Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9; 517.958

Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов

ЧИСЛЕННОЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле в форме параллелепипеда, расположенном в прямоугольном волноводе. Получено аналитическое решение уравнений Максвелла для случая заполненной секции волновода. Представлены результаты численных расчетов решения интегродифференциального уравнения методом коллокации.

Ключевые слова: электромагнитная задача дифракции, аналитическое решение задачи дифракции, метод коллокаций.

Abstract. Electromagnetic diffraction problem on a dielectric body in a rectangular waveguide is considered. In the case of filled waveguide’s section the analytical solution of Maxwell equations is obtained. Numerical results for the solution of inte-gro-differential equation by collocation method are presented.

Keywords: electromagnetic diffraction problem, analytical solution of diffraction problem, collocation method.

Введение

Актуальной задачей нанотехнологий и наноэлектроники является определение диэлектрических и магнитных параметров нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур. Данную задачу приходится решать с помощью методов математического моделирования, так как она не может быть решена экспериментально. При этом необходимо выполнять большой объем вычислений, что требует больших временных затрат даже на самых современных суперкомпьютерах. Известные пакеты прикладных программ (Ansis, Quikwave и т.д.) не позволяют получить удовлетворительных по точности результатов.

В настоящей статье предлагается аналитическое решение уравнений Максвелла для случая заполнения секции волновода. Также приводятся результаты численных расчетов решения интегродифференциального уравнения методом коллокации.

1. Постановка задачи и численный метод

Пусть в декартовой системе координат Р = {х :0 < xi < a,0 < x2 < b, —го < X3 < roj - волновод с идеально проводящей поверхностью дР . В волноводе расположено объемное тело Q (Q с Р - область), хаpактеpизующееся постоянной магнитной проницаемостью ^о и положительной 3 X 3 -матрицей-функцией (тензором) диэлектрической проницаемости s (х). Компоненты s(х) являются ограниченными функциями в области Q , sе Lro (Q), а также 8—1 е Lro(Q).

Требуется определить электромагнитное поле E, H е L2 loc (P), возбу-

—ifflt

ждаемое в волноводе сторонним полем с временной зависимостью вида e [1-3]. Источник стороннего поля - электрический ток j0 е L2 loc (P). В области P с R стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Решение уравнений Максвелла

rot H = -irnsE + jE, rotE = irnjioH

(i)

в совокупности с условиями на бесконечности и краевыми условиями, описанными в [4, 5], сводится к решению интегродифференциального уравнения

E = E( +|graddiv+ k( ) Ge — -1 Edy .

q v e°

Q

(2)

Компоненты диагонального тензора Грина GE имеют вид

gE=Or II

nn . nm nn . nm

, , -cos-----xisin-x2cos yisin-------------У2

abn=0m=i У nm (i + 50n ) a b a b

GE=% II

n=i m=0

. nn nm . nn nm

----- --------sin—xi cos-x2 sin—y cos------------У2

уnm (i ^ 50m ) a b a b

з 2 e УзІ . nn . nm . nn . nm

Ge =—II---------sin—xisin—x2sin—yisin—У2 .

abn=i m=i Ynm a b a b

В этих выражениях уnm =

(з)

(4)

(5)

nn ^2 (nm ^2 2

— I +1-----I — ко , при этом ветвь квад-

a ) I b )

ратного корня выбирается так, чтобы 1т упт > 0 , 8пт - символ Кронекера. Предполагая, что тензор диэлектрической проницаемости тела г (х)

Л

удовлетворяет условиям

\

, обратим в Q ,

six!—j

ео

I - единичный тензор, и, вводя обозначения

Kx) -1

ч-i

Л

%=

1x1 -1

-i

є0

ґ:

, J :=

ixi -I

e0

e0

E

L^(Q), где

переходим к следующему уравнению:

АЗ = У (х) - к01<5е (х,У) J(у)у -grаddiv|<5Е (х,у)3(у)с!у = Е0 (х) .(6)

е е

Применим метод коллокации для решения уравнения (6). Представим его в виде системы трех скалярных уравнений:

3

I

г=1 е е

Будем искать компоненты приближенного решения J в виде

I^ (х)-к% |С(х,.у)/(у)фа1ух |С(х,у)(у)у = Е01 (х), / = 1,2,3.

7=1 п 1 П

МММ

-11 = I ак/к (х) -12 = I «2 Л2 (х) ^3 = I «к/к3 (х)

к=1

к=1

к=1

где /к7 - базисные функции. Построим базисные функции /к . Будем считать, что е - параллелепипед: е = {х: < х1 < й2, Ь < х2 < Ь2, с < хз < С2 } . Разо-

бьем тело е на элементарные параллелепипеды:

Пк/от = {х : х1,к < х1 < х1,к+1, х2,1 < х2 < х2,1+1, х3,ш < х3 < х3,ш+1} ;

а2 - а1 1 7 Ь2 - Ь1 , С2 - с

х1,к = а1 + —----1 к, х2, / = Ь1 + —-11, х3, ш = С1 + —--1 ш,

п п п

где к, /, ш = 0,..., п-1.

