Численное моделирование магнитоплазменных конфигураций галатея-пояс Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 5, № 2, 2000

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТОПЛАЗМЕННЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ГАЛАТЕЯ-ПОЯС *

Г. И. ДудниковА, М. П. Федорук, В. С. Яковлев Институт вычислительных технологий СО РАН Новосибирск, Россия e-mail: [email protected], [email protected], e-mail: [email protected]

This paper presents the numerical simulation of plasma dynamics in the Belt-Type galateas. The development of current sheets is investigated, their instability and relatively short life time is shown. The numerical results are compared with the experimental ones.

Плазменные ловушки, в которых магнитное поле создается не только внешними катушками, но и проводниками с током, погруженными в плазму (миксинами), были в [1] названы галатеями. Данные ловушки имеют в ~ 1 и поэтому представляют значительный интерес в связи с проблемой управляемого термоядерного синтеза (УТС) и другими приложениями [1].

Общая концепция галатей была предложена в [1]. В дальнейшем они исследовались аналитически [2-5], экспериментально [6, 7] и численно [8-11]. В частности, экспериментально исследовано образование токового слоя [6], который рассматривается как один из способов эффективного разогрева плазмы в галатеях. Впервые численное моделирование галатей выполнено в работе [8], где было показано, что эволюция магнитоплазменной конфигурации идет с формированием токового слоя. В [10] с помощью численного моделирования было исследовано образование квазиравновесных плазменных конфигураций при различных условиях. Кроме того, в этой работе было продемонстрировано отжатие плазмы от миксин в случае, когда через них течет нарастающий со временем электрический ток.

В настоящей работе продолжено исследование галатей в рамках модели, представленной в [10]. При этом особое внимание уделено динамике плазмы на начальной стадии, исследовано образование токовых слоев, проведено сравнение с экспериментальными данными.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №98-02-17115а.

© Г. И. Дудникова, М. П. Федорук, В. С. Яковлев, 2000.

1. Математическая формулировка задачи

Приведенные в данной статье расчеты выполнялись применительно к экспериментальной установке Галатея — Пояс [6, 7], представляющей собой кварцевую цилиндрическую вакуумную камеру, внутри которой вдоль ее оси размещены два прямых проводника (мик-сины), покрытые тонким слоем диэлектрика. Снаружи от камеры параллельно оси расположены еще два проводника — обратные токопроводы. Электрические токи в миксинах имеют одинаковые направления и величины. С обоих торцов в камеру введены два плоских электрода, с помощью которых к плазме прикладывается внешнее электрическое поле.

Результаты экспериментальных исследований [6] показали, что плазменные конфигурации однородны вдоль оси Ог. Поэтому в первом приближении будем предполагать, что электромагнитное поле, скорость, плотность и давление плазмы не зависят от г. При расчете электромагнитных полей в миксине плотность тока в ней считалась фиксированной величиной, и для их определения на каждом шаге по времени решалось уравнение Пуассона. Тем самым пренебрегалось диффузией электромагнитного поля из плазмы в миксину.

Выберем систему координат так, как показано на рис. 1. В расчетах предполагалось, что течение плазмы симметрично относительно осей Ох и Оу. Поэтому решение рассматривалось только в первом квадранте 0 < х < Ь, 0 < у < Ь, а на осях Ох и Оу ставились условия симметрии, которые будут выписаны ниже. В двумерной постановке магнитное поле и скорость плазмы имеют только х и у компоненты:

(и, V, 0), В = (Вх, Ву, 0).

v

Магнитное поле в системе удобно описывать с помощью векторного потенциала:

B = rot A, A =(0,0,Г), B = (-дг-•

V д у д x )

Заметим, что в этом случае изолинии Г совпадают с силовыми линиями магнитного поля

(1)

Рис. 1. Геометрия расчетной области.

