Четыре простые паралогики: семантики и секвенциальные формулировки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Четыре простые паралогики: семантики и секвенциальные формулировки1

В. М. Попов

abstract. The semantics adequate to a paraconsistent logic , a paracomplete logic I2 &, a paranormal logics Io ш and !з,ш are constructed. The sequent systems axiomatizing these logics are discribed. The embeddings of classical propositional logic into , , 12,ш and !з,ш, are defined.

Строятся семантика, адекватная нетабличной простой паране-противоречивой логике , семантика, адекватная нетабличной простой параполной логике 12,ш, семантика адекватной нетабличной простой паранормальной логике 1о>ш, и семантика, адекватная нетабличной простой паранормальной логике 133,ш. Предлагаются секвенциальные формулировки этих логик, удовлетворяющие условию эффективности поиска доказательства. Определяются отображения, погружающие классическую пропозициональную логику в логики 1о>ш , , 12>ш, 1з,ш.

1 Некоторые определения

Язык L, являющийся языком изучаемых здесь логик, есть стандартно определяемый пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат только следующие символы: pi, Р2, Рз,... (пропозициональные переменные языка L), &, V, D (бинарные логические связки языка L), — (унарная логическая связка языка L), левая и правая круглые скобки. Определение L-формулы индуктивно:

(1) всякая пропозициональная переменная языка L является L-формулой;

хРабота выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-06-80292а.

(2) если A и B являются L-формулами, то (A&B), (A V B), (A D B) и (-A) являются L-формулами;

(3) ничто другое не является L-формулой.

Квазиэлементарной L-формулой называем L-формулу, в которую не входит ни одна бинарная логическая связка языка L. Логикой называем непустое множество L-формул, замкнутое относительно правила подстановки в L и правила modus ponens в L. Теорией логики L называем множество L-формул, которое включает L и замкнуто относительно правила модус поненс в L. Ясно, что множество всех L-формул есть теория любой логики. Для всякой логики L тривиальной теорией логики L называем множество всех L-формул. Противоречивой теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для некоторой L-формулы A верно следующее: A £ T и (—A) £ T. Паранепро-тиворечивой теорией логики L называем такую противоречивую теорию T логики L, что T не есть тривиальная теория логики L. Паранепротиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L. Простой па-ранепротиворечивой логикой называем такую паранепротиворе-чивую логику L, что для всякой паранепротиворечивой теории T логики L верно следующее: если A £ T и (—A) £ T, то A есть квазиэлементарная L-формула. Полной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для всякой L-формулы A верно следующее: A £ T или (—A) £ T. Параполной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что T не является полной теорией логики L и всякая полная теория логики L, включающая T, есть тривиальная теория логики L. Параполной логикой называем такую логику L, что существует параполная теория логики L. Простой параполной логикой называем такую параполную логику L, что для всякой параполной теории T логики L верно следующее: существует такая квазиэлементарная L-формула e, что e £ T и (—e) £ T. Простой паралогикой называем логику которая является простой паранепротиворечивой логикой или простой параполной логикой. Простой паранормальной логикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой логикой и простой параполной логикой. Нетабличной логикой называем (следуя А. В. Кузнецову) ло-

гику, для которой не существует конечной характеристической матрицы.

2 Исчисления Н10,ш, Н1\,ш, Н12,ш, Н13ш и логики

1о, ш, 1\, ш, ¡2, ш, 1з, ш Исчисления Н1о,ш, Н1\,ш, Н12,ш, Н1з,ш являются исчислениями гильбертовского типа. Язык каждого из этих исчислений есть Ь. Множеству всех аксиом исчисления Н1о,ш принадлежат все те и только те Ь-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов (здесь и далее А, В и С являются Ь-формулами, а О есть Ь-формула, не являющаяся квазиэлементарной Ь-формулой):

(I) ((А э В) э ((В э С) э (А э С))),

(II) (А э (А V В)),

(III) (В э (А V В)),

(IV) ((А э С) э ((В э С) э ((А V В) э С))),

(V) ((А&В) э А),

(VI) ((А&В) э В),

(VII) ((С э А) э ((С э В) э (С э (А&В)))),

(VIII) ((А э (В э С)) э ((А&В) э С)),

(IX) (((А&В) э С) э ((А э (В э С))),

(X) ((А э (-(В э В))) э (-А)),

(XI) ((-Б) э О э А)).

