Асимптотика двумерных интегралов, сингулярно зависящих от малого параметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

А. А. ЕРШОВ

АСИМПТОТИКА ДВУМЕРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, СИНГУЛЯРНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

В работе найдено асимптотическое разложение неисследованного ранее класса двумерных интегралов, в которых знаменатель подынтегральной функции при нулевом значении параметра обращается в нуль на двух пересекающихся линиях.

Ключевые слова: двумерные интегралы, малый параметр, асимптотическое разложение.

Введение

Хорошо известна задача нахождения асимптотики интеграла, зависящего

от параметра. В качестве примера подобных интегралов можно привести инте-

1

гралы Лапласа вида У / (x)elS(x)dx , где I — большой положительный параметр.

о

Здесь рассматриваются интегралы вида J '^{x,£)dx от функции, которая регулярно зависит от малого параметра £ всюду, кроме некоторого множества (одной или нескольких точек, многообразий и т. п.). Однако при £ = 0 интеграл расходится и его асимптотика имеет довольно сложный характер. Подобные интегралы изучались в ряде работ (например, [1; 2; 3]).

В настоящей статье находится асимптотическое разложение интеграла вида Г г dxdy

—----------, где и — некоторая окрестность критической точки (0,0), в ко-

ЛУ £2 + X{x,У)

торой функция х^,у) обращается в нуль. Существует сложная классификация критических точек [4; 5]; в статье рассмотрен неисследованный ранее случай, когда функция х^, у) обращается в нуль на двух пересекающихся линиях и имеет специальный вид. Случаи, когда х^,у) равна нулю в точке или на одной линии, более просты для рассмотрения.

Построение асимптотики

<$2

/Г dydx

—---------т, где окрестность [0, $1] х [0, 62] доста-

и £ + х{x, у)

оо

точно мала, х^,у) = {у — ^^^{у — h2{x))2G2{x, у), С^,у) — гладкая поло-

Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96002-р_урал_а), а также грантом Правительства Челябинской области для студентов.

жительная функция, а Л-і(ж), Л,2(х) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие следующим условиям:

1) йі(0) = М0) = 0,

2) 0 < ^(х) < ^2(х) при х Є (0,^1],

3) 0 < йі(0) < ^2(0).

Будем считать ^1 и $2 такими, что ^2(^1) = $2. Нулевые линии функции х(х,у)

изображены на рис. 1.

У

А

Рис. 1. Нулевые линии функции х(х,у)

Предложенный ниже алгоритм без изменений можно использовать для ин-

61

[ [ /(х,у)^х ,

тегралов вида —----- ----, где /(х,у) — произвольная достаточно гладкая

3 3 е2 + Х(х,У)

0 0

функция.

Прежде чем приступить к исследованию интеграла, сделаем оценку его по-

2п 6

/Г

^ —----—— = О (е-1), т. е. рассматриваемый

і е2 + т2г4 у '

00

интеграл растет не медленнее, чем О (е-1) по мере уменьшения е. Как показано ниже, правильный порядок интеграла I по параметру е несколько больше,

чем е-1.

Идея состоит в том, чтобы разбить область интегрирования на секторы, в каждом из которых выделить свои особенности. Обозначим интегралы по і-му сектору буквами 1^, а по всему прямоугольнику — буквой I. Тогда

I = І1 + І2 + І3 =

6і /^і(ж)

^ ■ *+

е2 + (у — ^1(х))2(у — ^2(х))2С2(х, у)

+

+

бі

62

( Ь-2 (х)

\

\^і(х)

( Щ,Х(У)

е2 + (у — Мх))2(у — Л,2(х))2С2(х, у)

^х+

/

\

V

е2 + (у — Мх))2(у — Л,2(х))2С2(х,у)

^у.

