Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ МЕТОДОМ КОЛЛОКАЦИИ

Аннотация. Рассмотрен численный метод коллокации для решения объемного сингулярного интегродифференциального уравнения на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном волноводе. Также рассмотрена обратная задача определения эффективной диэлектрической проницаемости тела. Представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллока-ции. Представлены результаты численных расчетов для решения сингулярного интегродифференциального уравнения методом коллокации и численные результаты определения эффективной диэлектрической проницаемости тела в волноводе.

Ключевые слова: обратная электромагнитная краевая задача, интегродиффе-ренциальное уравнение, метод коллокации.

Abstract. Numerical collocation method for solving singular integro-differential equation on dielectric body located in rectangular waveguide is considered. Inverse electromagnetic boundary value problem for determination of effective permittivity of the body is also considered. The formulas of matrix coefficients for collocation method are presented. Numerical results for solution of singular integro-differential equation by collocation method as well as numerical results for determination of effective permittivity of the body in waveguide are presented.

Keywords: inverse electromagnetic boundary value problem, electromagnetic scattering, integro-differential equation, collocation method.

Определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозит-ных материалов и сложных наноструктур с различной геометрией является актуальной задачей нанотехнологии и наноэлектроники. Однако эти параметры, как правило, недоступны для экспериментального измерения (ввиду композитного характера материалов и малых размеров образцов), что приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачи численно с помощью компьютеров.

При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Решение таких задач является в настоящее время одной из самых актуальных проблем в электродинамике. Решение этих задач с приемлемой для практики точностью на электродинамическом уровне строгости математическими методами требует очень большого объема вычислений и часто невозможно даже на самых современных суперкомпьютерах. Особенно остро стоит проблема решения обратных электродинамических задач на сложной системе тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур [1-3].

Таким образом, возникает необходимость разработки новых методов решения указанного круга задач. Одним из перспективных методов является метод объемных сингулярных интегральных уравнений [4-6]. Краевая задача сводится к решению нелинейного объемного сингулярного интегродиффе-

ренциального уравнения [6-8]. Здесь оператор задачи получается эллиптическим, а интегральное уравнение решается только внутри тела (в области неоднородности).

На этом пути удается доказать теорему о существовании и единственности решений в ¿2 нелинейного интегрального уравнения, теорему о существовании и единственности решений обратной краевой задачи, предложить и доказать сходимость численного метода для решения интегрального уравнения и обратной краевой задачи [6-8].

Настоящая статья посвящена разработке численного метода для решения интегрального уравнения и обратной краевой задачи. Применяется метод коллокации [9] с аналитическим суммированием медленно сходящихся рядов в функциях Грина.

Метод коллокации

Рассмотрим вопрос о построении схемы метода коллокации для решения объемного сингулярного интегродифференциального уравнения, к которому сводится краевая задача дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле Q , расположенном в прямоугольном волноводе [6-8]. Пусть

в декартовой системе координат Р = {х: 0 < < а, 0 < Х2 < Ь, - ^ < Х3 < ^} -

волновод с идеально проводящей поверхностью дР . В волноводе расположено объемное тело Q (Q с Р - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной 3 X 3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости е(х). Компоненты е(х) являются

ограниченными функциями в области Q , ё е ^), а также ё-1 е ^).

Будем формулировать метод не для сингулярного интегрального уравнения, а для интегродифференциального уравнения. Этот подход оказывается эффективным в силу более удобного представления интегралов. Будем предполагать, что тензор диэлектрической проницаемости тела е( х) удовлетворя-

ет условиям:

е( х)

-1

-о

обратим в Q и

е( х)

е0

N-1

- I

є L(Q), где I - еди-

ничный тензор.

Введя обозначения

(

е( х)

ео

-I

J :=

е( х)

ео

-I

E.

перейдем к следующему уравнению:

AJ = У(x) -k0 JGe(x,y)J(y)dy -grad div JGE (x,y)J(y)dy = E0(x), (1)

Q Q

где E - неизвестное электрическое поле; E0 - известное внешнее электрическое поле (распространяющаяся волна в волноводе); ко - волновое число , 2 2

вакуума, ко =ю £оМю; ю - круговая частота.