Множеству всех аксиом исчисления Н1\шШ принадлежат все те и только те Ь-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из видов (^-(Х^ или имеет вид ((В э (-(А э А))) э (-В)). Множеству всех аксиом исчисления Н/2,ш принадлежат все те и только те Ь-формулы, каждая из которых имеет хотя бы один из видов ^)-(Х), или имеет вид (XII), или имеет вид ((-В) э (В э А)). Множеству всех аксиом исчисления Н1з ,ш принадлежат все те и только те Ь-формулы, каждая из которых есть аксиома

исчисления HIo,ш или имеет вид ((A&(-iA)) D (B V (-B))). Правило modus ponens в L является единственным правилом вывода любого из исчислений HIo ,ш, HIi,ш, HI2,ш, HI3,ш. Выводы (в частности, доказательства) в каждом из этих исчислений строятся обычным для гильбертовского исчисления образом. Для любого из этих исчислений определение L-формулы, доказуемой в нем, стандартно. Итак, исчисления HIo,ш, HIi,ш, HI2,ш, HI3,ш заданы. Условимся об обозначениях: для всякого k из {0,1, 2, 3} обозначаем через Ik,ш множество всех L-формул, доказуемых в HIk, ш, а через CLP обозначаем множество всех классических тавтологий в языке L. Доказана следующая теорема 1.

ТЕОРЕМА 1. Io ш есть простая паранормальная логика, Ii^ есть простая паранепротиворечивая логика, не являющаяся па-раполной логикой, I2,ш есть простая параполная логика, не являющаяся паранепротиворечивой логикой, I3,ш есть простая паранормальная логика, CLP есть логика, не являющаяся па-ралогикой.

3 Семантическая характеризация логик I0,ш, I1,ш,

I2, ш ? I3, ш

Io ш-оценкой называем отображение множества всех квазиэлементарных L-формул во множество {0,1}. Учитывая, что для всякой квазиэлементарной L-формулы e квазиэлементарной L-формулой является (-e), даем определение Ii ш-оценки, определение I2 ш-оценки, определение I3 ш-оценки и определение CLP-оценки. Ii, ш-оценкой называем такую Io ,ш-оценку v, что для всякой квазиэлементарной L-формулы e верно следующее: v(e) = 1 или v((—e)) = 1. I2,ш-оценкой называем такую Io,ш-оценку v, что для всякой квазиэлементарной L-формулы e верно следующее: v(e) = 0 или v((—e)) = 0. I3 ,ш-оценкой называем такую Io ,ш-оценку, которая является Ii ш-оценкой или I2 ш-оценкой. CLP-оценкой называем Io ш-оценку, которая является Ii ш-оценкой и I2 ш-оценкой. Можно доказать, что для всякой Io ш-оценки v существует единственное отображение | |v множества всех L-фор-мул во множество {0,1}, удовлетворяющее условиям:

(а) для всякой квазиэлементарной L-формулы e верно, что lelv = v(e);

(б) для всякой Ь-формулы А, не являющейся квазиэлементарной Ь-формулой, верно, что |(—А)|^ = 1 тогда и только тогда, когда = 0;

(в) для всяких Ь-формул А и В верно, что 1(А&В= 1 тогда и только тогда, когда 1АV = 1 и 1В= 1, |(А V В= 1 тогда и только тогда, когда = 1 или В= 1, |(А э В)^ = 1 тогда и только тогда, когда = 0 или = 1.

С использованием надлежащих модификаций леммы Линденба-умана о расширении теории доказана следующая теорема 2.

ТЕОРЕМА 2. Для всякого к из {0,1, 2, 3} и всякой Ь-формулы А верно следующее:

(1) А £ ,ш тогда и только тогда, когда для всякой Iк, ш -оценки V = 1,

(2) А £ СЬР тогда и только тогда, когда для всякой СЬР-оценки V = 1.

