Аппроксимация характеристик нелинейных элементов параметрических преобразователей в высших зонах неустойчивости колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 004.942:621.375.7 Л.В. ЧЕРКЕСОВА

АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ В ВЫСШИХ ЗОНАХ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИЙ

Рассмотрены вопросы аппроксимации характеристик нелинейных резонаторов - нелинейных элементов параметрических преобразователей, работающих в высших зонах неустойчивости колебаний. Проведен расчёт коэффициентов для аппроксимаций функциями гиперболического синуса, степенно-показательной, дробно-рациональной, степенной функциями и полиномом пятой степени. Проведено сравнение результатов, полученных с помощью различных аппроксимирующих функций, с реальной экспериментальной кривой.

Ключевые слова: нелинейный резонатор, параметрический резонанс, нелинейнопараметрическая зонная система, аппроксимация характеристик, нелинейный элемент, коэффициенты аппроксимирующей функции, гиперболический синус.

Введение. Для развития современной техники актуальными являются исследования параметрических взаимодействий электромагнитных волновых полей значительной интенсивности с нелинейной средой (газовой смесью, полупроводниковым кристаллом и др.). Процессы, которые происходят в системах типа «активная среда - электромагнитное поле», лежат в основе функционирования практически всех электронно-волновых приборов: от вакуумных и твердотельных электронных устройств до лазерных и плазменных устройств.

На протяжении последнего десятилетия значительное внимание научного мира уделяется изучению и анализу процессов, происходящих в существенно нелинейных системах. Нелинейно-параметрический эффект широко используется в электронике для создания малошумящих усилителей и высокоэффективных генераторов, элементов памяти, логических элементов: регистров, счетчиков, дешифраторов, сумматоров и функциональных преобразователей и др.

Одним из предметов исследования в рамках теории нелинейных колебаний являются закономерности параметрического резонанса в высших зонах неустойчивости колебаний. Работы по повышению быстродействия и эффективности модуляции параметрических систем идут в нескольких направлениях. Одним из малоизученных, но перспективных направлений в разработке электронных средств является разработка устройств на основе резонансных схем.

Нелинейный резонатор представляет собой колебательную параметрическую зонную систему, работающую в высших зонах неустойчивости колебаний.

Применение нелинейно-параметрических зонных (пазонных) систем (НПС) в качестве высококачественных усилителей, генераторов, преобразователей, а в цифровой технике - триггеров, логических элементов и элементов памяти позволит не только улучшить технические характеристики аппаратуры, но и повысить их надежность в условиях неблагоприятного воздействия окружающей среды. Достоинства таких систем обуславливают их использование в измерительной технике, в качестве датчиков НЧ-диапазона, как малошумящих функциональных устройств. Необходима

разработка точных методик и широкого класса экспериментальных методов и средств исследования. Изучение свойств и закономерностей явлений в НПС, работающих в высших зонах неустойчивости, весьма актуально. Применение подобных исследований лежит в плоскости нелинейных параметрических резонансных явлений в наноразмерных структурах.

Нелинейно-параметрические взаимодействия распространены в природе очень широко и присущи многим нелинейным средам. Колебательные процессы в НПС удобно моделировать с помощью нелинейных электрических цепей, в которых легко получить, описать и исследовать все явления и процессы, связанные с нелинейно-параметрическими взаимодействиями.

В теоретических исследованиях и практических расчётах электрических цепей, содержащих нелинейную индуктивность, характеристику индуктивности задают с помощью какой-либо аппроксимирующей функции, которая выражает зависимость между мгновенным значением магнитной индукции Л и напряжённостью I магнитного поля в сердечнике. При выборе аппроксимирующей функции исходят из следующих соображений: она должна иметь аналитическое выражение, поскольку его легче исследовать и легче интерпретировать полученные результаты. Отличие аппроксимирующей функции от реальной экспериментальной кривой должно быть достаточно малым, а функция должна отвечать физике исследуемого процесса, учитывая его характерные особенности. Вместе с тем вид аппроксимирующей функции должен быть, по возможности, простым, чтобы не усложнять анализ громоздкостью вычислений. Эти требования противоречивы, и в реальной ситуации при выборе аппроксимации нелинейных характеристик системы приходится идти на компромисс. Вопросам аппроксимации и их погрешностям посвящено множество работ, в частности работа [1]. При определении коэффициентов аппроксимирующей функции Н = f (В) возникает трудность в экспериментальном получении кривой намагничивания классическими методами [2, 3].

