Численное решение задач оптимального и жесткого управления для одной нестационарной системы леонтьевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 93C05

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО И ЖЕСТКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА

А.В. Келлер, М.А. Сагадеева

ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (НИУ),

Челябинск, Россия, e-mail: [email protected], [email protected]

Аннотация. В статье представлен алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления для нестационарной вырожденной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений — нестационарной системы леонтьевского типа — с начальным условием Шоуолтера-Сидорова. Нестационарность системы рассмотрена в виде произведения одной из матриц системы и скалярной функции, зависящей от времени. Показаны свойства функционалов качества и доказана сходимость по норме приближенных решений указанных задач.

Ключевые слова: оптимальное управление, жесткое управление, системы леонтьевского типа, нестационарная система уравнений, уравнения соболевского типа.

Введение. Пусть Ь и М — квадратные матрицы порядка п, причем Ь = 0, а М — (Ь,р)-регулярна (т.е. существует у £ С такая, что det(уЬ — М) = 0, а то является полюсом (уЬ — М)-1 порядка р £ {0} и М). Рассмотрим задачу Шоуолтера-Сидорова

[Я£ (М)]Р+1(х(0) — хо) = 0 (0-1)

для неоднородной линейной системы

Ья(£) = Мя(£) + у(£), (0.2)

где Я^(М) = (уЬ — М)-1Ь, у : [0, т] ^ Ега, т £ Е+.

Системы вида (0.2) при условии det Ь = 0 не имеют единого, принятого всеми, названия. Для них используются термины алгебро-дифференциальные системы [1], дифференциально-алгебраические системы [2], вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений [3]. Впервые системы вида (0.2) было предложено называть системой лентьевского типа (СЛТ) в [4], имея ввиду ее прототип — знаменитую балансовую модель В.В. Леонтьева «затраты - выпуск> [5]. Заметим, что системы леон-

тьевского типа, являясь частным случаем линейного уравнения соболевского типа [6], моделируют не только экономические, но и технические системы [7].

Численное решение задач для СЛТ в ряде исследований [3,4,8] находится при использовании методов теории вырожденных (полу)групп, созданной Г.А. Свиридюком [9] и развиваемой его учениками [10,11]. При численном исследовании задач для СЛТ использование начального условия Шоуолтера-Сидорова является значимым [8], так как позволяет снять ограничения согласования начальных данных, имеющиеся, например,

при использовании начального условия Коши. Кроме того, в современных исследованиях в области уравнений соболевского типа начальное условие Шоуолтера-Сидорова рассматривается как более естественное при изучении различных прикладных задач [12].

Впервые задачу оптимального управления для линейных уравнений соболевского типа с начальным условием Коши поставили Г.А. Свиридюк и А.А. Ефремов [13]. Их работы стали отправной точкой для развития нового направления в области уравнений соболевского типа. Обзор результатов, полученных в рамках этого направления, представлен в [14].

Введем в рассмотрение функционал качества

1 Т

J (u) = а / ||z(q) (t) — z0q)(t)||Zdt + (1 — а) / (Nqu(q)(t), u(q)(t))K dt, (0.3)

q=0 0 q=0 0

где а E (0,1], U и Z — гильбертовы пространства, z = Cx, C и Nq — квадратные матрицы порядка n, 9 = 0,1,... ,p +1, т E R+. Результаты численного исследования задачи оптимального управления

J(v) = min J(u), а E (0,1) (0.4)

uGUq

и задачи жесткого управления

J(v) = min J(u), а =1 (0.5)

uGUq

для системы леонтьевского типа

LX(t) = Mx(t) + f (t) + Bu(t), (0.6)

с начальным условием Шоуолтера-Сидорова (0.1) представлены в [15]. Здесь U — некоторое выпуклое и компактное подмножество допустимых управлений в пространстве управлений U.

