CC BY
30
УДК 551.326.85:[551.321.8:519.63](282.256.341) Асламов Илья Александрович,
научный сотрудник, Лимнологический институт ИНЦ СО РАН.
тел. 8(3952)423299, [email protected] Козлов Владимир Васильевич,
программист, Институт динамики систем и теории управления ИНЦ СО РАН,
тел. 8(3952)453037, e-mail: [email protected]
Мизандронцев Игорь Борисович,
д.г.н., ведущий научный сотрудник, Лимнологический институт ИНЦ СО РАН.
тел. 8(3952) 42-65-02, e-mail: [email protected]
Кучер Константин Мирославович,
ведущий инженер, Лимнологический институт ИНЦ СО РАН.
тел. 8(3952)423299, e-mail: [email protected] Макаров Михаил Михайлович,
научный сотрудник, Лимнологический институт ИНЦ СО РАН.
тел. 8(3952)423299, e-mail: [email protected] Горнов Александр Юрьевич,
д.т.н. Институт динамики систем и теории управления ИНЦ СО РАН, зам. директора по НР
8(3952) 453004, e-mail: [email protected]
Гранин Николай Григорьевич,
к.г.н., зав. лаб. гидрологии и гидрофизики, Лимнологический институт ИНЦ СО РАН.
тел. 8(3952)423299, e-mail: [email protected]
АВТОМАТИЗАЦИЯ ИНЖЕНЕРНО-ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ
I.A. Aslamov, V. V. Kozlov, I.B. Mizandrontsev, K.M. Kucher, M.M. Makarov, A. Yu. Gornov, N.G. Granin
AUTOMATION OF ENGINEERING-HYDROLOGYCAL INVESTIGATION
Аннотация. Описан разработанный программно-аппаратный комплекс для исследования динамики толщины ледового покрова. Также на основе нелинейной модификации задачи Стефана разработана математическая модель для многослойной совокупности контактирующих сред воздух - лед - вода с различными теплофизическими свойствами. Верификация и идентификация модели выполнены с использованием результатов инструментальных измерений.
Ключевые слова: термисторная коса, гидроакустический толщиномер льда, задача Стефана, фазовый переход, моделирование.
Abstract. The developed hardware-software complex for studying the dynamics of the thickness of the ice cover is described. Based on the nonlinear modification of the Stefan problem, a mathematical model is developed for a multilayered set of contacting air - ice - water media characterized by different
thermal conditions. Verification and identification of the model are made using the results of instrumental measurements.
Keywords: thermal sensors chain, hydroacous-tic ice thickness meter, Stefan problem, phase transition, modeling.
Введение
В течение последнего десятилетия лаборатория гидрологии и гидрофизики Лимнологического института СО РАН проводит систематические исследования ледового покрова озера Байкал. Инструментальными методами изучается динамика толщины льда при переменной температуре воздуха и приходящей радиации, температурные волны в ледовом покрове и плотностная конвекция в подледном слое воды, обусловленная вымораживанием компонентов солевого состава. Исследуется режим подледного конвективного пере-
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
носа и макротурбулентного тепломассообмена, а также влияние проникающей радиации на конвективные процессы и генерацию геострофических течений льдом с разной степенью заснеженности.
Количественное описание процесса нарастания ледового покрова и интерпретация результатов проведенных измерений потребовали применения методов математического моделирования структуры многослойной системы воздух - лед -вода, процессов тепломассопереноса в ней и сопряженных с ними фазовых превращений воды. Данная проблема относится к классу недостаточно изученных обратных нелинейных задач математической физики для совокупности контактирующих сред с сильно различающимися теплофизическими характеристиками при подвижных фазовых границах. При этом возникла необходимость оценки толщины микрозоны воды на контакте с нижней кромкой льда с молекулярным переносом тепла, а также коэффициента турбулентной температуропроводности в свободной подледной воде. Обе эти характеристики зависят от скорости подледных течений.