Уже в первой зоне неустойчивости НПС возможны нелинейные колебания, а в зонах выше третьей наблюдаются существенно нелинейные явления, поскольку в них используется сильная накачка [2]. При этом энергоёмкий элемент резонансного контура периодически находится в режиме насыщения. Поэтому выбранная функция аппроксимации, которая должна адекватно опи-

Рис.1. Схема нахождения ВАХ магнитного материала для действующих зна-

чений токов и напряжений

сывать вольт-амперную характеристику (ВАХ) в широком диапазоне, играет особо важную роль.

Чтобы определить коэффициенты аппроксимации, используем ВАХ для действующих значений токов и напряжений, прямо пропорциональную вебер-амперной характеристике магнитного материала. Схема для нахо-

ждения ВАХ магнитного материала для действующих значений токов и напряжений показана на рис. 1.

Произведём расчёт коэффициентов для аппроксимаций несколькими функциями: гиперболического синуса, степенно-показательной, дробнорациональной, степенной, степенной с линейным членом и полиномом пятой степени. Согласие расчётной и экспериментальной кривой будем уточнять по критерию наименьших квадратов. При выводе соотношений не учитываются индуктивность рассеивания, активные потери в цепи и потери на гистерезис ввиду малости этих величин и их несущественности для данной задачи.

Постановка задачи. Исходными данными для расчётов являются действующие значения тока IK и напряжения UK . Для аппроксимирующей функции конкретного вида H = f (B) требуется минимизировать сумму

n ,2

X pk(Ik ~ Ik) > (1)

k = 1

где Ik, Ik - расчётные и экспериментальные значения действующего тока; pk - весовой коэффициент k - й точки вольт-ам-

перной характеристики; n - число точек ВАХ.

Аппроксимация гиперболическим синусом. Пусть нелинейная зависимость H = f (B) представлена в виде гиперболического синуса H = a sh$ B , где a, b - коэффициенты аппроксимации, подлежащие определению. Используя второй закон Кирхгофа и закон полного тока для индуктивного элемента, подключённого к источнику синусоидального напряжения e( t)= Um sin wt, с учётом сделанных выше допущений и рис.1 получаем следующие выражения:

SW — = Um sin w t = e(t),

dt m (2)

iW = lH,

где S - площадь поперечного сечения сердечника; W - число витков обмотки возбуждения; l - длина средней линии магнитного поля в сердечнике; Um - амплитуда напряжения возбуждения; w - круговая частота напряжения возбуждения; i - мгновенное значение тока в контуре.

Рассмотрим совместно уравнения (2) относительно тока. Учитывая, что постоянная составляющая магнитной индукции в сердечнике отсутствует, из первого уравнения получаем выражение B = —U m cosw t.

SWw

Используя аппроксимацию H = ash$B, находим искомый ток:

■í \ al i

i\t) =--------sh

W

BU

m-coswt

(3)

SWw

\ /

В полученное выражение входят коэффициенты аппроксимации а и Ь , которые требуется определить с помощью ВАХ для действующих зна-

чений тока и напряжения [3]. Для этого воспользуемся известным соотношением между действующим и мгновенным значениями тока:

1=л Т Ь2 л , (4)

а также разложением гиперболического косинуса в ряд Фурье

ch( x cosw t) = I0 (x) + 12k (x) cos2kwt,

k = i

где 10 (x), 12 k (x) - модифицированные функции Бесселя.