В настоящей работе представлен алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления для нестационарной системы лентьевского типа (НСЛТ) вида

LX(t) = a(t)Mx(t) + f (t) + Bu(t), (0.7)

где a : [0,т] ^ R+ — скалярная функция, описывающая изменение во времени параметров взаимовлияния состояний исследуемой системы.

Статья кроме введения и списка литературы состоит из трех частей. В первой строятся точные и приближенные решения задачи Шоуолтера-Сидорова (0.1) для НСЛТ (0.7), задачи оптимального управления (0.1), (0.3), (0.4), (0.7) и задачи жесткого управления (0.1), (0.3), (0.5), (0.7). Во второй части излагается алгоритм численного решения задач оптимального и жесткого управления. В третьей части доказываются свойства функционала качества (0.3), а также доказывается сходимость по норме приближенных решений, получаемых в результате применения алгоритма. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные пристрастия авторов.

Т

1. Точные и приближенные решения задач

Пусть Ь и М — квадратные матрицы порядка п. Следуя [9], будем называть множества рь(М) = Е С : det(^Ь — М) = 0} и аь(М) = С \ рь(М) соответственно Ь-резольвентным множеством и Ь-спектром матрицы М. Нетрудно показать [9], что либо рь(М) = 0, либо Ь-спектр матрицы М состоит из конечного множества точек. Кроме того, заметим, что множества рь(М) и аь(М) не изменяются при переходе к другим базисам.

Для комплексной переменной ^ Е С определим матрично-значные функции (^Ь — М)-, Я^(М) = (^Ь — М)-1Ь, Ь^(М) = Ь(^Ь — М)-1 с областью определения рь(М) и будем их называть соответственно Ь-резольвентой, правой и левой Ь-резоль-вентами матрицы М.

Определение. Матрица М называется Ь-регулярной, если рь(М) = 0 и (Ь,р)-регулярной, при р равном порядку полюса в то для функции det(^Ь — М)-1.

Замечание. Если бесконечность является устранимой особой точкой Ь-резольвен-той матрицы М, то р = 0. Также заметим, что для квадратных матриц параметр р не может превосходить размерности пространства п.

В силу результатов [8] и [16] справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна и det М = 0. Тогда для любых х0 Е

и у Е Ср+1([0, т]; Кга) существует единственное решение задачи Шоуолтера-Сидорова (0.1) для системы уравнений (0.2), имеющее вид

к

х(у,і) = Ііт хк(у, = Ііт

к^^ к—)>ос

Ь — — М ^ Ь ) Хо+

+ /Й11 ((ь _ (Л ' {кьк(м))р+1у(з№+ (1Л)

о

+ кит Е (м-1 ((кЬьк(М))р+1 - І„) ь)" М-1 (і„ - (кЬ^(М))’’+1) у<">(()

^ "=о

Выражением (1.1) определены точное х(у, і) и приближенное Хк(у, і) решения задачи (0.1), (0.2).

Заметим, что условие ёе1 М = 0 не снижает общности результата, так как если в системе ЬХ(і) = Мх(і) + / (і) сделать замену переменных х(і) = еп£у(і), то в правой части получим матрицу М = М — цЬ, такую что ёе1 М = 0.

В [17] доказана теорема о существовании единственного решения задачи Шоуолтера-Сидорова для нестационарного уравнения соболевского типа

Ьх(і) = а(і)Мх(і) + у (і) , (1.2)

при условии сильной (Ь,р)-секториальности оператора М. В силу того, что СЛТ являются конечномерным аналогом уравнений соболевского типа, приведем следующий результат без доказательства.

