Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет Текст научной статьи по специальности «Физика»

Небесная механика и астрономия

УДК 523.642

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ

А. Ф. Заусаев, Д. А. Заусаев

Самарский государственный технический университет,

443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

E-mail: Zausaev_AF@mail.ru

Проведено численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет. Показана высокая эффективность данного метода для малых тел, не имеющих тесных сближений с Землёй.

Ключевые слова: интерполяция, численное интегрирование, дифференциальные уравнения движения, метод оскулирующих элементов.

Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы проводится путем совместного решения уравнений движения больших планет и исследуемого объекта. При решении задач, связанных с проблемой астероидной опасности, требуется проводить регулярные исследования движения свыше 6 000 объектов на интервале времени порядка нескольких столетий. Решение данной задачи даже при наличии современных средств вычислительной техники вызывает определенные трудности. Создание высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел является необходимым условием для оперативного получения результатов проведенных исследований.

В работе [1] изложен метод численного интегрирования уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет. Основная идея метода заключается в следующем. Путём решения дифференциальных уравнений движения, приведенных в работе [2], создан банк данных оскулирующих элементов больших планет на интервале времени с 1600 по 2200 гг.

Для вычисления прямоугольных координат планет в процессе интегрирования используется массив элементов орбит: То, Mo, а, е, и, Q, i, где То — эпоха оскуляции, Mo —средняя аномалия, а — большая полуось, е — эксцентриситет, и — аргумент перигелия, Q —долгота восходящего узла, i — наклонение. Величина промежутка, в пределах которого движение планеты считается невозмущенным, составляет 10 дней.

Анатолий Федорович Заусаев (д.ф.-м.н.), профессор, каф. прикладной математики и информатики. Дмитрий Анатольевич Заусаев, студент, спец. «Прикладная математика и информатика».

Очевидно, что максимальная погрешность в координатах планет достигается на границах интервалов. Используя формулы, приведённые в работе [3], по известным элементам орбит были найдены координаты на концах интервалов. Путём сопоставления полученных координат с координатами, вычисленными совместным интегрированием, найдены погрешности на концах интервалов.

Т аблица 1 Интервалы, в пределах которых движение планеты принято невозмущенным, и величины ошибок прямоугольных координат на границах этих интервалов

В табл. 1 указана величина промежутка АТ, в пределах которого движение планеты считается невозмущенным, и максимальные ошибки А£тах в прямоугольных координатах на границах интервалов.

Создание банка данных координат больших планет способствует понижению порядка системы дифференциальных уравнений с 72 до 6, что почти на порядок сокращает расчётное время. Однако при этом, как отмечается в работе [1], при решении задачи п тел метод с использованием оску-лирующих элементов можно применять для краткосрочных прогнозов на интервале времени порядка нескольких десятков лет. При решении задачи п тел не учитывается влияние релятивистских эффектов, поэтому для повышения точности прогнозирования движения небесных тел в данной работе наряду с гравитационными эффектами учитывались релятивистские эффекты, обусловленные Солнцем.

Дифференциальные уравнения движения небесного тела в гелиоцентрической системе координат с учётом релятивистских эффектов от Солнца имеют следующий вид [4]:

Планета АТ, сутки Д^тах, а.Є.

Юпитер 10 3•10~8

Сатурн 10 3 1 О 1 ■ сс

Земля 10 5•10~6

Луна 10 8•10~4

Венера 10 5•10~8

Марс 10 2•10~8

Уран 10 2 1 О 1 со

Нептун 10 2 1 О 1 со

Плутон 10 2•10~8

к2 Н 2

С2

г г

2

(4 - га)*х - (1 + «)£х + За^Х + (4 - 2а) ^ЛГ , (1)

где X — матрица-столбец с элементами х, у, г; Xг — матрица-столбец с элементами хг, уг, гг; т, х, у, г — масса и гелиоцентрические координаты возмущаемого тела; тг, Хг, у г, гг — массы и гелиоцентрические координаты больших планет; г, Аг, г — расстояния, вычисляемые по таким формулам: г2 = х2 + + у2 + г2, А2 = (Хг - х)2 + (уг - у)2 + (гг - г)2, г2 = х2 + у2 + г2; X — матрица-столбец с элементами х, у, г; к — постоянная Гаусса, с — скорость света, а — параметр, характеризующий выбор системы координат. Случай а = 1 соответствует стандартным координатам, случай а = 0 — гармоническим координатам.

