CC BY
28
11. Проскуряков Н.М., Пермяков P.C., Черников А.К. Физико-механические свойства соляных пород. -Л.: Недра, 1973.
12. Малюков В.П., Федоров Б.H., Шафаренко Е.М. Натурные исследования устойчивости массива каменной соли в окрестности подземного резервуара.
Международная конференция по подземному хранению газа. М., 1995, Секция С, ч.1, с.93-95.
13. Смирнов В.И. Газ из хранилища всегда выручит. Газовая промышленность, №10, 2003, с. 14-15.
14. Подземные хранилища газа, нефти и продуктов их переработки. СП 34-106-98, М., 1999.
__ Коротко об авторах
Малюков В.П. - кандидат технических наук, ООО «Подземгазпром».
------------------------------------ ДИССЕРТАЦИИ
ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
Автор Название работы Специальность Ученая степень
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ им. Г. В. ПЛЕХАНОВА
МОЗЕР Сергей Петрович Обоснование рациональных параметров технологии разработки каменной соли на месторождениях купольного типа 25.00.22 к.т.н.
ПЕТРОВ Денис Сергеевич Метод количественной биоиндикационной оценки воздействия горно-промышленного предприятия на речную экосистему 25.00.36 к.т.н
СИДОРЕНКО Андрей Александрович Обоснование параметров системы разработки с подэтажной гидроотбойкой 25.00.22 к.т.н.
--------------------------------------- © М.Г. Менжулин, Н.В. Соколова,
А.Н. Шишов, 2004
УДК 622.02: 531:538
М.Г. Менжулин, Н.В. Соколова, А.Н. Шишов ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ
СКАЛЬНЫХ ПОРОД ВЧ-ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ
Семинар № 3
Среди разнообразных процессов, протекающих при воздействии ВЧ-электромагнитных полей на горную породу, следует выделить основные из них: поглощение породой ВЧ-энергии и формирование источников тепла, нагрев горной породы и развитие в ней термоупругих напряжений, которые приводят к развитию трещиноватости, разупрочнению и разрушению породы. Теоретическое исследование комплекса этих процессов традиционными аналитическими методами представляет собой весьма сложную задачу. В настоящей работе для исследования перечисленных процессов применялись теоретические и экспериментальные методы. В частности, формирование температурных полей и полей напряжений исследовалось на основании вычислительного метода [1].
Разрабатываемый подход вычислительного эксперимента заключается в том, что при некотором воздействии используется физико-математическая модель. В отличие от физической среды состояние физико-математической модели может быть проконтролировано, оценено и изменено на любой временной стадии процесса в любой пространственной точке.
При конкретной реализации подхода вычислительного эксперимента необходимо учитывать ряд факторов, в значительной степени влияющих на проведение работ на каждой стадии. Среди них отметим степень разработанности численных методов, используемых при решении задач, допускающих расщепление по физическим процессам; возможности аналитических методов по получению результатов в предельных и частных случаях; наличие теоретических решений и экспериментальных результатов в частных случаях; наличие экспериментальных исходных данных по пределам изменения физических величин и т. д.
Рассматривается разрушение горной породы под воздействием ВЧ-электромагнитного поля, создаваемого в общем случае произвольной системой электродов в блоке горной породы произвольной конфигурации, в том числе и в безграничной среде, в широком диапазоне изменений свойств горной породы. При переходе к разработке вычислительного алгоритма это означает, что для проведения вычислительного эксперимента в полном объеме алгоритм и комплекс программ должны допускать постановку разнообразных граничных условий.
В соответствии с принципом расщепления по физическим процессам [2] алгоритм решения общей задачи естественным образом расщепляется на два этапа.
1. Стационарный этап включает в себя задачи нахождения в блоке скальной породы потенциала ВЧ-электрического поля ф , создаваемого системой электродов, и нахождения поля тепловых источников q. Следуя [2], считаем, что ВЧ-электрическое поле и создаваемое им поле тепловых источников стационарны, устанавливаются мгновенно и не зависят от остальных физических процессов нагрева породы, развития термоупругих напряжений и разрушения, что и является условием выделения этапа.