£

Теорема 2. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна и det М = 0. Тогда для любых х0 Е Ега, у Е Ср+1([0,т]; Ега) и а Е Ср+1([0,т]; К+), отделенной от нуля, существует единственное решение задачи Шоуолтера-Сидорова (0.1) для НСЛТ (1.2), имеющее

вид

х(у,і) = Ііт хк(у,і) = к

£

1

к

1

+/й«(г *м/а(сж

р_

'А

йМ Іі-їмуа((Ж| ь' Хо+ -і \ к

-1 ( )

Ь[и/г\)Р

Ь-^М^ (кЬ%(М))р у(з)<І8+

(1.3)

причем выражение

1 <і

в последнем слагаемом означает последовательное при-

ча(і) іі

менение і раз соответствующего оператора.

Выражением (1.3) определены точное х(у, і) и приближенное хк (у, і) решения задачи (0.1), (1.2).

Следуя результатам в [15], введем в рассмотрение пространства управления Я = Нр+1(Е”) = {и Є Ь2(0, т; Ега) : и(р+1> Є Ь2(0, т; Ега) , р Є {0} и М)

и состояний

X = Н 1(Ега) = {х Е Ь2(0, т; Ега) : X Е Ь2(0, т; Ега)} .

Решением задачи оптимального (жесткого) управления является пара (у,х(у)) Е ид х X, удовлетворяющая НСЛТ (0.7) с начальным условием (0.1), такая, что выполняется (0.4) ((0.5)), а функционал качества имеет вид (0.3). Отметим, что а Е (0,1] и (1 — а) — весовые коэффициенты целей оптимального управления, заключающиеся в достижении плановых показателей наблюдаемой величины без скачкообразных изменений (первое слагаемое в (0.3)) и минимизации расходуемых для этого ресурсов управления (второе слагаемое в (0.3)).

В [17] в более общем случае доказана следующая

Теорема 3. Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, р Е {0} и N и det М = 0. Тогда при любых х0 Е Ега, f Е Ср+1([0, т]; Ега) и а Е Ср+1([0, т]; К+), отделенной от нуля, существует единственная пара (у,х(у)) такая, что х(у) — сильное решение задачи Шоуолтера-Сидорова (0.1) для НСЛТ (0.7), а V — оптимальное управление задачи (0.3), (0.4), причем они связаны следующим образом

х(г>) = Ііт хк^ + Бь,і). к

(1.4)

Целью жесткого управления является только достижение плановых показателей без скачкообразных изменений, т.е. а = 1 в (0.3). Существование единственного решения задачи жесткого управления следует из справедливости теоремы 3.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3, тогда при любых х0 Е Кга, f Е Ср+1([0, т]; Кга) и а Е Ср+1([0, т]; К+), отделенной от нуля, существует единственное пара (V, х^)) такая, что х(ь) — сильное решение задачи (0.1), (0.7), а V — оптимальное управление задачи (0.3), (0.5), причем связаны они формулой (1.4).

В [8, 15] предложен численный метод решения задач оптимального и жесткого управления для СЛТ (0.6). Суть его сводится к следующему: пространство управлений Я заменяется на конечномерное пространство и1 = Нр+1 (Кга) вектор-многочленов вида и1 = иг(Ь)

Учитывая вид (0.3), необходимо чтобы I > р. Подставляя и1 вместо и в (0.3) и (0.7) и рассматривая задачу оптимального управления

J(vl) = min J(ul), a Є (0,1) ,

Ul۟g

получим решение (vl,xl), причем

xl = x(vl, t) = lim xk(f + Bvl, t).

Здесь и далее Udd = П Ul.

Аналогично поступаем, рассматривая задачу жесткого управления

J(vl) = min J(ul), a = 1.

Приближенное решение задачи оптимального управления (0.1), (0.3), (0.4), (0.7) обозначим парой (^ ,хк), vгk — точка минимума функционала

(1.6)

т.е.

J(vk) = min Jk(ul), a Є (0,1). (1.7)

(1.7)

Если вместо (1.7) рассматривать задачу

J(vk) = min Jk (ul), а = 1,

uleu%

то будем получать приближенное решение задачи жесткого управления.

