ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, ПОСТАВЛЕННОЕ НА ВЕКТОРНОМ ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ В ОБЛАСТИ С УГЛОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 10 (79)

AunIve

TEXHI

universum:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

октябрь, 2020 г.

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, ПОСТАВЛЕННОЕ НА ВЕКТОРНОМ ВОЛНОВОМ УРАВНЕНИИ В ОБЛАСТИ С УГЛОМ

Имомова Шафоат Махмудовна

ст. преподаватель Бухарского государственного университета, Республика Узбекистан, г. Бухара

Исмоилова Махсума Нарзикуловна

ст. преподаватель Бухарского государственного университета, Республика Узбекистан, г. Бухара E-mail: maxsuma. ismoilova@mail. ru

NUMERICAL SOLUTION OF A MIXED PROBLEM, POSED ON A VECTOR WAVE EQUATION IN A DOMAIN WITH AN ANGLE

Shafoat Imomova

Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara

Mahsuma Ismoilova

Senior Lecturer, Bukhara State University, Uzbekistan, Bukhara

АННОТАЦИЯ

Получена априорная оценка в пространстве Соболева решения смешанной задачи для векторного волнового уравнения в угловом пространстве. Получение априорной оценки основана на построении «диссипативного интеграла энергии». В данной статье построена разностная схема для численного решения смешанной задача для волнового уравнения в области с углом, доказывается её устойчивость.

ABSTRACT

An a priori estimate in the Sobolev space of the solution of the mixed problem for the vector wave equation in angular space is obtained. Obtaining an a priori estimate is based on the construction of a "dissipative energy integral". In the article a difference scheme for numerical solution of mixed problem for wave equation in wiz corner is constructed. The difference scheme stability is proved.

Ключевые слова: смешанная задача, матрица, разностная схема, устойчивость, комплекс, вектор, условия Лопатинский.

Keywords: mixed problem, matrix, difference scheme, stability, complex, vector, Lopatinskiy terms.

Математико-физические задачи очень обширны и неразрывно связаны с изучением различных физических, механических, биологических и других процессов. Математико-физические уравнения направлены на изучение трех классических: эллиптических, параболических, гиперболических классов. В тех случаях, когда аналитическое выражение решений математико-физических уравнений найти невозможно, приходится находить их числовые

решения. Для уравнения векторной волны в угловой области, относящейся к типу симметричных Т-гипер-болических уравнений, программа численного решения смешанной задачи используется при изучении задач механики сплошных сред. Рассмотрим следующую задачу: Найти решение уравнение векторной волны

и-иа-и„ = о (1)

Библиографическое описание: Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Численное решение смешанной задачи, поставленное на векторном волновом уравнении в области с углом // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 10(79). URL: https://7universum. com/ru/tech/archive/item/10828

№ 10 (79)

Aun!

ТЕ)

universum:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

октябрь, 2020 г.

в среде R = {(t, х, y)| t, x, y > 0j удовлетворяющее при x = 0

JU - AUX - BUy = 0 , (t,y)e R+ (2) при y = 0

JU - A2U -B2Uy = 0 , (t, x)e R+ (3)

Для этого произведём замену v = е2 - в системе (5) и напишем в следующей форме:

e'A^ — -

dY d^Y] dY

dt дв

- C0 — + д£

Q — C +—вп 0 2 0 de 0

ел dY jj dY dY eeA--B0--C0— +

^ dt 0 дв 0 de

Q0 -- C

Y = 0 (9) Y = 0 (10)

граничным условиям и

U = Ф( х, y), Ut = W(. х, У), t = 0, (x,y) e R+ (4) начальным условиям.

Здесь J, A, B, J, B ,A ~n -размерные фиксированные комплексные матрицы. В монографии [1] получена априорная оценка решения этих задач. Оценка Априора основана на построении «диссипа-тивного интеграла энергии». В задачах (1)-(4)

7

t > 0, 0 < в < —, % e R' полярные координаты

%,в(х = r cos в, y = r sin в, % = ln r) проходят в области

{Ч Ъ ~ B0 в C0 Q0 } = а t > 0, (в,%)еП (5)

JV + AV - BV = 0, e = -, t > 0, ее R' (6)

Умножаем системы (9) - (10) на матрицу Б = diag (у, у, уъ) слева. Сложим полученные системы и формируем систему:

2eeDA--D

0 dt

dY ^b0y]-db„ dY - 2DC dY+

de

дв

de

(11)

+D

2Q0 - C0 +-JZ B0

de

Y = 0

На

рассматриваемой

области

t> 0,0Я1 построим сетку с соответствующими шагами Д, = Д, Дв = Де, Де = Д по осям ,, в, % .