2. Нестационарный этап включает в себя решение задач нагрева скальной породы найденными тепловыми источниками, развития в породе термоупругих напряжений, а также трещинообразова-ния, разрушения и разупрочнения породы под воздействием термоупругих напряжений. Учитывая, что в нашем случае может быть рассмотрена несвязная квазистатическая задача термоупругости, и предполагая, что процессы трещинообразования и разрушения не искажают температурное поле и соответствующее ему поле термоупругих напряжений, нестационарный этап распадается, соответственно, на три подэтапа. При этом подэтап нахождения полей термоупругих напряжений не содержит время в качестве непосредственного аргумента, а подэтапы нахождения температурного поля и разрушения непосредственно зависят от времени. При этом если величина допустимого временного шага на подэтапе нахождения температурного поля определяется методом решения уравнения этапа, то на величину временного шага Дt R при расчете процессов разрушения накладываются физические ограничения, таким образом, величина временного шага становится определяющей при расчете нестационарного этапа в целом.
Рис. 1. Схема расчетной области в задаче о двух электродах: 4эп/1=0,4; сетка 15x15x10 ячеек
В соответствии с принципом расщепления по физическим процессам численное решение уравнений каждого из этапов и подэтапов может быть проведено своим методом, независимо от других.
Расчет потенциала ВЧ-электрического поля и поля тепловых источников применительно к данной задаче был выполнен численным методом. Расхождение результатов расчета ф и q с данными аналитического решения, выполненного Рикенг-лазом Л.Э., не превышает 3% в области между электродами, что свидетельствует о работоспособности разностного метода [2].
1. Решение задачи развития макротрещин в блоке скальной породы системой двух стержневых ВЧ-электродов. На основе теоретических решений общей задачи ВЧ-контактно-го способа разрушения применительно к отбойке и дроблению негабарита с использованием цилиндрических электродов, проводимую как составная часть программы "Недра России”, выполненую совместно с ИГД им. А. А. Скочинского и направленную на изыскание новых технологий в скальных горных породах на основе использования нетрадиционных способов разрушения, решалась задача о разрушении блока системой электродов, размещенных в шпурах. Два электрода длиной 1=1, с отношением диаметра к длине 4,л/1=0,4, располагаются в шпурах на расстоянии 2а=2 в гранитном блоке, имеющем размеры А=3, Н=3, В=2. К электродам приложено ВЧ-напряжение + "У0 . Вследствие симметрии задачи расчетная область составит 1/4 блока (рис. 1). Расчетную область разбиваем сеткой на кубические ячейки Д х= Д у= Д z=0,2l, тогда при А^=15, Л^=15, Л^=10 общее число ячеек составит 2250. Учитывая выбранные размеры, ячейки, занимаемые электродом, будут 1=5,6; ]=11 + 15; к=1. В них задаются граничные условия, обеспечивающие ф =1 на границе электрода ф 1+1=2- ф I, где I - номер расчетной ячейки, 1+1 - номер примыкающей к ней фиктивной ячейки по соответствующей координате. Это обеспечивает автоматическое вычисление производных потенциала при расчете поля тепловых источников.
Расчет полей температур и термоупругих напряжений осуществляется “сквозным” счетом через пространственные ячейки поля без выделения границ электрода и специальной постановки на них граничных условий. Граничные условия, таким образом, ставятся только на гранях блока по описанной выше схеме. Такая постановка задачи с точки зрения разностного счета обладает сглаживающим эффектом, что обеспечивает устойчивый счет в окрестности границ электрода.
2. Расчет поля температур в приэлектродной зоне. Процесс нагрева блока горной породы внутренними источниками тепла, возникающими при поглощении породой энергии электрического поля, описывается уравнением нестационарной теплопроводности с граничными условиями отсутствия теплообмена на границах блока.
дТ 2 ,
Уравнение теплопроводности ср-------= а (
д 2т ,2
д 2т 2
д 2т 2
),
(1)
& дх2 8у2 дz'
где с, р, а являются постоянными величинами, можно привести к безразмерному виду с помощью
х = х / х 0, у = У / у 0, 2 = 2 / го , ^ = q/qo,
q0 - объемный
использования переменных: 1 = 1 / 10
Т = Т / Т0 , а = а / а 0,
|2
ИСТОЧНИК
Чо = 0/е'^5|Е\ = о/ь'Щ5^02 '
электрическая проницаемость породы, tqS
Г , где Є 0 - диэлектрическая постоянная, Є
ди-
тангенс угла диэлектрических потерь, Ї - частота, Е ■
напряженность электрического поля, V - напряжение; Т0 - температура, То — ЧогО / X , гДе X -
теплопроводность породы; г0 - радиус электрода; ^ - время; описывается формулой /0 = С г20 / X ,
где С - объемная теплоемкость породы; С 0 - напряжение; описывается формулой
о о Т ЕТ(1/ — V) , где Е - модуль Юнга; (X т - коэффициент линейного расширения поро-
ды и V - коэффициент Пуассона. В дальнейшем, для упрощения записи черточки над переменными опускаются.
