Асимптотическое поведение вариограммы в нуле (модель черный шум) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 3 (2010). С. 10-16.

УДК 519.2

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ВАРИОГРАММЫ В НУЛЕ (МОДЕЛЬ ЧЕРНЫЙ ШУМ)

В.А. БАЙКОВ, Н.К. БАКИРОВ , А.А. ЯКОВЛЕВ

Аннотация. Известно, что большую роль в топологии и геометрии стационарных гауссовых случайных полей играет вторая производная ковариации в нуле. Исходя из внешней информации о реализации случайной функции в прикладных науках возникает вопрос ее учета, в частности, посредством задания степенного поведения в нуле.

В данной работе предложена модель, обеспечивающая заданное асимптотическое поведение.

Ключевые слова: геостохастическое моделирование, спектральная теория стационарных случайных полей, эйлерова характеристика, фрактальная размерность.

1. Введение

На практике, ввиду неполноты знания о системе и возможной противоречивости входной информации, для воспроизведения реальности необходим вероятностный подход (см, например,[1, 2, 3, 4, 5, 6] ). При моделировании случайных полей, как правило, используют (1) Гауссово моделирование, (2) спектральную теорию, (3) Байесовский подход. Однако предполагается знание случайного поля (с вероятностной точки зрения), а именно для моделирования стационарных Гауссовых случайных полей необходимо знание математи-ческиго ожидания и ковариации.

Большую роль при моделировании стационарных гауссовых случайных полей играет вторая производная ковариации в нуле. А именно, в геометрии случайных полей известно, что среднее Эйлеровой характеристики ф множества экскурсии Аи = Аи(Х*,Т) = {Х4 Є Т : х* > и}, (х* — реализация случайного поля X*) и Є К, Т = ®^=1ТІ, Ті С К (Т — прямоугольная область из К) процесса {Х*}4еу можно определить [7] по формуле

„2

N

Е{Ф(А.)} = е-£ £ Ш^/кН- (^ф ^ к=1."Э, (2п)—Уа

где Шк = Шк(Т) — число 2м-кСМ граней объекта размерности к в Т; Нп(х) — полиномы Эрмита; переменная Qk определяет Ск элементов Ш, которые содержат нулевую точку; к—мерный объем |Ш| некоторого Ш Е Ш определяется как |Ш| = П Тг; Л — матрица

гЕа(.)

спектральных моментов второго порядка. Отметим, что эта формула справедлива только в случае существования спектральных моментов второго порядка, которые, в свою очередь, определяются второй производной от ковариационной функции в нуле (см, например, [8]), и это существенно ввиду использования при доказательстве теории Морса. В случае линейного поведения ковариации в нуле (вторые производные не существуют) также определены оценки экскурсии, например, ее средних размеров [9].

V.A. Baikov, N.K. Bakirov, A.A. Yakovlev, Asymptotic behavior of the variogramm at zero. ©БАйков В.А.,Бакиров Н.К., Яковлев А.А., 2010.

Поступила 7 июня 2010 г.

lO

Связь поведения ковариации в нуле с естественными процессами отмечали многие исследователи. Барроу [10] провел анализ обширного ряда измерений параметров окружающей среды и получил оценки фрактальных размерностей различных процессов. Например, фрактальная размерность содержания натрия в почве — от 1,7 до 1,9, камней — от 1,1 до 1,8. Установлено, что фрактальная размерность выражается как О = 2 — Н, где Н есть показатель степени пропорциональности дисперсии приращения случайного процесса к разности координат: V(Ах) ~ |Дх|2Я, другими словами, пропорциональности разности дисперсии и ковариации в нуле.

Данная работа посвящена обеспечению заданного степенного поведения ковариационной функции в нуле моделью степенных хвостов спектральной плотности f (Л) = Л-в. Такая модель в одномерном случае часто называется шумом. Среди шумов различают белый шум со спектральным показателем в = 0, коричневый шум со спектром мощности, пропорциональным Л-2, розовый шум со спектром Л-1 и черный шум, пропорциональный Л-в, где в > 2.

Черные шумы описывают развитие во времени многих природных и искусственных катастроф, таких как наводнения, засухи, рынки с тенденцией к понижению курсов и различные аварийные ситуации — например, перебои в электроэнергии [11].

Поскольку данная работа имеет непосредственное прикладное значение, и мы работаем с реальными данными, нам необходима удобная мера устойчивости статистического явления, которой, на наш взгляд, является показатель Херста, определяемый как Н = 1и(Я/Б)/1и(АЬ). Я/Б есть нормированный размах, который по существу представляет собой размах Я(АЬ) данных на временном интервале АЬ (после вычитания любого линейного тренда), деленный на стандартное отклонение выборки Б(АЬ) [12, 13]. Отметим, что между показателем Херста и спектральным показателем в существует простое отношение[11] в = 2Н + 1.