Введем следующие обозначения:

-; = У (иД,, ¿Дв, ]Д,) =

г

= (У1 (иД,, ¿Дв, }Д( ) , У2 (иД,, ¿Дв, }Д( ) , У3 (иД,, ¿Дв, }Д( )) ,

JV -AV -BV = 0, в = 0, t >0, ее R' (7)

i = 0,I, n, j = 0,1,...

V = Ц (ö,e)} , t = о, (ö,e) e П (8)

1 I w '

|И =AeAeXS ee'(AYjY), L = (1,1,1)

i=0 j=-«

здесь

A0 =

C0 =

Q0 =

(K L M Л L K iN

B0 =

( L K iN Л K L M

VM -iN K y

(M -iN K Л

iN -M L

K L M

ч /

( m 00 Л (v Л

V-iN M -L y

iN 0 0 K 0 0

V=

V2

V V У

^eeUt ^ U в

V e У

Ь, М, # - эрмитовые матрицы, которые их любые элементы связаны с в.

Построим параметрическую разностную схему, аппроксимирующую смешанную задачу (5) - (8) .

Теперь мы построим параметрическое разностное уравнение, которое аппроксимирует уравнение (11):

и уП+1 —У и

D

1B0Y с -(B0Y

+ Di"++1 (B0)i+!

уи+1 уин Yi+1jj - Yij

уи + 1 ^" + 1 уи+1 уи+1

+j (C0 )iY+Y^ + D" (C0 )i Yj+-Y^

(12)

-(1 -a)

D¡-

(B0Y )"+1,-(B0Y);

-D"+1j (B0)i

yn _ уи

+Dj (C0 )i

уи _ у и

Yij+1 Y ij

D"+1 (C0 )i

ии Yij+1 Yij

+D"

2Q0 - C0 +— B0

de

y i" = 0

и = 0, N-1, i = 0,I-1, j = 0,1,2,

-a

№ 10 (79)

AunI

ТЕ)

universum:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

октябрь, 2020 г.

i = 0, |j| = 0,1,2,...da

U )i, - «2 (.У )" - ¿2 (Уз )" = 0, (13)

i = I, Iii = 0,1,2,... da

(y )I, + «1 (У2 )j - Ä (Уз)I = 0, (14)

I = 0, i = 0,1,2,...,I, Hl = 0,1,2,...da

( 1

У =

«'• I (15)

Теорема. Предположим, что выполнено ровное условие Лопатинского. Тогда для сте[0,1] разностная схема (12) -(15) будет устойчив при энергетической норме .^77, здесь

1-1 +■»

7-=ДаЕЕ( а^ , к);.

/=о j=—«

Доказательство.

Вышеперечисленную систему уравнений с правой стороны скалярно умножаем на вектор, который составители состоят из единиц.

D (A)

yi+1+yi ^ (

jJ_V т

д ,L

D+I (Л)

yi+1 I yi

(A),YL-YL,(DL)I + (A.)i (DL)

у v

Л f

у i+1 — yi ^

y-^ ,L

д

yi+1 —yi "N

У v

^ (A>y л;'—д (A>y -T

( \ BY Г — \ BY J" A

(1—CT)D \ 0 Ji+1j \ 0 Jj, L

(1 — *)Di".j \B0l =(1—a)

yi _yi \ y i+1 j y ij

f\BYJLj —\В0У Jj ^

+ (1 — a) 1 — a

yi _ yi yi+1j yij

\ B0y l

i+1, j

д ( B0Y ,Y )i+lJ — ^(b.y ,y )j

дв Ae

(1 — a) Di (C0)

yi _yi

Y+1 Yij , L

Yi, — У

(1 — a) Di+1 \C01 , L

yi _ yi yij+1 yij

= (1 — a) , (C0 ),yj

+ (1 — a) 1 — a

v A ^ yi _ yi

У j+1 Yj v A

\СоУ JJ

i, j+1

D

A, (C0У,Уj—У,У)i

d

Q0 — MC. +— B0 du

Qo — /"C0 +dB0

У ,L J + ( D [Q. — ^C. ]y, L ) = У ,У | + (D Q — ДC0 ]У ,У) =

d

Q. + Q. — 2Re MC(i +— B( du

У, У I

aD

\ B0y Ji+1 —\B0y Ji

aD,+1 [ B0 ]

