CC BY
5
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК В УЗЛЕ ВЕТВЛЕНИЯ МЕРИДИАНА
Ю.В. КЛОЧКОВ, д-р техн наук А.Ш. ДЖАБРАИЛОВ, аспирант
Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
В настоящее время в различных отраслях науки и техники широкое распространение находят оболочки вращения с ветвящимся меридианом. Расчет на прочность оболочечных конструкций подобного рода с помощью аналитических формул затруднителен, а иногда и не возможен. Для эффективного исследования напряженно-дефформированного состояния оболочек с ветвящимся меридианом необходимо привлечение численных методов расчета, таких как метод конечных элементов. В настоящей работе излагается алгоритм расчета осесимметричных оболочек вращения с ветвящимся меридианом при использовании конечного элемента с векторной интерполяцией перемещений [1]. В качестве элемента дискретизации используется фрагмент меридиана с узлами i и j .Столбец векторных узловых неизвестных в локальной и глобальной системах координат выбирается в виде
vj vj vj V1 vj 1
у ' v .mi ,nn}
{v;}={vs vj v; vj v;s уЦси
где запятая обозначает операцию дифференцирования по локальной Т| или глобальной 5 (длине дуги меридиана) координате.
Связь между столбцами j и |v'y ] может быть представлена матричным соотношением
{у; }= [l]{v; }, (2)
где элементы матрицы [l] определяются на основе зависимостей
r5S
ym ym
dr\
Vra = Vm •(—-)2 (3)
.ПЛ ,ss v ^ > Верхний индекс ш в (3) обозначает узел конечного элемента i или j.
В результате выполнения последовательности преобразований столбец векторных узловых неизвестных |может быть представлен столбцом скалярных узловых неизвестных
к'ММ'к}), <4,
гЖ {чГМчччмл..!-
Здесь под я понимается меридиональное и или нормальное перемещение точки срединной поверхности оболочки.
Для вывода формул сопряжения п оболочек, вектор узловых неизвестных одной из них, в узле соединения принимается за основной. Перемещения и их производные остальных (и - I) оболочек в узле ветвления меридиана должны быть выражены через соответствующие компоненты основного столбца узловых неизвестных.
Пусть столбец узловых неизвестных первой оболочки будет принят в качестве основного. Меридиональные и нормальные перемещения остальных (и - 1) оболочек могут быть выражены через меридиональную и нормальную компоненты вектора перемещения первой оболочки из условия инвариантности векторов перемещения узла сопряжения оболочек
V1 = V2 = ...У] = ...УП, (5)
где верхние индексы 1,2,...п обозначают номер сопрягаемой оболочки.
Вторым условием сопряжения п оболочек является предположение о том, что углы поворота нормалей в узле соединения в процессе деформирования остаются равными для всех оболочек
дУ1 дУ1
--П ----п (6)
ЭБ Э8
где П - орт нормали к срединной поверхности в узле ветвления меридиана.
Из соотношения (6) можно выразить первую производную нормального перемещения по глобальной координате ^й оболочки через компоненты вектора перемещения основной первой оболочки.
В узле ветвления меридиана должно также выполнятся условие статики о равенстве нулю суммы моментов
М1 +М2 +... + М) +... + М" =0. (7)
Из равенства (7) можно получить выражение для второй производной нормального перемещения ^й оболочки через столбец узловых неизвестных первой оболочки.
<ш а2и
Компоненты - и -— всех сопрягаемых оболочек остаются
с!8 (Ю2
свободно варьируемыми. В результате вектор основных узловых неизвестных в узле сопряжения будет иметь вид
{v;}'={u' < w' w;
W1 u2 ... un
y) K" ",» ~,SS ,s ,ss ,s ,s
U2 ... u" W2 ... WJ;' WJ;' ... Wn }. (8)
На основании зависимостей (5), (6) и (7) формируется матричное соотношение
{v1=N{v;}. (9>
Матрицы жесткостей и вектора сил элементов оболочек, примыкающих к узлу сопряжения необходимо умножать на матрицу перехода
k]=[s№M
fc,Msm о«
где [K],{F}- обычные матрица жесткости и вектор сил j-й оболочки, формируемые согласно стандартной процедуре [2].
Литература
1. Клочков Ю.В, Николаев АЛ, Киселев А.П. Решение проблемы учета смещений конечного элемента как жесткого целого на основе использования векторной интерполяции полей перемещений// Изв. вузов. Сер.: Машиностроение. - 1998. -№1-3. - С. 3-8.
2. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - JI.: Судостроение. - 1974. - 374 с.
THE DIGITAL ANALYSE OF THE VOLTAGE-UNSHAPING STATE OF THE SHELLS IN THE BRANCHING OF MERIDIAN
Klochkov Ju.
Djabrailov A.
In this work, algorithm of calculation of the axesymmetrical shells of revolution with branching meridian is stated when using an finite element with vector interpolation displacement.
