Алгоритм численного исследования модели Шестакова-Свиридюка измерительного устройства с инерционностью и резонансами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.954

АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ МОДЕЛИ ШЕСТАКОВА — СВИРИДЮКА

ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА С ИНЕРЦИОННОСТЬЮ И РЕЗОНАНСАМИ

Ю, В, Худяков

В ряде работ [1,2] А. Л. Шестаковым и Г. А. Свиридюком предложена и на качественном уровне обоснована математическая модель измерительного устройства (ИУ), использование которой позволяет восстановить динамически искаженные сигналы. Одной из составных частей этой модели служит система уравнений леонтьевского типа [3]

где квадратные матрицы Ь и М моделируют конструкцию ИУ, причем Ь те предполагается обратимой, вектор-функция х = ж(£) есть состояние ИУ, а вектор-функция и = и(€) — входящий сигнал. Система дифференциальных уравнений (1) дополняется алгебраической системой

где вектор-функция у = у{Ь) моделирует сигнал на выходи ИУ, матрицы Б и С прямоугольные, их размеры таковы, чтобы вход и выход у имели одинаковую размерность.

Еще одну часть модели ИУ представляет функционал штрафа

Введение

ЬХ = Мх + Би,

(1)

у = Сх,

(2)

© 2013 Худяков Ю. В.

где уо = yo(t) — наблюдение, полученное в ходе натурного эксперимента; Nk,k = 0,1, квадратные симметрические положительно определенные матрицы, параметры а, ß £ R+(= {0} U R+) такие, что а + ß = 1. В модели входной сигнал vn, называемый также измерением, предполагается искаженным как механической инерционностью

v

по наблюдению у заключается в минимизации функционала J:

J(v) = min J(u) (4)

на множестве допустимых измерений Яд — замкнутом выпуклом подмножестве пространства измерений Я. Условия на множество Яд формализуют априорную информацию об измерении (как говорят метрологи, «нельзя измерить неизвестное»).

Замыкает модель ИУ условие Шоуолтера — Сидорова

M))р+1 (х(0) - хо) = 0, (5)

которое в случае обратимости матрицы L превращается в классическое условие Коши

х(0) = xq (6)

для системы (1). Здесь M) = (aL—M)— L—правая L-резольвента матрицы M, p — порядок полюса L-резмьвенты (^L — M)матрицы M в точке то, а G pL(M) — L-резольвентное множество матрицы M

аналогами уравнений соболевского типа [4], преимущество условия (5) перед условием (6) выглядит очень весомо [5].

Основываясь на качественном анализе модели Шестакова — Сви-ридюка в случае учета только инерционности и оригинальном численном методе, предложенном А. В. Келлер [6], был разработан алгоритм численного восстановления измерения, искаженного инерционностью 11У [7]. Результаты вычислительных экспериментов [8] показали хорошую согласованность с результатами натурных экспериментов [9]. Более того, была сделана попытка численного анализа модели ИУ (1)-(5) при наличии резонансов [10], которая вскрыла некоторые недостатки модели и используемого алгоритма. В данной статье эти недостатки

ликвидированы, в частности, объяснена необходимость вырожденной матрицы L при наличии резонансов в цепях ИУ, уточнен вид функционала качества, а также сделана замена многочленов, используемых ранее [6—8], тригонометрическими многочленами в алгоритме.

1. Точное решение

Введем в рассмотрение пространства состояний N, измерений U и наблюдений Y ПРИ некотором фиксированном т £ R+:

N = {x £ L2((0,t),Rn) : x £ L((0,t),Rn)}, U = {u £ L2((0,t), Rn): £ l2((0,t), rn)},

Y = C [Щ.

Кроме того, необходимым является пространство 3 = N х Y- Выделим в U замкнутое выпуклое подмножество Uq — множество допустимых измерений. Требуется найти оптимальное измерение v £ Ud почти всюду на (0, т), удовлетворяющее системе леоптьевского типа

Lz = Mz + Du (7)

при начальных условиях Шоуолтера — Сидорова

[(ßL - M)- L]P+1(z(0) - zo)=0 (8)

и минимизирующее значение функционала

J{v) = min J{u) = min i V í||Sz(q) (u,t) + Sz{0q) (t) - Sz^ (t) ||2dt+

u EUg u EUg l ¿—s J

\q=%

+ E ¡Nquq)(t),u{q)(t))dt| . (9)

q

Здесь z = col (xi, x2,..., xr, yi,y2,..., ym)-, причем x = col (xi,x2,..., xr) и X = col (xi, x2,... ,xr) — вектор-функции состояния и скорости изменения состояния ИУ соответственно; u = col (щ, u2,..., un) и y = col (yi,y2,... ,ym) — вектор-функции измерений и наблюдений соответственно; z0(t) = col(x0i(t),x02(t),...,x0 r( t),y0i(t),y02(t),... ,y0 m( t)) —