Применив формулу sh2y = 2(ch2y- i), получим выражение для i2 :

.2 a 2l2 ,2 йж b Um ц щ

1 = sh кз SWmчcosw tb =

W ли SWw ш ы

= a 2/2 йJ ж2 Um Ц + 2P J ж2b Um Цcos2kw t- 1щ

= ™?2 к J0 з ет„ ч + 2е 12k з ет„ ч cos2kw t 1ъ •

2W л и SW w ш k= i и SW w ш ы

2p i—

Подставив это выражение в (4) и учтя, что T = —, Um = Uy¡2,

w

после преобразований найдём зависимость между действующими значениями тока I и напряжения U в приведённой цепи:

I = aa^J о (2qbU)- 1, (5)

a = —L_. _ V2

где wV2 ' q sww "

Для точек ВАХ нелинейной индуктивности, за исключением области вблизи начала координат, выполняется неравенство 10 (x) >>1, где

x = 2qbU .

Используя асимптотическое разложение, справедливое для больших значений x , для выражения 10 (x) получаем соотношение

10(x)

л]2пх

При х > 3 относительная погрешность при замене 10 (х) на

ех

не превышает 6%. С учётом описанных выше соотношений из выра-

л/2ях жения (5) получим

1 = Ja Ьтт ЄХР(qbU) (б)

у4лдЬи

a a a a

с погрешностью, не превышающей значения ^^ ^ ^) ~ 21 (х)' где

х = 2qb и.

Определим коэффициенты аппроксимации методом выбранных точек по двум значениям ВАХ: 1х,их и 12,и2 . Из выражения (6) имеем соотношения:

а Ча

44р др и

■ехР (др иі); 12 =

а ■ а

4І4ждР и2

■ ехР( Чр и2 ).

(7)

Разделив второе уравнение (7) на первое, находим

у = 4 иг ехрчР(и2 - и).

./і \1 СУ ->

■2 -и. (8)

£ 1 у <_/ 2

Из выражений (7) и (8) получаем выражения для коэффициентов а и Р :

р =

і

ч(и 2 - и і)

1п

I 2

и2

IЛ и

, а = — 4І4їїдР и 1 ехр(- дР иі) .

Более точные значения коэффициентов аппроксимации можно получить из условия минимума суммы (1), которая является функцией искомых а и Р и имеет вид

2

F(а,р)=1 рк\а ■«7(70(^йП')- 4].

Из условия

д F(а , р ) =

да

0 находим для а как функции Р

І РАЛ(2дРик)-1

а =

к = 1

аІ Рк [10(2чр ик)-11

(9)

к = 1

И ^(а, Р) 0

Из условия-----—------- 0

др а ■ а

получаем уравнение

Ё рил (2«Рйь Ё Рк!й;Ч 2й?й\) -0

к - 1 к - 1 ■\110 ( 2ЧРйк ) 1

(10)

Подставив в уравнение (10) выражение для а , взятое из выражения (9), получим нелинейное уравнение для определения Р :

й п I------------------щ п

ф(Р)- ке Рк1к^о (2дР йк)- е ркйк1, (2дЬ йк )-

Ы к = 1

л к-1

" рк1кйк11 ( 2#Р йк) , " р й Т ( 2qfi тт ) 1м, - 0

е I , —— ^ е рк я10(2^ йк) 1щ - (11)

к-1 V То (2#Р йк -1) к-1

Таким образом, из выражения (11) можно найти Р , а затем из уравнения (9) можно найти а . Если используемая часть нелинейной характеристики индуктивности далека от области насыщения, то выражения для определения коэффициентов а и Р можно существенно упростить. Обозначим поправки к коэффициентам а0 и Р0, найденным по методу выбранных точек, через Да и Др соответственно и проведём линеари-

к = 1

зацию выражения (5) относительно этих поправок. Тогда для каждой точки ВАХ можно написать условное уравнение

акДа + ЬкДР - 1к , (12)

г-1----------- ь _ а ойЛ(2Чр ойк) , Т

где ак - ^ о(2ф0йк )- 1 ; Ь - ^ (2дР й)- 1 : - - а 0°к'

Искомые поправки Д а и Д Р можно найти из системы нормальных уравнений:

п п п

ДаЁ Ркак + дрЁ Ркакьк- Ё Ркак1к>

к - 1 к - 1 к - 1

п п п

Да Ё Ркакьк + Др Ё Ркьк2 - Ё Ркак1к ■

к - 1 к - 1 к - 1

Процесс приближения можно повторить, взяв в качестве а о и Р о

улучшенные значения коэффициентов. Этот процесс сходится, если невязки условных уравнений (12) не будут слишком велики.