2. МОДЕЛЬ СТЕПЕННЫХ ХВОСТОВ

Рассмотрим стационарное случайное поле (Х4}4етсД2. Предположим, что выполнено условие эргодичности и известны значения реализации |х4}4еткСт случайного поля (Х4}4етсд2, для дискретного Тк С Т. Предположим также, что существует характерный шаг дискретизации А множества Тк, а именно, для любого Ь Е Тк существует

е > 0 : А — е < шт \Ь — ^| < А + е и выполнено Т С и иА+е(г).

*1ет гетк

Таким образом, мы имеем можем говорить об отсутствии входной информации на масштабе от 0 до А. Данный масштаб заполняется внешней информацией о системе (поведение ковариационной функции в нуле), исходя из ее топологии, фрактальных свойств и др.

При оценивании спектральной плотности одномерного стационарного случайного поля X(Ь) с нулевым средним, заданного на области О С Я2, традиционно используется периодограмма:

(Л)

4п2|О|

J е-г(^)х (Ь) (И

Б

где |D| — площадь области О. Известно, что если спектральная плотность распределения f (Л) непрерывна в точке Л0, то тогда при неограниченном расширении области О

Е1б(Л0) ^ f (Ло).

Известно, что периодограмма (Л) не является состоятельной оценкой спектральной

плотности, однако, линейные интегральные функционалы от нее состоятельно оценивают аналогичные линейные интегральные функционалы от спектральной плотности.

Непосредственное вычисление периодограммы в нашем случае невозможно, поэтому мы приближаем векторную периодограмму соответствующей интегральной суммой следующего вида:

1 I ^ Г \ I N Т

х І п(хк) I в-г(х’х) дьх

1в(Л) = 4ЛВД (5- пЫ)у е г(х,л) (1х\ х ^ п(хк)

ок / \к-1 вк

где Ок, к = 1,...,М - суть некоторые подобласти области О (разбиение Вороного), с Хк Е О к. Причем данная оценка периодограммы справедлива в интервале Л Е [—Л0, Ао ], где

Ао = —т-----частота Найквиста, определяемая из следующего соображения: наименьшая

пД

длина волны, которую мы можем себе позволить оценивать по имеющимся данным, вдвое больше наименьшего расстояния между данными.

Пусть /(х) — спектральная плотность случайного поля X. Положим, что J / (Л) йЛ = 1.

в2

Согласно теореме Бохнера-Хинчина ковариационная (функция является преобразованием

Фурье спектральной плотности. Обозначим 7(Л) = / (1 — ег(н,Л)) /(А) йЛ.

в2

Задача заключается в обеспечении асимптотики 7 (к) к2Н, |к| ^ 0, Н Е (0,1) моделью степенных хвостов для /(Л) — спектральной плотности распределения стационарного процесса Х4. Итак, запишем спектральное представление

7(к) = ^(1 — ег(м))/(Л) йЛ = I (1 — ег(м))/(Л) йЛ+

в2 |Л|<Ло

+ I (1 — ег(м))/(Л) йЛ = л + А2,

|Л|>Ло

где Л0 - частота Найквиста.

Функцию /(Л) представим в виде /(Л) = < /1(Л) |х| ^ Ло , где /1 — спектральная

[ /2(Л) |х| ^ Л0

плотность на множестве {Л Е Я2 : |Л| ^ Л0}, оцениваемая с помощью соответствующей периодограммы (2), /2(Л) — предлагаемая модель тяжелых хвостов. Далее вычисляем интеграл А\. Ясно, что

А1 = I (1 — ег(1г,Л))/(Л) йЛ = I (1 + г(к,Л) — ег(м))/(Л) йЛ,

|Л|<Ло |Л|<Ло

ввиду центральной симметричности /(Л). С другой стороны,

|1 + г(к,Л) — ег(м)| ^ , Vк,Л,

и, стало быть,

1 Л ' ^ ^0|к| , С0

|Л|<Ло

На множестве {Л Е Я2 : |Л| ^ Л0} для учета необходимого поведения функции 7(к) вблизи нуля (учет фрактальных и топологических свойств реализации случайного поля) определим

С1 |Л|2

то есть спектральная плотность имеет тяжелый степенной хвост.

|Л| ^ Со\к\2, Со = |Л|2dЛ.