Расчеты велись в рамках модели одножидкостной магнитной гидродинамики. В пренебрежении теплопроводностью и вязкостью плазмы основные уравнения этой модели

имеют следующим вид:

др

т

д у д дА

~т

др

д

— (уУ)р — р &у у,

— (уУу)------Ур---[ДА, гоіА],

р 4пр

[у, гоі А] + итДА,

'У — 1

— (уУ)р — Тр &УУ +------ ---^т(ДА)2,

4п

(2)

где показатель адиабаты 7 = 5/3, а ит = с2/(4па) — магнитная вязкость плазмы (с — скорость света, а — проводимость плазмы). Рассмотрим теперь граничные и начальные условия. Граничные условия формулируются следующим образом:

и

х=0

0,

у=0

др

дх

др

дх

дф

дх

др

с=о дх др

=о дх дф

х=о ду

дь дх

др

с=ь ду др

с=ь ду

х=о

ди

дУ

0,

др

у=о ду др

у=о ду

у=о

у=ъ

у=ъ

0.

у=о

(3)

Условие на фг должно быть поставлено таким образом, чтобы на границе камеры была задана напряженность внешнего электрического поля (0,0,Ег). Из этого следует, что векторный потенциал на границах расчетной области определяется как

фГ(Ь) = —с ЕГ (Ь)&.

о

(4)

На границе между миксиной и плазмой должно стоять условие неразрывности магнитного поля, которое требует, чтобы ф была непрерывна вместе со своей нормальной к поверхности миксины производной (рис. 2):

ф0 = 3 (2(ф1 + ф-1) — 1(ф2 + ф-2)

(5)

V

0

0

і

2 -

ф-1

фо

ф1

ф2

Рис. 2. К постановке граничного условия на поверхности миксины.

здесь фо — значение векторного потенциала в некоторой точке на поверхности миксины, ф1, ф2 — то же, в соседних с ней точках в объеме миксины, а ф-\, ф-2 — в плазме.

В начальный момент времени Ь = 0 плазма предполагалась полностью ионизированной с однородными распределениями концентрации и давления. Начальное распределение потенциала ф находилось из решения уравнения Пуассона

Г -4п]т/С, вмиксине,

*=о \ 0, вне миксины.

Для решения этого уравнения использовался метод последовательной верхней релаксации с ускорением.

Значения параметров задачи были выбраны близкими к параметрам экспериментальной установки Галатея — Пояс:

Масса иона (Аг+) 6 1 О 1 ю со г

Начальная концентрация п0 1014 -1015 см-3

Начальная температура 1 эВ

Размер камеры 18 х 18 см

Размер миксины 2 х 2 см

Ток через миксину ]т 8 -16 кА

Электрическое поле на границе Ег 20 - 50 В/см

Нами использовалась модель с постоянной проводимостью плазмы: о = const = 1013, 1014 с-1. При этом характерное значение магнитного числа Рейнольдса Rem ~ 1 - 10, что говорит о слабой степени вмороженности силовых линий магнитного поля в плазму.

2. Конечно-разностная схема

Перейдем в уравнениях (2) к безразмерным переменным:

и V р р фд дд д

и ^ , v ^ , р ^ , р ^ , ф ^ ~г, 7^ * , О *

Vо Vо ро Ро фо дх дх ду ду

где индексом 0 обозначены некоторые характерные значения переменных, входящих в задачу.

Обозначим характерную плотность как ро, а характерное магнитное поле как Но. Тогда для характерных скорости, времени, давления и потенциала имеем

Ho + L И2

Vo = п-------, to = —, Ро = —, фо = HoL. (7)

\J\np о Vo 8п

Кроме того, удобно ввести безразмерную магнитную вязкость

с2

Vm = 4noLvo. (8)

Для численной реализации исходной системы уравнений (2) нами была использована схема Лелевье первого порядка точности. Пусть ¡П^ — значение величины £ в узле [г,]) на временном слое п. Введем следующие обозначения:

Дп.

г,3

ФИ-1,3 - 2ф”з + ^+1,3 + - 2фпз + фПз+1

Нх

Ну

лк £• •

лх£г,3

Лк £■ -

лу ¡г,3

¡П _ £

¡1+1,3 ¡г

п

г,3

Нх

£ п ¡г,3 п £г-1,3

Нх

£ п £ п ¡г,3+1 ¡1,3

Ну

п г,3 1- 1

Ну

если < 0,

если Пз > 0,

^к.