Компоненты тензора Грина Ое(x,у) имеют вид [6]:

_ ^ ^ —y Хо — yo

„1 2 e nm 3 31 nn . nm nn . nm ...

ge = — Z Z ----- eos—xi sin — x2 eos—y sin — j2 ; (2)

abn=0 m=l Y nm(1 + 80n) a b a b

2 2 e YnmlX3 У31 . nn nm . nn nm

GE =—TZ Z----------7T^ Tsin — x1 eos^Tx2 si^ — y eos^TУ2 ; (3)

abn=1 m=0 Y nm(1 + S0m) a b a b

_ ^ ^ —Y Xo — y o

„3 2 ^ e nm 3 3 . nn . nm . nn . nm

Ge = — Z Z -------------sin—Xi sin — X2sin—y^in—у2- (4)

ab Ynm a b a b

n=1 m=1 *nm

1

В этих выражениях ynm =.

nn ^2 (nm ^2 2

— I +1-------I — ko , при этом ветвь квад-

a ) I b )

ратного корня выбирается так, чтобы 1т упт ^ 0 .

Запишем От с выделенной особенностью при х = у :

1 е'ко\х-у1

°т = 1-----г+ёт (х, у), х, у е р, (5)

4п | х - у |

где функция gm е С“ ^ хР) [10, с. 132]. Отсюда, и в силу симметрии функций Грина От (х, у) = От (у, х) (т = 1, 2, 3) имеем

Утверждение 1.2. Тензор Грина Ое допускает представление

1 егк0|х-у1 „

Ое =------:------I + g(x, у), х, у е Р , (6)

4я | х - у |

где матрица-функция (тензор) g е С“ ^ х Р) и g е С“ (Р х Q).

Такое представление функции Грина удобно для теоретического исследования задачи дифракции, но непригодно для численных расчетов, так как не содержит алгоритма вычисления g .

Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

3

2 V (х) - ко | О(х, у)Jl (у)ф -М Q

-¿- ^ | О (х, у)./(у Му = Е01 (х), 1 = 1,2, 3. (7)

х/ Q

Будем искать компоненты приближенного решения J в виде _ N _ N _ N

J1 = 2 «к/к(x), J2=^ «2/к(x), J3=^ «кл3 (хХ к=1 к =1 к=1

где /к - базисные функции.

Ниже проводится построение функций f. Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x: öj < x < 02, ¿1 < х2 < ¿2, C < хз < С2І. Разобьем тело Q на элементарные параллелепипеды (рис. 1):

ПIlm = {x : x1,I < x1 < x1,I+1, x2,l < x2 < x2,l+1, x3,m < x3 < x3,m+1};

ö2 _ a\ і і b2 - b , c2 - Ci

xji = öj + —------1, x2i = ¿1 + —--L l, x3 m = Cj + —--- m,

n n n

где I, l, m = 0, ..., n -1.

Будем считать, что шаг по каждой координате постоянен: Ь1 :_! Х1 к ~ Х1 к-1 I • Наряду с обычной нумерацией нам удобно будет ввести

трехиндексную нумерацию базисных функций. Определим /к/т (1 = 1, 2, 3):

А _ \1, Х ^ '^к/т,

/к/т _ | _

1°, Х ^ ^к/т •

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходи-

3

мому условию аппроксимации в ¿2 (Q) _ ¿2 (Q) х Ш) х ¿2(6).

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов 12 3

а к, «к, « к удобно представить в блочной форме:

( An Аіз Вл

A23 В2

ч A31 m В3 )

Элементы столбцов Bfc и матриц A^¡ определяются из соотношений:

4 = 4 (x);

Aj =luf¡ (xj )-8^2 J Gk (Xj, y)f¡ (y)dy-A J ^-Gl (Xj, y)fl (y)dy, (8) Q Xk Q X

где координаты точек коллокации имеют следующий вид:

xi = (xi1,xi2,xi3 ) xi1 = (x + 1/2)hb xi2 = (x + 1/2')h^2, xi3 = (з +1/2) k, l = 1,2,3; i, j = 1,..., N.

Таким образом, представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения сингулярного интегродиффе-ренциального уравнения.

