CC BY
13
Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 2. С. 69—76
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 512.5
Большие элементарные абелевы унипотентные подгруппы групп лиева типа *
Г. С. Сулейманова
Сибирский федеральный университет
Аннотация. В статье завершается описание больших элементарных абелевых уни-потентных подгрупп групп лиева типа.
Ключевые слова: группа лиева типа; унипотентная подгруппа; большая абелева подгруппа.
Для любого теоретико-группового свойства V большой V-подгруппой конечной группы называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка.
Известно, что вопрос описания больших абелевых подгрупп группы О лиева типа над конечным полем, изучаемый с 70-х годов, сводится к аналогичному вопросу для унипотентного радикала и подгруппы Бо-реля в О, подобно схеме А. И. Мальцева [10] для простых комплексных алгебр Ли. Для классических типов к середине 80-х годов были найдены множество А(и) больших абелевых подгрупп в и, его подмножество Ам(и) нормальных в и подгрупп из А(и) и множество Ае(и) больших элементарных абелевых подгрупп в и, а также подгруппы Томпсона
В 1986 году в обзоре А. С. Кондратьева [3] как проблема (1.6) записана
Проблема: Описать множества А(и),Ам(и),Ае(и) и подгруппы Томпсона 1 (и), ,1е(и) для оставшихся случаев О.
Е. П. Вдовин [1], [2] исследовал проблему, развивая метод А.И. Мальцева [10] и используя компьютерные перечисления. Для абелевой под-
1. Введение
1 (и) = (А | А е А(и)}, 1е(и) = (А | А е Ае(и)}.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00968.
группы А и нильпотентной подгруппы N конечной простой неабелевой группы С он доказал: | А |3<\ С | при С = А^д); | N |2<\ С |.
Автор и В.М. Левчук реализуют подход, анонсированный в [6], связанный с предварительным описанием максимальных нормальных абе-левых подгрупп в и. Так, в [7], [8], [18], [13], [14], [15] и [19] завершено описание множеств А(и ),АN (и) и подгрупп Томпсона ■] (и). В настоящей статье завершается описание множеств Ае(и) и подгрупп Томпсона Зе(и); см. § 3 и § 4.
2. Предварительные замечания и основная теорема
Группу Шевалле, ассоциированную с системой корней Ф и полем К, обозначаем через Ф(К). Как и в [17], [12], ее порождают корневые подгруппы Хг = хг (К), г € Ф; для положительных корней г € Ф+ они порождают унипотентную подгруппу и = иФ(К). Скрученную группу тФ(К) определяют как централизатор в Ф(К) скручивающего автоморфизма в порядка т = 2 или 3 - композиция графового автоморфизма т € АиЬ Ф(К) и автоморфизма а : Ь ^ £ основного поля, причем в(Хг) = т(Хг) = Хг (г € Ф) для естественного продолжения " на Ф симметрии графа Кокстера порядка т и и = итФ(К) := тФ(К) П иФ(К). Когда все корни в Ф одной длины, выберем гомоморфизм ( решетки корней, согласно [4], [18], где полные прообразы элементов из £(Ф) есть " -орбиты в Ф длины 1 или т. В частности, для типа и 2Еб можно рассматривать ((Ф) как систему корней типа С2 и ^4, соответственно. Для а € ((Ф) в группе тФ(К) выделяем корневые подгруппы Ха = ха(Ка), Ка := Кег(1 — а) при _1(а)| = 1 и Ха = ха(К) _1(а)| = т. Полагая тФ = ((Ф), имеем
и = иС(К) = (Хг | г € С+), С = Ф или тФ.
Стандартный центральный ряд и = и 5 и2 5 ■ ■■ группы и см. [17].
Пусть {г}+ - совокупность всех в € С+ с неотрицательными коэффициентами в разложении в — г через базу П(С). Полагаем
Т(г) := Х | в €{г}+), Q(г):= (Х3 | в €{г}+, в = г), г € С.