В качестве граничных условий принимается отсутствие теплообмена на границах блока:
8Т, ч 5Т, ч ЭТ/ ч (2)
—(А, у,2,1) = — (х,Н,г,1) = — (х, У, В,1) = 0 (2)
Т(-0, у, г, 1)= Т(+0, у, г, 1) (3)
т(х,-0, г, 1)= Т(х, +0, г, 1) (4)
т(х, у,-0, 1)= т(х, у, +0, 1) (5)
и начальное условие Т(х,у,г,0)=0 (6)
Разностная схема [2], примененная к уравнению нестационарной теплопроводности, примет вид:
Т% = 2. (1 + ^2 +^2) • + РТХк + ] + Т"Дк + /322Т1 ,к+1 + д] + А -2], (7)
где рх = Ау / Ах, Рг = Ду / Аг; Д1 / Ау2 = 1/2(1 + Р2 + РЪ>' и=1, N - индекс текущего псевдо-временного слоя; г, ], к - индексы текущего временного слоя, указывающие номер счетной ячейки по соответствующей координате х, у, г.
Будем использовать прямоугольные расчетные области. Тогда для постановки граничных условий на границах расчетной области вводятся примыкающие к каждой из границ слои фиктивных ячеек, в которых задаются значения потенциала, обеспечивающие выполнение граничных условий. В этом случае индексы изменяются в следующих пределах: г £[0, N+1]; ] £[0, N+1]; к £[0, N+1]; где Nx, ^, N - количество ячеек в расчетной области соответственно вдоль осей х, у, г.
Этот вид разностной схемы получен для максимально возможного временного шага, обеспечивающего устойчивость схемы [2]:
Ду2
=----------у-----— (8)
2(1+ р X + Р 2)
и не может считаться удовлетворительным в общем контексте задачи о разрушении. Решение задачи нахождения поля температур является первым подэтапом нестационарного этапа, величину временного шага Д^ на котором задает подэтап разрушение породы. При этом Д1 Ф Д^. Полагаем: Д/д = т№ + №', где т=0, 1, 2,..., - число максимальных тепловых шагов на одном
шаге разрушения такое, что 0 < Д1 < Д1/. Для проведения расчетов разностная схема (7) должна быть представлена в виде с явным выражением для Д1:
Т^П+1 _____ 'Т’
Тг,],к - Тг],к
1 - 2( 1 +рX -Р2>Л 2
Д/
V
д/
+ —• (10)
Лу2
•[р 2т ]к+р2т+тг”+1, к+т:+\,+р 2]+р 2]+ду2 ]
В разностном виде граничные условия (3.2) т (3.5) представляются следующим образом:
'Г'П __ 'Г'П 'Г'П _ 'Г'П 'Г'П _ 'Г'П
_ Т1^,к , ТМх+Ц,к ~ -^х^к, Т1,0,к _ Т1,1,к ,
'Т’П _ ТП '"рП _ '■рП '■рП _ грп /1 1\
Т1,Му+1,к _ %Му,к , Т1^,0 _ Ч^,^ Т1^,№+1 _ Т1^,№ . ( )
Начальное условие (6) будет справедливо лишь на первом из шагов разрушения при ^=0. Начальным распределением температур на каждом из последующих временных шагов разрушения Т°-1+1 при 1=1К0,1+1, где I - номер шага разрушения, будет конечное распределение температур Т*’1 на предыдущем временном шаге разрушения при , то есть с точки зрения температуры общий
алгоритм нестационарного этапа является двухслойным. В итоге начальные условия могут быть
записаны: Т^д = 0, 1 = Т^д (12-13)
Для вычисления поля температур по алгоритму (7), (11 т 13) требуются массив тепловых источников (который был получен в качестве выходного массива задачи расчета потенциала электри-
ческого поля), массив температур предыдущего временного слоя нестационарного этапа и величина временного шага Д1 ^ , получаемая из решения задачи разрушения.