При изложении алгоритма будем для определенности рассматривать задачу оптимального управления, т.к. алгоритм решения задачи жесткого управления будет тем же, и отличаться только значением величины а.

Алгоритм нахождения приближенного решения задачи оптимального управления сводится к восьми этапам.

Эта п 1. Вычисление М и проверка на отличие его от нуля с заданной степенью точности £1. Если | ёе1 М| < £1 необходимо произвести замену у = ехьх и продолжить реализацию алгоритма.

Этап 2. Вычисление порядка полюса р = п — q, где q = degdet(^L — М).

Этап 3. Определение значения К, начиная с которого можно вычислять приближенные решения: К = шах{к^ к2}, где значения к1, к2 определяются по формулам

старший ненулевой коэффициент.

Этап 4. Задавая т и количество узлов квадратурной формулы Гаусса осуществляется расчет весов и узлов .

Для ,1к (и1) окончательно получим

мирования, где ограничения обусловлены &д.

В основе алгоритма лежит метод покоординатного спуска с памятью. Данный метод с одной стороны приводит к большому количеству итераций, с другой стороны позволяет эффективно проводить распараллеливание процессов.

При достижении установленной погрешности вычисления є функционала качества (2.1), расчет прекращается. В результате получаем значения с*,•, которые позволяют определить

2. Алгоритм численного решения задач

полинома det(^L — М) и ^ — его

¿=0

(2.1)

q=0

Т Т

где ТІ = 9 + 9

Этап 5. Рассчитываются а(т^), и затем кэшируются.

Этап 6. При нулевых значениях с^ из (1.5) вычисляются хк(0,£) и Зк(0).

Этап 7. Решается задача (1.6), (1.7) относительно с^ как задача выпуклого програм^

Этап 8. Используя формулу (1.3), определяется Хк = хк^ + Вуек, ¿).

Приведенный алгоритм реализован в программе на языке С +—+.

3. Сходимость приближенных решений задач

Учитывая общность постановок исследуемых задач, достаточно показать сходимость приближенных решений задачи оптимального управления для НСЛТ.

Лемма 1. Пусть матрица М — (Ь,р)-регулярна, р € (0}иМ и det М = 0, а множество ^д С Я — компактно и выпукло, тогда функционал (0.3) является сильно выпуклым на Яд, т.е. для любых и1, и2 € Яд существует Т > 0, что для любого 7 € [0,1] выполняется неравенство

3 (7и + (1 — 7)и2) < ^3(и1) + (1 — 1)3(и2) — 7(1 — 7)Т||и1 — и2\\2 .

□ Доказательство леммы основывается на тождественных преобразованиях, непрерывности J(u), выпуклости и компактности Ud при оценке T. I

Лемма 2. Пусть матрица M — (L,p)-регулярна, p £ {0} U N, det M = 0, функция a £ Cp+1([0,T]; R+)) отделена от нуля. Тогда пара (xl,vl) минимизирует значение функционала (0.3) на компактном и выпуклом множестве Uq С U и (xl,vl) ^ (x,v) при I ^ то. При этом J(vl) ^ J(v) и существует T > 0, для которого выполняется неравенство T\\vl — v||2 < J(vl) — J(v).

□ Сначала докажем утверждение теоремы для последовательности {v1}.

Для этого возьмем последовательность {Ul }|=1 конечномерных подпространств про-

ГО

странства U такую, что Ul D Uk при I ^ k, U1 П Ud = 0 при всех I £ N и |> плотно в

1=1

U. Например, все эти требования выполнены для вектор-функций из (1.5).

Из выпуклости и компактности множества Uq следует существование последовательности {Uq} конечномерных множеств, являющихся выпуклыми компактами Ud С U и

ОО

монотонно исчерпывающих Ц9, т.е. ilg, С Ud+1 и U Uq = Uq. Следовательно, J(vl+1) <

l=p+1

J(vl), а значит, для последовательности {v1} существует предел lim J(vl) равный J(v)

£^<x

в силу непрерывности функционала (0.3).

