Влияние нестационарных электромагнитных процессов на электромеханические параметры в синхронном электроприводе Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.323

ВЛИЯНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ В СИНХРОННОМ ЭЛЕКТРОПРИВОДЕ

ЗИНОВКИН В В. д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры электропривода и автоматизации

промышленных установок Запорожского национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: zvv@zntu.edu.ua;

АНТОНОВ Н.Л. канд. техн. наук, доцент кафедры электропривода и автоматизации промышленных

установок Запорожского национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: nick@nickanto.info;

КРИСАН Ю.А. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры электропривода и автоматизации про-

мышленных установок Запорожского национального технического университета, Запорожье, Украина, e-mail: krisan@mail.com.

Цель работы. Исследование влияния резкопеременной электрической нагрузки на нестационарные электромагнитные явления и электромеханические процессы в синхронном электроприводе.

Методы исследования. Теоретические и экспериментальные методики исследований и анализа совокупности параметров резкопеременных нагрузок электротехнологических комплексов и электромагнитных процессов в электрооборудовании; физико-аналитические методики для получения зависимостей влияния электротехнологических нагрузок на техническое состояние, аварийность электрооборудования, добавочные потери и нестационарных электромагнитных явлений в системах и оборудовании.

Полученные результаты. Выполнены расчеты превышения колебательных процессов вала синхронного электропривода, которые возбуждаются резкопеременными нагрузками, относительно нормированных государственными стандартами. Исходя из первостепенных требований электропривода и обеспечения нормируемых колебаний вала двигателя и возрастающих требований к надежности, эффективности и снижения энергозатрат на единицу вырабатываемой продукции было исследовано влияние нестационарных электромагнитных процессов на электромеханические параметры электропривода.

Научна новизна. Предложена математическая методика нестационарных электромагнитных процессов в синхронном электроприводе, которая позволяет исследовать влияние несинусоидальности и несимметрии токов и напряжений на электромеханические параметры. Приведена инженерная методика оценки колебательной функции вала в зависимости от характера нестационарных электромагнитных процессов в синхронном электродвигателе.

Практическая ценность. Предложена инженерная методика оценки колебаний вала синхронного электропривода при нестационарных электромагнитных процессах, приводящих к увеличению показателей нормативно-технической документации.

Ключевые слова: нестационарные электромагнитные процессы; синхронный электропривод; резкопеременная нагрузка математическая модель; механические колебания; нормируемые показатели.

нарных электромагнитных явлений в электроприво-

I. ВВЕДЕНИЕ

Электроприводы широко используются в технологических установках общего и специального назначения. При их помощи достигается высокая точность, оперативность и обеспечиваются директивные электромеханические процессы промышленных установок. Их эффективность существенно зависит от соблюдения нормированных показателей качества электрической энергии и условий эксплуатации [1]-[3]. Ввиду особенностей электротехнологических режимов энергоемких технологических комплексов таких как приводы прокатных станов и дуговые сталеплавильные печи, вставки и линии передачи постоянного тока, электролиза и нефтепереробатывающей промышленности и др. ток и напряжение изменяются во времени по резкопеременному вероятностному закону [4]-[6]. Это приводит к существенному превышению нормируемых показателей качества электрической энергии и, как следствие, формированию нестацио-

дах и смежном электротехническом оборудовании [7], [8]. Последние являются причиной ухудшения технико-экономических показателей энергоемких промышленных предприятий в результате следующих явлений и последствий:

- увеличения добавочных потерь в электроприводе и технологической линии;

- развития релаксационных электромеханических процессов;

- развития релаксационных явлений в охлаждающих узлах;

- сокращения сроков службы отдельных узлов, активных и неактивных деталей электроприводов;

- снижения эффективности функционирования электропривода, смежного электротехнического оборудования и технологической линии;

- перегрева обмоток и питающих кабелей;

- ухудшения диэлектрических свойств и уско-

© Зиновкин В.В., Антонов Н.Л., Крисан Ю.А., 2017

DOI 10.15588/1607-6761-2017-2-1

ренного «старения» изоляционных материалов;

- обугливания изоляции системы возбуждения электромагнитного поля электродвигателя и электропривода в целом;

- увеличения общего фона акустических шумов и в спектре октавных частот;

- развития магнитострикционных явлений в магнитной системе и отдельных деталях конструкции;

- резонансных ферромагнитных и механических явлений;

- возрастания энергозатрат на единицу вырабатываемой продукции.

Очевидно, что для повышения эффективности электроприводов целесообразно выполнить комплексные исследования электромагнитных и электромеханических процессов с учетом реальных условий эксплуатации, режимов нагрузки двигателя и условий эксплуатации.

II. АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИИ И ПУБЛИКАЦИИ

В многочисленных литературных источниках отмечается, что даже в системах общего назначения в возбуждающих токах содержатся высшие гармоники. Значительное влияние оказывают гармоники до пятого порядка, а остальные не превышают 4,5% от первой [9]-[17]. Определяющее влияние на электромагнитные процессы в электротехническом оборудовании оказывают высшие гармоники, а также несимметрия возбуждающих токов и напряжений.

В системах электроснабжения энергоемких электротехнологических комплексов последние существенно превышают нормированные показатели качества электрической энергии и ужесточают условия работы электроприводов. В качестве примера на рис.1 и рис.2 приведены фрагменты регистограммы мощности и токов технологических коротких замыкания (т.к.з.) в системе электроснабжения энергоемкого электрометаллургического промышленного предприятия [18].

Рисунок 1. Регистограмма мощности в системе электроснабжения электрометаллургического предприятия при работе ДСП.

На рис.1 приняты следующие обозначения: (Ра) и (Рр) - активная и реактивная мощности, соответственно; (соєф) - коэффициента мощности.

Рисунок 2. Фрагмент осциллограммы фоновых токов в режиме технологического короткого замыкания (т.к.з.) дуговой сталеплавильной печи.

На рис.2 приняты следующие обозначения: (1 и 2) - двухфазное т.к.з., (3) - трехфазное т.к.з., (4) -чередующиеся т.к.з., (5) - токи включения электропечного трансформатора, 1н - номинальный ток технологического режима.

Из приведенных осциллограмм видно, что в отдельные моменты времени и в совокупности электрические параметры нагрузки изменяются и превышают нормируемых показателей качества электрической энергии. Такие режимы называют резкопеременными [3], [4], [10]. Наиболее неблагоприятными и, практически не контролируемыми, являются механические качания ротора электроприводов. Это приводит к усложнению соблюдения директивного управления технологическими процессами, отрицательно сказывается на соблюдении автоматизированного управления и технико-экономических показателях технологических объектов.

