Численно-аналитический алгоритм построения огибающей траекторий снарядов в воздухе Текст научной статьи по специальности «Физика»

2009

В Е С Т Н И К П Е Р М С К О Г О У Н И В Е Р С И Т Е Т А___________

Математика. Механика. Информатика Вып.

УДК 531.36

Численно-аналитический алгоритм построения огибающей траекторий снарядов в воздухе

П. С. Чудинов

Пермская государственная сельскохозяйственная академия, 614600, ул. 25 Октября, 10

Рассмотрена классическая задача о движении брошенной под углом к горизонту материальной точки (снаряда). Учитывается сила сопротивления воздуха, причем коэффициент сопротивления считается постоянным. В основном применяются аналитические методы исследования. С помощью простых аналитических формул решена задача построения огибающей семейства траекторий материальной точки. Уравнение огибающей использовано для определения максимальной дальности полета материальной точки. В качестве примера рассмотрено движение бейсбольного мяча.

Введение

Задача о движении брошенной под углом к горизонту материальной точки является составной частью большинства курсов физики и механики и по-прежнему вызывает интерес исследователей [1 —3]. При отсутствии сопротивления воздуха задача имеет хорошо известное аналитическое решение, описывающее движение по параболе. При учете сопротивления воздуха задача, по-видимому, не имеет точного аналитического решения и поэтому в большинстве работ решается численно [4—9]. Аналитические подходы к решению проблемы развиты недостаточно. Между тем аналитические решения компактны, удобны для непосредственного использования в прикладных задачах и особенно удобны для качественного анализа. В рамках такого подхода в [10--13] были получены сравнительно

простые приближенные аналитические формулы для изучения движения материальной точки в среде с квадратичным законом сопротивления.

В данной работе рассмотрено применение формул [10—13] для построения огибающей семейства траекторий материальной точки . Семейство траекторий образуется при бросании материальной точки с одной и той же начальной скоростью, но с различными углами бросания. Задача построения огибающей решается с помощью простых аналитических формул с минимальным применением численного интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки. Полученные формулы позволяют эффективно провести полное качественное исследование задачи. Уравнение огибающей применено для нахождения максимальной дальности полета материальной

П.С. Чудинов, 2009

точки в случае, когда точка падения лежит выше или ниже точки бросания. В приведенных примерах показано, что полученные формулы обеспечивают высокую точность определения максимальной дальности. Ошибка аналитического вычисления дальности не превосходит 0.4 %.

1. Уравнения движения материальной точки и аналитические формулы для основных параметров

Задача о движении материальной точки в воздухе при ряде обычных допущений в случае квадратичного закона сопротивления атмосферы Ц=mgkV сводится к численному интегрированию системы дифференциальных уравнений [14]

dV . п , TZ2 —=-gsin в-gkV

dx _т/ а — =V cos в dt

d в =— g cos в dt =- V

= V sin в

dt

(1)

Здесь V - скорость материальной точки , в -угол между касательной к траектории материальной точки и горизонталью, g - ускорение свободного падения, т - масса точки, х,у - декартовы координаты материальной точки ,

Р aCdS

= const - коэффициент пропор-

- v.

R¿7

У°/ / mg н \

//\9о \

\ ) '

Ха \ А

L к

Рис. 1. Основные параметры движения

В работах [10 -13] получены сравнительно простые приближенные аналитические

формулы для восьми основных параметров движения материальной точки. Приведем необходимые соотношения для максимальной высоты подъема Н, времени движения Т, скорости в вершине траектории Vа , дальности полета L, абсциссы вершины траектории ха, (рис. 1)

H =

V

т/2 • 2а Vosin в0

g (2+kV 2 sin в0)

T = 2

2 H

g

Vocosво

1 +kVn(sinв0+cos воА(во))

0х о

в0 , п

Л(в0 )= ln (tan (—I—))

2 4

L = VaT , x =VLHcotв0

a a v 0

(2)

2 т^

циональности, ра — плотность воздуха, cd — коэффициент сопротивления для сферы, £ -площадь поперечного сечения объекта.

В формулах (2) Vo , в0 - соответственно начальная скорость и угол бросания материальной точки . При отсутствии сопротивления ( к = 0 ) формулы (2) переходят в соответствующие формулы теории параболического движения материальной точки. Все параметры, определенные соотношениями (2), являются функциями начальных условий бросания Vo , в0. В свою очередь, соотношения (2) позволяют получить простые аналитические формулы для шести основных функциональных зависимостей задачи У(х), У (0, х(Г), у(в), х(в), Х(в) [11].

Одним из наиболее важных аспектов задачи является определение оптимального угла бросания материальной точки, обеспечивающего максимальную дальность полета [7], [12]. В работе [12] получено уравнение для определения оптимального угла бросания а в случае, когда точки бросания и падения лежат на одной горизонтали

tan2 а + -

p sin а _

1 + p Л

4+4psin а 1 + p (sin а+Л cos2 а) В этом уравнении введены обозначения

Р = kV2 , Л(а) = к(tan(-2 + п^)) . (3)

Применим формулы из работ [10 —12] для построения огибающей.