Пусть

х = Л1 х =-^2 Y =т

a b a

Y = лУ2 tt = nh1 tt = nh2

Y2 , H1 =----, H2 = ~r~ ,

b a b

тогда компоненты тензора Грина примут вид

1 2 “ “ e~4nm\x3 -Уз\

Ge = — V V---------------------cosnXi sinmX2cosnY1 sinmY2; (9)

E ab n=0 m=1 Ynm (1 + 80n) 1 2 1 2; ()

2 2 ^ ^ e“Ynm|x3-уз|

Ge = — V V-----------------sinnX^osmX2sinnY1COSmY^; (10)

ab n=1 m=o Ynm (1 + 80m )

3 2 “ “ -Уз|

Ge =— V V------------------sinnX^inmX2sinnY1sinmY2- (11)

ab y

Uln=1 m=1 'nm

Введем обозначения для используемых функций:

sin nx cos ny

V n(n2 + A2)

, sin nx cos ny . .. . .. ^ .

r(x, y; A) = V~ 2-— = ^(x, y; A) + q(x, y; A) (0 < x, y < л);

^(x, y;Л) = —T—Л 2лЛ x 4A 2(1 - e-2 лЛ)

x(e-A(2^-x-y) - e-A(x+y) + sign(x - y)(e"A(2Hx-yl) - e“Ax-yl));

q(x, y; A) = -1-( - x - y + sign(x - y)(л -1x - y|));

4Л2

q0( x, y) = л - x - y + sign( x - у)(л - x - y|);

_ 8ІП ПХ 8ІП Пу

Л е-Цх-у| + е-А(2лНх-у|) _ е_А(х+у) _ е-Х(2п-х-у)

1 п2 + А2 4А і _е-2лА

л/ 14 95 Л

ё (х, у; А) = — = --.

ох 4

(х > 0, у > 0, х + у < 2л) ;

18^п(х - у) - е"

,-А1х_у -е-А(2Чх-у|^ч1оп(х- у) -е-А(х+у) + е-А(2л-х-у)

-2лА

1 - е

(х > °, у > °, х + у < 2л) •

Так как базисные функции равны 1 только внутри элементарного параллелепипеда Пк/т, интегралы в интегральном уравнении вычисляются аналитически. Проинтегрировав компоненты тензора Грина по элементарному параллелепипеду, будем иметь:

^ ^ ¿’О

2 оо оо ґО (х )

аі =_п

008 пХі$,1п тХ2 (п п(?і + і)Ні - 8Іп піїНі )(008 тІ2Н2 _

Л п=і т=і уптпт

- 008 т(і'п + і)Нп) + Ні ^ (х3) 8ІптХп (008 тіпНп _ 008 т(і'п + і)Нп);

Л т=і V2тт

п “ “ ^0 (х )

а2 = — пт — 8ІП пХі 008 тХп (008 п(Ні _ 008 п(і'і + і)Ні )х

Л п=і т=і Уптпт

Н “ (х )

х(8Іп т(і'п + і) Н2 _ 8Іп тіпНп) + —¿2 ^ п0, 3 8Іп пХі (008 пііНі - 008 п(іі + і)Ні);

где

І,пт (х3) = <

Л п=і У п0п

2 ^ ^ і0 ( ) а3 = —п ^ ^ Т х3 8Іп пХі 8Іп тХп х

Л п=іт=і Уптпт

х(008пііНі - 008п(і'і + і)Ні )(008 тіпНп _ 008 т(і'п + і)Нп),

(ехр(_(хз _ (із + і)/2з )упт )_ехР(_(х3 _ і3И3 )упт )

если хз > (і'з + і)Из';

(ехР(_(і3И3 _ х3 )Упт )_ехР(_((і3 + і)И3 _ х3 )упт )

если хз < ізИз;

(2 _ ехр(_(хз _ ізИз )упт ) _ ехР(_((і3 + і)И3 _ х3 )упт )

если ізИ3 < хз < (із + і)Из.