Существующие модели водоемов, включающие динамику ледового покрова [1-5], из-за отсутствия данных измерений в тонком подледном слое воды не позволяют с достаточной точностью оценить потоки тепла, определяющие направление и интенсивность сопряженных с ними фазовых переходов лед - вода. При этом ледовые явления исследовались в основном на неглубоких пресных водоемах, либо для условий соленых морских вод, что не позволяет напрямую использовать эти модели для описания ледового покрова такого водоема, как озеро Байкал. К тому же, вопросы подледного турбулентного обмена в области пограничного слоя недостаточно проработаны. Обычно внимание уделяется количественному описанию подледного конвективного обмена [6-8]. Кроме того, параметризация вертикального турбулентного тепломассообмена в основном рассматривается в условиях открытой водной поверхности, непосредственно взаимодействующей с атмосферой [9-11]. Поэтому была разработана математическая модель формирования профиля температуры в многослойной системе, включающей условия на поверхности ледового покрова, лед, микрозону на поверхности раздела лед - вода, пограничный ламинарный и залегающий под ним турбулизиро-ванный слои воды. На стадиях нарастания и таяния льда рассмотрены фазовые переходы воды в совокупности с процессами теплообмена с атмосферой, объемного поглощения проникающей солнечной радиации подледной водой и ее турбу-
лентного обмена с основной водной толщей. В отличие от других моделей, для расчета тепловых потоков в системе используется информация о температуре в толще ледового покрова и подледной воде, а параметры вертикального турбулентного теплообмена подо льдом верифицируются на основе экспериментальных данных.
Материалы и методы исследования
В ходе полевых исследований проводился непрерывный мониторинг вертикального распределения температуры в надледном воздухе, ледовой толще и подледном слое воды. Одновременно регистрировалась толщина льда и текущие значения метеопараметров.
Измерения температуры осуществлялись термисторной косой с расстоянием между датчиками, равным 10 см. Для записи измерений было разработано автономное устройство регистрации на базе микроконтроллера PIC24FJ64GA002 фирмы Microchip. Упрощенная блок-схема разработанного устройства приведена на рис. 1.
/
*
t°C
SD/MMC
1-WIRE USART
Микроконтроллер PIC24FJ64GA002
SPI
Часы
ПК I
Рис. 1. Блок-схема измерителя температуры
Накопление исходной ин формации осуществляется на флэш-карте памяти типа SD/MMC. Для облегчения работы с устройством и обеспечения совместимости с ПК в программе микроконтроллера была реализована поддержка файловых систем FAT12/16/32. Устройство создает на карте памяти свои каталоги и файлы для записи данных с датчиков.
В качестве температурных датчиков были применены цифровые микросхемы DS18B20, работающие на базе шины. Разрешение датчиков по температуре составляет 0,06 °С, а абсолютная точность 0,5 °С. Отсчеты температуры усредняются в течение минуты и, сопровождаясь временными метками, записываются на карту памяти.
Применение схемы гибкого управления периферийным питанием и режимами энергопотребления контроллера позволило продлить время автономной работы устройства до нескольких месяцев. Настройка режима работы прибора осуществляется с компьютера через терминал RS-232.
иркутским государственный университет путей сообщения
Для измерения толщины льда использовался автономный прибор, разработанный в лаборатории гидрологии и гидрофизики ЛИН СО РАН, работающий по принципу обратного эхолота. Схема постановки прибора приведена на рис. 2.
5
Рис. 2. Концепция подледного измерителя толщины льда:
1 - лед, 2 - прибор, 3 - гидроакустический преобразователь, 4 - термодатчик, 5 - подвесная система, 6 - прямая волна, 7 - отраженная волна
Прибор подвешивается на тросе в слое подледной воды на фиксированном расстоянии от поверхности льда. Суть акустического метода измерения заключается в том, что в среду излучается модулированная акустическая посылка, она отражается от нижней кромки льда, и отраженный сигнал регистрируется приемником. Зная время, прошедшее между излучением и приемом, а также скорость звука в среде, можно вычислить расстояние до границы лед - вода (Ц), а следовательно, и толщину льда (Н). Блок-схема электронной части гидроакустического толщиномера приведена на рис. 3.
I Компьютер
USART |
i—I АЦП~1
t°C | Часы ] | SD/MMC |
У*
X
Микроконтроллер PIC18F4520
Излучатель
[
АЦП
У
Буф. память
с
□
X
ЦТС-26
Рис. 3. Блок-схема гидроакустического толщиномера
Основой прибора является микроконтроллер PIC18F4520 фирмы Microchip. Он выполняет функции генератора акустической посылки, считает время между излуче нием и приемом сигнала с разрешением 100 нс, а также связывает все ос-
тальные блоки прибора и определяет логику их работы.