В литературных источниках приведены результаты исследований режимов синхронных машин [18]-[23]. Однако влияние резкопеременных нагрузок на электромагнитные и электромеханические процессы в синхронном электроприводе практически не исследованы.

Известно, что внешние электрические параметры возбуждают в электрооборудовании соответствующие электромагнитные процессы. Последние, в свою очередь, определяют механические режимы электропривода, которые осуществляют регулировку исполнительных механизмов энергоемких технологических комплексов и отдельных установок с целью поддержания директивного задания. На рис.3 приведены осциллограммы мгновенных токов формы.

На рис.3 приняты следующие обозначения: а) -фрагмент двухфазного т.к.з.; б) - трехфазные т.к.з.

Очевидно, что при таком характере питания в электродвигателе протекают нестационарные электромагнитные явления, которые оказывают влияние на механические параметры на валу и, следовательно, на приводные механизмы технологической установки. Если при стационарном питании вращение вала будет равномерным ввиду постоянного действия по фазам возбуждающего электромагнитного поля и собственной инерционности, то при несимметрии возбуждающего тока электромеханические процессы имеют довольно сложный характер.

Рисунок 3. Осциллограммы мгновенных токов в процессе т.к.з. работе энергоемкого электротехнологического комплекса.

В момент больших кратностей тока возрастают электродинамические усилия, а при отсутствии тока механические усилия обеспечиваются за счет инерционности механической системы. При этом в отдельных фазах токи чередуются, а в отдельные моменты времени практически отсутствуют. Кроме этого несинусоидальность тока приводит к усложнению исследования и инженерных расчетов нестационарных электромагнитных и электромеханических процессов. Такой характер режимов приводит к ускоренному износу подшипников, релаксационным процессам, образованию уравнительных токов и потоков, возрастанию местных потерь и нагревов и др.

Исходя из первостепенных требований электропривода и обеспечения нормируемых колебаний вала двигателя и возрастающих требований к надежности, эффективности и снижения энергозатрат на единицу вырабатываемой продукции актуально исследовать:

- влияние нестационарных электромагнитных процессов на электромеханические параметры электропривода;

- разработать математическую модель нестационарных электромагнитных явлений и на ее основе, электромеханических процессов;

- сформировать технические требования и технические условия;

- предложить инженерные методы оценки колебаний вала синхронного электропривода при резкопеременных электрических нагрузках и реальных условиях эксплуатации.

III. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целю настоящей работы является исследование влияния резкопеременной электрической нагрузки на нестационарные электромагнитные явления и элек-

тромеханические процессы в синхронном приводе.

IV. ИЗЛОЖЕНИЕ ОСНОВНОГО МАТЕРИАЛА И АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

При стационарном нагружении и установившемся режиме синхронного электропривода взаимоиндуктивность L12 удобно представить в виде периодической функции. При резкопеременных нагрузках взамные индуктивности отдельных фаз будут отличаться и с течением времени представляют периодические функции сложной формы. Это позволяет решение поставленной задачи упростить с достаточной для инженерной практики точностью.

Построение идеализированной модели синхронного электропривода

Решение поставленной цели удобно исследовать на идеализированной модели синхронного электропривода без демпферных обмоток в следующем виде [13]:

r dI т d(L]2i) L“dt+г] + dt=и>; (1)

^]2) + Г2і + L22d = „2 ; dt 2 22 dt (2)

. d 2esm dL 12 . , ,, in dt2 de^m mh (3)

где L11 и L22 - индуктивности обмоток статора и ротора;

I и i - мгновенные значения токов статора и ротора;

r1 и r2 - активные сопротивления статорной и роторной обмоток;

u1 и u2 - напряжения статора и ротора исследуемой машины;

L12 - взаимоиндуктивность обмоток статора и ротора;

Jin - момент инерции ротора;

6gm - угол поворота ротора относительно статора;

Mmh - момент механических сил на валу ротора.

Для повышения эффективности исследований необходимо учесть нелинейные взаимосвязи между электромагнитными и механическими параметрами электропривода. Это приводит к существенному усложнению математической модели. Поэтому на первом этапе решения поставленной задачи рассмотрим ее в линейном представлении, а параметры L11, L22, r1, r2 будем считать постоянными. При этом, в динамическом режиме, при питании резкопеременными токами и напряжениями, необходимо учитывать, что при вращении ротора, взаимоиндуктивность L12 будет изменяться во времени в виде периодической функции. Очевидно, при инженерных исследованиях одновременный учет таких процессов не представляется возможным. Поэтому на первом этапе исследуем однофазную модель с учетом влияния высших гармоник

ISSN 1607-6761 (Print)

ISSN 2521-6244 (Online)

и изменяющихся кратностях возбуждающего тока. При этом, взаимную индуктивность запишем в следующем виде:

ГО

Li2 = £ Mk • cos• kpdgm , (4)

k=i

где Mk - амплитуда гармоники k-го порядка;

p - число пар полюсов электродвигателя.

Физическое представление электромеханических процессов

Исходя из физического представления электромеханических параметров, сомножитель p0gm выражаем посредством угловой скорости ротора двигателя (rnej) и функции (u(t)), которая характеризует колебания ротора при механическом нагружении, относительно синхронного режима, в следующем виде:

рв%т =&ei • t + u(t) . (5)

В соответствие условиям постановки задачи и1 = Uim • sin(a>it + ai) ; u2=const; U1m, m1 - амплитуда и круговая частота подведенного к статору напряжения; а1 - начальная фаза напряжения и1. В силу режима синхронной машины (юе1=ю1) последний параметр одновременно характеризует угол опережения напряжения, подведенного к статору. Поэтому электромагнитный момент на валу ротора удобно представить в следующем виде:

