Численное интегрирование уравнений движения небесных тел с использованием оскулирующих элементов больших планет Текст научной статьи по специальности «Физика»

Астрономия. Проблемы астероидной опасности

УДК 521.182, 521.642

А. Ф. Заусаев, Д. А. Заусаев Самарский государственный технический университет, Россия, Самара

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ БОЛЬШИХ ПЛАНЕТ*

Разработан вычислительный алгоритм и программа численного интегрирования уравнений движения небесных тел методом Эверхарта с использованием оскулирующих элементов больших планет. Это позволило сократить временные затраты при исследовании движения малых тел Солнечной системы почти на порядок.

Численное интегрирование уравнений движения малых тел Солнечной системы проводится путем совместного решения уравнений движения больших планет и исследуемого объекта. При решении задач, связанных с проблемой астероидной опасности, требуется проводить регулярные исследования движения свыше 7 000 объектов на интервале времени порядка нескольких столетий. Создание высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования уравнений движения небесных тел является необходимым условием для оперативного получения результатов проведенных исследований. В настоящее время требования к точности координат больших планет существенно возросли, так как они должны быть согласованы с высокоточными астрономическими наблюдениями.

Целью данной работы является увеличение точности координат планет с помощью банка данных оску-лирующих элементов.

Нами разработан вычислительный алгоритм и программа, реализующая численное интегрирование уравнения движения небесного тела с использованием оскулирующих элементов больших планет [1].

Основная идея реализации данного алгоритма заключается в следующем. На основе численной теории движения планет DE405 [2] создан банк данных оскулирующих элементов орбит больших планет и Луны с шагом 1 день на интервале времени с 1600 по 2200 гг. Координаты и скорости планет и Луны на любой момент времени внутри выше указанного промежутка и вычисляются с помощью невозмущенных кеплеров-ских орбит.

Создание банка данных координат больших планет способствует понижению порядка системы дифференциальных уравнений с 72 до 6, что существенно сокращает расчетное время по сравнению с совместным интегрированием.

Дифференциальные уравнения движения небесного тела в гелиоцентрической системе координат c учетом релятивистских эффектов от Солнца брались в следующем виде [3]:

а2х ,2/1 ,х _,2 (х, -х х,Л к1

-X = -к (1 + т)х + £кт, -7Х

л2 ,г2 (-У)2 ,(х-) .

х (4-2а)—х-(1 + а)—х + 3ау ' х +(4-, г г г г

где х - матрица-столбец с элементами х, у , г ; х1 -матрица столбец с элементами х1, у, , т, х, у , г - масса и гелиоцентрические координаты возмущаемого тела; т, , х, , у, , г, - массы и гелиоцентрические координаты больших планет; г, Д,,, г - расстояния планет; г, Д,, г - расстояния, вычисляемые по следующим формулам: г2 = х2 + у2 + г2, Д2 = (х,, - х)2 + (у,, - у )2 + (г,, - г)2, г2 = х,2 + у,2 + г,2; х - матрица-столбец с элементами х, у , г ; к - постоянная Гаусса; с - скорость света; а - параметр, характеризующий выбор системы координат. Случай, когда а = 1 соответствует стандартным координатам, а = 0 - гармоническим координатам.

Для определения области применимости данного алгоритма нами исследовалась эволюция орбит 10 короткопериодических комет и 10 астероидов, принадлежащих к группам Аполлона, Амура и Атона. Для численного интегрирования уравнений движения использовался метод Эверхарта 27-го порядка с переменным шагом интегрирования [4]. Алгоритм и программа в методе Эверхарта были модифицированы с учетом использования оскулирующих элементов больших планет. Численное интегрирование уравнений движения проводилось двумя методами. В первом случае уравнения движения с учетом гравитационных и релятивистских эффектов решались совместно. Во втором случае численное интегрирование этих уравнений проводилось с использованием оскули-рующих элементов.

Показано, что метод Эверхарта с использованием банка данных оскулирующих элементов больших планет можно эффективно использовать для исследования эволюции орбит малых тел Солнечной системы.

*Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (Проект 2.1.1/745).

Решетневские чтения

Таким образом, применение этого метода позволит значительно сократить время проведенных исследований без существенной потери точности.

Библиографические ссылки

1. Заусаев Д. А. Банк данных оскулирующих элементов больших планет и Луны за период 1600-2200 гг. // Математическое моделирование и краевые задачи :

тр. VII Всерос. научн. конф. с междунар. участием. Ч. 3. Самара, 2010. С. 119-123.

2. Standish E. M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Jet Prop Lab Technical Report. IOM 312. F-048. 1998. P. 1-7.

3. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М. : Наука, 1972.

4. Everhart E. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics. 1974. Vol. 10. P. 35-55.

А. F. Zausaev, D. А. Zausaev Samara State Technical University, Russia, Samara

NUMERICAL INTEGRATION OF THE CELESTIAL BODIES MOTION EQUATIONS BY THE USE OF MAJOR PLANETS OSCULATING ELEMENTS

The computing algorithm and the program of numerical integration of celestial bodies motion equations by means of the Everhart method with the use of major planets osculating elements are developed. It allowed reducing time costs when researching the Solar system small bodies motion almost by an order of magnitude.

© Заусаев А. O., 3aycaeB fl. A., 2010

УДК 521.642

А. Ф. Заусаев, Л. А. Соловьев Самарский государственный технический университет, Россия, Самара

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ В ЗАДАЧЕ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Получены регулярные дифференциальные уравнения для задачи возмущенного движения. Для совместного решения системы дифференциальных уравнений разработан алгоритм и программа с использованием метода Эверхарта. Для согласования физического времени с фиктивными временами всех исследуемых объектов предложен метод итераций.

Дифференциальное уравнение движения в задаче возмущенного движения имеет следующий вид [1]:

х + -

K

2 dV и X =--+ P ,

дх

(1)

где х - вектор положения возмущаемого тела; V - возмущающий потенциал; Р - дополнительная сила; К2 = к2(М + т), г = |х|; М- масса центрального тела; т - масса возмущаемого тела.

Уравнение (1) является сингулярным в начале координат. При прохождении тела вблизи начала координат возникают большие гравитационные силы, и происходит резкое изменение орбиты. При численном интегрировании для преодоления этой трудности приходится значительно уменьшать длину шага интегрирования, что приводит к увеличению ошибок округления. Это существенно сказывается на точности результатов проведенных расчетов.

Процедура преобразования сингулярных уравнений в регулярные уравнения называется регуляризацией. Регуляризация уравнения (1) проводится в два этапа. На первом этапе, путем введения новой независимой переменной s, называемой фиктивным време-

нем, получают регулярные функции, описывающие движение.

Второй этап регуляризации заключается в устранении сингулярности в самих дифференциальных уравнениях. Это достигается путем преобразования вектора физического пространства в четырехмерное параметрическое пространство с помощью матрицы преобразования Кустаанхеймо.

Применяя процедуру регуляризации к уравнению (1), получим следующую систему дифференциальных уравнений [1]:

. hK | u |2 1 dV tT пч

u +—u = (---+ LTP);

2 2 2 du

, dV , , T ,

hK = (-, u ) - 2(u , L P), t = (u, u),

du

(2)

где u - четырехмерный вектор с параметрами

K2 - 2 | u 12

hK =-

I u

- уравнение энергии;

ЬТ - транспонированная матрица преобразования Кустаанхеймо [1]; штрих означает дифференцирование по s.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (Проект 2.1.1/745).