В качестве излучающего и принимающего элемента использован пьезопреобразователь ЦТС-26 с резонансной частотой 550 кГц. Излучатель выполнен по push-pull схеме на полевых транзисторах, нагруженных трансформатором с коэффициентом трансформации 1:3. Управляет полевыми транзисторами драйвер IR2104. Излучаемая посылка формируется микроконтроллером и представляет собой 4 периода синусоиды с частотой 550 кГц.
Приемник выполнен на усилителе К538УН3Б, усиленный сигнал поступает на скоростной восьмиразрядный АЦП TLC5510 (Texas Instruments), работающий на частоте 10 МГц. Для буферизации оцифрованных данных используется высокоскоростная микросхема статической памяти IS61C512-15N (Integrated Circuit Solutions Inc.). Таким образом, в приборе производится регистрация формы отраженного сигнала, что позволяет производить постобработку записанных данных на ПК. При этом применяется специально разработанный алгоритм программного детектирования момента прихода отраженной посылки, дающий очень высокую точность измерения.
В состав прибора включен датчик температуры воды, которая используется для точного расчета скорости звука в водной среде по формуле Чена - Милеро [12]. Схема измерения температуры включает в себя 24-разрядный АЦП AD7714 (Analog Devices), источник опорного напряжения REF192, включенный по схеме стабилизации тока, а также платиновый терморезистор ТСП-7115.
Измерения производятся каждые 15 минут, результаты сохраняются на карте памяти стандарта SD/MMC и могут быть считаны непосредственно с прибора или при помощи card reader^ на компьютере. Интерфейс с компьютером выполнен по стандарту RS-232 и представляет собой терминал с набором команд, позволяющих осуществлять настройку, тестирование прибора и работу с данными.
Обработка полученных данных позволяет достигнуть относительной точности измерения расстояния порядка 0,2 мм. Абсолютная точность измерения толщины льда определяется точностью измерения длины подвесного троса (R) при установке прибора. Рабочий диапазон регистрации
1
I2C
SPI
ТСП-7115
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
мощности ледового покрова составляет 0,2-2,2 м. Энергоресурс прибора обеспечивает более 2 месяцев автономной работы.
Метеорологическая обстановка во время зимних экспедиционных работ оценивалась по данным метеостанции на пирсе Лимнологического института в п. Листвянка (Южный Байкал). Параметризация плотностной конвекции под ледовым покровом, генерируемой вымораживанием компонентов солевого состава при нарастании льда и объемным поглощением солнечной радиации в фотической зоне, осуществлялась по многолетним данным измерений вертикального распределения температуры в подледном слое зондом SBE-25.
Для количественного описания наблюдаемых явлений и интерпретации результатов измерений in situ термического режима ледового покрова, влияния на него температуры воздуха, солнечной радиации и процессов в подледной воде была разработана математическая модель и выполнена серия вычислительных экспериментов.
При моделировании процессов тепломассо-переноса расчет термодинамических свойств воды выполнялся по формулам [12]. Для вычисления термодинамических характеристик льда использованы эмпирические зависимости [13], справочные материалы и таблицы [14, 15]. Оценки лучистого потока тепла основывались на данных исследования подледного светового режима водоемов [16] и проникающей солнечной радиации на Байкале [17].
Постановка задачи
Постановка задачи о динамике роста и таяния ледового покрова и сопряженных с ней явлениях выполнена в рамках упрощенной схемы, в которой решающая роль отводится тепловым процессам и фазовым превращениям. Она представляет собой многослойный вариант обратной задачи Стефана для системы квазилинейных параболических уравнений в области со свободными границами. Рассматриваемое явление описывается в локальной системе координат, жестко связанной с границей раздела воздух - лед. Начало координат совмещено с данной границей, ось Z направлена вниз. Т.к. изменение потенциальной температуры ©(х, y, Z, t)|x=x0 = З(z, t)
У=Уо
на единицу длины по вертикали значительно больше, чем по другим направлениям, то процесс теплопереноса описывается как одномерный. От-
метим, что в рассматриваемом случае различие потенциальной и in situ температур незначительно.
Наиболее распространенный вариант прямой постановки одномерной двухфазной задачи Стефана, состоящей в определении потенциальной температуры З(z, t) в области О = О U О2 и фазового перехода 0 <^(t) < l при 0 < t < T, сводится к решению системы уравнений [3, 7, 9, 16, 19] .