После суммирования медленно сходящихся рядов (выделения особенности) получим:

п

/пт (Х3) „ • *тт ■ -*тт ■ пН1 . тН2

2 2 С08 181п тХ2 008 п11 Н1 81п т12Н2 81п ^ 81п—+

Л п_1 т_1 пту пт

2Н, - /пт(Х3) ■

•2-

Л т_1 У °тт

81п тХ2 8ш т1*Н2 81п

. тН2

&3 (Хз ) 1 2 "П С08 ПХ1СО8 п1*Н1 81п [р(X2, 12Н2, Аи ) -

-р(Х2,(12 + 1)Н2, Ап )][р(Х2,12Н2, Ап) - р(Х2, (12 + 1)Н2, Ап )] +

+ ^[^°(X2,12Н2) - д° (Х2,(12 + 1)Н2 )]

Л

Р!^1, Н11* - Х1, — | +

к Л

Г Н1 „ „ ¡ка Л (Нл ТТ * ^ ¡ка Л (Нл тт * ^ ¡ка

+д! —, Н11 -Х1,_Л" I+ РI _2;, Н111 + "л" I+ дI 1 + ~к~

2Н1Ь

л

Р| Х2,12Н2, ^| - Р(Х2, (12 + 1)Н2, —| +

+ д| Х2,12Н2, к-| - V(Х2, (12 + 1)Н2, ^

02 _ 2 2 /пт (х3)

Л п_1 т_1 пту пт

„ . „ *тт . * • тН2 ■ пНл

С08 тХ2 81П пХ1 С08 т^Н 2 81П п11 Н1 81П------------------— 81П-------- +

2Н2 ^ /пт(х3) . . * пН1

2±пт—^ 81П пХ181П п11 Н1 81П-------1 +

Л п_1 У п°п 2

81П-

+Х13 (Хз) \~Т 2 _ С08 тХ2 С08 т12Н2 - _

3 I Л4 1 т 2

I ^ т_1

"Р(Х1,(/1 + 1)H1, Ат )] + -4 [^0 ^^1, 11Н1) - % (Х1,(/1 + 1)Н1)]х

л

х

Р| Н2, Н212 -Х2, 'к-1 + V(Н2, Н21'2 -Х2, '-к-Л + Р(Н22, Н21'2 + Х2, к-| +

+^! Н22, Н212 + Х2, —

2л

л

Р! X1,¡1H1,

ка

л

-р|Х1,(1+1)Н1,л+^(Х1,11Н1,л - д(х^+¡н к-

-з_ » Іпт(хз) • ж, • ж, • .*„ • • пНі . тН

лг ■ лг ■ *ТТ ■ *тт ■ "Пі . тпп

ее 2 8іппХі 8іптХп8іппііНі 8іптіпНп8ІП----------^-81П-— +

Л п=і т=і пт1 пт 2 2

аз=^ ЕЕ-

8^п ^ і * пн

+ Хіз( хз) ^ Е —віп пХі 8Іп піі Ні 8Іп^2і [р(Хп, іпНп, Ап) _

. пНі

л ' і п 2

;і п=і

р (Хп,(іп + і)Нп, Ап )] + “4[у0 (Хп, іпНп) _ у0 (Хп,(іп +і)Нп )] х

х

р \Ні, Ніі* - Хі, к. )+, (Щ-, Ніі - Хі, )+

( Ні „ * „ іка \ (Ні ТТ * ^ іка

+р І —, Нііі + Хі,~ І + у І ~, Нііі + Хі,~

/пт ( хз)

где

(ехр(-(Х3 -(13 + 1)/23 )упт )-ехР(-(Х3 - 13Й3 )пт )

если Х3 > (13 + 1)3;

(ехР(-(13й3 - Х3 )упт )-ехР(-((13 + 1)к3 - Х3 )упт )

если Х3 < 13 ^3;

(-ехР(-(Х3 - ( )упт )- ехР(-((г3 + 1)к3 - Х3 )упт )

если 13^3 < Х3 < (3 + 1)3.

Здесь также обозначено

11 _ 11 + °,5, 12 _ 12 + °,5, 13 _ 13 + °,5, 71 _ Л + °,5, ./2 _ ]2 + °,5, -/3 _ ]3 + °,5;

Хіз (хз ) =

[і Изіз < хз < Из (з + і),

0, иначе.

