CC BY
9
УДК 530.12:531.51
ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СПИНОРА КИЛЛИНГА НА НЕВЫРОЖДЕННОМ ДЕФОРМИРОВАННОМ КОНИФОЛДЕ
А.Я. Дымарский, Б.Ч. Жуковский
(.кафедра теоретической физики) E-mail: [email protected]
Найден явный вид спинора Киллинга (генератора (Л — 1) -суперсимметрии) для невырожденного деформированного жонифолда [3].
1. Геометрия деформированного конифолда [1,2] е ненулевыми Рамон-Рамон-полем и Невье-Шварц-Невье-Шварц-полем (в дальнейшем: Н-И- и МЭ-МЭ-поля), заданным формой В2, является дуальной геометрией для М = 1 31/(М)х31/(2М) -теории поля е глобальной симметрией 5£У(2)х5£У(2). Данное решение обладает симметрией (которая меняет Би(2) местами) и суперсимметрично. Суперсимметрия этого решения следует из ненарушенной суперсимметрии в теории поля при низких энергиях. Кроме того, она была проверена явно [6] с помощью построения спинора Киллинга Ф (генератора суперсимметрии), который удовлетворяет обобщенному уравнению Киллинга
№31™3Ф = 0,
£)/,1'/ + 1920' vi-K
Fi5).....г^-^ГиФ-
= s7i/2H„,
_ 9^1 ф* = Q^
~ Ss Г + igs Fjj,
(1)
(матрица зарядового сопряжения В взята единичной для удобства). Здесь использованы стандартные обозначения (см., напр., [6]).
Изучение семейства вакуумов теории поля позволяет предсказать существование несимметричных относительно и суперсимметричных вакуумов, которые объединяются в так называемую барионную ветвь решений и параметризуются значениями бари-онных полей В я В [2, 3]. Вакуум, симметричный относительно Хъ, таким образом, соответствует случаю В = В. Согласно общей гипотезе о дуальности теории поля при малых энергиях супергравитации, было сделано предположение о существовании других -несимметричных решений уравнений супергравитации, которые также объединяются в единую ветвь. Соответствующие уравнения движения были линеаризованы на фоне Хъ -симметричного деформированного конифолда (ДК) [2] и решены явно [3]. В тех же работах было высказано предположение, что полученное решение соответствует суперсим-
метричному вакууму с малой асимметриеи 6 = В2-В2
(2)
и должно быть суперсимметричным. Заметим, что в [3] решение (точнее, соответствующий анзац) было фактически угадано на основе анализа симметрии Вопрос о доказательстве суперсимметричности данного решения в работе не ставился. В настоящей заметке мы изучаем решение [3] и явно находим генератор суперсимметрии, т.е. спинор Киллинга, удовлетворяющий уравнению (1). Наше решение является дедуктивно строгим, и, таким образом, можно утверждать, что найденный спинор Киллинга — единственный (М = 1).
Решение [3] было впоследствии обобщено на случай произвольно большой асимметрии (2) [4]. Для нахождения этого решения был успешно использован новый метод ¿>£/(3) -структуры [5], который гарантирует суперсимметрию. Однако он определяет спинор Киллинга неявным образом. Решение [4] по сути является первым случаем применения Би(3)-структуры на практике. Сравнивая наш результат со спинором, который можно сконструировать на основе [4], мы также проверяем правильность результатов (и метода) этой работы. Отдельно заметим, что метод 31/(3) -структуры не дает информации о количестве суперсимметрий (спиноров Киллинга). Таким образом, настоящая работа является единственным строгим доказательством единственности решения обобщенного уравнения (1).
2. Для начала кратко обсудим случай деформированного конифолда. Десятимерное пространство в этом случае есть произведение плоского четырехмерного (физического) и некомпактного шестимерного пространства Калаби-Яу, которое с технической точки зрения и есть ДК
ds20 = h-l/2J2dy2a + hl/2dsl
dsi = е
а=О
2 1 е| + е? + е| + е| + е2.
(3)
Функция /г, которая зависит только от т, называется деформирующим параметром и связывает
шестимерную и четырехмерную геометрии. Кроме метрики ненулевые значения имеют Н-И-поля
= (1 — *ю)с1х0 А йх\ А йх2 А йхъ А ¡¿(/г^1) (4)
и ^з, а также МЭ-МЭ-поле Щ = йВ2• Мы не приводим явный вид этих полей в компонентах из-за чрезвычайной громоздкости выражений и отсылаем читателя к соответствующей литературе [2, 3]. Явный вид 1-форм е1,егьег приводится в работе [6].