^ (З)
дЗ
= fk (z, t) (z, t) e О =
(z, t) e О =
dz I(З) дЗ k = 1,2 ,
0 < z < g(t), 0 < t < T %(t) < z < l, 0 < t < T
(1)
с соответствующими начальными и граничными условиями на контакте вода - лед z = )
О < г < Т, (2)
З = З
\z =4(t)
для 0 < t < T
Y-r = а2(З)^-dt dz
- ai(3)
z=%(t)+0
дЗ
~dz
z=Z(t)-0
(3)
(4)
# г=0 = /о, О < 1о < / ,
а также с дополнительными условиями, которые здесь не приведены.
В (1) правая часть /к (г, г) описывает лучистый поток тепла, к = 1 - фаза льда, к = 2 - фаза жидкой воды, 3(г, г) - температура, коэффициенты уравнений ак(3) = Лк, ск(3) = ркСрк, у = р2Лр
- соответственно теплопроводность, объемные теплоемкость и скрытая теплота фазового перехода. Для каждой из фаз рк - плотность в кг / М, С - теплоемкость при постоянном давлении в Дж/(кгград), \ - теплопроводность в Вт/(м град) (для воды рассматривается эффективный коэффициент теплопроводности [18]), X -скрытая теплота фазового перехода (плавления льда) в Дж/кг, 3* - температура фазового перехода в °С на границе лед - вода г = ).
Подход к задачам такого класса основан на связи между прямыми методами решения в обобщенной формулировке классической задачи Стефана с разрывными (кусочно-непрерывными) ко-
иркутским государственный университет путей сообщения
эффициентами [19, 20] и методами решения аппроксимирующих прямых и обратных задач с гладкими коэффициентами без фазовых переходов. В аналогичных задачах для морского льда [21] и замораживания влажных грунтов [22] протяженная область фазового перехода описывается как двухфазная зона с линейным профилем температуры, либо динамика толщины льда рассматривается с учетом слоя конвективного перемешивания подледной воды [6]. Модели массопереноса с подвижными границами для водонасыщенных пористых сред в системе вода - дно приведены в работах [23-25].
Рассмотренные подходы позволяют использовать для исследования обратных задач Стефана известные результаты для более изученного класса обратных задач для параболических уравнений в областях с заданными границами. Если краевая задача с условием Стефана (3) допускает обобщенную формулировку, то можно формально область вблизи границы фазового перехода представить в виде двухфазной зоны с распределенным источником (стоком) тепла.
Сглаживание на интервале ($ — Д,3 + д)
кусочно-непрерывных коэффициентов приводит к квазилинейному уравнению параболического типа с непрерывными коэффициентами:
с{3)— =—\а{3)—\ + /{1^) (1а) дt дг\ дг)
Количественная связь коэффициента турбулентной температуропроводности с кинематической турбулентной вязкостью различными авторами описывается по-разному. До сих пор еще не решен вопрос о величине их отношения в зависимости от числа Ричардсона. В данной работе для этого использованы материалы исследований А.А. Сперанской [цит. по 26] турбулентных характеристик водных масс подледного слоя в заливе Лиственничном Южного Байкала. Оценки величины коэффициента турбулентной температуропроводности выполнены по результатам работ [27-30].
При вычислении коэффициента эффективной теплопроводности, который учитывает существование в области температур ($ — Д,3 + д) для соответствующего интервала
(%(I') — 5, Е,(1) + 5+5) ламинарного вязкого
подслоя [31, 32], на каждом шаге по времени использован квазистационарный подход для многослойных материалов (трехслойная схема по аналогии с многослойными схемами для пограничного слоя в вязкой жидкости). При этом рассматривается совокупность льда (5), ламинарного вязкого
подслоя воды (52) и ее турбулентного слоя (53)
(переходный слой - «буферный» между ламинарным вязким слоем и турбулентным логарифмическим слоем [32]). Параметризация коэффициента эффективной турбулентной теплопроводности в области границы раздела лед - вода при применении интегро-интерполяционного метода [33] выполнена по следующей формуле [15] в предположении, что на интервале
(I;(г) — 5^(1) + 52 + ¿3) поток тепла постоянен в каждом слое:
5 ^ 5 3
5 = 5 = У5И.