Начало

Ввод исходных данных п, 1к, ик, 5,^, f І, іі, р, д

Вывод исходных данных

Вычисление А , А х,

А у, X, у, а, в, 5 0, 8 х, 5 у

М = 0

Вычисление а и р0

Да

М = 20

Нет

к = 1

Нет

I х|£ 10-4а0 I у1 £ 10 р0

Вычисление

ак, Ьк, Аь Лг, В1, В2, С1, С2, Sk

Да

Вычисление

Ьк 11К> 12к

Да

к = п

Вывод

результатов

Нет

к = к + 1

Рис. 2. Алгоритм определения коэффициентов аппроксимации

функцией гиперболического синуса

На рис.2 представлен алгоритм определения коэффициентов аппроксимации гиперболическим синусом по п аппроксимирующим точкам за М циклов, где X и У - погрешности вычисления а и Р .

Аппроксимация степенно-показательной функцией. Аппроксимация степенно-показательной функцией H = а B exp (b B2) проводится аналогично предыдущему случаю. Находим зависимость между действующими значениями тока и напряжения. Мгновенное значение тока в контуре имеет вид

• а Ч1ЧВ /о-

i ==~W~ехР(b В ) • (!3)

Из выражения (13) с учётом (3) получаем соотношение для i2 :

i2 = (a 4aqU)2(1 + cos2w t) exp(b q2U2 + b q2U2 cos2w t

При вычислении действующего значения тока по формуле (4) воспользуемся разложением показательной функции в ряд Фурье:

Г

exp(b q2U2cos2ffl t)= I0 (b q2U2) + 2g Ik (b q2U2) cos2kffl t.

k = i

Сделав несложные преобразования и вычислив интеграл, получим зависимость между действующими значениями тока и напряжения:

1 Т

- у (1 + cos2w t) exp(b 4q2U2cos2ffl t) dt = I0 (b 4q2U2)+ I1 (b 4q2U2),

ж 1

..2' ш

Используя асимптотическое разложение, учтём, что для больших

a 4aqU<J10 (b 4q2U2) + I1 (b 4q2U2) expf-b 4q2U2 ¡}. (14)

значений .x верно соотношение I0 (x) » I1 (x) » _

v-

шется в виде

p x

Тогда (14) перепи-

Из этого вы

I1 = a Ча^/qUj Ч4

I = a 4ay[qU 44—exp(b q-U2).

\ p b

ражения по методу выбранных точек находим:

2

exp(b q2U!2); I- = a 4^VqUT^(4exP(b ^U-). pb \ p b

Отсюда получаем приближённые значения для a и b:

b =

1

Ж Iо lrn

q2 ( U2 - U12) и IiV

U

2 Ш

ТЩПexp (-q 1 U12 ’.

Сумма (1) теперь будет иметь вид

x

a

р(а, р) = І Рк

к = 1

а ади^10рд'и1) + 1,(рд'и;)ехр

2р ги

2т т2

к

Используя формулы для производных от модифицированных функ-

ЭF(а ,Р) ЭF(а ,р) л

ций Бесселя, из —!----- - о и ——------ о находим более точные значе-

Эа Эр

ния коэффициентов а и р - нелинейное уравнение для определения более точного значения р и формулу для определения а:

1

р ^ик г / 1

1кик ехР

2

а =

^51 Рк^0 (Р дЩ)+ І1 (р д2и2к)

і0 (Р д2и2к )■

1-

Р д2и2к

і1 (Р д2и2к)

ачІ Рки1 ехр(р д2ик)> к = 1

І0 (р д2и2к )■

1 -

Р д2и2к

ж 1,

Ік (р д2и2к)

ф (Р) = !е, Ркіки^І0 (Р д и) + і1 (Р д и) ехрж - р д и

Л к= 1

'к чъґ шы

ґїеп рЩ йІ0 (Р д2и2к ) + Ж1 - —иїІ1 (Р д2и2к)ехр(р д2и2к)п

о к= 1 л и 2р ди, -

кш

їе рЩ Лі0 (Р д2и2к ) + І1 (Р д2и2к ) щехр(р д2и2к) эь і " - - ю

о к = 1

ї т ж 1 п 2т т2 ц

П п РкІкик ЄХри 2Р д ик Ч й ж 1 ц Щ

ґ Пе , , 2 ^ и , 2 ш, КІ0(Рд2и2к) + 31 - цІ1 (Рди)ъП = 0.

