CC BY
25Решетнеескцие чтения. 2015
УДК 519.45
АПЕРИОДИЧЕСКИЕ СЛОВА
В. И. Сенашов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
Приведен обзор результатов исследований по проблеме Бернсайда. В связи с этими результатами рассматриваются множества апериодических слов. Результаты могут найти применение при кодировании информации, использующейся в сеансах космической связи.
Ключевые слова: группа, условие конечности, апериодические слова, проблема Бернсайда, локальная конечность.
APERIODIC WORDS
V. I. Senashov
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
The research reviews the results on the Burnside problem. In connection with these results we consider sets of aperiodic words. The results can be applied when encoding information which is used in space communications.
Keywords: group, finiteness condition, aperiodic words, Burnside problem, local finiteness.
В докладе мы приводим обзор результатов исследований по проблеме Бернсайда. В 1902 году Уильям Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки. Впоследствии этот вопрос приобрел статус проблемы Бернсайда о периодических группах. Отрицательный ответ на него был получен впервые лишь спустя 62 года, в 1964 году Е. С. Голодом [1]. Позднее С. В. Алешиным [2], Р. И. Григорчуком [3], В. И. Су-щанским [4] была предложена целая серия отрицательных примеров. Сам У. Бернсайд в своей статье [5] обратил особое внимание на вопрос о локальной конечности групп с тождественным соотношением хп = 1. Группа B(d, п) = F/F", d > 1, которая получается факторизацией свободной группы F = F(d) с d образующими по нормальной подгруппе Fn, порожденной п-ми степенями всех элементов из F, называется сейчас свободной бернсайдовской группой показателя (или периода) п. Ее конечность, установленная в разное время для п = 2 (тривиальный случай), п = 3 (У. Берн-сайд), п = 4 (У. Бернсайд для d = 2; И. Р. Санов [6] для произвольного d), п = 6 (М. Холл [7]).
Доказательство бесконечности группы В(п, d), d > 2, для нечетных показателей п > 4381 было дано в работе П. С. Новикова и С. И. Адяна [8], а для нечетных п > 665 - в книге С. И. Адяна [9]. Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант
доказательства для нечетных п > 1010 был предложен А. Ю. Ольшанским [10], который на основе усовершенствованного им геометрического метода построил для каждого достаточно большого простого числа р бесконечную /»-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. Это наиболее сильная форма отрицательного ответа на вопрос Бернсайда, означающая существование бесконечного множества конечно порожденных периодических групп с тождеством, сколь угодно далеких по своим свойствам от конечных. В связи с этими результатами автор рассматривает множества апериодических слов, которые могут быть как конечными, так и бесконечными. Результаты могут найти применение при кодировании информации, использующейся в сеансах космической связи.
Библиографические ссылки
1. Голод Е. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. № 2 (28). С. 273-276.
2. Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах. // Мат. заметки. 1972. № 3 (11). С. 319-328.
3. Григорчук Р. И. О проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ. и его прил. 1980. № 1(14). С. 53-54.
Прикладная математика
4. Сущанский В. И. Периодические /»-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР. 1979. Т. 247. С. 557-560.
5. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure. Appl. Math. 1902. Vol. 33. P. 230-238.
6. Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4 // Уч. зап. ЛГУ. 1940. Т. 55. С. 166-170.
7. Холл М. Теория групп. М. : Иностр. лит-ра. 1962. 468 с.
8. Новиков П. С. О периодических группах // ДАН СССР. 1959. Т. 127. С. 749-752.
9. Новиков П. С., Адян С. И. О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в свободных периодических группах нечетного порядка // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. № 1(32). С. 212-244. № 2(32). С. 251-324; № 3(32). С. 708-731.
10. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М. : Наука, 1989. 300 с.
References
1. Golod Ye. S. [On nil-algebras and the finite approximated groups] // Izv. AN SSSR. Ser. mat., 1964. No. 2(28), рp. 273-276 (In Russ.).
2. Aleshin S. V. [Finite machine guns and Bernsayd's problem on periodic groups] // Mat. zametki. 1972. No. 3(11), рp. 319-328 (In Russ.).
3. Grigorchuk R. I. [On Bernsayd's problem in periodic groups] // Funktsion. analiz. i yego pril., 1980. No. 1 (14), рp. 53-54 (In Russ.).
4. Sushchanskiy V. I. [Periodic r-groups of substitutions and an unlimited problem of Bernsayd] // DAN SSSR, 1979. Vol. 247, рp. 557-560 (In Russ.)..
5. Burnside W. [On an unsettled question in the theory of discontinuous groups] // Quart. J. Pure. Appl. Math., 1902. Vol. 33, рp. 230-238.
6. Sanov I. N. [A solution of the problem of Bernsayd for an indicator 4] // Uch. zap. LGU, 1940. Vol. 55, рp. 166-170 (In Russ.).
7. Kholl M. Teoriya grupp [Groups theory]. Moscow, Inostrannaya literatura. 1962. 468 p.
8. Novikov P. S. [On periodic groups]. DAN SSSR, 1959. Vol. 127, рp. 749-752.
9. Novikov P. S., Adyan S. I. [On commutative subgroups and a problem of an associativity in free periodic groups of an odd order] // Izv. AN SSSR, Ser. mat. 1967. No. 1(32), рp. 212-244; no. 2(32), рp. 51-324; no. 3(32), рp. 708-731 (In Russ.).
10. Ol'shanskiy A. Yu. Geometriya opredelyayu-shchikh sootnosheniy v gruppakh [Geometry of the defining ratios in groups]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 300 p.
© CeHamoB B. H., 2015
УДК 519.8
МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЕЙ
В. А. Суслова, А. А. Городов1
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассмотрены общие свойства и подходы к моделированию социальных сетей. Перечислены основные численные измерения и подходы выбора математических моделей при моделировании социальных сетей.
Ключевые слова: социальные сети, графы, модели социальных сетей.
METHODS OF MODELING SOCIAL NETWORKS V. A. Suslova, А. А. Gorodov1
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
In the article general properties and approaches to modeling social networks are presented. The research proposes a list of the basic numerical measurements and approaches to the choice of the mathematical models in the simulation of social networks.
Keywords: social network, graph, models of social networks.
Во второй половине XX в. такое понятие, как со- ческих отношений. В настоящее время практически циальная сеть начало активно использоваться на За- от каждого человека можно услышать такое словосо-паде при исследованиях социальных связей и челове- четание, как социальная сеть.