Таким образом, показано, что последовательность {v1} является минимизирующей. По теореме Мазура компактное и выпуклое множество является слабо компактным, т.е. Ud - слабо компактно. Учитывая, что функционал (0.3) определен и ограничен на слабо компактном множестве, то по теореме Вейерштрасса минимизирующая последовательность {v1} слабо сходится к v.

Воспользуемся теоремой о сильно выпуклой и полунепрерывной снизу функции на выпуклом компактном множестве (или обобщением теоремы Вейерштрасса), в силу которой последовательность {v1} сходится при I ^ то к v по норме пространства U так, что выполняется неравенство T\vl — v||2 < J(vl) — J(v).

Последовательность {х1} = {х(у1,Ь)}, определяемая (1.3) и (1.4), является минимизирующей и сходится к х(у, ¿) по норме пространства X при I ^ то, в силу того, что зависимость {х(у1, ¿)}, заданная формулой (1.3), является непрерывной по V1 (подробнее см. в [17]). ■

Лемма 3. Пусть матрица М — (Ь,р)-регулярна, р € {0} и N det М = 0, функция а € Ср+1([0,Т]; К+)) отделена от нуля. Тогда пара (хгк^к) является минимизирующей значение функционала (1.6) на компактном и выпуклом множестве Яд С Яд и пара (хк ^гк) ^ (х1У) при к ^ то и фиксированном I > р так, что vk ^ Vе по норме Я1. Причем 3к V) ^ 3(V1) и существует Т > 0, для которого выполняется неравенство

тК — V1!2 < 3к(4) — 3(V1).

□ В силу того, что функционалы 3к(и) и 3(и) являются непрерывными и ограниченными на Яд , справедливо неравенство

1тЫк(и) — 'тЫ(и)| < яир|3к(и) — 3(и)|.

Следовательно, последовательность {Vк} является минимизирующей при к ^ то, сходится к Vе так, что 3кК) ^ 3(V1) при фиксированном I > р.

А так как по лемме 1 функционал 3к^) является сильно выпуклой и непрерывной функцией на выпуклом компактном множестве Яд, то по теореме о сильно выпуклой и полунепрерывной снизу функции на выпуклом замкнутом множестве последовательность {Vк} сходится к V1 по норме в Я и справедливо неравенство

тк — V1!2 < 3кк) — 3(V1).

В силу непрерывной зависимости хк = хк (f + Bvk, ¿), задаваемой (1.4), последовательность {хк} является минимизирующей при к ^ то и сходится к х1 при фиксированном I > р. ■

Теорема 4. Пусть матрица М — (Ь, р)-регулярна, р € {0} и N det М = 0, функция а € Ср+1([0, Т]; К+)) отделена от нуля. Пусть (х, V) — точное, а (хек^ек) — приближенное решение задачи оптимального управления (0.1), (0.3), (0.4), (0.7) на выпукломкомпакт-ном множестве Яд С Я. Тогда для любых хо € и f € Ср+1([0, Т]; Ега) последовательность {Vк} сходится к V по норме в Я, а последовательность {хк} сходится к х = х^) по норме в X при к ^ то, I ^ то так, что 3к(Vк) ^ 3(V), причем существует Т > 0, для которого выполняется неравенство