В точке коллокации значения проинтегрированных компонент тензора Грина будут иметь следующий вид:

аі = 4т ЕЕ

Іпт (Из Із) * * * *

-------П-008 піі Ні 81П тІпНп 008 піі Ні 81П ті'пНп х

Л п=і т=і птУ п

■ пНі . тНп , 2Ні “ Іпт(Изіз)

х81П--------81П-------- +-----^ Е - 0

2 2 Л т=і V 0тт

тН

8Іп тіпНп 8Іп ті*Нп 8Іп-----2 +

із із І Л4 *1 п

І ;і п=і

^і * * пНі / *

- 008 піі Ні 008 піі Ні 81П — р [Іп Нп, (Нп, Ап . п 2 [ \

6і

2

р (./2Н2 ,(12 + 1Н2 ,Ап ) + “ д° (/2Н2, 12Н2 ) - д0 ((Н2 ,(12 + 1)Н2 )

х

I Н^ * ^ .* 1ка Л (Н1 * .* 1ка Л

р! Н111 - Н^-/ь^ I+д I _2;, Н111 - Н^-/1 ,_^1+

(Н1 ТТ * тт .* 1ка Л (Н1 тт * тт .* 1ка

+р! “2",Н111 + Н1Л,~ I+ дI —,Н111 + ^Л,”

2Н1Ь2

л

р! /2Н2,12Н2, ^| - Р!/*Н2, (12 + 1)Н2, г-к-1 +

+д! 72Н2,12Н2,“^71 - д!/2Н2,(12 + 1)Н2,“

о*2 _4 22

Л п_1 т_1 пту ит

С08 т/2Н2 81п п/1 Н1 С08 т1'2Н2 81п п^ Н X

. тН2 . пН1 2Н2 ^ (А3 /3) .

X 81п-281п--1 2 т 3-/3/™

9 9 2^2

2 2 л п_1 Уп°п

пН

81п п/1 Н1 81п ТО'1 Н1 81п 2 1 +

+ &

^1 * * тН 2 / *

—С08 т/2Н2 С08 т12Н2 81п —р 1/1Н1, 1^1 , т 2 1_ \

13/3 I Л4 т_1 т

I т_1

-р (( Н1,(11 + 1)Н1,АИ

л

1 ( Нъ 11Н1) д° (1 H1, (11 + 1Н1

х

х

I Н2 ТТ * тт .* 1кЬ Л (Н2 тт * тт .* 1кЬ Л р! _И_, Н212 - Н 2 /2,~! + д Н 212 - Н 2 /2,~! +

I Н2 тт * тт * 1кЬ Л (Н2 тт * тт .* 1кЬ

+ р! “2“, Н212 + Н2/2, “к” I + дI “2“, Н212 + Н2/2^_Л"

2Н 2а2

л

р! /1Н1,11Н1, -л 1 - р ! /1Н1, (11+1) Н1,к л+

, .*„ . „ 1ка Л ( .* .. 1Ч 1ка

+д! /1H1,11Н1^_^ I-дI /1Н1,(11+ 1)Н1^_л_

о*3 _4 22

/пт (к3/3) • ■* ^ • ■*

Л п_1 т_1 пту пт

81п п/1 Н1 81п т/2 Н2 81п п11 Н1 81п т1'2 Н2 х

. пН1 . тН2 „

X 81п-------— 81п-------— + О;

8Ь2 “ 1 . * . * . пН1

2 _ БШ п/1 Н1 81п п11 Н1 81п------------------- X

2 2 13/3 I л4 п ^ 1 1 1 2

я п_1

р (ННn, іПНП, Ап ) р (ННп, (іп +і)НП, П '0 (./пНn, іпНп ) у0 (пНп, (іп +і)Нп

х

х

І Ні ТТ * тт .* іка \ (Ні тт * тт .* іка \

р\ —,Нііі _Нііі-’— І+у\“п^Нііі _Нііі,~ І+

(Н1 тт * тт .* 1ка Л (Н1 тт * тт .* 1ка

+р! —, Н111 + Н1Л ,--------I + дI —, Н111 + Н1/1,------

| 2 л 2 л

Здесь 81-3/3 - символ Кронекера.