" д ■" ып

п к= ^І0 (р д2и2к ) + І1 (р ди) л°1^^'Г 2р д2и1 ш

Коэффициенты условного уравнения (12) имеют вид:

ж 2 р о^^ 1т 1Р ~2тг2 \ , Т /Р 1

ак = адик ехрI32р 0д2и1 ^чJI0ïр0я^Uïï+~I1^0я^Uïï, Ік = 1к -а 0ак■

і 1 ЭттЭ Ж 1„ 2ТТ2 Ц і0 1Р 0* ик

Ьк = г“0адикехрг-р0дикч , ,

2 и2 Ч/10(Р0д и

ц І0(р0д2и2к) +11 (р0ди) ж1 -

шх/І0(р^иІ)771(р^ик) И 2Р0ди1

1ц

а2П2 4 ■

1 0д ик ш

Дробно-рациональная аппроксимация. Дробно-рациональная аппрок-

и а В 2

симация имеет вид Н - ------. После преобразований для значения /

р - В

4(а ади)2 cos2 ю і и2д2 ^2 ю і)

получаем выражение

(а ади)2

Вычислив интеграл

1г.

Т

у і dt--

^(1- д'и!):

г, получим формулу для действующих значений тока

2

I

к

1

2

а ади

и напряжения:

- д2и2)

з . По методу выбранных точек получаем

выражения для І1 и І2 : 1

а ади1

I

а ади2

р(р- ди1)3 2 4р(р- ди2)

3 .

Из этих выражений получаем приближённые формулы для определения а и р:

( \ 4 ( \ 4

и2 - и23 и 2 ^ іи 2 ^ 1 - 3 і и 2

12и- 0 І іи- 0

(Уі )3

І2 X Ц.

I, и

\ 4

и2

І2 X ^

І1 и2

4

= — #4/р (р - ди)3

ад и1

Сумма (1)

^(а , р) = І Рк

данном случае имеет вид

к = 1

-и,)'4 - і,

„ ЭМа,р) Э(а,р)

Из условий —5------- - о и ——------- о получаем формулу для

Э а Э р

определения а и нелинейное уравнение для определения р :

п рк1„йк (4р - Гй2)

_ 3 _______________

е 1 РкІкикр 4(р- д2ик) 4 к= 1 ^р5(р - д2и2к)7

а =

п - _

аде Ркик2р 2(р - д2и2)

к = 1

2 г 3 п р,и; (4Р- д'-и,)’

И аде '■1 л/Р(Р- чЩ)

Ф(Р)= еп | РЛ-и- Че"ри(4Р- )

к = 1 4

ди)" -1 ф3(р- я2и,)

Р,-І,ик (4Р- ди) Ч п ри

Че

Т2

'к

к-1 Ур5(р- чйГ к-^р(р- чй)'

Выражения для коэффициентов условных уравнений имеют вид:

0.

а,,

адикЛр0(Р0- д'-и;)3Щ4,

ы

2

д

1

3

а

в

2

п

чале нужно вычислить интеграл y2p = у cos2p xdx. Интегрируя его по ча-

bk = - 4a oaqUk ¡¡йр 0(b о - qU2)3и'1 + 3?Р 0(р 0 - qU)7Щ1! ;

4 вл л ю

h = Ik ' а 0 ak •

Степенная аппроксимация. Степенная аппроксимация H =а В2и1, где m = 1,2,3...; m О N. Выражение для квадрата мгновенного тока имеет

Т

вид /2 = 2(аа)2(qUcosw t)4m +2. Для вычисления интеграла уi2dt вна-

0

2ji

,2и

2Р = Tc‘V

0

2n ' 1 2p

1 2n- 2 7

стям, получаем: y2p = --------y2n 2, где y2n 2 = у cos xdx. Исполь-

2n 0

зуя эту рекуррентную формулу, находим выражение для y2n :