Mem = dLj^ ^ і ^ і. (6)

d0gm

Очевидно, что даже при синусоидальном изменении во времени взаимоиндукции (L12) в зависимости от угла (0gm) и токов ротора и статора (i, I, соответственно) вращающий момент (Mem) будет изменяться во времени по периодическому закону. При этом из уравнения (3) следует, что даже при постоянном моменте приложенных механических сил на валу ротора (Mmh) угловая скорость изменяется (не может быть постоянной). Из приведенного анализа электромагнитных и электромеханических процессов в синхронном электроприводе очевидно, что даже при приложенном синусоидальном напряжении, имеют место колебания ротора. При изменении возбуждающих параметров по периодическому несинусоидальному закону взаимосвязи между электромагнитными и электромеханическими параметрами существенно усложняются. Превышение нормируемых государственными стандартами показателей качества электрической энергии приводит к тому, что взаимная индуктивность (L12) в зависимости от изменения угла (6sm) изменяется по более сложному периодическому несинусоидальному закону. Это приводит к увеличению механических колебаний ротора синхронного электропривода. Нелинейные зависимости между электромагнитными параметрами электропривода, а также несинусоидальные и резкопеременные возбуждающие токи и напряжения приводят к существенному ус-

ложнению рассматриваемой задачи. В этом случае математическая модель будет представлять собой сложную систему нелинейных дифференциальных уравнений. Точность решения этих уравнений существенно зависит от степени линеаризации отдельных параметров и зависимостей (индукции, потока, маг-нитострикции в магнитной системе, нагрева обмоток и деталей, высших гармоник в токах и напряжениях). Усложнение решения поставленной задачи приводит к существенному возрастанию вычислений, а также разработке отдельных математических и компьютерных моделей. Большое количество решаемых вариантов и точность приводят к усложнению использования на практике. Это поясняется отсутствием высококвалифицированных исследователей, вычислительных устройств и средств автоматизации, необходимости срочной разработки технических условий и технических требований в зависимости от условий и режимов работы электропривода, а также учета влияния смежных энергоемких электротехнологий (дуговые сталеплавильные печи, приводы прокатных станов, вставки и преобразователи, электролиз и др.)

На основании выше изложенного усматривается, что для решения практических задач целесообразно разрабатывать упрощенные модели, которые удовлетворяют техническим требованиям и обладают достаточной для инженерной практики точностью.

Взаимные связи между электромагнитными и механическими процессами

В первом приближении инженерное решение можно получить полагая, что второе слагаемое (u(t)) в (5), которое характеризует колебания ротора, относительно синхронного режима, постоянным w1(t)=0. После преобразований и сохраняя физическую сущность взаимосвязей между электромагнитными и механическими процессами приходим к следующему равенству:

p0gm = ait. (7)

При этом условии периодическое решение исходных уравнений (1) - (2) получаем, решая соответствующие системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При этом искомые периодические функции i и I следует представить в следующем виде:

ГО

I = I0 ^ (I n • sin n • со it + In • cos• n •ait) ; (8)

n=1

ГО

i = i0 ^ (in • sin• n • a it + in • cos• n • ait) . (9)

n=i

Дальнейшее исследование состоит в анализе физической сущности произведений (i-L12) и (I-L12). В математическом представлении первый сомножитель представляем в следующем виде:

iLi2 = 'Y}(№к ■ cos' kwjt +Y,'YMк ■ cos- kajt ■ (ig ■ cos- not) =

к =1

=1к=1

= ’^igMk ■ cos- ка>іі +—nMkig[sin(n + к) ■ ot + sin(n - к) ■

к=1

к=1

■ a>1t] + Mkin[cos(n + к) ■ a>1t + cos(n - к) ■ ot].

к=1

После преобразований и упрощений приходим к следующему равенству:

ТО

=U1 ■ sinof+U1 ■ cosof+'Yja>1(Pj ■ cos jot -Pj ■ sin jot j=1

TO

+ r2Yj(i1 ■ sinof +ij ■ sin jot) + (14)

j=1

TO

+ L22Yjpo j ■ cos jojt +ij ■ sin jot) = U2, j=1

где приняты следующие обозначения:

ib/2 = igL12 +Y/KJ ■ sin jot +Kj ■ cos jot) + YMnin ,(10)

j=1 n=1

Кj = 2~^Y(Mj-n + Mn-j - Mn+j) ■ in ’

n=1 /114

где (11)

,, 1 TO ,,

Kj = 2 "^^i(M j-n + Mn- j - Mn+j) ■ in-n=1

Следует отметить, что здесь коэффициенты М с отрицательными и нулевыми индексами представляют бесконечно малые значения. Это необходимо для получения инженерного решения с сохранением взаимных связей между электромагнитными и механическими процессами в синхронном электроприводе.

Аналогично получаем выражение для IL12

ТО ТО

IL12 = igL12 +Y(Pj ■ sin jot +Pj ■ cos jot)+YMnIn,(12)

j=1 n=1

где Pj = - Y (Mj-n + Mn- j - Mn+j) ; (13)

n=1

U1 = U 1m ■ cosa1; U1 = U1m ■ sina1.

Дальнейшее преобразование заключается в том, что коэффициенты при тригонометрических функциях с одинаковыми индексами j приравниваем и после преобразований, приходим к системе уравнений для определения токов статора и ротора при следующих начальных условиях.

При_/=0 Г1Ід = g ; r2ig = U2 ,

U2

Ig = g ; ig = -^ . (15)

r2

При j=1 o 1L ці 1 + r1I j + o 1K1 = u 1;

r111 — o 1L1111 — o 1K1 = U1 + o 1M 1-g ; (16)

o1L22i1 + r2i1 + o1P1 = g ; r2i1 -o1L22i1 -o1P1 = g .

При j > 2 joLnIj - r1I j = joK1 = g; r^1 - joL11I1 - joKj = jo1Mjig; (17)

,, 1

Pj = 2 Y(Mj - n + Mn - J - Mn+j)^n .

n=1

Математическую модель электромагнитных и электромеханических процессов получаем путем подстановки полученных выражений в дифференциальные уравнения (1) - (2). При этом необходимым условием является строгое соблюдение режима синхронной машины (a>ei=a>i), а взаимоиндуктивности преобразуем к следующему виду:

ТО

L11 = YjotIj ■ cos jot +I j ■ sin jot) +

J=1

TO

+rYJ sin jo1t +Ijj cos jo1t ) +

J=1

TO

+ Y[-igMj ■ jot + jo^Kj ■cos jOjt - Kj ■sin jot] =

J=1

jo1L22i J + r2ij = jo1Pj = g ;

r2iJ - jo1L22ij - jo1Pi = g .

Влияние высших гармоник на электромагнитные и электромеханические процессы

Выполним анализ влияния высших гармоник на эдектромагнитные процессы в синхронном электроприводе. Решение уравнений отыскиваем с учетом гармоник до четвертого порядка. При указанных условиях, согласно формуле (4), только коэффициенты M1 и M3 не равными нулю, а в выражениях (11) и (13), в силу физической сущности процессов, они отображают только постоянные К1, Kj, К2, К2, К3 , К3 ,

P1 , pj , P2 , P2 , P3 , Р3 .