Для вторых производных в точке коллокации имеем:

п/пт (й3-/'3) _,*

аіі = -т ЕЕ-

=і т=і тУп

пН

008 піі Ні 008 піі Ні 8ІП 2 і 8ІП тіпНп х

* . тНп „ 8а ^ і . * . * . тНп

х 8іп тіпНп 8іп-----— - 5і і — Е — 8іп тіпНп 8іп тіпН п 8іп--------— х

п зз —з т п

л

т=і

ё(Ніі*,Ні(іі + і); Ат )-а(Нііі*,Нііі; Аи

аП = 8 ^ ^ т/пт (Из ./*)________,-*

апп =_72 ЕЕ--------------“

Ь п=і т=і пу пт

тН

008 тіпНп 008 ті*Нп 8Іп—2 8Іп піі Ні х

х 8Ь ^ і . * * . пНі

_ 5ізіз “з Е “ 81п піі Ні81П піі Ні81П9 х

л і п

п=і

аіп = -Ь ЕЕ

/пт (ИзУз ) • ,„,*

аЬ ^“і ^ Vп

п=і т=і їпт

х008 тіп Нп 8ІП

пН

8ІП піі Ні 008 піі Ні 8ІП 2 і 8ІП ті'п Нп х

ізЛ П,

л Ь

Е 8ІП тіпНп 008 тіп Нп 8ІП

. тНп

т=і

х

’(Ні(і , Ні(іі + і); Ат )_5 (Ні./і , Нііі; Ай

а2і (іі, іп, Л, іп) = аіп(Н, іП, іі, іп) •

Функции й(х, у; А) и 5(х, у; А) были определены выше. После суммирования медленно сходящихся рядов получаем экспоненциально сходящиеся ряды.

бз

Результаты расчетов решения объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации

На рис. 1, 2 представлены результаты расчетов решения объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации.

□ 0,495-0,5

□ 0,49-0,495

□ 0,485-0,49

□ 0,48-0,485

□ 0,475-0,48

□ 0,47-0,475

□ 0,465-0,47

□ 0,46-0,465

□ 0,455-0,46

□ 0,45-0,455

Рис. 1 Модуль компоненты |£3| в сечении Х3 = 4,1 (время на вычисление коэффициентов матрицы при т = 9 : 2 ч 58 мин 56 с на 100 процессорах. Время на решение СЛАУ: 24 с на восьми процессорах)

■ 0 495-0,5

□ 0 49-0,495

□ 0 485-0,49

■ 0 48-0,485

□ 0 475-0,48

■ 0 47-0,475

□ 0 465-0,47

□ 0 46-0,465

■ 0 455-0,46

□ 0 45-0,455

Рис. 2 Модуль компоненты |£3| в сечении х3 = 0,6 (время на вычисление коэффициентов матрицы при т = 10: 5 ч 22 мин 32 с на 100 процессорах. Время на решение СЛАУ: 30 с на восьми процессорах)

Расчет проводился при значениях параметров: a = 1, b = 1, c = 1, a¡ = 0, b = 0, c = 0, a2 = 1, b2 = 1, c2 = 1, ko = 1. Суммировалось 500 членов во всех рядах. Выбиралось E° (x) = (0,0,1). Расчеты показывают высокую эффективность предложенного метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения и необходимость применения суперкомпьютеров. Расчеты выполнялись на суперкомпьютере СКИФ-ГРИД полигона Т-60 «Чебышев» в НИВЦ МГУ им. М. В. Ломоносова.

Результаты расчетов для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериала

Будем рассматривать обратную краевую задачу для определения эффективной диэлектрической проницаемости образца наноматериала, расположенного в волноводе. Рассмотрим изотропный случай и будем считать, что ê(x ) = е, где е - неизвестная константа (эффективная диэлектрическая проницаемость) образца. Предположим, что я/a < k0 < я/b . В этом случае в вол-

(2)

новоде может распространяться только одна мода, потому что Im у1 = 0,

Y(2) = kg -я2/a2 > 0 и Im yP )> 0 для всех p, j за исключением p = 1 и j = 2 . Мы также предполагаем, что

170 ¡ \ /((+)■ я • rex1 _iy(2)x3

E (x) = ^2A '/mi^-sin— e n 3.

a a

Здесь A(+) - (известная) амплитуда распространяющейся волны. Мы предполагаем, что коэффициент Q+) известен из эксперимента. Таким обра-