наблюдаемые состояние системы и сигнал, получаемые в ходе натурного эксперимента, Szo(t) — те наблюдаемые величины, по которым проводится восстановление динамически искаженного сигнала; щ (¿) — наблюдаемые состояние системы и выходящий сигнал, получаемые в ходе натурного эксперимента при нулевых значениях полезных измеряемых сигналов, SZo(í) — те наблюдаемые величины (при пулевых значениях полезных измеряемых сигналов), по которым проводится восстановление динамически искаженного сигнала; — моделируемые состояние системы и выходящий сигнал, получаемые в ходе натурного эксперимента, Sz(t) — те моделируемые величины, по которым проводится восстановление динамически искаженного сигнала; п = к + т — число параметров состояний системы; Ь и М — квадратные матрицы п

и состояния ИУ соответственно, причем с^ Ь = О, Б — квадратная п

мерения и связь между состоянием системы и наблюдением соответственно, и : [0,Т] ^ МП $ = ОД,... , р + 1, || • || и (-, •} — евклидовы норма и скалярное произведение в Мп соответственно.

Необходимость рассмотрения модели (7)-(9) вместо (1)-(5) обусловлена наличием практических задач, в которых: 1) восстановление полезных динамически искаженных сигналов происходит не по всем наблюдаемым параметрам, а только по части из них; 2) кроме того, резонансы в цепях ИУ влияют на значения наблюдаемых величин не только опосредованно через состояния системы, поэтому корректнее принять вид у = Сх + Би, а не (2) .

Системы леонтьевского типа являются конечномерным частным случаем уравнений соболевского типа. Поэтому при их изучении будем использовать идеи, методы и результаты общей теории [11], адаптиро-

МЬ

регулярной, если существует число а € С такое, что с1е1;(аЬ — М) ф 0. Если матрица М Ь-регулярна, то существует число р € {0} и М, равное нулю, если в точке то Ь-резольвента (^Ь — М)— матрицы М имеет устранимую особую точку, и равное порядку полюса в точке то матриц-функции (^Ь — М)— в противном случае. Учитывая этот факт, в даль-Ь М Ь, р

р е {0} и N.

Задача (7)-(9) в гильбертовых пространствах и в более общей постановке (в частности, требовалось еще найти вектор состояний) рассматривалась М. В. Плехановой как «задача оптимального управления». Поэтому без доказательства приводим следующий результат, почерпнутый из [12] и адаптированный к данной ситуации.

Теорема 1. Пусть матрица М (Ь, р)-регуляриа, р е {0} и N т е М+, причем ЗеЬМ ф 0. Тогда для любых е М" х ф существует единственное решение (г, ь) е 3 х Ид задачи (7)-(9), где

= Нт

к—>оо

]Г(М- ^к —1")Ь)«М- (!„ - (и(Бь)ы ^

д=0

ь

к

. ч -1 ч к(р+1)

Ь-—М) С}к{Бу{з))аз

Здесь (к = (кЬ£(М))Р+1-

М

Ь, р

рицы М в результате замены г = перейдем к уравнению Ьь = (М — ЛЬ)ь + Би того же вида, что и (4), но с1е1;(М — ЛЬ) ф 0. Отметим еще, что при решении задачи восстановления динамически искаженного сигнала пас интересует только нахождение функции ь как одного из решений задач (7)-(9), существующего в силу теоремы 1, поэтому ь будем в дальнейшем называть точным решением задачи оптимального измерения с учет,ом, инерционности и резонансов.

2. Приближенные решения

Пусть матрица М (Ь,р)-регулярна, при чем М ф 0. Согласно теореме 1 приближенное решение задачи (7)-(9) (гк,ьк) будем искать

в виде

р

гк(У1к,1) = ]Т(М- — !„)Ъ)4М- (!„ - (Бу1к)(4 (г)

к(р+1 )-1

М^ Як{Ву[(вз)) Асз, (10)

вз и сз — узлы и веса квадратурной формулы Гаусса соответственно, причем к = тах{&1; к2}, где

г Е [0,1], а > тах< 1, Щ1 1 , щ — коэффициенты многочле-

на det(^L — М), ц ^ п — его степень. Обоснование именно такого выбора к Е N см. в [8]. Вектор Е К" тот же, что и в разд. 1, в дальнейшем предполагается фиксированным.