Для определения области применимости данного алгоритма нами исследовалась эволюция орбит десяти короткопериодических комет и десяти астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона. Элементы орбит комет и астероидов взяты из каталогов [5, 6], причём все десять комет взяты из начала списка каталога, в то время как пять астероидов находятся

г

в начале списка и пять — в конце каталога. Выбор комет, имеющих минимальные порядковые номера, обусловлен тем, что эти кометы имеют достаточно точные элементы орбит. Выбор астероидов связан с распределением их минимальных расстояний от Земли. Следует отметить, что элементы орбит астероидов расположены в порядке возрастания их минимальных расстояний с Землёй.

Для численного интегрирования уравнений (1) использовался метод Эверхарта 27-го порядка с переменным шагом интегрирования. Численное интегрирование уравнений движения проводилось двумя методами. В первом случае уравнения движения с учётом гравитационных и релятивистских эффектов решались совместно. Во втором случае численное интегрирование уравнений (1) проводилось с использованием оскулирующих элементов.

В табл. 2-5 элементы орбит, полученные в результате интегрирования первым и вторым способом, обозначены соответственно «Совм. интегр.» и «Оскул. элем.»; А£ — абсолютные значения разности в орбитальных элементах, полученных первым и вторым методами. Начальные данные элементов орбит комет и астероидов взяты из каталогов [5, 6].

Как видно из табл. 2 и 3, максимальные расхождения в элементах комет-ных орбит для всех десяти комет в обоих методах на конце интервала интегрирования незначительны. При этом в угловых элементах максимальное расхождение наблюдается в средней аномалии у кометы П/Бге1а (0,0064°), а отличия в остальных элементах орбит не превышают точности оптических наблюдений. Так как оба метода дают незначительные расхождения в элементах орбит, то это позволяет считать, что метод с использованием оску-лирующих элементов можно применять для исследования эволюции орбит короткопериодических комет на интервале времени с 1800 по 2204 гг.

В табл. 4 и 5 приведены элементы орбит десяти астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона. Каждый из этих астероидов в процессе эволюции проходит через сферу действия Земли, причём четыре из них имеют тесные сближения с Землёй многократно [5].

Как видно из табл. 4 и 5, значения расхождений в элементах орбит астероидов, полученных двумя методами, зависят от величины и частоты их сближений с Землёй, так как для первых пяти астероидов отличие элементов орбит более существенное, чем для последующих пяти астероидов, сближающихся с Землёй на большие расстояния. Полученная закономерность зависимости точности проведённых расчётов методом Эверхарта с использованием оскулирующих элементов от степени сближения с Землёй следует из того, что координаты для Земли определяются с меньшей точностью, чем координаты других планет (см. табл. 1). Тесные сближения с другими планетами не приводят к подобным ошибкам, так как из 10 исследуемых комет пять неоднократно проходят через сферу действия Юпитера, однако на точности полученных результатов это не отражается.

Таким образом, метод Эверхарта с использованием банка данных оску-лирующих элементов больших планет можно эффективно использовать для исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы, не имеющих тесных сближений с Землёй на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Вследствие того, что количество таких объектов велико и составляет не менее 90% от их общего числа, применение этого метода позволит значительно сократить время проведенных исследований без существенной потери точности.