/2(Л) = ^га, а>0,

Покажем, что такое определение ^(Л) обеспечит нам необходимую асимптотику A2 в нуле, то есть при |h| ^ 0. Обозначим через Sr окружность радиуса r с центром в начале координат. Переходя в полярную систему коортдинат, получим

СО

/1 _ ei(h,X) С dr Г

-]д]5+Г- ‘ІЛ = C'iJ (1 - ei(M)) ds. (3)

Л: | ЛI >Л q Л q Sr

Функцией Бесселя первого рода нулевого порядка называется функция J0(x) вида [14]

2п

Jo(x) = -П/eixsinф d4. (4)

о

Таким образом,

2п

j(1 - ei(h-)ds = rj 1 - e«r|sin ф1#.

Sr о

Переходя в полярные координаты h1 = |h| sin ф, h2 = |h| cos ф, |h| = \jh\ + h2, имеем

2n

/ (1 - ei(h,x)) ds = r (1 - ei 1 r 11 h 1 (sin^sinф+cos^cosф)) dф =

Sr о

2n 2n

= г J (1 — ег 1 г 1 1 н 1 с°8^-ф)) йф = ф — ф = п — ф = г J (1 — ег 1 г 1 1 н 1ф) йф = 00

= г (2п — 2п^э(|г||к|)).

Хорошо известно, что .]0(х) представима в виде [15]

гс (1)к Х2к Х2

МХ) = ^ 4к(к|)2 =1 — ^ + 0(х4), Х ^ 0. (6)

Итак, учитывая (3)-(6), получаем для 0 < а < 2

СЮ

А2 = 2пС Лг.

Ло

Применяя замену переменных г| к| = у, получаем

СЮ

А2 = [ 1 —У йу = С21к|а(1 + о(1)), к ^ 0,

Ло|Л| У

СЮ

С2 = 2ПС1 / 11—1+0(У) Лу.

0

Здесь мы учли сходимость интеграла в определении константы С2, справедливую ввиду (6) и ограниченности функции Бесселя: | ^0(у)| ^ 1, Vy.

Из последней формулы следует, что

а = 2Н.

Следовательно, учет тяжелых хвостов спектральной плотности /(Л) при построении стационарного случайного гауссова поля сведется к учету дополнительного стохастического интеграла

С1 [ ег(м)ЛФ(Л) = С1 [ ег(НЛ ЛФ(Л)+

^1Л1>Ло Jл 1>|Л|>Ло

+С1 [ ег(м)ЛФ(Л) = В1 + В2,

|Л|>Л1

где величину Л1 выбираем из условия малости отношения дисперсий

ОВ2 = ]|л|>Л1 / (л)лл =

О(В1 + в2) = Лл|>Ло /(Л)ЛЛ =

^Л|>Л1 |Л|2+“ = (Л0) = е, Л! = Л0£-1/“.

Г 1Л I л

^|Л|>Ло |Л|2+а ^Л1-

Например, при а = 1,е = 1/20 получаем А1 = 20А0. При этом для подсчета соответствующих стохастических интегралов мы можем использовать следующее представление

» N-1

/ ег(1'Л)ЙФ(Л) = £ Ск ((}.

Л1>|Л|>Ло к-0

Ск(к) = [ eг(t,Л^dФ(Л), Л0 = Х0 < Х1 < ... < zN = Л1,

^ гк+1>1Л1>хк

где случайные процессы Ск(к), к = 0,1,..., N — 1 независимы и имеют гауссовское распределение ввиду того, что случайная мера ЛФ(Л) в соответствии с общей теорией гауссовская и имеет независимые приращения. Ясно, что ЕСк (к) = 0 и

Сау(Ск ((«к М)= / е1^ / (Л)ЛЛ =

Лгк+1 >|Л|>2к

[ гк+1 ^0 (г |к — з|) /0 (гк |к — з|) Хк + ^к+1

= 2пС1 —^— Лг ~ 2пС1(^к+1 — Zk*—-д+а—, гк = —2—.

^*к ' гк 2

Выберем в качестве Хк равномерное разбиение отрезка [А0, Л1] :

Л1 — Л0 1 Л1 — Л0

Хк+1 — Хк = ----77----, гк = Л0 + к + “

N 7 к 0 V V N Итак, если п(() гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией /0(|к — з|), то тогда случайный процесс Ск(к) распределен также, как и случайный процесс

/ 2пС1 (хк+1 — Хк) п(гк ‘V—л+о—■

Таким образом, сначала мы моделируем N независимых, одинаково распределенных гауссовских процессов г/к(‘) с нулевыми средними и общей ковариационной функцией J0(|t—s|), и затем используем приближенную формулу