Алгоритм построен в предположении о том, что известны только частоты резонансов причем возникающие как в г-х цепях ИУ, г = 1,2,... ,т, так и на г-х выходах ИУ, г = т + 1,^ + 2,... ,т+т, а амплитуды резонансов неизвестны.

По данным натурного эксперимента при нулевом значении входящего сигнала проводится их интерполирование с использованием три-

гонометрического ряда ^ ^ вш г. В качестве принимаются зна-

з=о

чения частот резонансов шз и другие, близкие по значению к ним, так как частоты резонансов известны не точно. На основании результатов интерполяции находятся значения щ и в узлах квадратурной формулы Гаусса.

1=4+1

По данным натурного эксперимента с неизвестным входящим сигналом проводится их интерполирование полиномом Лагранжа, определяется вид Затем определяется значение этой функции и ее производной в узлах квадратурной формулы Гаусса.

Прежде всего заметим, что и1(£) будем искать в виде

/ I \

а1 3 ^+ аШ1

з=о

а2 3 вт+ аШ2 п

3=0 .. .

I

аГ2$1 п + аШг вт иkt

3=0

а^+1 вт \Ь а^+2 вт

V

(11)

/

8111 ^т+т^

где I € N По построению пространство И сепарабельно, значит, существует последовательность {И1} конечномерных подпрострапств И1 С

оо

И, монотонно исчерпывающих пространство И, т. е. И1 С И1+1 и и И1,

1=1

плотно в И. Поэтому ввиду первого слагаемого в формуле (8) необходимо брать I таким, что I > р. Теперь подставим и1 в (7) и после всех вычислений результат подставим в функционал (9), получим а Затем, подставив г 1к, £) вида (10) в (9), получим = а) с искомым вектором коэффициентов

а — (а10, ... , а11? , ... , ат0 ? . . . ? ат1ашг ? ? . . . ? ).

Функционал задан та конечномерном пространстве, изоморфном И1.

Обратимся к множеству допустимых измерений Иэ- Как правило, в приложениях оно не только замкнуто и выпукло, но еще и ограничено. Пусть множество Иэ замкнуто, выпукло и ограничено, тогда существует последовательность выпуклых компактов {Ид} , Ид С И1, монотонно исчерпывающая множество И1. В наших рассмотрениях можно

{а}

множеству В дальнейшем удобно обозначить построенный компакт

тем же символом U£d. Далее, функционал J1 непрерывен на U1 по построению, поэтому в силу теоремы Вейерштрасса он будет иметь минимум vl на Uß. Подставив коэффициенты найденного минимума в (11), получим vi. Найденное таким образом vi, т. е. J(vi) = min Jk(и1)

UeEÜeg

назовем приближенным решением задачи оптимального измерения с учет,ом, резонанеов.

3. Сходимость приближенных решений

Учитывая общность постановок исследуемых задач, достаточно показать сходимость приближенных решений задачи оптимального измерения.

Лемма 1. Пусть матрица M (L, р)-регуляриа, p £ {0} U N и det M Ф 0, а множество Uq С U компактно и выпукло. Тогда функционал из (9) является сильно выпуклым па Uq, т. е. для любых и\, щ £ Ud существует такое T > 0, что для любого y £ [0,1] выполняется неравенство

J(YU + (1 - y)u2) ^ yj{ui) + (1 - y) J(u2) - Y(1 - y)t||UI - U2 ||2•

Доказательство леммы 1 основывается на тождественных преобразованиях, непрерывности J(u), выпуклости и компактности Uq при T

Лемма 2. Пусть матрица M (L, р)-регулярпа, р £ {0}UN, det M ф 0. Тогда vl — минимизирующая значение функционала из (9) последовательность па компактном п выпуклом множестве Ua С U н vl ^ v при I ^ то, при этом J(ve) ^ J(v) и существует T > 0, для которого выполняется неравенство T||vl - v||2 ^ J(ve) - J(v).

Доказательство. Возьмем последовательность {Ul}^i конечномерных подпространств пространства U такую, что U1 D Uk при I < k,

ж

U1 П Ud ф 0 при всex I £ N и U1 плотно в U. Например, все эти

e=i

требования выполнены для вектор-функций из (11).

Из выпуклости и компактности множества Uq следует существование последовательности {Ug} конечномерных множеств, являющихся

выпуклыми компактами С И и монотонно исчерпывающих На, т. е.

оо

С Ud+1 и U = Из- Следовательно, J(vl+1) < J(vl), а значит, i=p+i

для последовательности {v1} существует предел lim J(vl), равный J(v) в силу непрерывности функционала из (9).

Таким образом, последовательность {vl} является минимизирующей.