Т аблица 2

Элементы орбит комет, полученные совместным интегрированием уравнений движения, а также с учётом оскулирующих элементов больших планет (Т = 1800 01 05)

М a е LO П г

Р/Hailey

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 191,4946 191,4944 0,000164 18.05202 18.05203 9,25Е-06 0,968665 0,968665 5,98Е-08 111,3587 111,3586 9,01Е-05 58,0169 58,01682 7,91Е-05 162.2889 162.2889 2,09Е-05

P/Encke

Совм. интегр. 60,5893 2,216543 0,845846 182,3158 337,1369 13,567

Оскул. элем. 60,58941 2,216543 0,845846 182,3158 337,1369 13,56697

Д5 0,00011 3,03Е-07 1,85Е-07 4,09Е-05 3,32Е-05 2,94Е-05

D/Biela

Совм. интегр. 37,7136 3,559049 0,746668 217,8642 254,2752 13,6419

Оскул. элем. 37,71356 3,559049 0,746668 217,8642 254,2752 13,6419

AS 4,02Е-05 3,33E-07 3,48Е-07 1,08Е-05 7Д4Е-06 ЗД6Е-06

P/Faye

Совм. интегр. 73,4076 3,866193 0,556092 191,2737 226,7653 7,3485

Оскул. элем. 73,40754 3,866193 0,556092 191,2737 226,7653 7,348538

AS 6Д8Е-05 6,05Е-08 1,23Е-07 1,78Е-05 2,43Е-05 3,81Е-05

D/Brorsen

Совм. интегр. 63,0994 3,027727 0,733766 7,5765 106,8219 45,287

Оскул. элем. 63,09948 3,027773 0,733777 7,576922 106,822 45,28663

AS 8,40Е-05 4,61Е-05 1,06Е-05 0,000422 5 Д9Е-05 0,000366

P/d’Arrest

Совм. интегр. 37,2982 3,413185 0,669816 170,2287 153,3499 13,0505

Оскул. элем. 37,29846 3,413184 0,669816 170,2286 153,35 13,05049

AS 0,000261 6,55Е-07 2,32Е-07 7,79Е-05 6 Д8Е-05 1,09Е-05

P /Pons-Winnecke

Совм. интегр. 208,1477 3,337746 0,72313 5,6173 268,8229 2,6807

Оскул. элем. 208,1477 3,337746 0,72313 5,617882 268,8223 2,680689

AS 1,38Е-05 3,35Е-07 2,31Е-07 0,000582 0,00061 1,05Е-05

P/Tuttle

Совм. интегр. 260,0457 5,748858 0,819734 206,8318 271,662 54,3911

Оскул. элем. 260,0452 5,748858 0,819734 206,8318 271,662 54,39109

AS 0,000528 7,68Е-08 4,62Е-07 4Д8Е-05 2,78Е-05 8,37Е-06

P/Tempel 1

Совм. интегр. 280,1281 3,128444 0,524341 131,945 105,2602 6,2927

Оскул. элем. 280,1282 3,128444 0,524341 131,9449 105,2603 6,292644

AS 8,00Е-05 2,66Е-07 3,89Е-07 9,01Е-05 0,000102 5,63Е-05

P/Tempel 2

Совм. интегр. 86,4843 3,023543 0,546203 178,2391 125,7648 12,4545

Оскул. элем. 86,48404 3,023543 0,546203 178,2391 125,7648 12,45448

AS 0,000262 2,66Е-07 4,98Е-07 1,74Е-06 1,48Е-05 2,07Е-05

Т аблица 3

Элементы орбит комет, полученные совместным интегрированием уравнений движения, а также с учётом оскулирующих элементов больших планет (Т = 2204 12 13)

М a е LO П г

Р/Hailey

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 340,7337 340,7371 0,003416 17,82704 17,82696 7,86Е-05 0,967167 0,967167 2Д4Е-07 115,0549 115,055 7,62Е-05 62,4152 62,41523 3,27Е-05 161.7191 161.7191 3,41Е-05

