Екологія.

- Севастополь. 2014. - С. 131 - 136.

[5] . Коцур М.И. Особенности ударного теплового

воздействия на асинхронный двигатель с модифицированной системой импульсного регулирования в условиях частых пусков / И. М. Коцур // Електротехніка та електроенергетика. - 2014. - №

1. - С. 32 - 36. DOI :10.15588/1607-6761-2014-1-5

[6] . Копылов И. П. Математическое моделирование

электрических машин / И. П. Копылов. - М. : ВШ.

- 2001. - 327 с.

[7] . Васьковский Ю. В. Математическое моделирова-

ние электромагнитных полей в короткозамкнутом асинхронном двигателе с поврежденной обмоткой ротора [Текст] / Ю. В. Васьковский, А. А. Гера-скин // Техническая электродинамика. - 2010 - №

2. - С. 56 - 61.

[8] . Милых В. И. Анализ гармонического состава пе-

ременного магнитного поля, связанного с вращающимся ротором турбогенератора, в режиме холостого хода и короткого замыкания [Текст] /

В. И. Милых, Н. В. Полякова // Электротехника и электроэнергетика. - 2013. - №2. - С. 5 - 12.

[9] . Могильников B.C. Асинхронные двигатели с

двухслойным ротором и их применение [Текст] / B.C. Могильников, A.M. Олейников, А.Н. Стрельников. - М.: Энергоатомиздат, 1983. -120с.

[10] . Плюгин, В. Е. Численное моделирование электромагнитного поля асинхронного двигателя с внешним массивным ротором [Текст] / В.Е. Плю-гин // Вестник НТУ «ХПИ». - 2013. - № 51 (1024)

- С. 66 - 75.

[11] . Ярымбаш Д.С. Особенности определения параметров схемы замещения асинхронного двигателя для режима короткого замыкания/ Д.С. Ярымбаш, М.И. Коцур, С.Т. Ярымбаш, И.М. Коцур // Електротехніка та електроенергетика №1, 2017, с.24-30. DOI: 10.15588/1607-6761-2017-1-4.

[12] . Яримбаш Д. С. Особенности трехмерного моделирования электромагнитных полей асинхронного двигателя [Текст] / Д. С. Яримбаш, М. И. Ко-цур, С. Т. Яримбаш, И. М. Коцур // Електротехніка та електроенергетика - 2016. -№2 - С. 43 - 50. DOI: 10.15588/1607-6761-2016-2-5.

[13] . Пустоветов М. Компьютерное моделирование

асинхронних двигателей и трансформаторов / М. Пустоветов, К. Солус, И. Синявский.- LAP LAMBERT.- 2013.- 206 c.

[14] . Персова М.Г. О новом подходе к проектированию электрических машин на основе численного моделирования [Текст] / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, З.С. Темлякова и др. // Электротехника.

- 2007. - № 9. - С. 15 -21.

[15] . Макеев М. С. Алгоритм расчета параметров схемы замещения асинхронного двигателя по каталожным данным / М.С. Макеев, А. А. Кувшинов // Вектор науки ТГУ. - 2013. - № 1. - С. 108-112.

[16] . Мощинский Ю. А. Определение параметров схемы замещения асинхронной машины по каталожным данным [Текст] / Ю.А. Мощинский, В.Я. Беспалов, А. А. Кирякин // Электричество - 1998.

- №4/98. - С. 38-42

[17] . Кеоун Д. OrCAD Pspice. Анализ электрических цепей / Дж. Кеоун. - сПб,: Питер. - 2008. - 640 с.

[18] . Ярымбаш Д.С. Особенности определения параметров электрической схемы замещения печной петли печи графитации переменного тока/ Д.С. Ярымбаш, И.М. Килимник, С.Т. Ярымбаш // Електротехніка та електроенергетика №2, 2010,

С.36-43.

[19] . GNU Octave [Электронный ресурс]. - режим доступа: www.gnu.org/software/octave/index.html

[20] . Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink / И.В. Черных. - М.: ДМК Пресс; СПб.: Питер, 2008. - 288 с.