/

Теперь каждый из этих интегралов приведем к некоторому стандартному виду. Для вычислений нам понадобятся две новые функции: Н^ж) = и

Я2 (ж) = . Заметим, что обе они положительные и гладкие на [0,^]. Имеем

6і ^і(ж)

00 бі 1

е2 + (у — ^1 (х))2(у — ^(х))2С2(х,у)

|у=*Лі(х) |

хН1(х)^г^х

е2 + (1 — г)2 х4Я2(х)(гЯ1 (х) — Я2(х))2 С2(х,г^1(х)) 00

бі 1

=^ 4 х/1(х)^і^х

|.=1-.|

00

е2 + х4^2д2(х, і)

где /1(х) = Н1(х), д1(х,і) = Н1(х)(Н2(х) — (1 — і)Н1(х))С(х, (1 — і)^(х))

6і Ь-2 (х)

^у^х |У=П+^і(х

Далее, І2 =

0 кі(х) 6і ^2(х)-^і(х)

е2 + (у — ^1 (х))2 (у — Л-2 (х))2 С2(х, у)

)|

J J е2 + п2(п + Мх) — ^(х))2С2(х, п + Мх))

00

|П=(^2(х)-^і(х))^ =

6і 1

х(Н2(х) — Я1(х))^г^х

00 6і 1/2

е2 + г2(1 — г)2х4(Н2(х) — Я1(х))4С2(х, (Л,2(х) — ^1(х))г + ^1(х))

х(Н2 (х) — Н1(х))^г^х

00 бі 1

+

0 1/2 бі 1

е2 + г2(1 — г)2х4(Я2(х) — Я1(х))4С2(х, (^2(х) — ^1 (х))г + ^1(х))

х(Н2(х) — Я1(х))^г^х е2 + г2(1 — г)2х4(Н2(х) — Н1(х))4С2(х, (Л,2(х) — ^1(х))г + ^1(х))

+

х/2(х)^м^х

6і 1

+

е2 + х4м2д|1(х,м) У У е2 + х4г>2д|2(х, V) ’

0 0 21 0 0 22

х/2(х)^Ых

где /2(х) = 2(Н2(х) — Н1(х)), д21(х,и) = 1 (1 — |)№(х) — #1(х))2С(х, (^(х) — ^1(х)) и + Мх)), ^22 (х, V) = 1 (1 — 2) (Н2 (х) — Я1(х))2С(х, (^2 (х) — Мх))(1 — |) + ^1(х)).

І

1

Чтобы привести к тому же виду 13, введем еще две функции: 5 (у) = Л,2 1(у) и £ (у) = ^. Тогда

У

62 «(у)

^х^у

е2 + (у — ^1 (х))2 (у — ^2(х))2С2(х, у) 00 62 У

= |5=Мх)|

8'(0^у___________ = |£=У*| =

е2 + (у — ^1(в(Є)))2(у — Є)2С2(в(Є),у)

00

62 1

5;(у^)у^^^у

е2 + у4(1 — і)2(1 — ^ (уі)н1(«(уі)))2С2(5(уі),у)

00

62 1

|і=1-г| = [ [ уУз(у,г)^г^у

0 0 е2 + у4г2д2(у,г)’ где Уз(у,г) = 8'(у(1 — г)) дз(у,г) = (1 — (1 — г)£((1 — г)у)Я1(з(у(1 — г))))С(5(у(1 —

г )),у).

Таким образом, все интегралы приводятся к одному виду. Во всех этих интегралах /і, д — гладкие положительные функции. Проведем еще одно преобразование этих интегралов:

6 1

х/(х,у)^у^х = р (х,у)=уЯ(х,у)=ш =

е2 + х4у2д2(х, у)

00

6 д(/;1)х/(х,^-1(х,п)) р/( /Л(—^х

І I ■> V ’ V ’ (х,^ і(х,П)) = т=й(х,1)^ =

е2 + х4п2

00

6 1 х/(х ^-1(х,д(х 1)г))д(х 1) р, (х,^-і(х,й(х,1)^)) ^х

е2 + х4д2(х, 1)г2

00 6 1

х^(х, г)^г^х

е2 + х4д2(х, 1)г2 00

|Ф(х)=х^/й(х,1)=£ |

6\/д(6,1) 1 ^ ^(Ф-і(;),^)) ^ 6^(6,1) 1

г ^(ф-ЧОД) ф,(ф-і(«)^ [ / С^2 (£,<г)^£

е2 + £4г2 J ] е2 + £4 г2

0 0 0 0

/1 /1

і«=6^д(вд^ = [ [

| | 7 7 *2 + і4г2 .