В случае /г = 1, = 0, N3 = 0 геометрия разбивается на прямое произведение Ж4 х М6, и, таким образом, уравнение (1) сводится к уравнению ковариантно-постоянного спинора (Киллинга)
1
D,^ = d^ + -wfTab'ijj = 0, /i= 1,2,1,2,3,т, (5)
на многообразии типа Калаби-Яу. Соответствующая математическая теорема гарантирует существование шестимерного спинора Киллинга любой ки-ральности. Он был найден явно в работе [6]:
Фо = 1/'®£> ф = cos а = tanh(r),
Г12т?=-Г V2'q, ТХ2'П = ТЪт'П. (6)
Здесь £ — постоянный киральный четырехмерный спинор, а )) - постоянный киральный спинор в шестимерном пространстве.
Далее мы «включаем» нетривиальный деформирующий параметр h(t) вместе с полем F5 (4). Новое решение записывается в виде
Ф/, = /Г1/8Фг
(7)
при условии, что постоянный спинор г) удовлетворяет дополнительным соотношениям (в частности, фиксирующим его киральность)
TX2<q = i<q, ruV = -4 Г ьтП = Щ, Г12125 тП=щ.
(8)
На следующем шаге мы добавляем самодуальную форму Ыцир (Рз = Я, где сопряжение Ходжа определено на М6 с метрикой йБ^). Несложно проверить, что
N®......Г^^Фа = 0
(9)
для любого левого (шестимерного кирального) спинора, каковым является Ф^ при определенном выборе г) (8). Кроме того,
зГТь^з - э^11™) = 0°>
Ключевым условием для доказательства этого факта является тождество Н1М1121ЧГ^1№^3Ф/1 = 0, которое может быть проверено напрямую. Данное рассуждение заканчивает рассмотрение Х2 -симметричного ДК. Соответствующий (единственный) спинор Киллинга дается формулой (7).
3. Основная цель настоящей работы — явное нахождение спинора Киллинга для деформированной метрики (3), в которой
е\ —> е\ + ае\ + (Зе~х, е2 —>■ е2 + ае2 + /?е2,
е\ —> е\ — ае\ + /Зе\, е2
ш(т) гп(т)
е2 — ае2 + /Зе2,
а ■
р =
8созЬ(г)' 8 БтЬ(г) собЬ(г) '
т (г) тсоХЬт — 1), т = 8^тКе4/3. (11)
Соответствующее многообразие не является многообразием типа Калаби-Яу и называется невырожденным (относительно Х2) деформированным конифолдом. Рамон-рамоновские формы остаются такими же, как и в случае ДК, а новая МЭ-МЭ-фор-ма продолжает удовлетворять уравнению Fз = . Функция т играет роль малого параметра, и все вычисления проводятся в линейном порядке по т. Четырехмерная часть уравнения (1) тривиальна, поэтому будем пользоваться шестимерными спинорами, подразумевая, что их надо умножить на киральный четырехмерный спинор Естественно искать решение в виде
ф = ^1/8ф0 + ^1/85ф1+к3/85ф2, (12)
или
Ф = Ф0 + /г1/8#1 + , (13)
где фо — решение задачи при /г = 1, ф\ имеет ту же киральность, что и фо, а ф2 — спинор противоположной киральности:
Г 12123т ^0,1 = ^0,1' (!4)
Тхо...х3&Фо,\=-1&Фо,\- (15)
Данный анзац является наиболее общим; множители /г^1//8, /г3//8 вынесены для удобства и могут быть включены в определение ф{. Подставляя данный анзац в первое из уравнений (1), получаем
= Ы^рТ^8ф2 = 0 Н^рТ^6ф2 = 0,
(16)
где 6ф2 = В&ф2, или просто если выбрать
представление, в котором матрица зарядового сопряжения В единична (уравнение (1) записано именно в этом представлении).