Статья поступила в редакцию 16.12.2017

ЧИСЛОВИЙ БЕЗІТЕРАЦІЙНИЙ МЕТОД МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ ПРОЦЕСІВ В АСИНХРОННИХ ДВИГУНІВ

ПАТАЛАХ Д.Г. аспірант кафедри теоретичної та загальної електротехніки Запорізького національного технічного університету, Україна, e-mail: patalakh.dmytro@gmail.com;

ТИХОВОД С.М. д-р техн. наук, доцент, кафедри теоретичної та загальної електротехніки Запорізько-

го національного технічного університету, Україна, e-mail: stikhovod@gmail.com;

КОРНУС Т.М. ст. викладач кафедри електричних та електронних апаратів Запорізького національ-

ного технічного університету, Україна, e-mail: tmkornus@gmail.com

Мета роботи. Розробка безітераційного методу розрахунку перехідних електромагнітних і електромеханічних процесів в асинхронних двигунах.

Методи дослідження. Числові методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь, програмування.

Отримані результати. Оскільки в систему рівнянь, що описують динаміку асинхронного двигуна, входять добутки струмів ротора і статора і добуток частоти обертання ротора і струмів, то ця система нелінійна. Числовий розв ’язок нелінійних диференціальних рівнянь передбачає ітераційний процес на кожному кроці інтегрування. Цей ітераційний процес може бути тривалим і погано збігатися, що уповільнює процес розрахунку. Запропоновано удосконалення числового методу, що усуває ітераційний процес і скорочує час моделювання. Вдосконалено числовий метод застосований для інтегрування диференціальних рівнянь, що описують динаміку асинхронного двигуна.

Наукова новизна. Запропоновано удосконалення числового методу, що дозволяє виконувати числове інтегрування диференціальних рівнянь, які містять добуток функцій, що дозволяє уникнути ітераційного процесу на кожному кроці інтегрування і скоротити час моделювання.

Практична цінність. На підставі запропонованої методики може бути розроблена універсальна програма моделювання електромеханічних процесів в асинхронних двигунах, що має перевагу по швидкодії. асинхронних двигунах, що має перевагу по швидкодії.

Ключові слова: електромеханічні процеси; асинхронні двигуни; числові методи; диференційне рівняння

NUMERICAL WITHOUT ITERATION METHOD OF MODELING OF ELECTROMECHANICAL PROCESSES IN ASYNCHRONOUS ENGINES

PATALAKH D. Postgraduate student, Zaporozhye National Technical University, Zaporozhye, Ukraine, email: patalakh.dmytro@gmail.com;

TYKHOVOD S. ScD, Assoc. Prof., Zaporozhye National Technical University, Zaporozhye, Ukraine, email: stikhovod@gmail.com;

KORNUS T. Senior Lecture of the department of the electrical and electronic apparatus, Zaporozhye,

Ukraine, e-mail: tmkornus@gmail.com

Purpose. Development of calculation of electromagnetic and electromechanic transients is in asynchronous en-

gines without iterations.

Methodology. Numeral methods of integration of usual differential equations, programming.

Findings. As the system of equations, describing the dynamics of asynchronous engine, contents the products of rotor and stator currents and product of rotation frequency of rotor and currents, so this system is nonlinear one. The numeral solution of nonlinear differential equations supposes an iteration process on every step of integration. Time-continuing and badly converging iteration process may be the reason of calculation slowing. The improvement of numeral method by the way of an iteration process removing is offered. As result the modeling time is reduced. The improved numeral method is applied for integration of differential equations, describing the dynamics of asynchronous engine.

Originality. The improvement of numeral method allowing to execute numeral integrations of differential equations containing product of functions is offered, that allows to avoid an iteration process on every step of integration and shorten modeling time.

Practical value. On the basis of the offered methodology the universal program of modeling of electromechanics processes in asynchronous engines could be developed as taking advantage on fast-acting.

Keywords: electromechanics processes; asynchronou REFERENCES

[1] . Pivnyak G.G., Vinoslavskiy V.N. (2003).