Будем также считать, что шаг по каждой координате постоянен: Ь1 :=| х7 к - х-1 к-11 . Наряду с обычной нумерацией нам удобно будет ввести

трехиндексную нумерацию базисных функций. Определим /1(/ш (/ = 1, 2, 3):

г! = I1, х ^ Пк/ш,

1к1ш = 1 _

[°, х^ Пк/ш.

Расширенную матрицу для нахождения неизвестных коэффициентов

12 3

«к,«к,«к удобно представить в блочной форме:

1а А12 А13 вЛ

А21 А22 А23 В2

у А31 А32 А33 В3 )

Элементы данной матрицы определяются соотношением

в4=Е0к ();

4/ = ^и/! ()-8к/ко | о4 (х/. у)/! (у Ку -;г-1 (л,-, у)/' (у )л,

е хк е х/

где координаты точек коллокации имеют вид

х/ =(х/1,х/-2,х/-3 ); х,1 ={/1 + х/'2 = (2 + х/3 = (/3 + 1/2))

к, / = 1,2,3; /, / = 1, ..., N.

Далее будет получено аналитическое решение уравнений (1), а также представлены результаты численных расчетов для метода коллокации.

2. Аналитическое решение в частном случае для задачи дифракции

Пусть тело е представляет собой секцию волновода: е = { х: 0 < х1 < а, 0 < х2 < Ь, 0 < х3 < с} (рис 1).

II

III

~7> Є0 є Є0

>

X3

Рис. 1

Будем предполагать, что размеры волновода удовлетворяют условию

п , п

- < k0 < -, a b

при котором распространяется только одна волна в волноводе [1].

Рассмотрим поведение поля внутри тела. Предположим, что падающее поле имеет вид

E = A sin ^j e г^Хз e2 .

Тогда в области I (Х3 е (-^,0)) полное поле (как сумма падающей и отраженной волн) имеет представление

E = sin

Ae-i^lx3 + Beiylx3

e2 ,

(7)

„2

где Yl = A k0 -■nт, Y =

k 2 -n2

k a2.

В области II (X3 є (0, c)) поле имеет вид

E = sin ^ ^1 (-iYx3 + DeiYx3

e 2.

(8)

В области III (X3 є (c, +го)) поле имеет представление

3 e2 .

E = sin I nXl 1 Fe iYlX3 e2 .

(9)

На границе областей I и II, а также на границе областей II и III должны выполняться условия сопряжения [7]:

[ Е2 і, =о =[ Е2 ^ =с = 0;

0

c

|Hi1, -о =|н11,-c = 0 «

1 Е і 1 Й? і

_ dx3 _ 3 = О 1 _ dx3 _ x3 =c

= О,

где E = E2e2 •

Для коэффициентов A, B, C, D и F получаем уравнения при X3 = 0 :

J A + B = C + D,

Jyi (B - A) = Y(D - C),

откуда находим

D =

C =

і v 1(

A в B в-^(B - A) Y

A в B-^(B - A) Y

При x, = c :

Fe-i'|lc = Се-ус + ,

- F У1е ^ = у(-Се-г^ + Вг^).

Коэффициент А известен, для коэффициентов В, С, В и F получаем следующие формулы:

B = 2iA

sin (yc )

( (

\ -Yl Л 2 e-iYc - ( Yi ' 1 в^1

V Y у V Y У

eiYc

C=і

1 вїі

+ в

V V І У

1 —

v Y /У

D = 1 і

в B

( yl ^ 1 в^1

v Y /у

і AYie'

iYic

1 -І1 і e-iyc -11 в^1 і eiyc

Y У V Y

. (10)

^j(Ce“iYx3 в DeiYx3

Покажем, что поле E = sin|—- |(e ''"3 + De’r'3 )e2 с найденными

выше значениями коэффициентов С и D удовлетворяет уравнению (2).

Имеем

Q

Обозначим

l'

V Є0 У

(

- 1

е0

I j ge Еі dy

Q

W - j GE Еі dy . Q

Тогда

a b c

W = —1— jdyi jdy2 jdy3 (Ce ( в DeiYy3 )n2 j1• e Yi°x3 y3 sin=

abYw О О О a a

— jdy3 (Ce~iYy3 вDeiYy3 )• ^^ІОІx3-y^lsin^ =

a

. nxi

sin—-

2Y^

x

x

з

є-іоx3 j ^Ce~iYy3 в DeiYy3 j • e^dy3 в eY™x3 j (^з в De™ ) • e"^dy3

Обозначим

x3

з

а = j (Ce-^ в DeiYy3) • e^y3dy3 ; О c

P= j (iYy3 в Deiyy3 j • e-^3dy3 .

Имеем

. nxi sin—L

W =-------—I аe_Yl0x3 в ReY^x3

2Y^

-( Yl0x3 в Pe^x3).

dW

Так как grad------= О, получаем

dx2

(grad d^ kg ) (We2) = grad-----в kg We2 = kg We2.