Эти постоянные, для приведенных выше начальных условий и соответствующих гармоник, принимают следующий вид:

k\ — 1(м} - M3)i2;

K" — 2(Mі + Мз)і'2 ;

К2 = 2[(Mi -Мз)І2 + M}iз];

K2 = 2[(M1 + M3)i2 + M1i3] ;

k3 — lMii2; k'3 — Lm/2 . (18)

b3 = a2i2 - b2i2 + c2i0;

b3 = b2i2 - a2i2 + c2i0 ’

(20)

где приняты обозначения

a = 3^iMi 3®iLn . b = 3®iMi Г" .

a2 — “1---p—; b2 =“!— zr-;

zi (3 ) zi(3)

C2 — 3a M3 •

3a iL n

~~j2 ;

zi(3)

C 2 — 3a i^d3 •

ri .

z2 ;

Zi(3)

zi (3 ) = ri + 9ajL2ii. (21)

Постоянные Pi, P" , P2, Pj , P3, P3 получаем путем замены in, in на In ,In.

Очевидно, что в левых частях уравнений системы (16) - (17), (в которых не равные нулю правые

части) входят только Ij, Ij (с нечетными индексами), и i2 , i2- В уравнениях с нечетными индексами 12 , 12 и i j, ij , правые части равными нулю. Отсюда следует, что при принятых идеализированных условиях и сохранении физического смысла электромагнитных процессов в синхронном электроприводе

ii = ij = 12 = 12 = i3 = i3 = 0 , и K2 — K2 — Pi — P j — P3 — P3 — 0 .

Таким образом, для определения шести неизвестных Ii' , I2 , i'2 , i2 , I3' , I3 в уравнениях (16) - (17) и их взаимных связей необходимо выполнить анализ с соблюдением физической сущности электромагнитных процессов в электроприводе. С этой целью, на основании выше приведенных исследований, воспользуемся следующей математической моделью:

aiLiiIi + riIi + р^ - (Mi -М3) • i2 — ui ;

riIi -aiLiiI i -2(M1 -M3) • i2 — ui + aiMii0 ;

r2i2 - 2aiL22i2 2i[(Mi - M3) •I" + MiI3] — 0 ;

3alLllI3 + riI"3 + 3yMii2 — 0 ;

(19)

Для установления аналитической связи между электромагнитными и электромеханическими процессами, подставляя значения токов I'3 , I3 в два предыдущих уравнения рассматриваемой системы, приходим к следующим равенствам:

-* f Mi 1 j f 2a iM i і

2ail L22 + 2~a2 / 2 + 1 Г2 +--2---Ь2 \i2 —

2w"(M" - М3) ' 2&іМі ' .

— ;-------2 2 ;— c2i0 >

2a>,M, )f Mi )2a,M, ' .

Г2 +-2--b2 \i2 - 2ail L22 +~^a2 p — 2-C2i0'

Принимая, что

L Mi — L

L22~2~a2 — L22(2) и r2 -

получим

2a iM i 2

b2 — r2(2) , (22)

i2 — aih - b ib i + c ii0 i2 — ai h - b"h + c i i0’

(23)

где

ai —

bi — —

2ai(Mi -M3) 2miL22(2) .

2 72 .

2 72(2)

2a i (Mi + М3) r2(2)

2 72 .

2 Z2(2)

" 2a (M - M3 ) r2(2)

ai —------------------------2— ;

2 72 (2)

riI2 - 3aiLiiI3--2рМР2 — 3aiM3i0 .

На первом этапе отыскиваем 13, 13 путем представления их через i2 , i"2 при помощи двух последних уравнений. В результате преобразований приходим к следующей системе уравнений:

" — 2ai(Mi + М3) 2aiL22(2)

bi — ^-------------2------;

2 72 (2)

ci =-

2 a Mi 2

2aiL22( 2) " r2( 2) '

------—ci + 2 ~c2

7 2

7 2 (2)

7 2

7 2 (2)

cl =

2diM і

f 4(2) ,, 2D)Ln(2) c Л

c1-----2-----c1

7 2

7 2 (2)

7 2

72(2)

2

Z2(2) = r2 (2) + 4aiL222(2) ■

Подставим (23) в первые два уравнения и выполнив соответствующие преобразования с сохранением физической сущности электромагнитных процессов, получаем следующее решение:

вторую гармонику роторного и третью гармонику статорного тока можно определить путем задания соответствующих напряжений согласно следующей системе:

Ї2 — Biuі + BjUі + Aiig;

і 2 — B2U1 + B2U1 + A2i0\

(28)

При этом целесообразно воспользоваться следующими обозначениями:

, L mi_мз a ) ■ гr ®i(mi -mз)b =

®ii Ln ■— ai |1i+i ri ■----bi |1i =

Clio + Ui;

£t?i(^Mi M3)

2

Ml + M3 " V. { Ml _ M3 ") »

r1 _D1---“---a1 n _D1\ L11 +--“---b1 n =

— „'TUlL + b\ a]Ln(1) . B" — a'_ D)L)1(1) _ b' r!(1) .

B1 — a1~2-+ b1

B" — a 1 ■

72 1 72 ’ 1 1 72 1 72 ’

71(1) 71(1) 71(1) 71(1)

B ''r)(1) b" D)L)1(1) . B" _" D)L)1(1) + b" r1(1) .

B2 — a1—2-----b1----2---. B2 — a1---2----+ b1'

72 72

71 (1) 71 (1)

72 72

71 (1) 71 (1)

A1 — a^1 + b1m1 + C1; A2 — ami + bmi + C1, (29)

а>і(Мі + M3) 2

C" + (DiM^ 1

i'o + Ui.

С целью приведения полученных результатов исследований математических моделей к инженерному решению принимаем, что

L11 +

r1 _D1

1 — з

2

^М) — ^Мз 2

a1—L11(1); Ln +

М1 + М3 b" — т" .

2 b1 — Ln(1).