2. Расчет поля термоупругих напряжений в приэлектродной зоне. Разностный метод решения квазистационарной задачи термоупругости. Процесс формирования в блоке скальной породы термоупругих напряжений под воздействием неоднородного температурного поля описывается уравнениями квазистационарного приближения теории термоупругости. Используя уже сформированную выше систему безразмерных переменных, система может быть преобразована к следующему виду:
д2и (д2и дV
дх2 \3у2 &2,
- + л
д 2У 5у2 д ^
&2 +Л
д 2У
д 2У &2,
\дх
/о о N
д ^ д
+
^0Х2
+ (1 -л) + (1 -л)
Г д2и
д 2W
0у2
+ (1 - Л)
02И 02У ■ +
-Я=0
дх
-Я = 0
ду
-*Т=0
дт
(14)
(15)
(16)
где и, У, W - компоненты вектора перемещений, /2ц+ Х, ц Д - параметры Ляме.
Система решается методом установления с помощью разностной схемы Либмана. Для этого в каждое из уравнений системы вводим нестационарные члены: сИ / СИ - в уравнение (14), 8У / - в уравнение (15), 8W / - в уравнение (16). Введение нестационарных членов обес-
печивает устойчивость схемы. В итоге разностная схема строится следующим образом:
и}л = и}к • Ки +1 /(1 + р2 + Р2)>х2 •
(иг
1+1, },к
■и.
1 -1, },к
1) + ц(и,
1,} +1,к
и
1,},к-1
1) + 0,25( 1-п)р х(Уг
■ц^г1)+пр \(иш+1и
п+1
(18)
1+1, },к
- V
+ 0,25( 1-ц)рхр; - Щ_1,},к - 0, 5РХ(Т} - Т_1,},кп+1 )Ау }&
1-1, },к
п
1,}+1,к
п+1) • (Щ,.шлп - К?1,к)
КИ = V:,к ■ Ку +1 / (1 + р2 + Р2) ■ {пР,2 ■ (V} + ^-Г1) +
■V
1,}-1, к
+ Ф2(П„ш + 'к-1п+1) + 0,25(1 - п)рх(и,
- и 1+1,}, к 1—1,}, к
) ■
(и1
1,}+1,к
- и^к) + 0,25( 1-п)р
- Ж ‘ {,] +1,к ¡,}—1,к
) ■ (Жи,к+1п - } ) -
У1 ^.к’ - т^1 )ау
п
+ л(Щ-+1,к + Ж--,к
п+1) + Р 2 (ж, } . к+1
+ Ж .,,к) + 025( 1-л)Р х р /и
п+1
- и
1 +1,}, к 1 -1,}, к
п+1
- V п" ) • (V п
1, }+1,к 1,}-\,к ' ' 1,}, к+1
) • (и}к+1п - и}) + - })
+ 0,25( 1-Л)Р г(¥1
- 0,5Р/Тг,]Л+1п - Т]Л^ )Ду }А/
где Ки = (1 -л)(1 + РТ)/(1 + Рх +РТ),Ку = (1 -л)(1 + РТ)/(1 + Рх +РX),
К№ = (1 -л)(1 + р Т)/(1 +Р х +р Т). (21)
Соотношения между перемещениями, напряжениями и деформациями в этом случае в разностной форме принимают вид:
ехй,к = (И"++ик - И"_+1^к)/ Ах е у^к = (У^и - Уу-и)/ ДУ е ПЙк = ^ - WS_1)/ Ат
Б Й,к = 0,5(У"*к+1 - У1Ц-1)/Ат + 0,5^1* - ^£и) Ау е Пт+йк = 0,5№+1Ьк - wj / Ах + 0,5(и;;];к+1 - и£к _1)Ат V е - (1 - 2у)Т1Л/(1 - 2V)
(22)
(23)
.П+1
'х,^,
.П+1
0У’i’J’k “ 8У’i’J’k +
- П+1 -о — +
итД^,к ьтД^,к т
-П+1
'хдо,
-П+1
'у^.Ь
-П+1
■е- (1 -2у)ТП£/(1 - 2V)
■е - (1 - 2у)ТП£/(1 - 2V)
(24)
.п+1
-П+1
а
П+1
ут
П+1
’i’J’k 8 yТ’i’J’k
.п+1
-п+1
(25)
(26)
^ тХ’i’J’k 8 тхД^,к е -р П+1 +р П+1 +р П+1
х^,к т у^,к т ьт^,к’ где Р х Р т, А1 вычисляются в соответствии с (3).