V > dx2

Вычислим а и P:

P= j(-Yy3 вDeiYy3 J.e-^dy3 = j|Ce(-iY-Yl°)з вDeC'Y-Yl0)з

e(-iY-Ylо )c e(iY-Ylо )c e(-iY-Ylо )x3 MYfw )x3

= C---------------в D-------------в C----------------в D--------------

iY в Yd

-/ y в Yd

а = j (Ce-iYy3 в DeiYy3 ) єУy3dy3 =

О

e(-iYвYlо )x3 e(iYвYlо )x3 l l

= C---------------в D-----------------C-------1------D- 1

—Y в Yd iY в Yd —Y в Yd iYBYlо

3

Зная, что Ую = *'71, находим

“Ую хз

ае

+ Ре7юхз = (Се-*7хз + Ве*7хз ^ 271 +

* (72 “72)

(

+ е

-*71хз

С

В

\

+е

*71хз

* (7-71) * (7 + 71)

(7-71) '

( е-*(7+71)с е

-С—------- + В

\

* (7 + 71) * (7-71)

Так как

Е - Е0 =7Се"г'7хз + Ве*7хз) 81И) - Ае-,'7х 81И^, V 1а а

остается проверить, что

- Ае-*7х =-к0- (—-1 2*711 £0

+е

-*71хз

е*71хз

С

С

,-*(7+71 )с

+ В-

*(7-71 )с

-* (7 + 71) * (7-71)

В

* (7-71) * (7 + 71)

Последнее тождество равносильно двум следующим:

^2 (

А = ■

271

V

С

±-1

чео

-*(7+71 )с

С

В

(7-71) (7 + 71)

е*(7-71)с

=В

(7 + 71) (7-71) '

Покажем, что верно (11):

к0

271

2

^-1

£0

V

С

В

7-71 71 +7

2 = _к0_ ( £ Л -1 11А /■ 1 + 71 ]

271 V £0 У 2 V 7 У

IА (1 ^' 1 71) -15 ( 1+ 11'

2 V 7 у (7 + 2 V 7 у

1

(

(7-71) 2

1

1 -

71

(7-71)

(7 + 71)

Покажем также, что выполняется (12):

Се-*7с Ве*7с

2

= к0

л-1Л

£0

V

(11)

(12)

У

(72 -72)

= А.

7 + 71 7-71

1 A [l+Ц-л + B [l-а.л e-lYc 1 [ l-* ^ + B [l+Ц-л

1 Y у Y у 1 Y у 1 Y у

Лс

Y + Yl

Y-Yl

Ae-lYc + Be-lYc Y Yl = AelYc + BelYc Y + Yl

Y Y(Y +Yl) Y Y(Y-Yl)

откуда

B = 2lA sin( Yc)-

l-4

,-l'Yc

l-Yl

& і N fl+^ 1

у 1 Y

/ \

Таким образом, E = sin —1 (Ce-^3 + De ^3 le2 является решением

V a у

уравнений Максвелла. Отсюда следует, что формулы (7)-(9) и (10) дают аналитическое решение поставленной задачи.

3. Сравнение численного и аналитического решений

На рис. 2-4 представлено сравнение аналитического и численного решений по слоям для диэлектрического при n = 7 . Слева приведено аналитическое решения, справа - численное решение. Размеры волновода и электродинамические параметры: a = 2, b = 1, c = 2, 8 = 1,5, ko = 2,5.

□ 0-0,05 □ 0,05-0,1 □ 0,1-0,15 □ 0,15-0,2

□ 0,2-0,25 □ 0,25-0,3 □ 0,3-0,35 □ 0,35-0,4

Рис. 2. Первый слой, Х3 = 0,0. Максимум модуля разности поля на слое равен 0,00783

Расчеты показывают хорошее согласие численного решения с аналитическими результатами.

Рис. 3. Четвертый слой, Х3 = 1,0 . Максимум модуля разности поля на слое равен 0,00447

Рис. 4. Седьмой слой, Х3 = 2,0 . Максимум модуля разности поля на слое равен 0,00196

Список литературы

1. Баскаков, С. И. Электродинамика и распространение радиоволн / С. И. Баскаков. - М. : Высш. шк., 1992.

2. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

3. Смирнов, Ю. Г. Применение ГРИД-технологий для решения нелинейного объемного сингулярного интегрального уравнения для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия

высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2008. - № 3. - С. 2-10.

4. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 11-24.

5. Васюнин, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. -С. 68-78.

6. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи для определения эффективной диэлектрической проницаемости наноматериалов / Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 11-24.

7. Вайнштейн, Л. А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - М. : Радио и связь, 1988.

Гурина Елена Евгеньевна

аспирант, Пензенский государственный

университет

E-mail: [email protected]

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

E-mail: [email protected]

Gurina Elena Evgenyevna Postgraduate student,

Penza state university

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

Smirnov Yury Gennadyevich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

УДК 517.9; 517.958 Гурина, Е. Е.

Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2010. - № 2 (14). - С. 44-53.