По теореме Мазура компактное выпуклое множество слабо компактно, т. е. Ид слабо компактно. Учитывая, что функционал определен и ограничен на слабо компактном множестве, получаем, что по теореме Вейерштрасса минимизирующая последовательность {v1} слабо сходится к v.

Воспользуемся теоремой о сильно выпуклой и полунепрерывной снизу функции на выпуклом компактном множестве (или обобщением теоремы Вейерштрасса), в силу которой последовательность {v1} сходится при I ^ то к v по норме пространства И так, что выполняется неравенство T||vl — v||2 ^ J(vl) — J(v).

Лемма 3. Пусть матрица M (Ь,р)-регулярна, p G {0}UN, det M ф

0. Тогда vek является минимизирующей значение функционала Jk(v^) последовательностью на компактном выпуклом множестве Ид С Ид п vl ^ vl при k ^ то и фиксированном I > p, так что vk ^ vl по норме И1. При этом Jk(v^) ^ J(vl) и существует T > 0, для которого выполняется неравенство T||vk — vl||2 ^ Jk(v^) — J(vl).

Доказательство. В силу того, что функционалы Jk(u) и J(u) непрерывны и ограничены на Ид) справедливо неравенство

| inf Jk(u) — inf J(u) I ^ suP I J&(U — J(U I-

Стало быть, последовательность {v^} является минимизирующей при k ^ то и сходится к vl так, что J&(vk) ^ J(vl) при I > р.

Так как по лемме 1 функционал J&(v) является сильно выпуклой непрерывной функцией

на выпуклом компактном множестве Ид? ^^ теореме о сильно выпуклой и полунепрерывной снизу функции на выпуклом замкнутом множестве последовательность {v^} сходится к vl

по норме вИи справедливо неравенство

T\\v{ -/||2 < Jfc(v{) - J(vl).

Теорема 2. Пусть матрица M (Ь,р)-регулярна, p G {0} UN, det M Ф 0. Пусть (z,v) точное, а (zk,v£k) — приближенное решения задачи оптимального измерения (7)-(9) на выпуклом компактном множестве Иа С И. Тогда для любых zo G Rn х Y посленовательпость {v£k } сходится к v по норме в И, а последовательность {zkj сходится к z = z(v) по норме в 3 при k ^ то, I ^ то так, что Jk(vEk) ^ J{v), причем существует T > 0, для которого выполняется неравенство

T|К - v||2 < Jk{vk) - J(v).

Заключение

В статье рассмотрен новый подход к восстановлению динамически искаженных сигналов с использованием методов теории оптимального управления. Приведены постановка задачи оптимальных измерений, доказано существование и единственности решения этой задачи, представлены алгоритм ее численного решения и результаты вычислительного эксперимента.

В качестве дальнейших направления исследований выделим следующие: проведение вычислительных экспериментов для оценки эффективности алгоритма программы, использование данного метода для решения задачи восстановления динамически искаженных сигналов с учетом «шумов».

Автор выражает признательность проф. А. Л. Шестакову, Г. А. Свиридюку и А. В. Келлер за консультации при написании статьи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шестаков А. Л., Свиридюк Г. А. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2010. № 16. вып. 5. С. 116-120.

2. Sbestakov A. L., Sviridvuk С. A. Optimal measurement of dynamically distorted signals // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2011. № 17. вып. 8. С. 70-75.

3. Свиридюк Г. А., Брычев С. В. Численное решение систем уравнений леонтьев-ского типа // Изв. вузов. Математика. 2003. № 8. С. 46-52.

4. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 12. С. 21682171.

5. Свиридюк Г. А., Загребина С. А. Задача Шоултера — Сидорова как феномен уравнений соболевского типа // Изв. Иркутск, гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3. № 1. С. 104-125.

6. Келлер А. В. Численное решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой уравнений с начальными условиями Шоуолтера — Сидорова // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2008. № 27. С. 50-56.

7. Шестаков А. Л., Келлер А. В., Назарова Е. И. Численное решение задачи оптимального измерения // Автоматика и телемеханика. 2012. № 1. С. 107-115.

8. Келлер А. В., Назарова Е. И. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2010. № 16. С. 32-38.

9. Шестаков А. Л. Измерительный преобразователь динамических параметров с итерационным принципом восстановления сигнала // Приборы и системы управления. 1992. № 10. С. 23-24.

10. Келлер А. В., Захарова Е. В. Задача оптимального измерения с учетом резонан-сов: алгоритм программы и вычислительный эксперимент // Вестн. Южно-Уральск. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2012. № 27. Вып. 13. С. 58-68.

11. Sviridvuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston; Koln; Tokyo: VSP, 2003.

12. Плеханова M. В. Оптимальное управление распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2006.

г. Челябинск

5 октября 2013 г.