Опираясь на определения логик 1о,ш, 1\,ш, 12 ,ш, 1з ,ш и СЬР и теорему 2, нетрудно установить соотношения между указанными логиками: 1о ,ш ^ 1з,ш, 1о,ш = 1з,ш, 1з,ш = 1\, шШ2 ,ш, Л,ш ^ СЬР, 12,ш ^ СЬР, I! ,ш не включается в 12,ш, 12 ,ш не включается в II ,ш. Теорема 2 лежит в основе семантического доказательства разрешимости всех рассматриваемых здесь простых паралогик. Теорему 2 удобно применять при доказательстве сформулированных ниже утверждения 3 и утверждения 4, которые использованы при доказательстве нетабличности логик 1о,ш, 11,ш, 12,ш и 1з,ш.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Для всякого к из {0,1,2,3} верно, что (Р1 э Р1) £ 1к,ш.

Предваряя формулировку утверждения 4, условимся об обозначении. Заметим, что для всякой пропозициональной переменной р языка Ь и всякого целого неотрицательного числа т существует единственная квазиэлементарная Ь-формула, число вхождений логической связки — в которую равно т ив которую входит р. Поэтому корректно следующее обозначение: для всякой пропозициональной переменной р языка Ь и всякого целого

неотрицательного числа т обозначаем через —(ш)р ¿-формулу, число вхождений логической связки — в которую равно т ив которую входит р.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Для всякого к из {0,1, 2, 3}, для всякого целого неотрицательного числа т и для всякого целого положительного числа п верно, что (—(ш)р1 Э —(т+п)р1) £

1к,ш или

( — (ш+п) р1 Э —Ш)р1) £ 1кшш .

ТЕОРЕМА 5. Для всякого к из {0,1, 2, 3} верно, что 1к,ш есть нетабличная логика.

Используя определение логики и определение нетабличной логики и учитывая, что 1к,ш есть логика при всяком к из {0,1, 2, 3}, можно доказать теорему 5, опираясь на утверждение 3, утверждение 4 и нижеследующую лемму.

ЛЕММА 6. Если М есть такое множество Ь-формул, что (р1 Э р1) £ М, и для всякого целого неотрицательного числа т, и для всякого целого положительного числа п верно, что (—ш)р Э —(ш+п)р1) £ М или (—ш+п)р1 э —(ш)р) £ М, то М не имеет конечной характеристической матрицы.

Доказательство этой леммы базируется на том известном факте, что множество всех отображений конечного множества в себя, конечно.

4 Секвенциальные исчисления ,ш, С11,ш, С12,ш,

, ш

Секвенции имеют вид п ^ р, где п и р — конечные последовательности Ь-формул (конечной последовательностью Ь-формул являются, в частности, пустое множество и любая Ь-формула). Для всякого к из {0,1, 2} множество всех основных секвенций секвенциального исчисления С1к,ш есть множество всех секвенций вида А ^ А, где А есть Ь-формула. Множеству всех основных секвенций секвенциального исчисления С1з,ш принадлежат все те и только те секвенции, каждая из которых есть основная секвенция секвенциального исчисления С1о,ш или имеет вид А, (—А) ^ В, (—В). Правилами вывода исчисления С1о,ш являются все формулируемые ниже секвенциальные правила вывода Я1— Яи и только они. Далее везде предполагаем, что Г, А, £ и В — конечные последовательности Ь-формул.

Ri : R3 : R5 : R7 : R9 :

R

ii:

R

13:

R

15:

R

16:

R

17:

r,A,B, А — в Г, B, A, А — в '

A,A, Г — в A, Г — в '

Гв

R2 :

R4:

Г — A'A'B, в Г — A'B'A, в '

Г в, A, A

A, Г — в ' Г A, A B' S

R6:

Г — в, A Гв

в

(A э B), Г, S

A, Г — в (A&B), Г — в,

Г — в, A Г — в,B

— А, в' R10:

Г — в,A' Rg:

A, Г — в,B

Г — B, Г

в, (A э B) ' в

Г — Г

в, (A&B) в, B

R12:

(A&B), Г — в'

Г -»■ в, A

Г — в, (A V B) '

R

14:

Г — в, (A V B) '

A, Г — в B, Г — в (A V B), Г — в ,

Г — в,в (-D), Г — в

D, Г — в Г — в, (-D)

Г — A, A A, S

(здесь D есть L-формула, не являющаяся квазиэлементарной L-формулой)

(здесь D есть L-формула, не яв-

ляющаяся формулой)