' " М1 + М з " ' _ _ч

b1— r1(1); r1 _D1—L~2—~a1 — r1(1) .(25)

Полученные результаты в полной мере отображают взаимные связи между электромагнитными параметрами синхронного электропривода. Здесь

и

I3 —(a2B1 _b2B2)U1 +(a2B1 _b2B2)U1 +(a2A1 _b2A2 +c2)i0;(30)

I3 — (b2B1 _a2B2)u1 +(b2B1 + a2B2)u1 +(b2A1 + a2A2 _c2)i0 ■

Следует отметить, что полученные результаты инженерных расчетов и анализа электромагнитных и электромеханических параметров синхронного электропривода определяются с точностью, удовлетворяющей инженерной практики. Для научных исследований необходимо воспользоваться математическими и компьютерными моделями. В первом приближении токи в статоре и роторе, целесообразно определить, воспользовавшись формулами (8)-(9), а электромагнитный момент по следующему уравнению:

I1 — I'1 —

r1(1) ' D1L11(1) "

—2-^-u1 +-- u1 + m1i0;

7 2 7 2

71 (1) 71 (1)

DL11(1) ' r1(1) " ", —r-L^u1 +—u1 + m1i0,

22

71 (1) 71 (1)

где

_D1L11c1(1) + r"(1) ■ c1(1)

2 ' " ' "

D1 L11(1) ■ L11(1) + r1(1) ■ r1(1)

(26)

" r1(1) 'c1(1) +D1L11c1(1)

m1 — —2 ' -----"------->— ''—;

D1 L11(1) ■ L11(1) + r1(1) ■ r"(1)

71(1) — r1(1) ■ r"(1) +DiL11(1) 'D1L11(1) ■ (27)

Влияние первой гармоники статорного тока

Влияние первой гармоники статорного тока через напряжения, подведенные к статору и ротору, можно оценить по формулам (20) и (23). При этом

MIem

i0I1 _2(I1 _I3) + -j(I" _I3)

+

+3M3

i0I3 +

i2I1 + i2I! 2

P -Iм

0

iI" _ I3 )+"“ {Ii _ I3)+

i2I1 + i2I 3 2

+3M-

'l-2 (i) +13++(0 + 2++

x sin2a)t +P Ml

i0

Il _ ,3)_) I _ /3)_ ІМА

_ 3M :

21A)_2II + i3 )++232

■ cos2a)t. (31)

x

Причём, для получения более точного решения для составляющих токов, целесообразно воспользоваться совокупностью выражений (26) - (30).

Влияние нестационарных электромагнитных процессов на колебательные процессы вала

Приведем анализ механического колебательного параметра u(t) во втором приближении. При этом будем учитывать, что этот параметр в значительной степени зависит от нестационарных электромагнитных процессов и от геометрических размеров электропривода согласно следующим равенствам:

Pgm = „ . t +; (32)

Р

d20gm = £ _ d2uU(t) dt2 Р dt2 '

d2egm

Подставляя значение ----—из (33), токи i, I

dt2

первого приближения и MIem из формулы (31) в уравнение моментов (3), получаем

- ■ d2ull(t} = MIem -PJm7 Р dt2 21 1

ioIi-j(I"- h) + j(I" - h)

+3M3

i0I3 +

i2I1 + i2I1 2

-1 Ь

0

(1 -13 )+■“ (1 -13 )+

i2I1 + i2I3 2

+3M-

4 (1 +1)++( + h)+

x sin2w1t +P M1

0

(1 - i3 )- + (1 - i3 )-Щ23

- 3M

’-1 (0 - 2)- +2 (1 + i3 )++1#-

■ cos2a>1t. (34)

+

x

Приравнивая постоянную часть электромагнитного момента моменту механических сил на валу ротора Mmeh (который его уравновешивает), определяем начальную фазу подведенного напряжения а1. (Следует отметить, что при дальнейших исследованиях его второе приближение целесообразно обозначить а1).

Mmeh 21M1

i0I1 -~ (1 -13 )+"“ (1 -13)

+ЗМ3

i0I3 +

i2I1 + i2I1 2

(35)

Здесь, в первом приближении составляющие токов статора и ротора, удобно выражать через u1, и1 в которых автоматически учитывается параметр а1 (см. формулу (14) и др.).

Переменная часть электромагнитного момента определяет значение колебательной функции u(t) во втором приближении с точностью до третьей гармоники включительно, т. е. о11 (t):

Uu(t) =-Р— 1м 1

8а>1 Iin I

0

(0 - i3 )++2 (0 - i3 )++1#

+зм3

4 (1 - i3 )++0o+2+

■sin2a)1t -

P

2 1M1

8aiI,n I

0

(1 - ,3)_+(1 - ,3)_ Щй.

- 3M

2 (o - 2+-2 (1 - i3 )+ '+2+22

>cos2a>1t. (36)

+

В частном случае, когда пространственное распределение магнитной индукции в воздушном зазоре (M3=0) представляется в виде периодической синусоидальной функции, колебательная функция во втором приближении преобразуется к следующему виду:

U(t)

Мр2

8®j2J;n

V /

sin2®[t -

V /

i2I3

2

cos2a>1t >

(37)

Инженерная методика оценки колебаний вала

В качестве примера возьмем синхронный двигатель со следующими параметрами: мощность

Р2р4,5кВт; напряжение !/N=380 B; частота f=50 Гц; частота вращения nN=1500 об/мин.

Определим величину колебательной функции о11 (t) для случаев синусоидального (1) и несинусоидального (2) распределения магнитной индукции в воздушном зазоре.

Классическое распределение магнитного поля в пространстве электродвигателя

В случае синусоидального распределения магнитной индукции в воздушном зазоре значение колебательной функции о11 (t) определиться из формулы

(37), причем М1 = 2 • кЮ1 ■ кЮ2, остальные пара-

П2 RM

метры для расчета колебательной функции приведены в табл.1.

Порядок вычисления колебательной функции и 11 (t) следующий. Определяем коэффициенты a2 , b2 ,

c2 , c2 , a1, b1, a1 , b1 , a, c1 , m1, m1 , B1, B1 , B2, B2, A2, A1 по формулам (21), (24), (27), (29). Вычис-

ляем токи 11,1j, І2, І2,13,13 по формулам (26), (28), (30). Находим значение колебательной функции vll(t) по формуле (37).

Сделав соответствующие вычисления, получим числовое значение колебательной функции о11 (t):

и11 (t) = -3,1 ■ 10~4 ■ sin(2w1t -у1) ; tgn = 0,3.