1Ч3Ч5---(2n- 3)(2n- 1) (2пГ n (2 + 1)

y2n = 2р---------Ц----------------- = 2p -i—Ц- = 2p---------i---------,

■Г2л 2 Ч4 Ч6-( 2n - 2) 42n 22n (n!)2 22n jj Г (n + 1) щ2

где Г(2n + 1), Г(n + 1) - гамма-функции, таблицы которых имеются в

математических справочниках, например, в работе [4]. После преобразований получаем следующую зависимость между действующими значениями тока и напряжения:

ж qU ц2m+^2(4m + 2) ! = ж U ц2'+1

и 2 Ш (2m +1) ! ”3И g 4

1

где g = 22т +1

q І

(2m + 1)! 2 и Г (2m + 2) щ2т

— К —, —ъ

+1

а42(4т + 2)! ч ЛаГ2 (4т +3) ы

Сумма (1) в случае степенной аппроксимации имеет вид

2

77/ \ п й ж ик ц2т+1 щ

Р (а)- е Ркк а з — ч - Ткъ •

к-1 л и % ш Ы

Э Р (а)

Из условия минимума суммы —!—- - о находим выражение для а:

Эа

g2' +1 е PUГ11

к = 1

2m +1 л г, тт2т +1

к

(15)

е PkU4 к = 1

n

a

Степенная аппроксимация с линейным членом. Степенная аппроксимация с линейным членом имеет вид Н - а В2т +1 + р В. Такая аппроксимация позволяет улучшить согласие между расчётной и экспериментальной кривыми в линейной части ВАХ по сравнению со степенной аппроксимацией, в которой р =0. Зависимость между действующими значениями тока I и напряжения й здесь можно представить в виде

I - а,/г(чй) ** 2а : + ?(чй)2" + (чй)2р ‘,

г(4т +з) п- г(2М з)

где 24'*1 лг (2т +2)щ' 22' л г (т + 2) Щ ■

Это выражение можно записать иначе:

, г, 2и+1 ____ “Р(Ч(чй)2т

I -аШ чй )т а + ч й р) л/Т-г, где г - :---------— ■ (16)

1 ] л ^л/7 (чй)т + рщ

Непосредственный расчёт показывает, что при любых значениях й и т величина z намного меньше единицы. Уравнение вида (16) решается методом последовательных приближений, причем величину г в первом приближении полагаем равной нулю. Если степень многочлена Н - а В2и1 + р В достаточно высока, то коэффициент р предпочтительнее определять не совместно с коэффициентом а , а независимо, по линейной части данной ВАХ. Тогда коэффициент а найдётся в несколько

приближений из выражения (15), где вместо 1к следует использовать выражение

- ачр йк.

Аппроксимация полиномом пятой степени. Нелинейную зависимость Н - f (В) можно аппроксимировать полиномом пятой степени:

Н - к1 В + к3В3 + к5В5, где к1зк3,к5- коэффициенты аппроксимации [3]. После аналогичных преобразований получим выражения для действующих значений тока I и напряжения й:

3 5 к,! - 3к31 Юк5/

I -а й + а й3 + а й5; где а ^ - —^; а з - ; гг; а 5- лг„г, п„г ,5-

1 3 1 SW2w 4Ж (ЯЖш)3 16W (8W ®)

Полученное выражение представляет собой аналитическую связь между действующим значением напряжения й и тока I для нелинейной индуктивности при аппроксимации нелинейной характеристики намагничивания Н - f (В) полиномом пятой степени. Получение коэффициентов аппроксимации полиномом пятой степени подробно описано в нашей монографии [3].

Алгоритмы определения коэффициентов аппроксимации всех рассмотренных функций аналогичны алгоритму, представленному на рис.2. Сравнение полученных аппроксимаций с экспериментом. Описанные выше аппроксимации дают лучшие (в смысле критерия точности) значения коэффициентов, которые можно получить путем варьирования вы-

бранных точек, задающих область, и целиком содержащую внутри себя экспериментальную кривую или интересующую ее часть. На рис.3 показаны экспериментальные и расчётные кривые намагничивания, пересчитанные к току и напряжению, для рассмотренных выше аппроксимаций, рассчитанные с помощью написанной на языке программирования DELPHI 2006 компьютерной программы АРР/ЮХ1МАТА, реализующей алгоритмы расчёта коэффициентов всех изложенных выше аппроксимаций.