Если Н С Т(г1)Т(г2)... Т(гт) и любая замена Т(п) на Q(гi) нарушает включение, то С(Н) = г2, ■ ■■ , гт} назовем .множеством углов в Н. Через ^(Н) обозначаем множество первых углов всех элементов из Н.
Как правило, большие элементарные абелевы подгруппы в и лежат в А(и). Более точно, в работах Барри и Вонга для классических типов (см. обзор [3]) и для исключительных типов в [1], [18] и [19] установлена
Теорема 1. В группе U = UG(K) все большие элементарные абелевы подгруппы есть большие абелевы; исключительными являются лишь группы G2(2), 3D4(8), группы Сузуки 2B2(K) и группы Ри 2F4(K).
Порядки больших абелевых подгрупп в U известны, [1] и [18].
Лемма 1. В группе U = UG(K) порядок a(U) больших абелевых подгрупп равен порядку ae(U) больших элементарных абелевых подгрупп, кроме случаев: a(U) = 2ae(U) = 2|U3| для групп UG2(2) и U3D4(8), a(U) = 2ae(U) = 2|K| для типа 2B2, наконец, a(U) = 2 ■ ae(U) = 2|K|5 для типа 2F4.
Описание подгрупп Томпсона Je(U) и множества Ae(U), когда оно лежит в A(U), легко следует из известных описаний A(U); см. обзор [3] для классических типов и [1], [18], [19] для исключительных типов.
Подгруппы Томпсона Je(U) и множество Ae(U) для оставшихся, исключительных в теореме 1 групп мы выявляем в §§ 3 и 4. Отметим, что в [19] изучался только случай Ae(U) С A(U).
Зафиксируем регулярное упорядочение корней, согласованное с функцией высоты корней [17, Лемма 5.3.1]. Всякий элемент y в U допускает единственное согласованное (каноническое) разложение в произведение корневых элементов xr(Yr) (r £ G+), [12, Лемма 18]. Коэффициент Yr называем r-проекцией элемента y. Очевидно, первый угол элемента y соответствует его первому сомножителю в каноническом разложении.
3. Группы U типа G2 и 3D4
В этом параграфе мы опишем большие элементарные абелевы подгруппы групп U = UG(K) типа G2 и 3D4. Нам потребуются леммы.
Далее для типа 3D4 полагаем п := 1+а+а2. Порядок любой подгруппы A в U можно оценивать через порядки проекций Ai пересечений:
A П Ui = xr(Ai) mod Ui+i, 1 < ht(r) = i < 5;
|A| = A : A П U2HA2HA3HA4HA51. Нам потребуются следующие три леммы из [18] и [19].
Лемма 2. Пусть A - абелева подгруппа в U. Тогда в K существуют элементы da,db и аддитивная подгруппа F такие, что dbFA4 = 0 и
A = y(F) ■ (A П U2), y(t) = xa(dat)xb(dbt) mod U2 (t £ F).
Для типа 3D4 и G2 имеем, соответственно, (A2A3)n = 0 и 3A2A3 = 0, а при daF э 1 аналогично A2+a = AJ = 0 и 2A2 = 3A3 = 0.
Лемма 3. Если 2K = K, то Ker(1 + а) = 0. В общем случае имеем:
K = K+ Ka, Ka П K= 2Ka, Kn = Ka, Ker(n) = K1-a.
Лемма 4. Если Д1 := Xa+bX2a+bU5 и Д2 := XbU4, то T(b) = A1A2-Когда U типа G2 и 3K = 0, централизатор C(Д1) равен T(b) и центр Z в U равен X2a+bU5; в остальных случаях C(Д1) = Д2, C(Д2) = Д1 и Z = U5. Кроме того, Д1 ~ Д2 ~ UT(3, K), когда U типа G2 и 3K = K, и Д2 ~ UT(3, Ka) для типа 3D4.