Таблица 1. Параметры колебательной функции

Обозна- чение Параметр Вели- чина

W\ число витков на пару полюсов в статоре 196

W2 число витков на пару полюсов в роторе 244

p число пар полюсов 2

RM сопротивление магнитопровода на пару полюсов, Всек Fq/Ф

Ф магнитный поток основной частоты, Вб 2,7-10-3

F0 суммарная м.д.с холостого хода на пару полюсов, А 219

kw\ обмоточный коэффициент статора 0,934

kw2 обмоточный коэффициент ротора 1

($2 угловая скорость вращения ротора, c-1 314

Г2 активное сопротивление обмотки ротора, Ом 0,54

®2L11 индуктивное сопротивление обмотки ротора, Ом 18,84

О активное сопротивление обмотки статора, Ом 0,91

®1L22 индуктивное сопротивление обмотки статора, Ом 44

Jin 2 момент инерции ротора, кгм 2,7

1ст.н ток нагрузки статора, A 22,8

iBN ток возбуждения (номинальный) ротора, A i0 = iBN =18

Ів.х.х. ток возбуждения холостого хода ротора, А 9

Несинусоидальное распределение магнитного поля в пространстве электродвигателя

В случае несинусоидального распределения магнитной индукции в воздушном зазоре значение колебательной функции определяется из формулы (36), причем M3 = 1/4 ■ M1:

и11 (t) = -8 ■ 10~4 ■ sin(2a>it - у2) ; tg/2 = 0,1.

Аналогично находятся колебания ротора для явнополюсной синхронной машины, т. е. когда коэффициент самоиндукции статора является не постоянной величиной, а функцией времени. В этом случае последовательность электромагнитных процессов сохраняется, но все математические выкладки и соответствующие результаты будут более громоздкими, что может быть объектом дальнейших исследований

V. ВЫВОДЫ

Предложенная методика исследований нестационарных электромагнитных и электромеханических процессов, которые возбуждаются резкопеременными токами, в обобщенном синхронном электроприводе позволяет:

- оценить влияние высших гармоник в возбуждающем токе на электромагнитные процессы и электромеханические параметры, не прибегая к рассмотрению решения бегущего электромагнитного поля в пространстве двигателя;

- решить инженерные задачи и осуществлять контроль колебаний вала электрической машины относительно нормированных показателей государственными стандартами и нормативно-технической документацией.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] . Постников И.М. Проектирование электрических

машин. / И.М. Постников; Гостехиздат УССР. -К., 1960. - 234с.

[2] . Уайт Д. Электромеханическое преобразование

энергии. / Д. Уайт, Г. Вудсон; - М.-Л.: Энергия, 1964. - 240с.

[3] . Зиновкин В.В. Нестационарные электромагнит-

ные процессы в электрооборудовании энергоемких электротехнологических комплексов с резкопеременным характером нагрузки / В.В. Зиновкин // Радіоелектроніка, Інформатика, Управління. -2005. - №2. - С. 142 - 148.

[4] . Зиновкин В.В. Вероятностные параметры резко-

переменных нагрузок энергоемких электротехнологических комплексов / В.В. Зиновкин // ІЕД НАН України. - 2005. - №1(10). - С. 136 - 144.

[5] . Зиновкин В.В. Исследование электротермических

процессов в контактах переключающих устройств при резкопеременной нагрузке / В.В. Зиновкин, О.Г. Волкова, В.В. Карпенко // Електротехніка та електроенергетика. - 2006. - №2. - С.52 - 57.

[6] . Computer optimization on energy- and save resource

expert system parameters of management electrosteel-smelting / I. Trufanov; V. Metelskiy; L. Bogdanova; Y. Krisan // Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science (IEEE Cat. No.02EX542). Year: 2002. -p.207.

[7] . Заболотный А.П. Усовершенствованный метод

потенциальной функции для формирования оптимальной структуры распределительных сетей /

A. П. Заболотный, Д.В. Федоша, А.А. Яценко, Н.Л. Криворученко // Электротехника и электроэнергетика. - 2008. - № 1. - С. 74 - 80.

[8] . Безотосный В.Ф. Учет энергетических факторов

при расчете намагниченности ферромагнитных материалов / В.Ф. Безотосный, Э. В. Власенко // Электротехника и электроэнергетика. - 2004. - №. 1 - С. 13-17.

[9] . Зиновкин В.В. Имитационное моделирование не-

стационарных электромагнитных процессов и их характерных особенностей с использованием ТООЬ BOX POWER SUSTEM пакета MATLAB /

B. В Зиновкин, М.Ю. Залужный // Труды Междун. научн. - техн. конф.: «Проблемы повышения эффективности электромеханических преобразователей в электроэнергетических системах». - Севастополь. СНТУ. - 2003. С. 75 - 80.

[10] . Залужный М.Ю. Моделирование нестационар-

ных электромагнитных процессов в системе электроснабжения энергоемких электротехнологических комплексов / М. Ю. Залужный //

Електротехніка та електроенергетика. - 2009. -№2. - С.70 - 73.

[11] . Антонов Н.Л. Прогнозирующее релейновекторное регулирование статорного тока в асинхронном электроприводе с упрощенным двухзвенным непосредственным преобразователем частоты/ Н.Л. Антонов // Електротехніка та електроенергетика. - 2008. - №1. - С.37 - 48.

[12] . Коцур М.И. Особенности ударного теплового воздействия на асинхронный двигатель с модифицированной системой импульсного регулирования в условиях частых пусков [Текст] / М.И. Коцур // Электротехника и электроэнергетика -2014. - №1. - С. 32-36. DOI: 10.15588/1607-6761-2014-1-5.

[13] . Ярымбаш С.Т. Особенности определения параметров эклектической схемы замещения печной петли печи графитации переменного тока. / С. Т. Ярымбаш, И.М. Килимник, Д.С. Ярымбаш // Електротехніка та електроенергетика. - 2010. -№2. - С.36 - 43.

[14] . Лазарев В.И. О причине уменьшения сил осевой прессовки обмоток трансформаторов при коротких замыканиях / В.И. Лазарев, ИВ Лазарев // Електротехніка та електроенергетика, 2005 - №1 -

C. 18-22

[15] . Зиновкин В.В. Моделирование автоматизированного электропривода дозатора технологиче-

ской линии приготовления газобетона / В.В. Зи-новкин, Э. М. Кулинич // Електротехніка та електроенергетика. - 2009. - №2. - С.49 - 53.

[16] . Милых В. И. Анализ гармонического состава переменного магнитного поля, связанного с вращающимся ротором турбогенератора, в режиме холостого хода и короткого замыкания [Текст] / В. И. Милых, Н. В. Полякова // Электротехника и электроэнергетика. - 2013. - №2. - С. 5 - 12. DOI: 10.15588/1607-6761-2013-2-1.