г,з

если V, 3 > 0. г3 —

Здесь подразумевается, что п — номер текущего временного слоя, а к может быть равно п либо п +1; Нх, Ну — шаги сетки в направлении х, у соответственно.

В безразмерных переменных схема будет иметь вид:

пПП+1 = <3 + т (—пП3ЛПпгз - ^,3 Л>3 -

2р

1 (^"+13 - '№-3 Дп +1РП+13 - РП-1„

Дг3 + 2

,П

г,3

Нх

Нх

, (9)

3=vз+т (-пял^ - V” л^„,3 - ( П3+'^3-1 д«+1 ^+1-^3-1У) ■ (ю)

пп+1 _ пп+1 vn+1 _ vn+1

3=р'П.3 + т I-<+ 1л’п+1рг,3-<+^+43 - 2рП3 ( ‘+\ '-'-3+3Н;31) I ■ (П)

'3 = '3 + т (-пп+1лп+1'г.3 - г!п+1лп+'ф,,3 + /„.Д^) , (12)

РП+1 = рЪ + т -<+1лп+1р,,3 - vn+1лn+1 Рг,3 -

2р^ / пг+1,3 Н п-,3 + ^3+>- ^3-Ч + 2(7 - 1)/га(Дп+ ‘)2

у

Для контроля точности расчетов проверялся закон сохранения полной энергии системы:

Ш + ^Р + (^')2) = -¿1^^PV2 + 2р) + 2Уф ((у, V') - ¿>„Д')^ ,

а также законы сохранения импульса и массы плазмы. Погрешности в выполнении законов сохранения не превышали нескольких процентов.

Кроме того, были проведены тестовые расчеты по проверке скорости распространения альвеновской и магнитозвуковых волн. Для этой цели ставились периодические граничные условия и задавалось однородное начальное магнитное поле, причем отличной от нуля была либо компонента Нх, либо Ну. Затем на границе расчетной области у = Ь задавалось возмущение давления плазмы, в результате чего в ней возникали магнитогидродинамические волны. Скорости движения этих волн менее чем на процент отличались от теоретических значений.

3. Результаты расчетов

При описании динамики плазмы в галатеях выделяют два основных режима: а-режим, когда направления токов через миксины и внешнего электрического поля в плазме совпадают, и в-режим, когда они противоположны. В этой статье мы ограничимся рассмотрением а-режима.

Рис. 3. Образование и распад токового слоя в центре камеры (х = 0, у = 0). Плотность тока

в А/см2.

Качественно процессы, происходящие в галатеях, можно представить следующим образом: электрическое поле, приложенное к плазме, диффундирует в нее, вызывая электрический ток, параллельный току в миксинах. Под действием силы Ампера происходит

Рис. 4. Плотность тока и температура плазмы в центре камеры в зависимости от времени; а — однократное, б — двукратное образование токового слоя.

адиабатическое сжатие плазмы к центру камеры. Этот процесс совместно с выделением джоулева тепла обусловливает нагрев плазмы. Через центр камеры проходит нулевая линия магнитного поля, а значит в ее окрестности может образоваться токовый слой. С выходом на стационар устанавливается некоторая равновесная конфигурация.

Особый интерес представляет образование токовых слоев в галатеях. В начальный момент времени возникает быстрая магнитозвуковая волна, которая распространяется от границ камеры к ее центру. Когда эта волна достигает центра камеры, там возникает токовый слой (рис. 3). Как показывают наши расчеты, время жизни этого слоя не превышает 1-2 мкс — практически он начинает распадаться в тот же момент, как закончилось его формирование (рис. 4). В некоторых вариантах расчетов наблюдалось повторное образование токового слоя (рис. 4, б). При этом механизм его возникновения оставался прежним: кумуляция магнитозвуковой волны к центру камеры.