00

6“і 1 11

х/г(х,у)^у^х Г Г і^і(і,г)^г^і

Таким образом, I = ——4 2 2----------г = --2 , ,4 2 , где 81

] ] е2 + х4у2д2(х,у) ) ] *2 + і4г2

0 0 0 0

821 = 822 = 1 83 = 2 * = (^(Л,, 1)) ' ^г) = ^ (<* v/ЖT)^.^,

3

, ^ ^г(Ф- (С),^)) 1 ,, ^ /(ж,^г (ж,#г(ж, 1)2)Мж, 1)

ые'2’ = Ф(™’ 0‘(ж'2) = 1)*)) '

^(ж,у) = у^г(ж,у), ФДж) = Х^£г(ж, 1).

В этой формуле функции ^(ж,у) и ФДж) имеют обратные относительно второго и первого аргумента соответственно, поскольку ^7У(0,0) = $г(0,0) > 0,

Ф'(0) = л/Ж1! > 0.

Теперь для получения асимптотического разложения надо найти асимпто-

ж^(ж, у)«у«ж у2 + ж4у2

1 1

/ I у)и,уи„А, . .

тику интегралов вида / / ------------2---------------4“2—, где <^(ж, у) — достаточно гладкая функ-

0 о

ция, а у — малый параметр. Эту асимптотику можно найти методом вычитания особенностей. Для этого представим функцию <^(ж,у) в виде суммы некоторых функций. Имеем

ж2

^(ж,у) = ^(0,у) + (0,у) + у ^"х(°,у) + ж3^з(ж,у) =

= ^(0,0) + у^У(0, 0) + у2^02(у) + жШ0, 0) + у^%(0, 0) + у2^12(у)]+ (1)

ж2

+ уЬ"х(0, 0) + у^'Хху(0, 0) + у2^22(у)] + ж3[^3(ж, 0) + у^3у(ж, 0) + у2^(ж,у)],

2

^(х,у) — ^(0,у) — х^х (0,у) — т ^/хх(0,у)

где -03 (ж, у)

х3

^(0,у) — ^(0,0) — у^У(0,0)

002 (у) = ------------------------------ и т. д.

у

1 1 ~

П / /V/(ж)«у«ж б

При этом интегралы вида —-------- легко берутся по у и тем самым

] ] у2 + ж4у2 00

сводятся к одномерным. Одномерные интегралы можно разложить по малому параметру, используя тот же метод вычитания особенностей, либо в сложных случаях можно применить метод введения дополнительного параметра [6]. Например,

11 11

Г Г жу20о2(у)^у^ж 1 (' 2 / / ч Г ^2 ,

----^—Л— = о у 0о2(ум —-2----------4«у =

] ] у2 + ж4у2 2] ] у2 ^ + ж4

0 0 0 0 у

1 1 1

= 1 У 0о2(у)у агс^§ у«у = 1 У 0о2(у)у ^2 + 0 ^у^ «у = 4 У 0о2(у)у«у^-+°(1)-

0 0 0

Интеграл, содержащий в числителе подынтегральной функции последнее слагаемое равенства (1), можно разложить следующим способом:

1 1 ~ 11 ~ ~

[ [ ж4у2<^(ж, у)«у«ж [ [ (ж4у2 + у2)(/?(ж,у) — у2(/?(ж, у)«у«ж

У У у2 + ж4у2 = У У у2 + ж4у2 =

о о о о

/1 /1 /1 /1 .//«х,»*.+,.2//аы^.

0 0 0 0

/1 /1 [ [ «(х,уЫу^х

Интеграл —-------- можно разложить в ряд по малому параметру тем же

3 3 ,2 + х4у2

00

/1 /1 [ [ х«(х,уЫу^х

способом, что и интеграл -- --- —.