а)

б)

Рис. 3. Кривые намагничивания, пересчитанные к току и напряжению, полученные с помощью программы APPROXIMATA: а) 1 - по экспериментальным данным; 2 - аппроксимация гиперболическим синусом, H = 0,244 Ч10'4sh(37,5B); 3 - степенно-показательная аппроксимация, H = 1,077B exp(30,52B2); 4 - степенная аппроксимация, H = 6,63 Ч109 В21; б) 1 - по экспериментальным данным,

^ 7,95В

5 - дробно-рациональная аппроксимация, H = ——----------2; 6 - степенная аппрок-

0,22 - В

симация с линейным членом, H = 5,25 Ч109 В21 + 66,8 В

Выводы. Оказывается, что кривые, соответствующие аппроксимации гиперболическим синусом и степенно-показательной функцией, практически

совпадают друг с другом, если в обоих случаях коэффициенты а и Ь определяются по одним и тем же выбранным точкам вольт-амперной характеристики. В случае глубокого насыщения материала сердечника эти кривые хорошо согласуются с экспериментальной ВАХ в нелинейной области и

хуже - в линейной. Этот же вывод относится и к степенной аппроксимации, где 2^ + 1 =21. Заметно лучшее совпадение с линейной частью экспериментальной ВАХ наблюдается у кривой, соответствующей аппроксимации степенным двучленом с линейной частью, степень которого равна 21, а также дробно-рациональной аппроксимации, что подтверждает вывод, сделанный относительно неё в работе [3].

Таким образом, именно аппроксимация гиперболическим синусом в случае глубокого насыщения материала сердечника лучше согласуется с экспериментальной ВАХ в нелинейной области. Кроме того, эта аппроксимация приводит к получению более компактных выражений, что уменьшает громоздкость расчётов и делает именно эту аппроксимацию наиболее пригодной для описания сильно нелинейной характеристики параметрической системы.

Формулы для коэффициентов вышеуказанных аппроксимаций найдут применение при расчётах характеристик нелинейных элементов параметрических преобразователей, работающих в высших зонах неустойчивости колебаний, содержащих существенно нелинейные элементы в составе нелинейных резонаторов различной физической природы.

Библиографический список

1. Кузьменко Н.И. К вопросу об аппроксимации основной характеристики намагничивания / Н.И. Кузьменко, Е.И. Гольдштейн // Изв. вузов. Электромеханика. - 1977. - №7.

2. Самойлов К.И. Элементы теории колебаний. Радиотехнические цепи и сигналы: учеб. пособие / К.И. Самойлов, М.Р. Витоль, Э.М. Черниговская / Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

- М., 1992. - 279 с.

3. Черкесова Л.В. Моделирование нелинейно-параметрических систем / Л.В. Черкесова, О.И. Подгайко. - Новочеркасск: Редакция журнала Изв. вузов. Электромеханика. 2006. - 24 с.

4. Дуайт Г.В. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.В. Дуайт. - М.: Наука, 1977. - 224 с.

Материал поступил в редакцию 02.07.09.

L.V. CHERCKESOVA

THE CHARACTERISTICS APPROXIMATION OF NONLINEAR ELEMENTS IN PARAMETRICAL TRANSFORMERS, WORKING IN SUPERIOR ZONES OF INSTABILITY OF OSCILLATIONS

In the article is looked the questions of the approximation of characteristics of nonlinear element in parametrical devices of different kinds, working superior zones of instability of oscillations. In this work there were calculated coefficients of different approximating function (of hyperbolic sinus and other functions). The results that were received with aid of different approximating functions were compared with real experimental curve.

ЧЕРКЕСОВА Лариса Владимировна, кандидат технических наук (1997), доцент кафедры «Информатика» (2001) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Окончила Харьковский институт радиоэлектроники (1986). Научные интересы: радиоэлектроника, моделирование динамических систем, синергетика. Опубликовала более 150 научных работ.

[email protected]