[17] . Ярымбаш Д. С. Особенности трехмерного моделирования электромагнитных полей асинхронного двигателя [Текст] / Д. С. Ярымбаш, М. И. Ко-цур, С. Т. Ярымбаш, И. М. Коцур // Электротехника и электроэнергетика - 2016. - № 2. - С. 4350. DOI: 10.15588/1607-6761-2016-2-5.

[18] . Постников И.М. Результаты и задачи исследования электромагнитных и тепловых явлений в концевых частях мощных турбогенераторов / И.М. Постников, Г.Г. Счастливый // Вестник АН УССР. Наукова думка. - 1972. - №8. - С.59-71.

[19] . Sugimoto H., Tamai S. Secondary resistance

identification of an induction motor applied model reference adaptive system and its characteristics / Н.Sugimoto, S. Tamai // IEEE Trans. Ind. Appl., 1987. - P.296 - 303. DOI:

10.1109/TIA.1987.4504905

[20] . Islam M. S. Experimental Verification of Design

Techniques of Permanent-Magnet Synchronous Motors for Low-Torque-Ripple Applications // IEEE Transactions on Industry Applications, Year: 2011, Volume: 47, Issue: 1; P. 88 - 95. DOI:

10.1109/ECCE.2009.5316068

[21] . Islam M. S. Design considerations of sinusoidally excited permanent-magnet Machines for low-torque-ripple applications / M.S. Islam; S. Mir; T. Sebastian; S. Underwood // IEEE Transactions on Industry Applications; Year: 2005, Volume: 41, Issue: 4 P.955 -962. DOI: 10.1109/TIA.2005.851026

[22] . Steven R.E. An experimental effective value of the guadratureaaxis synchronous reactance of sunchro-nous machine. The Institution of electrcal endiners. paper №3750 s. dec., 1961. - р. 54-58. DOI: 10.1049/pi-a.1961.0108

[23] . Павлюк К. Пуск и асинхронные режимы синхронных двигателей. / К. Павлюк, С. Беднарек. -М.: Энергия, 1971. - 270 с

Стаття надійшла до редакції 31.07.2017

ВПЛИВ НЕСТАЦІОНАРНИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПРОЦЕСІВ НА ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНІ ПАРАМЕТРИ У СИНХРОННОМУ

ЕЛЕКТРОПРИВОДІ

ЗІНОВКІН В.В д-р техн. наук, професор, професор кафедри електропривода і автоматизації проми-

слових установок Запорізького національного технічного університету, Запоріжжя, Україна, e-mail: zvv@zntu.edu.ua;

ISSN 2521-6244 (Online) Розділ «Електротехніка»

АНТОНОВ М. Л. канд. техн. наук, доцент кафедри електропривода і автоматизації промислових уста-

новок Запорізького національного технічного університету, Запоріжжя, Україна,

e-mail: nick@nickanto.info;

КРИСАН Ю.О. канд. техн. наук, доцент, доцент кафедри електропривода і автоматизації промисло-

вих установок Запорізького національного технічного університету, Запоріжжя, Україна, e-mail: krisan@mail.com.

Мета роботи. Дослідження впливу різкозмінного електричного навантаження на нестаціонарні електромагнітні явища та електромеханічні процеси у синхронному електроприводі.

Методи дослідження. Теоретичні та експериментальні методики дослідження і аналізу сукупності параметрів різкозмінних навантажень електротехнологічних комплексів і електромагнітних процесів в електрообладнанні; фізико-аналітичні методики для отримання залежності впливу електротехнологічних навантажень на технічний стан, аварійність електрообладнання, додаткові втрати та нестаціонарних електромагнітних явищ в системах і обладнанні.

Отримані результати. Виконано розрахунки перевищення коливальних процесів валу синхронного електроприводу, які збуджуються різкозмінними навантаженнями, відносно нормованих державними стандартами. Виходячи з першорядних вимог електроприводу і забезпечення нормованих коливань валу двигуна і зростаючих вимог до надійності, ефективності та зниження енерговитрат на одиницю вироблюваної продукції було досліджено вплив нестаціонарних електромагнітних процесів на електромеханічні параметри електроприводу.

Наукова новизна. Запропоновано математичну методику нестаціонарних електромагнітних процесів в синхронному електроприводі, яка дозволяє досліджувати вплив несинусоїдальності і несиметрії струмів і напруг на електромеханічні параметри. Наведено інженерну методику оцінки коливальної функції валу залежно від характеру нестаціонарних електромагнітних процесів в синхронному електродвигуні.

Практична цінність. Запропоновано інженерну методику оцінки коливань валу синхронного електроприводу при нестаціонарних електромагнітних процесах, що призводять до збільшення показників нормативно-технічної документації.

Ключові слова: нестаціонарні електромагнітні процеси; синхронний електропривод; різкозмінне навантаження; математична модель; механічні коливання; нормуючи показники.

INFLUENCE OF NON-STATIONARY ELECTROMAGNETIC PROCESSES ON ELECTROMECHANICAL PARAMETERS IN A SYNCHRONOUS

ELECTRIC DRIVE

Professor, Doctor of Technical Sciences, Zaporozhye National Technical University, Ukraine, e-mail: zvv@zntu.edu.ua;

Ph.D, Zaporozhye National Technical University, Ukraine, e-mail: nick@nickanto.info; Ph.D, Associate professor, Zaporozhye National Technical University, Ukraine, e-mail: krisan@mail.com.

Purpose. Investigation of the influence of sharply variable electric load on non-stationary electromagnetic phenomena and electromechanical processes in a synchronous electric drive.

Methodology. Theoretical and experimental methods of research and analysis of a set ofparameters of sharply varying loads of electrotechnological complexes and electromagnetic processes in electrical equipment; physical and analytical methods for obtaining dependencies of the influence of electrotechnical loads on the technical condition, the breakdown of electrical equipment, additional losses and non-stationary electromagnetic phenomena in systems and equipment.

Findings. The calculations of the excess of the oscillatory processes of the synchronous electric drive shaft are performed, which are excited by sharply varying loads, relative to the norms standardized by state standards. Proceeding from the primary requirements of the electric drive and providing normalized oscillations of the motor shaft and increasing requirements to reliability, efficiency and energy consumption per unit of output, the effect of non-stationary electromagnetic processes on the electromechanical parameters of the electric drive was investigated.