Лемма 5. Пусть 2K = 0, y е U, y2 = 1 и y = ^a+b(s)^2a+b(t) mod U4, s,t E K. Тогда st = 0 для типа G2 и st E K1-a типа 3D4.
Доказательство. В условиях леммы получаем 1 = Y2 = [Xa+b(s),X2a+b(t)\.
Для типа G2 отсюда сразу же следуют равенства x3a+2b(3st) = 1 и st = 0. Когда U типа 3D4, при s E Ka находим 0 = s(tn) = (st)n и, по лемме 3, st E K1-а. В общем случае при s E K* существует K-характер % решетки корней с условиями %(a) = s-1, x(b) = 1. Диагональный автоморфизм h(x) переводит y в элемент порядка 2, равный xa+b(1)x2a+b((ss)-11) по модулю U4. По доказанному, t E ssK1-а и поэтому st E K1-а. □
Лемма 6. Если A - элементарная абелева подгруппа в U, 2K = 0, то
T(a) = C(U4) 5 A или T(b) 5 A D U5. (3.1)
Доказательство. Достаточно показать, что угол в A единствен. Допустим противное, т. е. A содержит элемент с углом a и элемент с углом b. Очевидно, один из этих элементов или их произведение есть элемент y E A, равный xa(t)xb(1) по модулю U2 при подходящем t = 0. Тогда соотношения
Y2 = [xa(t),Xb(1)] = Xa+b(t) mod U3
дают противоречие с элементарной абелевостью подгруппы A. □ К элементарным абелевым подгруппам порядка | U3 \ в U относятся
U3, Xa+bU4, Xa U4, XbXa+b U5, XbX2a+bU5. (3.2)
Теорема 2. В группе U = UG2(2) всякая большая элементарная абелева подгруппа сопряжена подгруппе из (3.2).
Доказательство. Выберем произвольную подгруппу A E Ae (U). В первом случае из (3.1) имеем A = {j) х U4 для элемента y E T(a) \
и4, = 1. По лемме 5, при А С и2 получаем А = Ха+ьи4 или А = из. Когда 7 имеет угол а, с точностью до Хь-сопряжения, элемент 7 лежит в Хаи3. В этом случае он пь-сопряжен с элементом порядка 2 из и2, так что 7 е Хаи4, по лемме 5, и поэтому
А = Хаи4 = (Ха+Ьи4)пь.
В оставшихся случаях А = (а} х (в} х и5 для элемента а с углом Ь и элемента в е и2 \ и4 с одним из условий, где V, ¡,д е К:
(1) в = Ха+ь(1)Х3а+Ь(V), а = Хь(1)Х2а+ь(1 )%3а+ь(д)',
(И) в = Х2а+Ь(1)х3а+Ь^), а = Хь(1)Ха+ь(1 )х3а+Ь(д).
В обоих случаях а2 = [Хь(1),Х3а+Ь(д)] = Хза+2ь(д) = 1 и поэтому д = 0. С точностью до Ха-сопряжения А, можно считать V = 0 в (1), а в (п) -f = 0. Тогда соотношение 1 = [а, в] дает f = 0 в(1)и V = 0 в (п). Таким
образом, А = ХьХа+Ьи5 = (Щ)'^ или А = ХьХ2а+ьи5 = (Ха+ьЩ)^. □
В группе лиева типа 304 подгруппу А1 = Ха+ьХ2а+ьи5 нормализует па. Выделим аддитивные преобразования ~ поля К и в(V) такие, что
в(V) := Ха+Ь^)Х2а+Ь(V), (г~ - =0 (г^ е К).