Лэф п =1 \ п=\
Ввиду недостаточного разрешения датчиков по температуре и пространству, параметры 5П и для каждого из слоев не определялись, а оценивалась эффективная
теплопроводность (Аэф) для суммарного слоя (5), толщина которого согласно экспериментальным данным составляет 10-15 мм. При этом значение эффективного коэффициента теплопроводности, верифицированного по экспериментальным данным (Аэф), составило 0,69-0,71 Вт/(мград).
Оценка лучистого потока тепла /к (г, ^), проникающего в подледную воду, выполнялась для ледового покрова, представленного бесснежным однородным прозрачным льдом (первый тип [16]). При этом пренебрегали влиянием границы лед - вода и считали, что углы полного внутреннего отражения для льда и воды на их границах с воздухом совпадают. Тогда световое поле в толще однородного прозрачного покрова и в верхних слоях воды будет таким же, как в водоеме при штилевой погоде. Таким образом, модель ледового покрова соответствует теоретическим идеализаци-ям проникновения светового излучения в воду, для нее справедливы с небольшими поправками выводы, полученные из измерений при штиле.
Кривые изменения проникающей в воду Байкала радиации с глубиной для разных значений
прозрачности были представлены суммой экспо- кромки льда составлял соответственно 0,002-0,005
нент [17] в соответствии формулой [34]. Коэффи- см2/с; 0,008-0,020 см2/с и 0,016 см2/с. Таким об-
циенты вертикального ослабления и рассчитанные разом, коэффициент температуропроводности
в процентах доли энергии спектра излучения при превышает молекулярный коэффициент всего в 5-
ясной и пасмурной погоде оценены до глубины 30 10 раз, что согласуется с выводами работы [30] о
м. низких значениях коэффициента турбулентного
Результаты и обсуждение переноса в подледном слое воды. При проведении
В течение февраля - марта 2009 года в вычислительных экспериментов с обратной зада-
Южном Байкале были проведены комплексные чей и идентификацией модели по эксперимен-
исследования динамики роста ледового покрова. тальным данным была получена оценка коэффи-
Вертикальное распределения температуры в циента турбулентной температуропроводности
системе воздух - лед - вода измерялось с для глубины 0,1 м - 0,01-0,012 см2/с, 0,05-0,052
одновременной регистрацией приходящей см2/с для глубины 0,5 м и 0,1-0,12 см2/с для 1,0 м
солнечной радиации и метеопараметров. В период от нижней кромки льда, что соответствует скоро-
исследований происходило последовательное уве- сти течения, примерно в 2-3 раза превышающей
личение толщины льда (рис. 4). значения, приведенные Сперанской. Результаты
По данным измерений (кривая 1) с 11 по 20 моделирования процесса роста ледового покрова
февраля лед нарастал практически по линейному хорошо согласуются с данными измерений.
закону, что позволило оценить значение эффек- При моделировании вертикального распре-
тивного коэффициента турбулентной теплопро- деления температуры подо льдом были использо-
водности (Хэф) для подледной воды в непосредст- ваны данные измерения скоростей подледных те-
венной окрестности раздела лед - вода. чений, в начале апреля 2009 г. они составляли от 2
I), мм
600 -
700 -
2
до 6 см/с при толщине льда 690 мм. Рассмотрим процесс изменения во времени температуры по датчику, исходно расположенному на расстоянии 500 мм от верхней границы ледового покрова (рис. 5).
500 -
400 -
300 -
200
01/02 08/02 15/02 22/02 01/03 08/03 15/03 22/03
Рис. 4. Динамика нарастания толщины ледового покрова, февраль - март 2009 г.: 1 - измерения, 2 - расчет последовательного роста
Расчет (кривая 2) описывает нарастание льда с идентификацией коэффициента вертикальной турбулентной температуропроводности Кт^) по данным измерений температуры термокосой и толщины льда обратным эхолотом. Как видно из рис. 4, результаты модельных расчетов удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Рис. 5. Изменение во времени температуры воды и льда по показаниям датчика, исходно расположенного на расстоянии 500 мм от верхней границы ледового покрова: 1 - измерения, 2 - расчет по модели
10/02
I Ч 1 I ' I 1 I 1 I 1 I ' I 1 I 'I 1
-0.5 -0.4 -0 3 -0 2 -0.1 0 0.1 0 2 0 3 0.4 °С
Из исследований А.А. Сперанской в бухте Лиственничной (Южный Байкал) [цит. по 26] следует, что при скоростях подледного течения до 2,5 см/с коэффициент турбулентной температуропроводности на глубине 0,1; 0,5 и 1,0 м от нижней
Изменения в течение суток температуры воды у нижней кромки льда в пределах 0,2-0,3 градуса обусловлены суточным ходом солнечной ра-
иркутским государственный университет путей сообщения
диации. Поскольку рассматриваемый датчик вмерз в лед в ночь с 20 на 21 февраля при практически линейном нарастании его толщины (рис. 4), то данные за этот период можно представить в виде температурных кривых в зависимости от текущего положения датчика относительно нижней подвижной кромки льда (рис. 6).