2. Огибающая траекторий снарядов в воздухе

При отсутствии силы сопротивления воздуха траектория материальной точки представляет собой параболу. Для различных углов бросания при одной и той же начальной скорости траектории точек образуют семейство парабол. Для предельных парабол максимальная дальность и максимальная высота даются формулами

V

2

L =

тах g

0

н Л

тах 2§

(4)

бросании с начальными условиями Vo , в0 =90 ;

£тах - максимальная дальность, достигаемая при бросании материальной точки с начальной скоростью Vo под некоторым оптимальным

углом ^0 = “ . В параболической теории угол

а = 45° при любой начальной скорости Vo . При учете сопротивления воздуха оптимальный угол бросания а меньше 45° и зависит от

значения параметра

,2

Н тах в принятых обозначениях определяется формулой [8]

Н =-Ц-1п (1+^2)

тах 2 gk 0

(8)

Огибающая этого семейства также является параболой, уравнение которой обычно записывают в виде [15]

g

2В 2 V

(5)

0

Используя соотношения (4), уравнение (5) можно переписать так

У(х)

н

(L2 — х2)

* ' тах >

(6)

Построим аналогичную уравнению (6) аналитическую формулу для огибающей траекторий материальной точки при учете силы сопротивления воздуха. Учитывая структуру формулы (6), будем строить уравнение огибающей в виде

У(х)

н

(L2 — х2)

•' тах >

22 L —ах

(7)

Такая структура уравнения (7) учитывает тот факт, что огибающая имеет максимум при х=0. Кроме того, функция (7) при а >0 имеет вертикальную асимптоту, как и любая траектория материальной точки при учете сопротивления воздуха. В формуле (7) Н тах - максимальная высота, достигаемая материальной точкой при

Выбор положительного коэффициента а в формуле (7) достаточно произволен. Однако он должен удовлетворять условию а = 0 при отсутствии сопротивления среды ( к = 0 ). Найдем этот коэффициент из следующих соображений.

В работе [11] показано, что при учете сопротивления воздуха траектория материальной точки хорошо аппроксимируется функцией

У(х

_нх[ь

(9)

х +(£ — 2х )х

а ' а'

где х, у - декартовы координаты точки, Н -максимальная высота подъема, £ - дальность

полета , ха, - абсцисса вершины траектории. Таким образом, для получения уравнения траектории максимальной дальности требуется три параметра: Н, £тах, ха. Найдем эти параметры следующим образом. При заданном значении ве-

2

личины Р = кУ 0 найдем решение а уравнения (3). Угол а обеспечивает максимальную дальность полета. Интегрируя численно систему (1) с начальными условиями Vo , а , получим

значения Н(а), £тах = £(а), ха(а) для траектории максимальной дальности. Параметр а в формуле (7) найдем из условия равенства угловых коэффициентов касательных к огибающей (7) и к траектории максимальной дальности

У ( х )

Н («) х (L — х)

__________4 ’ 4 тах ’

2

х («) + (L — 2х («))х

П > 4 ТИ /~1\° /7 х / /

О

2

х

в точке падения формула имеет вид

х — Ь

. Соответствующая материальной точки .

2 Н

а — 1 —

Н (а)

1—

х (а)

а' '

Ь

При отсутствии сопротивления воздуха а = 0 .

Уравнение огибающей может быть использовано для определения максимальной дальности в случае, когда точка падения лежит выше или ниже точки бросания. Пусть точка падения лежит на горизонтальной прямой, определяемой уравнением у 1— соп& .

Подставим значение у1 в уравнение (7) и решим его относительно х . Получим формулу

х — Ь

тах тах

Н

Н —аул

тах у 1

(11)

Рис.2. Семейство траекторий и его огибающая

Результаты расчетов с использованием формулы (11) приведены в таблице 1.

Таблица 1. Максимальные дальности при различных высотах точки падения

2

Соотношение (11) позволяет найти максимальную дальность полета при заданной высоте точки падения.

3. Результаты расчетов

В качестве примера рассмотрим движение бейсбольного мяча с коэффициентом сопротивления [6]

к =0.000548 с2/м2.

Другие параметры движения заданы значениями g = 9.81 м/с2, Vo = 50 м/с, у1 = ±20, ±40, ±60 м . Подставляя значения к и ^0 в формулу (8), получаем Н тах = 80.26 м. Далее решаем уравнение (3) при значении безразмерного параметра р — Ш 0 =1.37. Корень этого уравнения дает значение оптимального угла бросания, обеспечивающего максимальную дальность: а=40°. Интегрируя систему уравнений (1) с начальными условиями

Vo = 50, в0= 40°, х0=0, у0=0 , находим значения

Н(а)= 36.2 м, Ьтах = Ь(а) = 133.6 м, ха(а)=75.1 м. Согласно формуле (10) коэффициент а = 0.149. График огибающей (7) построен на рис.2 вместе с семейством траекторий. Отметим, что семейство траекторий получено с помощью численного интегрирования уравнений движения

У1 (м) Аналит. xmax, (м) Числ. xmax, (м) Ошибка (%)

60 71.2 71.1 0.1

40 98.3 98.3 0.