Граничные условия для квазистационарной задачи термоупругости заданы условиями свободного перемещения граней блока и отсутствием нормальных перемещений в плоскостях симметрии:
ди / дх( А, у, 2) — 0;д¥ / 8х( А, у, 2) — 0;дЖ / 8х( А, у, 2) — 0;
ди / 8у( х,а,2) — 0;д¥ / ду( х,а,2) — 0;дЖ / 8у( х,а,2) — 0; (27)
ди / дх( х,у,В) — 0;д¥ / дх( х,у,В) — 0;дЖ / 8х( х,у,В) — 0.
и(0, у, 2) = 0; V(0, у, 2) = 0; Ж(0, у, 2); и(х,0,2) = 0; V(х,0,2) = 0; Ж(х,0,2); и(х,у,0) = 0; V(х,у,0) = 0; Ж(х,у,0).
В разностном виде эти граничные условия примут вид:
и - -П V — —V ' Ж - -Ж ■
и0 ,},к и1,],к; У 0,},к У1,},к’ П0,],к УУ1,},к’
и - -и V --V ; Ж - -Ж ;
1,0,к и 1,1,к; у 1,0,к УИ,к’ уу 1,0,к УУ1,1,к’
и„},0 —и}!;
= -г,„;
Ж - -Ж
УУ1,}, 0 уу1,}, !■
(29)
ПЫх+1,],к ~ иЫх,],к ; и 1,Щ+1,к _ и1,Ыу,к ; и 1,},N2+1 ~ и 1,},т ;
VNх+1,1,к ~ VNх,],k ; Vi,Ny+1,к ~ Vi,Ny,k ; Vi,j,Nz+l ~ Vi,j,Nz;
Ж - Ж ;
ггт+1,},к угт,},к’
Ж - Ж ;
уу1Му+1,к гг1Му,к’
Ж = Ж
уу1,}, N2 уг1,}, N2-
(30)
Эти граничные условия дополняются граничными условиями по температуре (11). В качестве начальных условий по напряжениям задаются условия отсутствия перемещений в блоке
И0,,к = 0;
Уу,к = 0; ^,к = 0, а по температуре - условия (12) и (13).
Подпрограмма вычислений полей термоупругих напряжений была включена в цепочку программ, осуществляющих расчет всех этапов разрушения по схеме обмена информацией с другими подпрограммами. В качестве выходных данных счета рассмотрено поле максимальных напряжений 01 , поскольку оно является необходимым
Рис. 3. Поле максимального главного напряжения ^ при ^60 с; у=101у, м; х=1&-х, м; 1=0: -1. - =55 МПа;
0.
Рис. 2. Поле температуры при 60 с у= Ю1^, м; х=10-1х, м: 1. N1 = 240°С$ 2/ N2 = 210°С$ 3/ N3 = 180°С$ 4/ Т4= 170°С$ 5/ N5 = 160°С$ 6/ N6 = 150°С при решении задачи о разрушении блока горний
/электрод
^1=0; 1. - С71 = 55 МПа; 2. - СГ1 = 110 МПа; 3. - О" 1 220 МПа
IX 0XYZ по формулам [2].
жжений представлены для момента времени 1=6 рис. м поля температур и термоупругим напряжениям най-где достигаются максимальные растягивающие напря-
■оты электрода. Когда (7 П1ак раст I ^ так раст ] - появ-
юка вглубь. Появившаяся трещина приводит к измене-чет разгрузки на образующую поверхность. Соответст-
венно, после образования этой трещины численный счет прекращается.