Рис. 6. Температурные профили по глубине с 10 по 22 февраля. Н - расстояние в мм от нижней подвижной
кромки льда. 1- экспериментальные данные, 2-4 -рассчитанные по модели кривые, соответствующие проникновению под лед 0 % (ночь), 100 % (полдень) и 25 % от падающей солнечной радиации
Пересчет зависимости температуры от времени в зависимость от расстояния равносилен переходу в подвижную систему координат, связанную с нижней подвижной кромкой льда. Погрешность измерений в этом случае соответствует погрешности отдельно взятого датчика.
Измеренные профили температуры с наложенными суточными колебаниями свидетельствуют о значительном влиянии на их формирование проникающей солнечной радиации. Решение обратной задачи показало, что в этот период под лед проникает примерно от 15 до 35 % от поступающей радиации. Хорошее согласие результатов расчетов с экспериментальными данными для подледных профилей температуры было получено при толщине пограничного слоя 10-20 мм (в расчетах принято 15 мм).
Заключение
Описание динамики роста толщины байкальского льда было осуществлено в рамках математической модели, в основу которой положена нелинейная многослойная модификация задачи
Стефана для совокупности контактирующих сред воздух - лед - вода с существенно различающимися теплофизическими свойствами. Моделируемая система включает условия над ледовым покровом, толщу льда, пограничный водный микрослой на контакте с нижней поверхностью льда, ламинарный и турбулизированный слои подледной воды. Верификация и идентификация модели выполнены с использованием результатов инструментальных измерений, полученных при исследованиях ледового покрова. Одновременный мониторинг толщины ледового покрова и вертикальных температурных профилей в толще льда и подледном слое воды позволил оценить величину коэффициента турбулентной температуропроводности в данном слое, влияние проникающей радиации на суточный ход его температуры и потоки тепла в рассматриваемой системе.
Работа поддержана программой Президиума РАН 17:10 Междисциплинарных интеграционных проектов СО РАН № 20 и № 23 и Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 08-05-98091).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воеводин А. Ф., Гранкина Т. Б. Численное моделирование ледяного покрова в водоеме // Сибирский журн. индустриал. математики. - 2006. - Т. IX. - № 1 (25). - С. 47-54.
2. Степаненко В. М., Лыкосов В. Н. Численное моделирование процессов тепловлагопереноса в системе водоем - грунт // Метеорология и гидрология. -2005. - № 3. - С. 95-104.
3. Elo A. R., Huttula X., Peltonen A. & Virta. The Effects of Climate Change on the Tem Premature Conditions of Lakes // Boreal Environ. - 1998. - Vol. 3. - P. 137150.
4. Elo A., Vavrus S. J. R. Ice Modeling Calculation, Comparison of the PROBE and LIM-NOS Models : Selected Articles from the Proceedings of 27th Congress of the International Association of Theoretical and Applied Limnology. - Dublin, 1998. - Session 50 : Ice Phrenology of Lakes as Climate Indicator // Verch. Internat. Verein. Limnology. - 2000. - Vol. 27. - P. 2816-2819.
5. Vavrus S. J., Wynne R. H., Foley J. A. Measuring the Sensitivity of Southern Wis-consin Lake Ice to Climate Variation and Lake Depth Using a Numerical Model // Limnology and Oceanography. - 1996. - V. 41, № 5. -P. 822-831.
6. Белолипецкий П. В., Генова С. Н., Грицко В. В. Компьютерная модель вертикальной структуры во-
Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы
доема // Вычислительные технологии. - 2004. -Т. 9. ; Вестн. КазНУ им. Аль-Фараби. - Сер. Математика, механика, информатика. - 2004. - № 3., вып. 42. [совмест. вып.]. - Ч. 1. - С. 289-294.