20 118.0 118.0 0.

0 133.6 133.6 0.

-20 146.6 146.5 0.1

-40 157.8 157.5 0.2

-60 167.5 166.9 0.4

Второй столбец таблицы содержит значения дальности, вычисленные аналитически по формуле (11). Третий столбец таблицы содержит численные значения дальности, полученные интегрированием системы уравнений движения (1). Четвертый столбец содержит ошибку вычисления дальности в процентах. Ошибка не превышает 0.4 %. Формула (11) дает практически точные значения максимальной дальности в широком диапазоне изменения высоты точки падения (120 метров). Данные таблицы показывают, что формулы (2), (3), (7), (11) обеспечивают высокую точность вычисления параметров движения.

Отметим, что значения Н(а), Ьтах = Ь(а), ха(а) можно получить с помощью формул (2), не интегрируя численно систему (1). Подставляя Vo

и а в формулы (2), имеем

H(a)= 36.5 м, Lmax = L(a) = 132.4 м, xa(a)=76.0 м . Для данных значений a = 0.2. График огибающей почти не изменяется (сдвиг правого конца графика вдоль оси х составляет менее 1 %).

Заключение.

Предлагаемый подход, основанный на использовании аналитических формул, позволяет существенно упростить качественное изучение движения материальной точки при учете сопротивления воздуха. Все основные параметры движения, функциональные зависимости и различные задачи оптимизации описываются простыми аналитическими формулами. При этом числовые значения искомых величин определяются с высокой точностью. Таким образом, множество формул [10—13] , (3) - (11) позволяет осуществить аналитическое исследование движения материальной точки в среде с сопротивлением подобно тому, как исследовано движение без сопротивления.

Список литературы

1. Morales D.A. Exact expressions fot the range and the optimal angle of a projectile with linear drag // Can. J. Phys. 2005. Vol. 83 P. 67-83.

2. Vial A. Horisontal distance travelled by a mobile experiencing a quadratic drag force: normalised distance and parametrization//Eur. J. Phys. 2007. Vol. 28 P. 657-663.

3. Yabushita K., Yamashita M., Tsuboi K. An analyt ic solution of projectile motion with the quadratic resistance law using the homotopy analysis method// J. Phys. A: Math. Theor. 2007. Vol. 40 P. 8403-8416.

4. Parker G. W Projectile motion with air resistance quadratic in the speed// Am. J. Phys. 1977 Vol.

45 P. 606-610.

5. Erlichson H. Maximum projectile range with drag and lift, with particular application to golf// Am. J. Phys. 1983 Vol. 51 P. 357-362.

6. Tan A., Frick C.H., Castillo O. The fly ball trajectory: an older approach revisited// Am. J.

Phys. 1987 Vol. 55 P. 37-40

7. Groetsch C. W. On the optimal angle of projection in general media//Am. J. Phys. 1997 Vol. 65 P. 797-799.

8. БатьМ.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 2. //М.: Наука,1968. 624 с.

9. Воробьев Л.М. Решение основной задачи внешней баллистики// Прикл. Мат. Мех. 1978 Т. 22. Вып. 3. С. 350-358

10. Чудинов П.С. О движении материальной точ ки в среде с квадратичным законом сопротив-ления//Прикл. Мат. Мех. 2001 Т. 65. Вып. 3. С.436 - 441

11. Chudinov P.S. The motion of a heavy particle in a medium with quadratic drag force//Intern. J. Nonlinear Sciences and Numerical Simulation 2002 Vol. 3 P. 121-129.

12. Chudinov P.S. An optimal angle of launching a point mass in a medium with quadratic drag force//Indian Journal of Physics 2003 Vol.77B P. 465-468

13. Chudinov P.S. Analytical investigation of point mass motion in midair//Eur. J. Phys. 2004 Vol.

25 P. 73 - 79 .

14. Окунев Б.Н. Основы баллистики. Т. 1. Кн. 2// М.:, Воениздат, 1943. 440 с.

15. Bace M., Ilijic S., Narancic Z., Bistricic L. The envelope of projectile trajectories//Eur. J. Phys. 2002. Vol. 23 P. 637-642.

Numerical-analytical algorithm for constructing the envelope of the projectile trajectories in the air

P. S. Chudinov

Perm State Agricultural Academy, 614600, 25-th October st. ,10

A classic problem of the motion of a point mass (projectile) thrown at an angle to the horizon is reviewed. The air drag force is taken into account with the drag factor assumed to be constant. Analytic approach is used for investigation. Simple analytical formulas are used for the constructing the envelope of the family of the point mass trajectories. The equation of envelope is applied for determination of maximum range of flight. The motion of a baseball is presented as an example.