Приведение результатов расчета к размерному виду. При определении термоупругих напряжений надо знать в конечном счете распределение температур, что в свою очередь требует знания распределения тепловых источников, а это возможно лишь после нахождения потенциала электрического поля. Для этого рассмотрим случай электрода радиуса гп=0,02 м, к которому приложено напряжение У=10 кВ, частота у=5,28 МГц. Для гранита 6 = 6 и =0,02. Тогда qo=36,5
МВт/м3 и Т0 = 4896°К, Т=Т • Т0 + Тн =440°С. Введем размерную величину напряжений
00 = 2740 МПа при Е=70 ГПа; V =0,25; ат =6 10-6 К'1, тогда размерное главное напряжение при
а = 0,08 равно а = а • а0 =219 МПа.
Таким образом, получено аналитическое решение задачи определения температурного поля и поля напряжений в блоке породы при ВЧ-нагреве двумя цилиндрическими электродами, расположенными в шпурах. При определении полей напряжений использована модель, не учитывающая влияния свободных поверхностей в шпуре.
Полученные численным моделированием картины распределения полей температур и термонапряжений показывают, что магистральная трещина будет развиваться с наружных граней блока и почти на уровне нижнего основания электрода. Второй максимум растягивающих напряжений наблюдается в верхней части блока, где также предполагается развитие магистральной трещины.
3. Расчет динамики разрушения скальной породы. Рассмотрим разрушение как процесс накопления трещин на каждом иерархическом уровне под воздействием механизма роста концентрации трещин и механизма роста длины трещин вследствие концентрации напряжений в их вершинах. При разбиении блока расчетной сеткой необходимо учитывать, что задача разрушения имеет свой внутренний характерный размер - размер структурного элемента, зависящий от свойств и структуры рассматриваемой скальной породы.
Для разрушения среды нет необходимости в раскрытии всех поверхностей структурных элементов: при этом произошло бы полное разделение породы на отдельные минеральные зерна (для технологий селективной дезинтеграции с целью получения чистых минералов). Если средний размер структурного элемента равен С, то его объем составит—^3 и он имеет ~ 6 поверхностей. В единице объема содержится Пс=1/С3 структурных элементов, а в единице объема содержатся микротрещины в количестве п* = 1/(К*3 С3) = П ^ /(6К*3).
Так как для гранита средний размер структурного элемента составляет ~ (0,01 + 0,03) см, в единице объема содержится П ^ =0,2х106 + 6х106 см-3 поверхностей структурных элементов, а критическая концентрация раскрытия поверхностей к полному числу структурных поверхностей составляет (X * = п*/П ^ « 10-3, то есть разрушение породы происходит при (X « 1.
Характерный размер структурного элемента определяет характерные размеры трещин на более высоких иерархических уровнях разрушения в соответствии с выражением 11+1=(К*+1)11=(К*+1)110. В соответствии с принятым критерием разрушения 1+1 > Я**, заключающемся в том, что некоторый объем с характерным размером Я** считается разрушенным, если в нем реализовалась трещиноватость с характерным размером ^ > Я**, естественно выбирать характерный объем из условияЯ** = I¡= (К+1)Ч0. = А х= А у = А т, где 1 - номер иерархического уровня слияния трещин.
С другой стороны, характерный объем, за которым можно следить при численном моделировании, представляет собой счетную ячейку, следовательно, для кубических ячеек Я** =
А х= А у= А т. При решении на данном этапе методической отладки алгоритма ограничиваются оценкой, что число иерархических уровней разрушения, подлежащих рассмотрению, составляет 2 3.
Решение задачи разрушения представляется состоящим из последовательности шагов А1 я , на каждом из которых рассчитываются процессы образования, накопления и слияния микротрещин нулевого уровня с образованием трещин первого уровня, их роста под воздействием механизма концентрации напряжений в вершинах трещин, слияния, с образованием трещин второго и последующих уровней.
Основным механизмом разрушения на нулевом иерархическом уровне является механизм роста концентрации микротрещин, который описывается соотношением [3] (п-п0)/п* =
1/т- Е ехр((и0 -у|а])/ЯТ1)М1, где &} - промежуток времени, в течение которого
3=1 0 11
действует некоторое среднее напряжение а j при средней температуре Ту Это выражение представляет собой основу для построения метода расчета динамики развития трещиноватости и разрушения. При достижении критической концентрации микротрещин будут образовываться трещины первого уровня с характерной длиной 11 = (Я+1)10.