Рассмотрим киральную компоненту второго из уравнений (1), для удобства проводя зарядовое сопряжение:
0,Л1гт6ф2)
51. 16 м-м
F^T^h^S'hT,
+ зг^уё (л&г + (г?*7 - 9^г/37) х
х (а-"Ч + А-,/8^.) =0. (17)
Заметим, что противоположная (по сравнению с фо) киральность приводит к тому, что вклад Р5 удваивает, а не сокращает соответствующий вклад йц. Рассматривая уравнение (17) сначала для /х = ... ,х3 (т^ = — 1), а потом для
10 ВМУ. Физика. Астрономия. № 1
ц = 1,2,1,2,3,г (гпц= 1) и используя (16) и аналогичное уравнение для фо, получаем
+6На^Та'зтфо) =0.
(18)
Параметр /г удобно рассматривать отдельно. Поэтому мы ввели тетраду ё, соответствующую метрике (3) без /г. Предыдущее рассуждение также относится и к спин-связности й)®ь и к ковариантной производной Вц.
Постоянная матрица Дирака Г„ не вырождена, а Оц = 0 для х11 =у°. Следовательно, уравнение
DJ'h = 0
(19)
справедливо для любого ¡л. Опираясь на факт единственности ковариантно-постоянного спинора на ДК без Н-И- и МЭ-МЭ-полей (см. разд. 2), находим, что
8ф2 = 1Аф0, (20)
где А — некая константа. Кроме того, уравнение (17) дает (при условии х^ = уо)
ёф2 = h
Ma'
б4/3К(т) cosh (г)
(. т cosh(r) — sinh(r)
х t coth(r)xVo +- 3/ ч X
\ sinh (т)
x (Г]2 — sinh(r)Г]2 — icosh(r)Г] j) . (21)
Уравнение (19) помогает упростить второе из уравнений Киллинга (1):
дМ\
1
Т wu 4 f1
аЬТаьЦ\+иКЬТаьФъ'
Ah«/2
FßaßTa^0 = 0. (22)
Параметр /г сократился так же, как в уравнении для фо. Уравнение (22) для ц = т сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению и может быть решено однозначно:
8ф 1 =РТиф0,
т(т)
dr 8 sinhz(r)
(23)
Ma'
б4/3 К(т)
(г cosh (г) — sinh(r)) sinh3 (г)
Подставляя это решение обратно в (21), получаем
с\ sinh т
F =
(sinh (2т) — 2т)1/2
(24)
т(т) = — 8Л
Ма'
Aß
16С!
т cosh т — sinh г К(т) sinh г sinh2 т(т cosh т-
sinh-
(25)
(в!пЬ(2г) - 2г)3/2
Сравнивая (25) с выражением для т из [3], фиксируем А (параметр А играет роль инфинитезималь-ного параметра, пропорционального е из (2)) и получаем, что С]=0. Аналогичный результат можно получить, последовательно рассматривая другие компоненты уравнения (1). В результате получаем &ф 1=0, и спинор Киллинга для разрешенного деформированного конифолда равен
Ф = /Г1/8ФП
iAhm%,
(26)
что находится в полном согласии с результатом [4].
4. Таким образом, мы нашли явный вид спинора Киллинга для разрешенного деформированного конифолда (26). Это основной результат настоящей работы. Заметим, что рассмотренное решение уравнений супергравитации (разрешенный ДК) является единственным на сегодняшний день примером М= 1 -суперсимметричного решения, построенного не на основе многообразия типа Калаби-Яу. При этом найденный нами спинор Киллинга (26) не имеет определенной шестимерной киральности (так называемый класс решений В) и не инвариантен относительно операции зарядового сопряжения (класс решений А). Таким образом, спинор (26) — это первый пример спинора «смешанного» типа.
Литература
1. Papadopoulos G., Tseytlin А.А. // Class. Quant. Grav. 2001. 18. P. 1333.
2. Klebanov I.R., Strassler M.J. // J. High-Energy Phys. 2000. 0008. P. 052.
3. Gubser S.S., Herzog C.P., Klebanov /. R. // J. High-Energy Phys. 2004. 0409. P. 036.
4. Butti A., Grana M., Minasian R. et al. // J. High-Energy Phys. 2005. 0503. P. 069.
5. Grana M., Minasian R., Petrini M., Tomasiello A. // J. High-Energy Phys. 2004. 0408. P. 046.
6. Arean D., Crooks D.E., Ramallo A. V. // J. High-Energy Phys. 2004. 0411. P. 035.
Поступила в редакцию 26.02.06