P/Encke

Совм. интегр. 316,0063 2,221484 0,847531 192,2903 330,3659 9,2604

Оскул. элем. 316,0032 2,221485 0,847531 192,2903 330,3659 9,260416

Д5 0,003082 7,91Е-07 2,22Е-07 1,61Е-05 1Д1Е-05 1,58Е-05

D/Biela

Совм. интегр. 155,9316 3,527373 0,763495 326,0849 139,6366 14,611

Оскул. элем. 155,9249 3,527377 0,763496 326,0845 139,637 14,61045

AS 0,00674 4,34Е-06 1Д1Е-06 0,000411 0,000436 0,000546

P/Faye

Совм. интегр. 281,7301 3,71421 0,610773 220,5747 167,8499 5,098

Оскул. элем. 281,7302 3,71421 0,610773 220,5747 167,8499 5,097973

AS 5,11Е-05 4,21Е-08 3,65Е-07 ЗД8Е-05 2,68Е-05 2,72Е-05

D/Brorsen

Совм. интегр. 41,2152 3,073071 0,863266 73,7416 39,4331 6,7586

Оскул. элем. 41,2164 3,073068 0,863267 73,73819 39,4365 6,75874

AS 0,001202 ЗД1Е-06 5,43Е-07 0,003413 0,0034 0,00014

P/d’Arrest

Совм. интегр. 81,8749 3,789775 0,492992 169,5791 128,5464 23,3064

Оскул. элем. 81,87523 3,789775 0,492993 169,5791 128,5464 23,30637

AS 0,000325 4,31Е-07 5,28Е-07 3,05Е-05 2,96Е-05 3,00Е-05

P /Pons-Winnecke

Совм. интегр. 305,1878 3,366807 0,672255 193,3037 79,3204 18,0484

Оскул. элем. 305,1878 3,366807 0,672255 193,3037 79,32045 18,04839

AS 4,94Е-05 1,79Е-07 1,21Е-07 1,49Е-05 4,98Е-05 6,55Е-06

P/Tuttle

Совм. интегр. 146,0471 5,698912 0,822694 207,7192 269,2077 55,0828

Оскул. элем. 146,0474 5,698911 0,822694 207,7192 269,2077 55,08285

AS 0,000318 1Д2Е-06 4,38Е-07 3,32Е-05 1,56Е-05 5,30Е-05

P/Tempel 1

Совм. интегр. 274,3968 3,223767 0,498254 200,3509 56,1666 8,2521

Оскул. элем. 274,3969 3,223767 0,498254 200,3509 56,16661 8,252106

AS 0,000134 4,64Е-08 2,01Е-07 1Д9Е-06 7,62Е-06 5,78Е-06

P/Tempel 2

Совм. интегр. 2,8662 3,027102 0,569752 217,0771 102,824 8,8981

Оскул. элем. 2,866163 3,027102 0,569752 217,0771 102,824 8,898056

AS 3,66Е-05 2,34Е-07 4,98Е-07 1,42Е-05 2,51Е-05 4,40Е-05

236

Т аблица 4

Элементы орбит астероидов, полученные совместным интегрированием уравнений движения, а также с учётом оскулирующих элементов больших планет

I Т I М I а I е I ш I О I г

Aten / 2004 FU162

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 2065 04 25 152,2859 174,2655 21,97959 0,853521 0,848768 0,004753 0,377125 0,381384 0,004259 136,0833 137,1303 1,046976 190,0011 189,687 0,314077 4,1359 3,231301 0,904599

Aten / 2004 MN4

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 2037 05 22 315,2521 318,5262 3,274071 1,100361 1,099366 0,000995 0,188319 0,188022 0,000297 72,1222 72,35598 0,233777 203,4977 203,4983 0,000615 2,2468 2,257008 0,010208

Apollo / 2004 YD5

Совм. интегр. 2204 12 13 97,3765 2,283182 0,781733 278,0286 73,782 3,6501

Оскул. элем. 97,35798 2,283182 0,781733 278,0304 73,78037 3,650109

AS 0,018521 2,29Е-07 2Д6Е-07 0,001752 0,001634 9,08Е-06

Apollo / 2004 TD18

Совм. интегр. 2204 12 13 308,7766 1,530825 0,505775 287,2391 182,9658 3,428

Оскул. элем. 268,6913 1,538934 0,507279 287,5981 182,8362 3,483857

AS 40,08533 0,008109 0,001504 0,358985 0,129649 0,055857

Aten / 2004 FH

Совм. интегр. 2190 12 26 217,332 0,829392 0,281159 190,4837 132,9372 0,6102

Оскул. элем. 225,8138 0,824308 0,285028 145,2979 176,9267 0,293095

AS 8,481821 0,005084 0,003869 45,18583 43,98948 0,317105

Apollo / 2003 HP32

Совм. интегр. Оскул. элем. AS 2204 12 13 342,0124 341,9892 0,023154 2,70049 2,700518 2,83Е-05 0,776432 0,776428 4,41Е-06 175,9104 175,9112 0,000761 171,1645 171,1639 0,000614 8,0836 8,083682 8,25Е-05

