CC BY
20
Колебания многослойной полуплоскости с относительно сильно заглубленной полостью произвольной формы
Р.Р. Кадыров, А.А. Ляпин, И.С. Савилкин
При проектировании строительных объектов в сейсмоопасных регионах необходимо учитывать строение и свойства основания, как правило, многослойного, а также наличие возможных заглубленных в него неоднородностей типа полостей или включений. Сложности математического моделирования динамических процессов в таких областях обусловлены большим числом параметров задачи и наличием отражающих и преломляющих поверхностей различной формы (плоские и криволинейные поверхности). В случае, когда полость имеет каноническую форму (круговой или эллиптический цилиндр, сфера), развиты подходы сведением краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений [1,2], а также использованием асимптотических методов [3,4]. При существенном отличии формы полости или включения от канонической наиболее распространенным является использование метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) [5,6]. При большом количестве слоев основания решение систем ГИУ представляет достаточно серьезную проблему. По этой причине в случае, когда полость произвольной формы достаточно сильно удалена от дневной поверхности представляется целесообразным использовать асимптотические методы для упрощения решении систем ГИУ.
Рассматривается упругая N - слойная полуплоскость, занимающая в декартовой системе координат (х, у) область Б, как показано на рис. 1.
Полуплоскость содержит заглубленную неоднородность с замкнутой кусочно-гладкой границей у. Колебания в установившемся гармоническом с частотой со режиме возбуждаются заданным на границе полости вектором распределенных усилий т (р), а на дневной поверхности среды в
ограниченной области Q - вектором напряжений T( y) (рис.1).
y*
| T (y)
• • •
h2
Рис. 1
Рассматривается случай относительно сильно заглубленной полости при наложении ограничения
2nh
>> 1.
(1)
p
здесь к - минимальное расстояние между границами полуплоскости и полости, X р - длина продольной волны в полуплоскости.
Решение краевой задачи сведено к граничному интегральному уравнению (ГИУ) вида:
zik (Ро ) 41)(Ро ) + J Tijk (р0, р) (р) uk)(p)ds =
г
+х>
Iи*(р0,р)т у(№-\и*(р0,р)я?(уУу; I,у,к = 1,2 (2)
у —ю
относительно неизвестного вектора перемещений и(1)(р) = {^11)(р),иу,1)(р)|,
р = {х,у} на у. Здесь и*(р0,р), Т**к(р0,р) - матрицы фундаментальных
решений в перемещениях и напряжениях [7,8] для полуплоскости со свободной границей при действии точечного источника колебаний в
р0 = {Xо,Уо}.
Для фундаментальных решений на основе принципа суперпозиции использовано представление:
и*(р о, р) = иу (р о, р) + и+ (р о, р) + Щ (р о , р) , (3)
где иц (р0, р) - поле точечного источника колебаний интенсивности Ч = {^1, 92} в плоскости, и+ (р 0, р) - поле симметрично расположенного относительно границы х = 0 источника интенсивности ч + = {-91,92}, а иц (р0, р) - поле отраженных от х = 0 волн.
Вычисление функций и ц, и+ и Т1]к, Т+ в виде набора функций Ханкеля является легко реализуемой задачей. Для поля отраженных волн иц(р0,р,а), ТЦк(р0,р,а), имеем представление в виде интеграла Фурье [9]:
иЦ (р 0, р )= ¿Ц» (р 0, р)= X 2пГ и~-» (а)ехР((а) )а
Р 9=
Р,9=
(4)
(а) = соб^ а + соб£2 <1 Р + соб£3 а
1 р
'19
< Р = ~ а2, соб^1 =(у0 - у)/X, соб82 = х0/X, соб£3 = х/X
где, и (а) - амплитудные функции, не содержащие больших параметров.
В случае принятого условия (1) для (4) применим метод стационарной фазы [10] для большого параметра 0ПХ = (у - у0)2 + х2 + ~ 2 частности получим
х
0
иГх(р0,р)= ^0Ц012 Е
-1
1 + о(х~1))
Тщ(р0,р)= -Е [1 + о(х-1)], ТГ22(р0,р)= Е 0- 012)[1 + о(х~1)
012
Е = ехр
(( (х + х0 )-
п/4
0
11
2п(х + х0)
В
(5)
Дальнейшее исследование задачи осуществлено на основе метода граничных элементов. Участок границы полости в одну длину волны разбивался на 20 элементов. Решение системы линейных алгебраических
уравнений осуществлялось методом итераций. В качестве примера на рис. 2 приведены амплитуды радиального и тангенциального перемещений на границе круговой полости в двухслойной полуплоскости в зависимости от угла р при И / а = 19 и параметрах задачи: вп = 1.5, в12 = 3, в21 = 3, в22 = 6, И2 / а = 1, у* / а = 5 ¡и = 1000МПа. На рис. 3 отражен характер концентрации напряжений сгр на поверхности полости, полученных численным
дифференцированием соответствующих поверхностных смещений. 0.04
0.03 0.02 0.01 0
-0.01
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
У / / ч /\ /\
\ \ V / / / / \ ^ 'А \ / \
\ Ч и ч ф ч 1 , / \
и г чЛ ЧУ \у
р / п
0.5
1
Рис. 2
1.5
2
% / ц -
1 1
\ / р / п
0 0.5 1 1.5 :
0
Рис. 3
Литература:
1. Гузь, А.Н. Дифракция упругих волн [Текст]: Монография / Гузь, А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. -Киев: Наук.думка, 1978. -308 с.
2. Ляпин А.А. Возбуждение волн в слоистом полупространстве со сферической полостью [Текст] // Изв. АН СССР, МТТ. -1991. -№3. -C.76-81.
3. R.A. Roberts Elastodynamic scattering by a surface-breaking void // J.Acoust.Soc.Am. -1989. -85, 2. - P.561-566.
4. Ляпин А.А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом [Текст] // ПМТФ. -1994. -Т.35. -№.5. -C.87-91.
5. Gautesen A.K. Asymptotic solution to the crack-opening displacement integral equations for the scattering of plane waves by cracks. I. The symmetric problem. // J.Acoust. Soc. Amer. -1990. -87, N3. -P.937-942.
6. Ляпин А.А., Селезнев М.Г. К построению решений динамических задач для слоистых сред нерегулярной структуры [Текст] // Экологический вестник научных центров ЧЭС, №2, 2006. -С. 37-39.
7. Кадомцев М.И., Ляпин А.А., Селезнев М.Г. Исследование динамики заглубленных фундаментов методами граничных и конечных элементов [Текст] // Строительная механика и расчет сооружений. - 2010. - № 3. -С.61-64.
8. Кадыров Р.Р., Ляпин А.А. Особенности возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №3. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/250 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. рус.
9. Кадомцев М.И., Ляпин А. А., Тимофеев С.И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт» [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, №1. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2009/250 (доступ свободный) -Загл. с экрана. - Яз. рус.
10. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды [Текст]: Монография
/ М.В. Федорюк. - M.: Наука, 1987. - 544 с.