7. Parameterization of Lakes in Numerical Weather Prediction: Description of a Lake Model, Single-column Tests, and Implementation into Limited-area NWP Model / D. V.Mironov, A. Terzhevik, F. Beyrich and other // Bound. Lay. Meteor., Spec. Issue. - 2006. - P. 56.
8. Pushistov P. Yu., Ievlev K. V. Numerical Eddy-resolving Model of Non-stationary Penetrative Convection in Spring Solar Heating of Ice-covering Lakes // Bull. Inst. Comput. Math. Geo phys. - 2000. - V. 5. - P. 55-63.
9. Rodi W. Turbulence Models and their Application in Hydraulics. - 3-rd ed. - Rotterdam : IAHR A. A. Bal-kema, 1993.
10. Simoes F. An Eddy Viscosity Model for Shallow-water Flows // Wat. Resour. Engin. - 1998. - P. 1858-1863.
11. Wuest A., Lorke A. Small-scale Hydrodynamics in Lakes // Fluid Mech. - 2003. - V. 35. - P. 373-412.
12. Chen C. T., Millero F. J. Precise Thermodynamics Properties for Natural Waters Covering only the Limno-logical Range // Limnology and Oceanography. - 1986. - V. 31, № 3. - P. 657-662.
13. Богородский В. B., Гаврило В. П. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии. - Л. : Гидрометеоиздат, 1980. - 384 с.
14. Варгафтик И. Б. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. - М. : Наука, Физмат-гиз, 1972. - 720 с.
15. Справочник химика. - М. ; Л. : Гос. науч.-техн. изд-во хим. лит, 1966. - Т. 5. - 973 с.
16. Шерстянкин П. П. Экспериментальные исследования подледного светового поля озера Байкал. - М. : Наука, 1975. - 92 с.
17. Довгий Т. Н. Подводная солнечная радиация на Байкале. - Новосибирск: Наука, 1977. - 104 с.
18. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. - 1985. - Т. 40, вып. 5(245). - С. 133-185.
19. Вабищевич П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.
20. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М. : Наука, 1966. - 724 с.
21. Богородский П. В., Пнюшков А. В. Простая модель кристаллизации морской воды в спектре температур // Океанология. - 2007. - Т. 47, № 4. - С. 539-545.
22. Васильев В. И., Попов В. В. Численное решение задачи промерзания грунта // Мат. моделирование. -
2008. - Т. 20, № 7. - С. 119-128.
23. Козлов В. В. Моделирование нестационарного процесса тепломассообмена: на примере динамики нарастания и таяния ледового покрова на Байкале [Электронный ресурс] // Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях : материалы Всерос. конф., 6-7 июня 2009 г / Ин-т динамики систем и теории упр. СО РАН. - Иркутск,
2009. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).
24. Козлов В. В. Разработка нестационарной математической модели вторичного загрязнения водного объекта с учетом материального обмена с донными отложениями // Вычислительные технологии. -2009. - Т. 13. - Спец. вып. 1. - С. 36-42.
25. Мизандронцев И. Б. Химические процессы в донных отложениях. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние,
1990. - 176 с.
26. Шулейкин В. В. Физика моря. - М. : Наука, 1968. -1083 с.
27. Шимараев М. Н. Элементы теплового режима озера Байкал. - Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1977.
- 150 с.
28. Шимараев М. Н., Гранин Н. Г. К вопросу о стратификации и механизме конвекции в Байкале // ДАН. -
1991. - Т. 321, № 2. - С. 381-385.
29. Radiatively Driven Convection in an Ice-covered Lake Investigated by Using Temperature Microstructure Technique / T. Jonas, A.Y. Terzhevik, D.V. Mironov, A. Wüest // Geophys. Res. - 2003. - V. 108. - Р. 14011418.
30. Malm J. Some Properties of Currents and Mixing in a Shallow Ice-covered Lake // Water Resources Research.
- 1999. - V. 35, № 1. - P. 221-232.
31. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М. : Наука, 1987. - 840 с.
32. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М. : Наука, 1974. - 711 с.
33. Самарский А. А. Теория разностных схем. - М. : Наука, 1989. - 616 с.
34. Колесников А. Г. Вычисление суточного хода температуры по тепловому балансу на его поверхности // Изв. АН СССР. - Сер. геофизическая. - 1954. - № 2. - C. 190-194.
