Асимптотическое интегрирование уравнений статического равновесия глубоководных стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

3) Азот р+ = 1.251(kg/m3), c+ = 334(m/c), с = 0.937, рс = 1.08; Кислород p+ = 1.429(kg/m3), c+ = 313(m/c), с = 1.161, рс = 1.000.

В [4] построено решение (16) при рс = 1 для q+ в пространстве параметров подобия cY, L,av, отмечены характерные особенности поведения границ областей существования RR.XR.RW. В частности, граница между RW и RR, NR при q + = 1.0, q- = 1.0 не зависит от av и дается уравненнем2с7 = 1/L—1. Характерная точка на линии раздела q+ = 1.0 есть cY = 0, L = 1. Приведенные примеры газовых сред имеют значения L вблизи характерной точки.

Однако расчет параметров для всех режимов зависит от av и все поверхности av = const (av > 1 RR, av < 1 NR) проходят через линию раздела режимов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Шиндяпин Г.П., Ковалев A.B. Математическое моделирование в задачах динамики многофазных сред: В 2 ч. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. 4.2. 108 е.

2. Шиндяпин Г.П., Матутин A.A. О законах подобия рефракции ударных волн в газовых и газожидкоетных средах // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10.

3. Шиндяпин Г.П. Об особенности "сверхзвукового"взаимодействия слабых ударных волн и задач преломления слабой ударной волны в воде на свободной поверхности // Аэродинамика: Межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974. Вып. 3 (6). С. 24-36.

4. Матутин A.A., Шиндяпин Г.П. К теории нелинейной рефракции ударной волны // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 199-203.

УДК 539.3

O.A. Торопова

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ СТАТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ГЛУБОКОВОДНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Потребность в новых источниках энергии привела к необходимости добычи нефти из новых нефтяных месторождений, расположенных под океанским дном. В связи с этим актуальной является задача определения равновесных конфигураций вертикальных нефтеподъемников (райзеров), соединенных нижним концом с помощью сферического шарнира с устьем буровой скважины. Будем считать, что райзер расположен в вертикальной плоскости одномерного потока подводных течений, возможно отклонение верхнего конца райзера на заданную величину в горизонтальном направлении ~и s = usx ¿1. В этом случае модель райзера будет иметь вид

ed^ = (1 - YiT)(НзР4 - tg ф) - H3T/ cos р + Рз(1 - YiT/2);

dH^ 1 + 27iT dp H3 dux

Z-T7- =--Qi; -ТГ =-; -ТГ = Y6 tg p; (1)

dt cos p dt cos p dt

ux(0) = 0; Нз(0) = 0; Ux(1) = uSx; Нз(1) = 0. (2)

Для глубоководных нефтеподъемников параметр г, входящий в систему уравнений статического равновесия, имеет порядок 10-4 — 10-3, что дает возможность для построения решения использовать метод пограничных функций. В этом случае в системе (1) введем следующие обозначения:

F = ((1—YiT)(НзР4—tg p)—H3T/ cos p+Рз(1—YiT/2), — (1+2yiT)Qi/cos p)T;

f = (Нз/cosp,Y6,tgp)T; z =(Ql,Hз)T; y =(p,ux)T. Выражения для собственных чисел Ai, Л2 якобиана

F = F (Z(t) y(t)) = ( 0 (1 — YiT0)P40 — T0/cosPo \

Fz Fz(Z(t),ylt,) V — (1 + 2YiTo)/cos Po 0 )

получим из характеристического уравнения Det{dF/dz — AE} = 0:

Ai,2 = ±V((1 + 2YiTo)(1 — YiTo)P04 cos p — To)/cos po). (3)

Анализ формулы (3) показывает, что собственные числа являются вещественными и имеют разные знаки, поэтому рассматриваемую краевую задачу следует отнести к классу условно устойчивых краевых задач, решение которых, как известно, имеет два пограничных слоя в окрестностях граничных точек t = 0 и t =1.

Получим главные члены асимптотического разложения. С этой целью рассмотрим вырожденную краевую задачу, т.е. случай, когда г = 0:

dpo = p(1 — YiT) — Рз°(1 — 0, 5yiT); dt (1 — YiT )P4o — T ;

^ut^ = —Y6po; uxo(0) = 0; uxo(1) = —Y6po.