= a

\ B0y Ji+1 —\B0y Ji

=a( b.Y ,y )i+1, vУ)

+ a

\ B0y \

У — У yi+1 yi £

i+1 д ,

Ae у

Л

У, — У

i+1 ji ii+1, д

i+1 j д

здесь Б = Б", = Бпм и т.д. Получим уравнения:

ij ' i+1 i+1 j

Л f

У — У aDaj-j, L

У — У aD..„Cyj+!-j, L

+10

v "i у v

f V _V \ f

= a

Cn

Y+nI^ y

+ a

СУ

A

+ у

i у Л

j+^ j

0* j+1'

=Aa( c»y ,y )j+1 — A^(c. y,y )i

v ^

ij '

Из этих уравнений получаем соотношения

^^ {(АГ ,Г)"+1 -(АоГ ,Г),+1 - (V ,г),} —

Г )j+I - (СоГ}-^^{(ВоГ, 7)+ -(Бо7 Г), }-- ^{(С/,7 ).+1 -(Со7 7).}+

Q. + Q. — C. +—B.

dU

У У | = о

'а

Эту соотношению умножаем на Д^, ^ и сложим по 1 от 0 до I -1 и по . от -то до +». Введя обозначение

2 I . _

г+Чд =Ае-А,-ХХ ¿'{ЛУГ, УГ ) и

принимая

i=0 j=—«

+

+

№ 10 (79)

AunIve

TEXHI

universum:

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

октябрь, 2020 г.

во внимание вЦ^-1» ||Y|| = (Y,Y)2 ^ 0 получим уравнение

А из этого получим соотношение

\\u"

¿V

ГЕ-llYt ^v^ftw^-(wk}+ .^jj jr j(u ,и )j +(u„u, ); +(Ux U); +u u )j}

/=1

+A,• WXX

¡=0 j=-«

Q0 + 00 -2ReßC0- — B0 ав

Y,Y I hi

Это полностью доказывает теорему. В статье показано приближенное решение смешанной задачи поставленного векторного волнового уравнения на угловом пространстве.

На основе [2] можно доказать неравенство:

(AYYY)j > 0, e1 (A Y, Y)j+1 > 0, -c(B0Y,Y); > 0, c(B0Y,Y)j > 0, c(B0Y,Y)"o j > 0, (1 -с)(B0Y,Y); .> 0

Список литературы:

1. Блохин А.М., Ткачев Д.Л. Смешанная задача для волнового уравнения в координатных областях. Получение априорных оценок для смешанных задач для многомерного волнового уравнения. // Вычислительные технологии. Т.1, № 1,2. 1996, с.13-37, 26-46.

2. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Использование инновационных технологий на уроках информатики// Наука, техника и образование. 2018.10 (51).С. 28-31.

3. Бердиева С.М., Имомова Ш.М. Построение двухмерных графиков на уроках информатики средствами Excel // ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ. 2017. № 12(30).

4. Исроилов М.И. Х,исоблаш усуллари. 1-кисм.-Тошкент, Узбекистон нашриёти, 2003.

5. Исмоилова М.Н., Имомова Ш.М. Интерполяция функции // ВЕСТНИК НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ 2020. № 3(81). Часть 3. С. 5.

6. Имомова Ш.М., Исмоилова М.Н. Вычисление наибольшего собственного значения матрицы и соответствующего ей собственного вектора в среде Mathcad// ACADEMY. 2020. № 6(57). C9.

7. Худойберганов М.У. Устойчивость разностных схем для векторного волнового уравнения. // Труды Международной научной конференции. Дифф. урав. частными производными и родственные проблемы анализа и информатики. -Ташкент. 2004, с. 305-308.

2

W.