Принимается модель преимущественного их попарного слияния. Количество трещин первого уровня в этом случае будет определяться следующим образом:
Г0
^(1) = ^ (0) при п(0) < п* и при п(0) > п* где п/0) - текущая концентрация микротре-
[0,5(п( 0 - п*)
щин нулевого уровня на временном шаге Д/д .
На первом и последующих иерархических уровнях необходимо учитывать также механизм роста трещин за счет концентрации напряжений в их вершинах. Но такому росту будет подвергаться только часть трещин, у которых напряжения в вершине, описывается определенным соотношением [4]: = 0 (1 + (2 • 1 / Я)1/2 ), где 1 - длина эллиптической трещины; Я - радиус
кривизны в вершине трещины. Для очень острых трещин при а>>Я 0- = 0-0(2 • 1 / Я)1 2. Радиус кривизны трещины в первом приближении может быть принят равным постоянной решетки или радиусу атома (молекулы) а0. Тогда К — (2 • 1 / а0 )1/2 - коэффициент интенсивности напряжений.
Рост трещин за счет концентрации напряжений в вершинах будет выполняться при условии а > ^ , где 1 - предел прочности при растяжении.
I рост I раст \
Скорость роста трещин Стр будем определять в соответствии с известным соотношением [4]: Стр=0,4Ср , где Ср - скорость распространения продольных волн в породе. Тогда длина трещин,
подвергшихся росту на временном шаге , составит: 1(11 = I (11 + 0 4С А/ ., где индексы
^ } _1 ’ р Я}
]' и }-1 отвечают номерам временных шагов, на которых происходит рост трещин. Средняя длина этих трещин в рассматриваемом объеме, необходимая для вычисления величины концентрационного параметра, может быть рассчитана по соотношению:
-|1/3
.По достижении критической концентрации трещин 1-03
1( 1}
ср
уровня происходит их слияние с образованием трещин 1+1^0 иерархического уровня 11+1. Если характерный размер счетной ячейки Я*>11+1, то весь расчет повторяется для трещин следующих уровней, пока не появится трещина 1т > Я* . Появление в счетной ячейке хотя бы одной трещины
уровня 1т > Я* означает разрушение ячейки в целом. За направление распространения такой трещины примем направление действия главных растягивающих напряжений. Такой выбор позволяет на этом иерархическом уровне рассматривать также прорастание образовавшейся трещины в соседние ячейки за счет концентрации напряжения в ее вершине с образованием магистральной
трещины. Величина временного шага выбирается равной минимальному значению долго-
вечности в неразрушенных ячейках и не может превышать времени прорастания трещины на раз-
мер счетной ячейки, при включении в работу механизма разрушения за счет концентрации напряжений: Д/Я = тт\\Д. / (0,4Ср)}.
4. Механизмы развития магистральных трещин. Для методической отладки алгоритма была выбрана модельная задача о прорастании магистральной трещины между двумя шпурами в породе типа гранита. Шпуры радиусом Яши=21 мм располагались на расстоянии с1=10Кшп перпендикулярно расчетной плоскости. Радиус шпура разбивался на 4 счетные ячейки Дх = Ау = Я п = 5,25 мм. При /0=0,146 мм характерному размеру ячейки соответствует трещина
второго иерархического уровня 12=5,25 мм, при этом /1=0,875 мм. По линии шпуров задавалось симметричное, постоянное во времени распределение напряжений ф нормальных линий шпуров. Три рассмотренных варианта распределения напряжений о^ приведены на рис. 4. Расчеты проводились для следующих значений прочностных и термокинетических параметров породы: [ а сж ] =120 МПа, [ СТ раст ] = 10 МПа, V =0,3, Ц,= 105 Дж/моль, у =9,375х10"3 м3/моль, 7=300°К.
Результаты расчета распространения фронта разрушения породы от времени по линии шпуров представлены на рис. 5. В рассматриваемой постановке задачи время установление поля напряжений полагается мгновенным. В связи с этим в случае нагрузки с распределением напряжений по линии, ограниченной расстоянием х=2,25Яш„, происходит зарождение, накопление и слияние микротрещин и трещин первого уровня. В результате образуются трещины второго уровня с характерным размером, равным характерному размеру счетной ячейки. Тем самым достигается разрушение породы в ячейках указанной области. Размер этой области соответствует уровню напряжений, равному пределу прочности на растяжение.