квазиэлементарной

L-

в

(правило сечения)

Г, Я ^ А, в

Правилами вывода исчисления С1з,ш являются все правила вывода исчисления С1о,ш и только они. Секвенциальное правило вывода

Г -»■ в, А

(^)Г — в

обозначаем через R18, а секвенциальное правило вывода

A, Г в

Г — в, (-A)

обозначаем через R19. Правилами вывода исчисления С11,ш являются все секвенциальные правила R1-R15, R17 и R19 и только

—>

они, а правилами вывода исчисления С12,ш являются все секвенциальные правила R1—R14, R16-R18 и только они. Выводы во всех исчислениях GIo,ш, GIi,ш OÏ2, ш и GI3,ш строятся обычным для секвенциальных исчислений образом (см. [1, 2]). Для всякого из этих исчислений определение выводимой в нем секвенции стандартно (см. [1, 2]). Итак, секвенциальные исчисления GIo,ш, GIi,ш, GI2,ш и GI3,ш заданы. Теорема об устранимости сечения (для каждого из этих исчислений) и нижеследующие теоремы 7 и 8 доказаны с использованием методов работы [1].

ТЕОРЕМА 7. Для всякого k из {0,1, 2, 3} и всякой L-формулы A верно следующее: A £ Ik,ш тогда и только тогда, когда ^ A есть выводимая в GIk,ш секвенция.

ТЕОРЕМА 8. Для всякого k из {0,1, 2, 3} секвенциальное исчисление GIk,ш разрешимо.

Из теорем 7 и 8 следует, что для каждого k из {0, 1, 2, 3} па-ралогика Ik,ш разрешима.

5 Логики I0,ш, I1,ш, I2,ш, I3,ш и логика CLP

С использованием теоремы 7 и результатов работы [1] доказано, что для всякого k из {0,1, 2, 3} позитивный фрагмент логики Ik,ш равен позитивному фрагменту логики CLP. Доказаны также теоремы 5 и 6 о погружении логики CLP в логики Io,ш, Ii, ш, I2,ш и I3, ш.

ТЕОРЕМА 9. Пусть I £ {Io ,ш,Ii,шД2,ш, I3,ш} и ф есть вычислимое отображение множества всех пропозициональных переменных языка L во множество всех L-формул, удовлетворяющее условиям:

(1) не есть пропозициональная переменная языка L ни для какой пропозициональной переменной p языка L,

(2) для всякой пропозициональной переменной p языка L (p D ф(р)) и (ф(р) D p) принадлежат I.

Пусть h есть такое отображение множества всех L-формул в себя, что для всякой пропозициональной переменной p языка L и всяких L-формул B и C выполняются следующие условия:

(a) hv(p) = <p(p),

(b) Н<р((В • С)) = (Н^(В) • К(С)), где • £ {&, V, э},

(c) К((—В)) = (—Н^(В)).

Тогда для всякой Ь-формулы А : А £ СЬР тогда и только тогда, когда Н^(А) £ I.

ТЕОРЕМА 10. Пусть I £ , !з,ш } и д есть такое

отображение множества всех Ь-формул в себя, что для всякой пропозициональной переменной р языка Ь и всяких Ь-формул В и С выполняются следующие условия:

(1) д(р) = р,

(2) д((В • С)) = (д(В) • д(С)), где • £ {&, V, э},

(3) д((—В)) = (д(В) э (—(рр1 э р!))).

Тогда для всякой Ь-формулы А : А £ СЬР тогда и только тогда, когда д(А) £ I.

Используя теорему 10, можно доказать, что для всякой пара-логики I из ,Il,ш Д2,ш, !з,ш} и всякой Ь-формулы А, всякое вхождение логической связки в которую имеет вид «1 ... зт(*— * (р1 э р1 ))Г1 .. .гп (где т и п — целые неотрицательные числа, «1,..., «т, Г1,... ,гп — символы, принадлежащие алфавиту языка Ь, а * — вхождениеобразующий символ), верно следующее: А £ СЬР тогда и только тогда, когда А £ I.

Литература

[1] Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М., 1967. С. 9—74.

[2] Смирнов В. А. Формальный вывод и логические исчисления // Смирнов В.А. Теория логического вывода. М., 1999. С.16—233.