Лемма 7. Большие элементарные абелевы подгруппы в и2 группы и типа 304 исчерпывают подгруппы вида в(К)и4, и3, а также диагонально сопряженные к подгруппам
Ха+ь(Ка )Х2а+Ь (К1-а )и5 или Ха+Ь (К1-а )Х2а+Ь (КаЩ. (3.3)
Доказательство. Выберем, как в лемме, подгруппу А. Условия абелевости А из леммы 2, в частности, включение А2Аз С Кег(п) = К1-а сохраняются при умножениях А^ и ^ на элементы из Ка. Когда А2 и Аз порождают ненулевые Ка-модули, размерность хотя бы одного из них равна 1; иначе (А П и2)и4 - элементарная абелева подгруппа порядка > ае(и). С точностью до диагонального и па- сопряжений, А2 = Ка и, по лемме 5, Аз С К1-а. Отсюда следует, что А - первая подгруппа (3.3). □
Полное описание А(и) и Ае(и) получаем и для типа з04, по аналогии с типом О2, используя леммы 6 и 7; описание подгрупп Томпсона см. § 4. Заметим, что Ха (^)-сопряжение Ха+ьи4 дает подгруппу в (К )и4, где
~ = Ш+ <и, (г~ - и) = [¿(Ш - т + т- Ш)]П = (й ■ 0)п = 0 (г, V е К).
4. Группы и типа 2В2 и и подгруппы Томпсона
Группа лиева типа 2В2 (или группа М. Сузуки) и группа Ри типа определены над полем К с автоморфизмом " таким, что X2 = х,х € К.
Хорошо известно, что для типа 2В2 множество А(и) всех больших абелевых подгрупп в и образуют максимальные абелевы подгруппы; их исчерпывают подгруппы вида (^)и (7 € и \ и2). В частности,
3 (и) = и, Ае(и) = {и2} ии) = и2.
Для группы и = и2^4(К) в представлении из [5, § 4 (I)] подгруппу и порождают «корневые элементы» Я(£), соответствующие столбцам с номерами > г в следующей таблице:
Я21 Я2 ,-1 Я3,-1 Я3,-2
Я32 Я31 Я43 Я42 Я41 Я4 , -1 Я4 ,-2 Я4 ,-3. Основные соотношения [5, Лемма 4] показывают, что подгруппы
(Я21(К)Я2,-1 (К)), (Я43 (К)Я4,-3(К)), (Я3« (К)Я4,2-и (К)) (М = 1)
изоморфны и2В2(К); отображение £ ^ Ят(£) (£ € К) для оставшихся Ят есть изоморфизм аддитивной группы К + поля К в и.
Из основных соотношений сразу же следует, что подгруппы
(Я43(1))Я42 (К )и5, (Я3,-1(1))Я2,-1 (К)Я3,-2(К)и6 (4.1) есть большие абелевы в и, а подгруппы
Я42 (К) и5, Я32 (К) Я42 (К) Я41 (К) Я4 , -1 (К) и8,
Я3,-2(К)и5, Я2,-1(К)Я3,-2(К)иб (4.2)
- большие элементарные абелевы. ((Я31(1))Я42(К)Я41(К)и7 - максимальная абелева подгруппа, а ее порядок < ае(и).)
Используя [5, Лемма 4], несложно показать, что (4.1) и (4.2), с точностью до В-сопряжения, исчерпывают соответствующие подгруппы. Это дает также подгруппы Томпсона.
Замечание. В [18] показано, что в конечной группе и либо каждая большая абелева подгруппа С-сопряжена с нормальной подгруппой в и, либо С типа С2, 304, Г4 или 2Е6. К исключениям в [18, Теорема 6.5] нужно отнести также тип с учетом [5, Лемма 4], вторая из подгрупп в (4.1) не является нормальной в и (ср. с замечанием после таблицы 3 в [2]) и, более того, она не С-сопряжена с нормальной подгруппой в и.
Резюмируем с уточнениями результаты о подгруппах Томпсона для групп и исключительных типов.