Perekhodnyye protsessy v sistemakh elektrosnabzheniya. Moscow, Energoatomizdat, 548. (in Russian)

[2] . Venikov V.A. (1985). Perekhodnyye elektromekhani-

cheskiye protsessy v elektricheskikh sistemakh. Moscow, Vysshaya shkola, 536. (in Russian)

[3] . Yarymbash, D. (2012). Features of the short-circuit

current calculations of the ac graphitization power electrical complex. Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 23-30. DOI: 10.15588/1607-6761-2012-1-6. (in Russian)

[4] . Yarymbash, D. (2014). The features of the calculation

of electrodynamic stability of laminated bus packages of low-voltage circuit of graphitization furnace. Vis-nyk SevNTU: Seriya: Mekhanika. Enerhetyka. Ekolo-hiya. 146, 131-136. (in Russian)

[5] . Kotsur, M. (2014). Features of the of thermal effect

impact on the asynchronous motor with the modified pulse control system in conditions of frequent starts. Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 32-36. DOI: 10.15588/1607-6761-2014-1-5

[6] . Kopylov I.P. (2001). Matematicheskoye

modelirovaniye elektricheskikh mashin. Moscow, Vysshaya shkola, 327. (in Russian)

[7] . Vaskovskiy, Yu. V., Geraskin A. A. (2012) Mathe-

matical modeling of electromagnetic fields in the squirrel cage induction motor with damaged rotor winding, Tehnicheskaya elektrodinamika, 2. 56 - 61. (in Russian)

[8] . Milyih, V. I., Polyakova N. V. (2013) An analysis of

harmonic composition the AC magnetic field associated with a rotating rotor tufbine generator, at idle speed and short circuit modes, Electrical Engineering And Power Engineering, 2. 5-12. DOI:

10.15588/1607-6761-2013-2-1 (in Russian)

[9] . Mogilnikov B. C., Oleynikov A. M., Strelnikov A. N.

(1983) Asinhronnyie dvigateli s dvuhsloynyim ro-torom i ih primenenie, Moscow, Energoatomizdat, 120. (in Russian)

[10] . Plyugin, V. E. (2013) Numerical simulation of the electromagnetic field of the induction motor with the

engines; numeral methods; differential equations.

external massive rotor, Vestnik NTU «KHPI», 51(1024), 66 - 75. (in Russian)

[11] . Yarymbash, D., Kotsur, M., Yarymbash, S., & Kotsur, I. (2017). Features of parameter determination of the induction motor substitution circuit for short-circuit mode. Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 24-30. DOI: 10.15588/1607-6761-2017-1-4. (in Russian)

[12] . Yarymbash, D., Kotsur, M., Yarymbash, S., & Kotsur, I. (2016). Features of three-dimensional simulation of the electromagnetic fields of the asynchronous motors. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 43-50. DOI: 10.15588/1607-6761-

2016-2-5. (in Russian)

[13] . Pustovetov M. Kompyuternoye modelirovaniye asinkhronnikh dvigateley i transformatorov / M. Pustovetov. K. Solus. I. Sinyavskiy.- LAP LAMBERT.- 2013.- 206 c. (in Russian)

[14] . Persova М. G., Soloveychik Yu. G., Temlyakova Z. S. (2007) A new approach to the design of electrical machines based on numerical simulation, Elektro-tehnika, 9, 15-21. (in Russian)

[15] . Makeyev M.S., Kuvshinov A.A. (2013). Algorithm for calculating the parameters of the equivalent circuit of the asynchronous engine at the catalog data. Vektor nauki TGU, 1 (23), 108-112. (in Russian)

[16] . Moshchinskiy Yu.A., Bespalov V.Ya., Kiryakin A.

A. (1998). Ascertainment of the equivalent circuit parameters of the asynchronous machine at the catalog data. Elektrichestvo, 4/98, 38-42 (in Russian)

[17] . Keoun D. (2008). OrCAD Pspice. Analiz elektricheskikh tsepey. sPb,: Piter. 640. (in Russian)

[18] . Yarymbash, S., Kylymnyk, I., & Yarymbash, D. (2010). Specific determination of equivalent circuit parameters in the furnace loop of the AC graphitizing furnace. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 36-43. DOI: 10.15588/1607-6761-2010-2-6. (in Russian)

[19] . GNU Octave [online] Available at: www.gnu.org/software/octave/index.html

[20] . Chernykh I.V. (2008). Modelirovaniye elektro-tekhnicheskikh ustroystv v MATLAB, SimPower Systems i Simulink. Moscow, DMK Press,.288. (in Russian)