Т1^1 — 'и\\2 < 3к(Рк) — 3(^ •

□ Из двух предыдущих лемм и теоремы о повторных пределах существует

Пт Ит 3к ^к) = 3(р) ,

причем Vк ^ V1 ^ V и х^к) ^ х(^) ^ x(v) •

Неравенство справедливо, в силу

ТК — V!2 = ТК — V1 + V1 — V!2 < Т\^к — vl||2 + ТIV1 — V!2 <

< 3к^) — 3(V1) + 3(V1) — 3(V) = 3кК) — 3(V) • ■

Аналогично формулируется результат о сходимости приближенных решений задачи жесткого управления для НСЛТ.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 4. Пусть (х, V) — точное, а (хек ,'юк) — приближенное решение задачи жесткого управления (0.1), (0.3), (0.5), (0.7) на выпуклом компактном множестве Яд С Я. Тогда для любых хо € М.п и f € Ср+1([0, Т]; М.п) последовательность ^к} сходится к V по норме в Я, а последовательность {хк} сходится к х = х^) по норме в X при к ^ то, I ^ то так, что 3к^ек) ^ 3(V), причем существует Т > 0, для которого выполняется неравенство

ТК — V!2 < 3к(^) — 3(V) •

В заключение отметим, что представленный в данной статье алгоритм использован при проведении вычислительных экспериментов как на модельных, так и на реальных задачах. Полученные результаты могут быть использованы при построении и исследовании моделей леонтьевского типа для предприятия [15] и решении задач оптимального измерения [7].

Литература

1. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков - Новосибирск: Наука, 1998. - 224 с.

2. Булатов М.В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2002. - Т. 42. - 4. - С. 459-470.

3. Бурлачко И.В. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / И.В. Бурлачко, Г.А. Свиридюк // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - T. 43. - 11. - C. 1677-1683.

4. Свиридюк Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Известия вузов. Математика. - 2003. - 8. - C. 46-52.

5. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев - М.: Экономика, 1997. - 315 с.

6. Свешников А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

7. Шестаков А.Л., Свиридюк Г.А. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - 16 (192). - C. 116-120.

8. Келлер А.В. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоул-тера-Сидорова и численные решения / А.В. Келлер // Известия Иркутсткого государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - 2. - C. 30-43.

9. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov - Utrecht, Boston: VSP, 2003. - 216 p.

10. Сукачева Т.Г. Нестационарная линеаризованная модель движения несжимаемой вызко-упругой жидкости высокого порядка / Т.Г. Сукачева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2009. - 17 (150). - С. 86-93.

11. Замышляева А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска-Лява / А.А. За-мышляева, А.В. Юзеева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2010. - 16 (192). - С. 23-31.

12. Свиридюк Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутсткого государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3. - 1. - С. 104-125.

13. Свиридюк Г.А. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами / Г.А. Свиридюк, А.А. Ефремов // Дифференциальные уравнения. - 1995. - Т. 31. - 11. - С. 1912-1919.

14. Манакова Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа / Н.А. Манакова. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. - 88 с.

15. Келлер А.В. Об алгоритме решения задач оптимального и жесткого управления / А.В.Келлер // Программные продукты и системы. - 2011. - 3. - С. 42.

16. Сагадеева М.А. Аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста операторов вырожденных Со-по-лугрупп / М.А. Сагадеева, А.Н. Шулепов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2013. - Т. 6. - 2. - С. 133-137.

17. Сагадеева М.А. Оптимальное управление решениями нестационарных уравнений соболевского типа специального вида в относительно секториальном случае / М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян // Вестник МаГУ. Математика. - 2013. - 16 (192). - С. 135-139.

NUMERICAL SOLUTION OF OPTIMAL AND HARD CONTROL FOR NONSTATIONARY SYSTEM OF LEONTIEV’s TYPE A.V. Keller, M.A. Sagadeeva

"South Ural State University"(National Research University),

Chelyabinsk, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. The algorithm for numerical solution of optimal control and hard control for some nonstationary singular linear systems of ordinary differential equations (Leontiev’s type nonstationary system) with the Showalter-Sidorov’s initial condition is presented. The system nonstationarity is represented as the product of an system matrix and a scalar temporal function. It is shown some properties of the quality functional and also it is proved the norm convergence of approximate solutions of these problems.

Key words: optimal control, hard control, Leontiev’s type system, nonstationary system of equations, Sobolev’s type equations.