Теорема 3. Пусть и = иС(К) - исключительного типа. Тогда:
a) 3(и) = 3е(и) = П6=1Та) для типа Е8;
b) А(и) = Ам(и) = Ае(и) для типа Е6 и Е7;
c) 3 (и) = 3е (и) = иа1 в группе и^(К) при 2К = К ив и 2Еб(К);
() 3(и) = 3е(и) = и в группе и^(К) при 2К = 0;
е) 3(и) = Т(а), 3е(и) = и в группе и3£4(8) и 3(и) = 3е(и) = и в группах и3£4(К) при Ка| > 2 и иС2(К) при К| > 2;
¡) 3(и) € Ам(и), Ам(и^ = 1 и 3е(и) = и для группы иС2(2);
д) 3(и) = и, 3е(и) = и2 в группе и2В2(К);
Ь) 3(и) = Я2 ,-1(К)и3, 3е(и) = Я32(К)и2 в группе и2^(К).
Список литературы
1. Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле / Е. П. Вдовин // Мат. заметки - 2000. -- Т. 68, вып. 1. - С. 53-76.
2. Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле / Е. П. Вдовин // Алгебра и логика. - 2001. - Т. 40, № 5. - С. 523-544.
3. Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле / А. С. Кондратьев // Успехи мат. наук. - 1986. - Т. 41, № 1 (247). - С. 57-96.
4. Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых ЛБЛ-групп / В. М. Левчук // Мат. заметки. - 1982. - Т. 31, вып. 4. - С. 509-525.
5. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле / В. М. Левчук // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29, № 2. - С. 141-161.
6. Левчук В. М. Обобщенные унипотентные подгруппы классических линейных групп / В. М. Левчук // Фундам. и прикл. математика. - 1996. - Т. 2, № 2. -С. 625-627.
7. Левчук В. М. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы / В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова // Докл. РАН. -2008. - Т. 419, № 5. - С. 595-598.
8. Левчук В. М. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле / В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова // Тр. ИММ УрО РАН. - 2009. - Т. 15, № 2. - С. 133-142.
9. Левчук В. М. Нормальное строение унипотентной подгруппы групп лиева типа и её экстремальные подгруппы / В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова // Фундам. и прикл. математика. - 2012. - Т. 17, № 1. - С. 155-169.
10. Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли / А. И. Мальцев // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1945. - Т. 9, № 4. - С. 291-300.
11. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли / Ж.-П. Серр. - М. : Мир, 1969. - 379 с.
12. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле / Р. Стейнберг. - М. : Мир, 1975. -264 с.
13. Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы / Г. С. Сулейманова // Фундамен. и прикл. математика. - 2009. - Т. 15, № 7. - С. 205-216.
14. Сулейманова Г. С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа F4 больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы / Г. С. Сулейманова // Владикавказ. мат. журн. - 2011. - Т. 13, вып. 2. - С. 45-55.
15. Сулейманова Г. С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа E8 больших абелевых унипотентных подгрупп / Г. С. Сулейманова // J. of Siberian Federal University. Math. & Physics. - 2011. - Vol. 4, Issue 4. - P. 536-540.
16. Сулейманова Г. С. Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа / Г. С. Сулейманова // Вестн. СибГАУ. - 2012. - Т. 44, № 4. - С. 61-64.
17. Carter R. Simple groups of Lie type / R. Carter. - N. Y. : Wiley and Sons, 1972.
18. Levchuk V. M. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type / V. M. Levcuk, G. S, Suleimanova // Journal of Algebra. - 2012. - Vol. 349, N 1. - P. 98-116.
19. Levchuk V. M. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups / V. M. Levcuk, G. S, Suleimanova // J. of Siberian Federal University. Math. & Physics. - 2013. - Vol. 6, Issue 1. - P. 63-73.
G. S. Suleimanova
Large elementary abelian unipotent subgroups in Lie type groups
Abstract. The description of large elementary abelian unipotent subgroups in Lie type groups is completed.
Keywords: Lie type group; unipotent subgroup; large abelian subgroup.
Сулейманова Галина Сафиуллановна, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 тел.: (3912)2062148 ([email protected])
Suleimanova Galina, Institute of Mathematics and Computr Science, Siberian Federal University, 79, Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Phone: (3912)2062148 ([email protected])