зом, имеем

где

е C

ÏÏ-,=(ËÔ’ <12)

/яю^Ую - A^

С =-----^(13)

ко

{ = ^ е“^3, (14)

а

скобки обозначают скалярное произведение в пространстве Х2 (2):

(Е,f ) = |Е(уЩу)ёу . (15)

2

Расчет производим по итерационной формуле:

En+, = En —

-^-{(Еи, f )(еи - E0 )-C (AoEn )} . <16)

В качестве начального приближения выбираем Е0 = Е0. На рис. 3-6 представлены результаты расчетов эффективной диэлектрической проницаемости в зависимости от величины измеренного коэффициента прохождения для различных образцов, а также анализ сходимости итерационного процесса.

Рис. 3 Зависимость погрешности расчета электрического поля Д=шах |Еет+1 -Еп| от количества итераций п в формуле (16) при значениях параметров: А+) = 1,

01(+) = 0,99, а = 2, Ь = 1, с = 2, а1 = 0, Ь = 0, С1 = 0, а2 = 2, ¿2 = 1, с2 = 2, £0 = 2,5

Рис. 4 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости

— от величины измеренного коэффициента прохождения 01(+) е0

при значениях параметров: А(+) = 1, а = 2, Ь = 1, с = 2, а1 = 0,

Ь = 0,25, С1 = 0,5, а2 = 1, ¿2 = 0,75 , С2 = 1,5, £9 = 2,5

1.14 и 1,12 -

1,1 -1,08 -■

1,06 -

1.04 -1,02 -

1 -0,98 -0,96 -0,94 -

0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 Рис. 5 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости

— от величины измеренного коэффициента прохождения q1+)

е0

при значениях параметров: A+) = 1, а = 2, b = 1, с = 2, q = 0,5, by = 0,25, ci = 0,5, а2 = 1,5, b2 = 0,75, С2 = 1,5, ko = 2,5

1,045 1,04 1,035 1,03 1,025 1,02

1.015 1,01

1.005 1

0,995

0,86 0,87 0,88 0,89 0,9 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99

Рис. 6 Зависимость относительной эффективной диэлектрической проницаемости

— от величины измеренного коэффициента прохождения q1+)

е0

при значениях параметров: A ^+) = 1, а = 2, b = 1, с = 2, а1 = 0,

b1 = 0 , С1 = 0 , а2 = 2, b2 = 1, С2 = 2, k0 = 2,5

Результаты, представленные на рис. 3, показывают высокую скорость сходимости итерационного процесса. Графики, представленные на рис. 4-6, иллюстрируют возможность расчета относительной эффективной диэлектрической проницаемости материала при различном положении и размерах образца внутри волновода.

Список литературы

1. Shestopalov, Yu. V. Volume Singular Integral Equations Method for Determination of Effective Permittivity of Meta- and Nanomaterials / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2008). - Cambridge, USA, 2008. - P. 291-292.

2. Shestopalov, Yu. V. Development of Mathematical Methods for Reconstructing Complex Permittivity of a Scatterer in a Waveguide / Yu. V. Shestopalov, Yu. G. Smirnov, V. V. Yakovlev // Proceedings of 5th International Workshop on Electromagnetic Wave Scattering, October 22-25. - Antalya, Turkey, 2008.

3. Smirnov, Yu. G. Method of Volume Singular Integral Equation for Determination of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide / Yu. G. Smirnov // Proceedings of Progsess in Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2009). - M., 2009.

4. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и Связь, 1998.

5. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

6. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 2-10.

7. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 11-24.

8. Smirnov, Yu. G. Inverse Boundary Value Problem for Determination of Permittivity of Dielectric Body in a Waveguide Using the Method of Volume Singular Integral Equation / Yu. G. Smirnov // IEEJ Transactions on Fundamentals and Materials. - 2009. -V. 129. - № 10. - Р. 675-680.

9. Васюнин, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. -С. 68-78.

10. Ильинский, А. С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. - М. : Радиотехника, 1996.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

E-mail: [email protected]

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

УДК 517.9 Медведик, М. Ю.

Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 4 (12). - С. 54-69.

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University