Originality. A mathematical technique is proposed for non-stationary electromagnetic processes in a synchronous electric drive, which allows one to investigate the effect of non-sinusoidal and unbalanced currents and voltages on electromechanical parameters. An engineering technique for estimating the oscillatory function of a shaft is given, depending on the nature of non-stationary electromagnetic processes in a synchronous motor.

Practical value. An engineering technique for estimating the oscillations of a synchronous electric drive shaft is proposed for non-stationary electromagnetic processes, which lead to an increase in the parameters of normative and technical documentation.

Keywords: non-stationary electromagnetic processes; synchronous electric drive; sharply varying load; mathematical model; mechanical vibrations; normalized indicators.

ZINOVKIN V.

ANTONOV N. KRYSAN YU.

REFERENCES

[1] . Postnikov I.M. (1960). Proektirovanie elektricheskih

mashin. Kiev: Gostehizdat, 234.

[2] . Uajt D.(1964). Elektromehanicheskoe preobrazovanie

energii. M.-L.: Jenergija, 240.

[3] . Zinovkin V.V. (2005). Nestacionarnye

elektromagnitnye processy v elektrooborudovanii energoemkih elektrotehnologicheskih kompleksov s rezkopere-mennym harakterom nagruzki. Radioelektronika, Informatika, Upravlinnja, 2, 142 -148. (in Russian.)

[4] . Zinovkin V.V. (2005). Verojatnostnye parametry

rezkoperemennyh nagruzok energoemkih jelektrotehnologicheskih kompleksov. Praci IED NAN, 1(10), 136-144. (in Russian.)

[5] . Zinovkin, V., Volkova, O., & Karpenko, V. (2006).

Investigation of electrothermic processes in contacts of switching devices under a current load. Electrical Engineering And Power Engineering, 2. 52-57 (in Russian.)

[6] . Trufanov I.; Metelskiy V.; Bogdanova L.; Krisan Y.;

Shabliy M. (2002). Computer optimization on energy- and save resource expert system parameters of management electrosteel-smelting. Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Science IEEE Cat. 02, 542, 207. doi: 10.1109/TCSET.2002.1015924.

[7] . Zabolotnyi, A., Fedosha, D., Yatsenko, A., &

Kryvoruchenko, N. (2008). Improved method for forming potential of optimal structure of the distribution network. Electrical Engineering And Power Engineering, 1. 74-80.

[8] . Bezotosnyy, V.F., Vlasenko, E.V. (2004). Uchet

energeticheskikh faktorov pri raschete namagnichennosti ferromagnitnykh materialov. Electrical Engineering And Power Engineering. 1. 13-17.

[9] . Zinovkin V.V., Zaluzhnyj M.Yu. (2003). Simulation

modeling of non-stationary electromagnetic processes and their characteristics using the BOX POWER SUSTEM BOX POWER SUSTEM of the MATLAB package. Problemy povyshenija jeffektivnosti jelektromehanicheskih preobrazovatelej v jelektrojenergeticheskih sistemah, 75 - 80. (in Russian.)

[10] . Zaluzhnyi, M. (2009). Simulation of non-stationary electromagnetic processes in the system of electrical supply of energoemic electrotechnological complexes. Electrical Engineering And Power Engineering, 2. 70-73.

[11] . Antonov, N. (2008). Predicts ladder vector control stator current in the asynchronous electric drive with a simplified two-tier direct frequency converter.

Electrical Engineering And Power Engineering, 1.3748.

[12] . Kotsur, M. (2014). Features of the of thermal effect impact on the asynchronous motor with the modified pulse control system in conditions of frequent starts.

Electrical Engineering And Power Engineering, 1, 32-36. DOI: 10.15588/1607-6761-2014-1-5

[13] . Yarymbash, S., Kylymnyk, I., & Yarymbash, D. (2010). Specific determination of equivalent circuit parameters in the furnace loop of the AC graphitizing furnace. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 36-43. DOI: 10.15588/1607-6761-2010-2-6

[14] . Lazarev V., Lazarev I. (2005). O prichine umen'shenija sil osevoj pressovki obmotok transformatorov pri korotkih zamykanijah. [About the reason of reduction of forces of axial pressing of windings of transformers at short circuits] Electrical Engineering And Power Engineering, 1. 18-22 (in Russian.)

[15] . Zinovkin V. & Kulinich Е. (2009). Modeling of the automated electric drive of the doseter of the technological line of preparation of the gazobeton.

Electrical Engineering And Power Engineering, 2. 49-53.

[16] . Milyih, V. I., Polyakova N. V. (2013) An analysis

of harmonic composition the AC magnetic field associated with a rotating rotor turbine generator, at idle speed and short circuit modes, Electrical Engineering And Power Engineering, 2. 5-12. DOI:

10.15588/1607-6761-2013-2-1.

[17] . Yarymbash, D., Kotsur, M., Yarymbash, S., & Kotsur, I. (2016). Features of three-dimensional simulation of the electromagnetic fields of the asynchronous motors. Electrical Engineering And Power Engineering, 2, 43-50. DOI: 10.15588/1607-6761-2016-2-5

[18] . Postnikov I.M., Schastlivyj G.G. (1972). Rezul'taty i

zadachi issledovanija elektromagnitnyh i teplovyh javlenij v koncevyh chastjah mashhnyh

turbogeneratorov. Vestnik AN USSR. Naukova dumka. 8, 59-71. (in Russian.)

[19] . Sugimoto H., Tamai S. (1987). Secendary resistance

identification of an induction motor applied model reference adaptive system and its characteristics. IEEE Trans. Ind. Appl. 296 - 303. DOI:

10.1109/TIA.1987.4504905

[20] . Islam, M. S., Islam, R., Sebastian, T. (2011). Experimental Verification of Design Techniques of Permanent-Magnet Synchronous Motors for Low-Torque-Ripple Applications. IEEE Trans. Ind. Appl. 88 - 95. DOI: 10.1109/ECCE.2009.5316068

[21] . Islam, M.S., Mir, S., Sebastian, T., Underwood, S. (2005). Design considerations of sinusoidally excited permanent-magnet Machines for low-torque-ripple applications. IEEE Trans. Ind. Appl. 955 - 962. DOI: 10.1109/TIA.2005.851026

[22] . Steven R. E. (1961). An experimental effective value of the guadratureaaxis synchronous reactance of sunchronous machine. The Institution of electrcal endiners. Paper, 3750, 54-58. DOI: 10.1049/pi-a.1961.0108

[23] . Pavljuk K., Bednarek S. (1971). Pusk i asinhronnye rezhimy sinhronnyh dvigatelej. M.: Energija, 270.