Aten / 2003 НТ42

Совм. интегр. Оскул. элем. AS 2204 12 13 261,7901 261,7889 0,001175 0,815063 0,815063 1,82Е-07 0,257662 0,257662 3,36Е-07 355,3049 355,305 0,000127 33.2163 33.2163 4,37Е-07 5,0752 5,07524 4,00Е-05

Apollo / 2005 VG7

Совм. интегр. 2204 12 13 213,0895 1,992689 0,548765 330,036 37,8374 2,8587

Оскул. элем. 213,0899 1,992689 0,548765 330,036 37,83734 2,858747

AS 0,000363 1,47Е-07 2,38Е-07 4,95Е-06 6,02Е-05 4,66Е-05

Заусаев А.Ф., ЗаусаевД.А.

Окончание таблицы 4

СМ см со ООО 00 00 I оо оо Ы ю" ю" §

СО СО т-Н т-Н СО

о ь-

СО О СО '

^ н

о ю

ю оо

н

см ь-

00 ^ СО О

ю'§ со ~ см о

Он чн

^ ш 0) ^ н ^

05 рл 0)^0 ю Гх о ю ~ ь-

,уГ СО т-Н 00®°

о ~ ю

8 “ ° "дн

° ю °

Ю V т-Н

о'0 ю"

лл о о

$ со со

СО 00 °Ч.Ь- т-Н СО 00 о СО*' о'

т-Н Ь- ,

о со ^ ь- со £:

Ь- г-

00 00

СО СО ю

СО 00 о

СМ ^Н '

^ ^ н

00 00 СО со со ю

00 СМ ^ СО 00 йсо® £3 СО

Чоо ю

т-Н г со

Он *5

^ ш 0) ^ н ^

ю ^

а §

н ^ •е*

ч к

ю £.

сб

зн

а

=

ф

= 02 а

сЗ н

Си о

Ей

Ф с

§ X

9 в

- Е

В1 ч

8 о &ю

ф 3 =

=

ф р >> 3

§ О 2 ^ К :ф

а >>

2- и

I£

8.1 ® Я

«С «С

н

а

о

&

о

3

н

=

ф

3 ш

4 со

Еч

» о ^

1-1 Й ю О 2 «3

,

^ ^ О

см

ю т-Н ь- т-Н г-

г- со т-Н

00 со о

СО см СО

см" ю_ т-Н

СО т-Н

см

см

см со СО О СО со ю ь-

О ^н

о о

о о

м

о

о

СО СО Л* N N 00 ь- ь-

00 ю

т-“1 О СО СМ_1 СО*' О

ю со со ^ о о

00 О 1 ^ Г- СО

"д «

см см о

N Ф 0 СО N '■ СО О ■

ю о ^

- - СО

СО

со о

£ £ : ° 2 ■

00 Й 1 00 2 ' т-Н

о"° ■

СО N N 00 N ^

^ г- о

Г- 00 СО ' 00 1 т-“1 О

о о .

^ ; 00 , 00 , 00 ,

СО Ь-о со см СМ см СО СО N

05 см Й ь- о о

~ Ь- ■

^ ^ ю

со СО О оо I ь- ь- Н

' см со

^ г-

СО Т-Н СО Т-Н

^ см со см

о"' о"'

см ^ со см со см

СО О

см о

о о

00 со ю

СО СО О I4— I4— I

со^со^Н ю" ю"

00 00 ~-см см

см см ь-СО СО О О О I

со со И ^ ^ г-

Ю_ Ю_

о"' о"' 1-Г

СО со со см СО СО

о^

00 оо"

СО СО

о с а.