В более удаленных ячейках, где нагрузка падает ниже предела прочности на растяжение, скорость разрушения механизмом роста концентрации микротрещин падает, и начиная с моментов времени 1 и 10-6 с разрушение происходит механизмом прорастания магистральной трещины.
В случае нагрузки с распределением напряжений по кривой 2 (рис. 4) характер разрушения сохраняется (кривая 2 на рис. 5). Поскольку нагружающие напряжения ниже, чем в первом случае, уменьшается размер области, разрушаемой в результате роста концентрации микротрещин, и увеличивается роль механизма магистральной трещины. В этих случаях магистральная трещина прорастает до плоскости симметрии, что обеспечивает разрушение породы между двумя шпурами с образованием магистральной трещины между ними.
Механизм разрушения ростом концентрации микротрещин обеспечивает разрушение породы вплоть до областей, в которых величина максимальных растягивающих напряжений становится равной 0- « 0,7[а ], а механизм роста магистральной трещины до уровня напряжений
Рис. 4. Геометрия модельной задачи и три варианта распределения напряжений О’у по оси между шпурами
Рис. 5. Зависимость расстояния распространения
фронта разрушения от времени для трех вариантов распределения напряжений по оси между шпурами <5 ~ 0,15 ^ а ], то есть в областях, не отве-
чающих критерию максимальных растягивающих напряжении.
Нагрузка с распределением напряжений по кривой 3 (рис. 4) отличается тем, что при х=2,75Яшп напряжения становятся сжимающими. В этом случае разрушение вплоть до уровня нагрузок 0 г 0,7[О ] сохраняет все указанные выше закономерности. Включающийся затем
механизм роста магистральной трещины обеспечивает ее прорастание только лишь до границы области растягивающих напряжений, и разрушения области сжимающих напряжений не происходит даже при временах нагружения, превышающих 103 с (кривая 3 на рис. 5). Отсюда следует, что границу области растягивающих напряжений можно трактовать как границу области, за которую разрушение, начавшееся в области больших растягивающих напряжений, проникнуть не может.
Выводы:
1. Научная значимость исследований состоит в разработке модели развития микро- и макротрещиноватости при воздействии электромагнитных полей с помощью ВЧ-электродов. Расчет полей температур и полей термоупругих напряжений позволяет исследовать развитие макротрещиноватости и установить направления их развития при объемном способе источников нагрева.
2. Предложена методика численного расчета развития магистральной трещины в одномерном поле растягивающих напряжений, сформированном в результате электромагнитного нагрева. Методика позволяет определить длину образующей трещины в зависимости от распределения растягивающих напряжений в породе и времени нагрева.
3. Установлены механизмы, формирующие магистральную трещину, в областях с различной величиной растягивающих напряжений.. Развитие магистральной трещины может происходить в область растягивающих напряжений меньшей предела прочности на растяжение.
4. Показана возможность управления процессами развития магистральной трещины за счет выбора распределения напряжений по длине образующейся трещины и времени нагрева.
------------------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Менжулин М.Г., Шишов А.Н., Серышев С.В. 2. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость.-
Термокинетическая модель разрушения горных пород и Киев Наукова Думка, 1965.
особенности ее численной реализации //Физика и меха- 3. Менжулин М.Г. Развитие трещин при разру-
ника разрушения горных пород применительно к про- шении горных пород//Международный симпозиум по
гнозу динамических явлений/ СПб.: ВНИМИ, 1995. проблемам прикладной геологии, горной науки и произ-
водства/. СПб: СПГГИ.-1993.
__ Коротко об авторах
Менжулин Михаил Георгиевич - доктор технических наук, профессор кафедры «Разработка месторождений открытым способом и разрушения горных пород»,
Соколова Надежда Викторовна - научный сотрудник,
Шишов Алексей Николаевич - кандидат технических наук,
Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технического университета).
---------© Л.Д. Павлова, В.Н. Фрянов, 2004
УДК 622.831.232
Л.Д. Павлова, В.Н. Фрянов
ПРОГНОЗ ПАРАМЕТРОВ ЗОН РАЗРУШЕНИЯ ПОДРАБОТАННЫХ ПОРОД КРОВЛИ ПЛАСТА НА ОСНОВЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
Семинар № 3