Она может быть решена, например, методом пристрелки. Ее решение позволяет построить члены регулярного ряда yo = (po,uxo)T и Zo =

(Q Н )T = (0 yo(i—7iT)—P40(i—YiT/2) )T (Q10,H30) = (0, -(i—YlT)P40—T-) •

Дифференциальные уравнения относительно погранслойных функций в окрестности нуля n0z = (n0Qi, П0H3)T имеют вид

dnpQi dnoH3

—-= —ai П0Н3; —--= — а2П0 Qi,

dr0 dr0

где to = t/г; Fi(t) = T(t) — (1 — YiT(1))ЭД; F2(t) = 1 + 2yiT(t) ai = Fi(0); a2 = F2(0).

Решая эту систему, получим окончательно выражения дляП0^1 и ПоЯз: По#з(£) = -Язо(0) ехр(-^аТа2-/е),

По^1(^) = ^у/О^Язо(0) ехр(-^й1й2-/е).

Аналогичные выражения имеют погранслойные функции в окрестности точки £ = 1

= (ОоОъ ОоЯз); ОоО(-) = ^Ь^Язо(1) ехр(/м2(- - 1)/е);

ОоЯз(-) = -Язо(1)ехр(-^Ь^(^ - 1)/е); Ъ = ^<(1)(г = 1, 2).

Таким образом, решение краевой задачи (1) в нулевом приближении имеет вид

ПоЯз(г) = -Язо(0) ехр(-^аТа2-/е);

ПоО1(^) = -\/а1/а2Язо(0) ехр(-^аТа2-/е);

Яз(£) = Язо(-) - Язо(0) ехр(-^Оа-/е) - Язо(1) ехр(//Ъ1ТЪ2(- - 1)/е);

О1(-) = -^«1/«2Язо(0) ехр^^Оо^/е) + г/Ъ^Язо(1) ехр^Ъ^Х- - 1)/е);

<£(-) = (£); мж(£) = мжо.

Дифференциальные уравнения относительно погранслойных функций в первом приближении в общем случае являются неоднородными (в отличие от аналогичных уравнений нулевого приближения):

¿П^! п Я (1 т)п ¿П Яз п _

—-= -«аЩЯз - (1 - 71Т)П^; —--= ^П^.

ато ато

Определяя константы интегрирования с помощью граничных условий (2), получим окончательно выражения для погранслойных функций в окрестности точки £ = 0:

ПА(-) = (- Яз1 (0)) ехр(-^2-/е); 2 у ®1 е

П1^1(£) = (^- - \/а1/а2Яз1(0) - Й5 ) ехр(-^о1о2£/е), 2 е 2л/й1й2

где а5 = Яз(0); ВД = (1 - 71Т(-))Язо(-)л/О^.

Аналогично могут быть получены выражения для погранслойных функ-

- = 1

Таким образом решение задачи будет иметь вид

Яз(£) = Язо(-) + ПоЯз(-) + ОоЯз(-) + е(Яз1(£) + ЩЯз(-) + О^-)) + 0(е2);

^х(^) = ад^) + ЯоЯ^г) + £(Я\(г) + Пх^х(^) + яшг)) + о(£2);

Пх (£) = пхо(г) + е(иХ1(^) + П1 пх(г) + ф^хВД) + 0(£2);

^(1) = ^оМ + + П^М + ^(О) + 0(£2).

Поскольку в окрестности точки £ =1 нулевое и первое приближения практически совпадают, приведем таблицу их сравнения в окрестности нуля. Из таблицы видно, что в диапазоне изменения длин от 1000 до 2000 м значения таких статических характеристик райзера, как кривизна осевой линии райзера Н3, угол отклонения касательной к осевой линии райзера от вертикали существенно уточняются. Для 10 > 2000 м разница между нулевым и первым приближениями не превышает 2%, что позволяет упростить расчеты, используя только главные члены асимптотического разложения.

1о (м) £ Нз * ¥>(0)

В нулевом приближении В первом приближении В нулевом В первом приближении приближении

1000 0.0095 0.3399 0.3400 -0.1316 -0.1176

1500 0.0052 0.450064 0.450082 -0.1314 -0.1239

2000 0.0034 0.47729 0.487737 -0.1314 -0.1265

3000 0.0018 0.537563 0.537565 -0.1312 -0.1285

4000 0.0012 0.577410 0.577411 -0.1311 -0.1293

5000 0.00085 0.587633 0.587633 -0.1309 -0.1297

6000 0.00064 0.589008 0.589008 -0.1308 -0.1299

6500 0.00051 0.588739 0.588739 -0.1307 -0.12998

Данный подход может быть широко использован в задачах расчета характеристик установившегося движения глубоководных нефтеподъемников и длинномерных элементов морских геологоразведочных комплексов.