В работе [6] приведены изображения плазмы в различных спектральных линиях при разных условиях, полученные на экспериментальной установке. Для сравнения с нашими результатами рассмотрим простую модель линейчатого излучения плазмы. Согласно [12], в двухуровневой системе с энергией возбуждения £ в корональном режиме (разреженная горячая плазма) можно считать, что интенсивность излучения пропорциональна

/£ £

TEi(T), (14)

где Ег — интегральная показательная функция, а температура Т измерена в энергетических единицах. В нашей модели считается, что все ионы ионизированы однократно, поэтому пе = пг = п. Если мы рассматриваем излучение плазмы в спектральной линии с

длиной волны Л, то

є

т

Нои Л р}

(15)

где Н — постоянная Планка.

По формулам (14) и (15) было рассчитано распределение интенсивности излучения аргоновой плазмы в спектральной линии Л = 480.6 нм. На рис. 5 приведены соответствующие

I в

Рис. 5. Интенсивность излучения плазмы в линии Аг11 480.6 нм в последовательные моменты

времени.

изображения плазмы в последовательные моменты времени с интервалом 0.3 мкс. Четко видно образование мантий вокруг миксин и плоского светящегося слоя между миксинами. Со временем яркость свечения мантий уменьшается, а яркость слоя - увеличивается. Это качественно хорошо согласуется с теми результатами, которые были опубликованы в [6].

Заключение

В результате численного моделирования исследовано образование токовых слоев в конфигурациях типа Галатея — Пояс. Отмечены их нестабильность и относительно короткое время жизни, обнаружена возможность повторного образования токового слоя. Распределение интенсивности линейчатого излучения плазмы, полученное в результате расчетов, хорошо качественно согласуется с данными лабораторных экспериментов.

Список литературы

[1] Морозов А. И. О галатеях — плазменных ловушках с омываемыми плазмой проводниками. Физика плазмы, 18, вып. 3, 1992, 305-316.

[2] Морозов А. И., Хрипунов В. И. Оценка параметров кольцевой “миксины"для термоядерных реакторов Галатей. Там же, 18, вып. 7, 1992, 838-849.

[3] Морозов А. И., Франк А. Г. Тороидальная мультипольная ловушка — галатея с азимутальным током. Там же, 20, №11, 1994, 982-989.

[4] Морозов А. И., МурзинА М. В. Простейшие равновесные конфигурации галатей типа “Пояс". Там же, 22, №6, 1996, 551-563.

[5] Морозов А. И., Пастухов В. П. О процессах переноса вблизи погруженных в плазму замкнутых проводников с током (“миксин"). Там же, 18, вып. 6, 1992, 790-798.

[6] Богданов С. Ю., БурилинА В. Б., Кирий Н. П., Марков В. С., Морозов А. И., Франк А. Г. Эволюция температуры плазмы в зависимости от условий формирования магнитоплазменных конфигураций в прямой системе Галатея — Пояс. Там же, 24, №6, 1998, 467-480.

[7] Богданов С.Ю., Марков В. С., Морозов А. И., Франк А. Г. Плазменная конфигурация “Галатея — Пояс": первые результаты экспериментальных исследований. Письма в ЖТФ, 21, вып. 24, 1995, 5-9.

[8] Брушлинский К. В., Горшенин К. П., Морозов А. И. Численное моделирование начальной стадии формирования плазменной конфигурации “Пояс". Там же, 21, вып. 22, 1995, 67-70.

[9] Брушлинский К. В., Горшенин К. П. Плоская МГД модель образования плазменной конфигурации с погруженными в нее проводниками. Матем. моделирование, 9, №5, 1997, 28-36.

[10] Дудникова Г. И., Морозов А. И., Федорук м. П. Численное моделирование прямых плазменных конфигураций — Галатей типа “Пояс". Физика плазмы, 23, №5, 1997, 387-396.

[11] Дудникова Г. И., Морозов А. И., Федорук М.П. Формирование плазменных конфигураций — галатей типа “Пояс". Письма в ЖТФ, 22, №21, 1996, 45-51.

[12] Подгорный И. М. Лекции по диагностике плазмы. Атомиздат, М., 1968.

Поступила в редакцию 28 января 1999 г., в переработанном виде 4 июня 1999 г.