ег^Л) лф(л) = (о«£ ,(гк о,/2пС1 (Хк+0—Хк *

к-0 к-0 гк

Л1>|Л|>Ло к-0 к-0 гк

Реализации процессов Пк (к) моделируем следующим образом

2М—1

Пк(к) = ег(^Л)ЛФ1(А) и ^ eг(t’Лk)фк, ‘ Е Я2,

/51

к-0

У к,

где комплекснозначные случайные величины фк,к = 0,1,..., М — 1 независимы с нулевыми средними и дисперсиями Офк = Е|фк|2 = 1/(2М), при этом фк = —фк+М, к = 0,1,..., М — 1, тем самым

М-1 М-1

Пк (к) и -^2Яе V е^ ик—Ук = -Я^у ег(^Лк)(ик + гУк),

(* -2М к-0 ^ Vм к-0 ( к к),

где ик,Ук, к > 0 — совокупность независимых стандартных гауссовских величин N(0,1).

Величины М, N выбираем достаточно большими.

3. Приложение в нефтяной промышленности

Тремя главными компонентами неидеальности пласта являются анизотропность, нестационарность (неоднородность), неравномерность. Эти термины могут применятся к любому свойству пласта, будь то геофизическое поле или фильтрационно-емкостные свойства. Анизотропность означает изменение свойства согласованно с углом измерения, тензорная характеристика. Стационарность предполагает, в вероятностном смысле (например, средние характеристики), инвариантность свойства к трансляциям. Неравномерность определяет постоянную изменчивость и далее будет связана со случайностью.

Учитывая сложный характер залегания коллекторов, процессов, происходящих во время и после, не вызывает никаких сомнений тот факт, что ни один из рассматриваемых пластов не является однородным. Конечно, это не означает, что всегда неравномерность является ключевым фактором, однако, ввиду введения в разработку низкопроницаемых-сильнорасчленненых коллекторов, тех, у которых дебет жидкости на скважине падает в короткий срок в пять и более раз, данный факт является одним из основных. Ясно также, что в чистом виде не встречается изотропность, и, как правило, особенно на больших масштабах, нет и стационарности.

Применяя новый подход моделирования (см. [16]) к геологическому конструированию месторождения, основанный на спектральной теории случайных полей, который позволяет строить нестационарные, анизотропные, в строгом смысле, не гауссовы случайные поля, и модель степенных хвостов, позволило в случаях низкопроницаемых коллекторов без дополнительных гипотез перейти к гидродинамическому моделированию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. D.G. Krige A statistical approach to some mine valuations and allied problems at the Witwatersrand. Master’s thesis. University of Witwatersrand. 1951.

2. G. Matheron The theory of regionalized variables and its applications. Fontainebelau: Center of Geostistics. 1971. 212 p.

3. G. Matheron The intrisic random functions and their applications // Adv. Appl. Probability. 1973. №.5. P. 439-468.

4. G. Matheron Estimer et choisir. Fontainebelau: Centre de Geostistique. 1978. 175 p.

5. C.V. Deutsch, A.G. Journe GSLIB, Geostatistical software library and User’s guide. New York: Oxford university press. 1992. 340 p.

6. Дюбрюль О. Использование геостатистики для включения в геологическую модель данных. EAGE: Изд-во SEG. 2002. 295 с.

7. R.J. Adler, J.E. Taylor. Random fields and their geometry. New York: Springer Science. 2003. 288 p.

8. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир. 1989. 392 с.

9. W. Robert, Jr. Ritzi Behavior of indicator variograms and transitions probabilities in relation to the variance in lengths of hydrofacies // Water resources research. 2000. Vol. 36, №. 11. P. 3375-3381.

10. P.A. Burrough Fractal dimentions of landscapes and other environmental data // Nature. 294 (1981). P. 240-242.

11. М. Шредер Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 528 с.

12. H.E. Hurst, R.P. Black, Y.M. Simaika Long Term Storage: An Experimental Study. L.: Constable. 1965.

13. B.B. Mandelbrot Fractals and Multifractals, Selecta. Vol. 1. N.Y.: Springer. 1991.

14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцентдентные функции. Том 2. М.: Издательство «Наука». 1974. 296 с.

15. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть вторая. Трансцендентные функции. М.: Государственное издательство физико-математическсой литературы. 1963. 500 с.

16. Байков В.А., Бакиров Н.К.,Яковлев А.А. Новые подходы в теории геостатистического моделирования // Вестник УГАТУ: научн. журн. Уфимск. гос. авиац. техн. ун-та. 2010. Т. 37. №2.

Виталий Анварович Байков, РН-УфаНИПИнефть, ул. Революционная, 96/2, 450078, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Наиль Кутлужанович Бакиров

ИМВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450008, г. Уфа, Россия Андрей Александрович Яковлев,

РН-УфаНИПИнефть, ул. Революционная, 96/2,

450078, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected], [email protected]