] ] ,2 + х4у2

00

Если таким образом разложить каждое слагаемое, то можно получить бесконечный асимптотический ряд. Выпишем несколько его первых членов:

/1 /1

[ I' х«(х,уЫу^х п „Ли,

1 і^^+хчт = — 4 «(»■ ^+

00

1 /1

+

п Г «(х 0) — «(0, 0) ^х + п Г «(0,у) — «(0, 0) ^у

2 3 х 4 3 у

00

О( ;т,ь

Ввиду того, что

^'у) = 02 у = .

можно получить асимптотическое разложение интеграла в каждом секторе по первоначальному параметру.

Выпишем асимптотику интегралов /1, /21, /22 и /3, выраженную через первоначальные функции:

11 = А— + В(^1)- + О (-) , /2г = А— + В^)1 + О (-

е е \е/ е е \е

1п е „ , „Л „ /1 \ , п 1

І3 = А + В3(^2) + О Г_Л) , где А = — Т777

е е \е/ 4 (л/2

є 4 (к'2(0) — к1(0))С(0,0)’

п 1

В = 4(к'2(0) — й1(0))С(0, 0) 1и(^д1^ь1)) +

+ 2 / ((Мх) — ^1(;г))С(х,^1(х)) — (х + 2д1х(х 10 (к'2(0) — к1(0))С(0,0)) 0

1

+ 4 / у (^2(0)С(0, 0Жу(0,^1-1(0,д1(0,1)у)) — (к2(0) — Ь'(0))С(0, 0)) ^

0

П 1

В2і = 4(к'2(0) — к1 (0))С(0,0) 1и(^д2і(^ь 1))+

+ 2 / (мх) — к 1 (х))С(х,ВД) — (х + 2д2гх(х’ 10 (к2>(0) — ^(0))С(0, 0))

0

1

4 0у ((Л'(0) - Ь1(0))С(0,0)^„(0. ^1 (0,Ы0,1)у)) - (Л'2(0) - Л'1(0))С(0,0)) ф’

п 1

Вз = 4(к2(0) - к;(0))С(0,0) 1п(^3^2’ у))+

Й2

+ 2 / ((» - 11(<ШС(»(#),») - (У + 2с»(0,уО (Л-2(0) - Л.;(0))С(0,0)) ф+

о

1

+ 4 / у (к2(0)С(0,0)^3^(0,^3-1(0,С(0,0)у)) - (к2(0) - к; (0))С(0,0)) Ау'

о

1п в 1 / 1 \

Таким образом, I = 4А0----+ (В1 + В21 + В22 + В3 V + О . Постоянные

в в \ V в /

А0, В1, В21, В22 и В3 выписаны выше. Заметим, что выписанная асимптотика зависит от дополнительных параметров ^1 и $2, которые характеризуют размеры окрестности. Это происходит вследствие того, что интеграл вне исследуемой особенности также имеет большой порядок О (в-1).

Заключение

Продолжая аналогичным образом исследовать интеграл, можно получить бесконечный асимптотический ряд, который, очевидно, будет являться асимптотическим разложением с точностью до любой степени в. Ясно, что вне окрестности особенности функции построение асимптотики не представляет существенных трудностей. Предложенный метод построения асимптотики пригоден во всех четвертях координатной плоскости, поэтому он позволяет находить асимптотическое разложение интегралов, указанным образом сингулярно зависящих от малого параметра, для достаточно широкого класса подынтегральных функций, имеющих данный вид особенности.

Автор благодарит акад. А. М. Ильина за постановку задачи и полезные обсуждения работы.

Список литературы

1. Федорюк, М. В. Асимптотика, интегралы и ряды / М. В. Федорюк.— М. : Наука, 1987.

2. Риекстыньш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 1-2 /

Э. Я. Риекстыньш.— Рига : Зинатне, 1974.

3. Риекстыньш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. Т. 3 /

Э. Я. Риекстыньш.— Рига : Зинатне, 1981.

4. Брёкер, Т. Дифференцируемые ростки и катастрофы / Т. Брёкер, Л. Ландер.— М. : Платон, 1997.

5. Арнольд, В. И. Теория катастроф / В. И. Арнольд.— М. : МГУ, 1983.

6. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин,

А. Р. Данилин.— М. : Физматлит, 2009.