с

т-Н 00 Г- 00

о ^

о

Он-< 1

СО ь-

см о

СО г'

о н ^ ю

Ь-_ СО Т-Н со"

■ ю ю

■ ^о о

1 05 r^

■ ю Н

^N^05

ь-

о

о

о

00

о

А1еп / 2004 PH

Совм. интегр. 1995 07 02 356,2238 0,781285 0,316433 338,5051 358,4437 3,4912

Оскул. элем. 0,650329 0,781752 0,315735 338,4148 358,452 3,569062

АЯ____________355,5735 0,000467 0,000698 0,090301 0,008305 0,077862

238

Окончание таблицы 5

Т I М I а I ё I ш I О I г

Аро11о / 2005 УС7

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 1800 01 05 194,9315 194,6842 0,247269 2,0057 2,005637 6,34Е-05 0,549055 0,549037 1,76Е-05 323,8089 323,8012 0,007736 42,2089 42,21478 0,005879 2,9337 2,933702 2,01Е-06

А1еп / 1998 яг27

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 1800 01 05 145,9299 145,9252 0,004675 0,9012 0,9012 2,66Е-08 0,50501 0,50501 1,07Е-07 46,4886 46,48858 2,38Е-05 167.7404 167.7404 2,44Е-05 23,3559 23,35589 6,01Е-06

А1еп / 1994 СЬ

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 1800 01 05 40,3021 40,30757 0,005471 0,682588 0,682588 4Д4Е-07 0,506986 0,506987 7,20Е-07 173,5353 173,5355 0,000177 203.1669 203.1669 4,59Е-06 3,5207 3,520592 0,000108

Аро11о / 2003 НР32

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 1800 01 05 214,3515 214,3514 0,000114 2,677669 2,677664 4,66Е-06 0,776699 0,776698 9,68Е-07 43,1835 43,18375 0,000245 297,362 297,3619 0,000123 2,1614 2,161422 2Д8Е-05

А1еп / 2003 НТ42

Совм. интегр. Оскул. элем. Д5 1800 01 05 132,2457 132,6048 0,359052 0,812416 0,812456 3,98Е-05 0,266943 0,267043 9,95Е-05 347,5396 347,5086 0,031026 46,5178 46,45813 0,059672 4,9646 4,924366 0,040234

Заусаев А.Ф., ЗаусаевД.А.

Работа выполнена в рамках АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы

(2009-2010)» (проект РНП 2.1.1/745).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Заусаев А.Ф., Заусаев Д.А. Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы с использованием оскулирующих элементов больших планет / В сб.: Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи/ Матем. моделирование и краев. задачи. — Самара: СамГТУ, 2009. — C. 125-130.

2. Newhall X. X., Standish E. M., Williams J. G. DE 102 — A numerically integrated ephemeris of the moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys, 1983. — Vol. 125, No. 1. — P. 150-167.

3. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Математическиое моделирование орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы. — М.: Машиностроение-1, 2008. — 250 с.

4. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. — М.: Наука, 1972. — 382 с.

5. Заусаев А. Ф., Абрамов В. В., Денисов С. С. Каталог орбитальной эволюции астероидов, сближающихся с Землёй с 1800 по 2204 гг. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 608 с.

6. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1800 по 2204 гг. — М.: Машиностроение-1, 2007. — 410 с.

Поступила в редакцию 13/VIII/2009; в окончательном варианте — 03/IX/2009.

MSC: 85-08

THE NUMERICAL INTEGRATION OF THE EQUATION OF SMALL BODIES OF THE SOLAR SYSTEM WITH USE OF OSCULATING ELEMENTS

A. F. Zausaev, D. A. Zausaev

Samara State Technical University,

244, Molodogvardeyskaya str., Samara, 443100.

E-mail: Zausaev_AF@mail.ru

The numerical integration of the equations of the Solar system small bodies motion is carried out with application of osculating elements of the larger planets. This method proves to be highly efficient for small bodies that do not approach close to the Earth.

Key words: numerical integration, differential equation of motion, method of the osculation elements.

Original article submitted 13/VIII/2009; revision submitted 03/IX/2009.

Anatoliy F. Zausaev (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Professor, Dept. of Applied Mathematics & Computer Science. Dmitriy A. Zausaev, Student, Speciality of Applied Mathematics and Computer Science.