Анализ точности вытянутых теодолитных ходов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.1:528 1

В.А. Гордеев, О .С. Раева АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ВЫТЯНУТЫХ ТЕОДОЛИТНЫХ ХОДОВ

Одним из способов создания маркшейдерских съемочных сетей является проложение теодолитных ходов При анализе точности теодолитных ходов решается две задачи:

- оценить точность элементов хода (дирекционных углов и координат пунктов) на различных участках;

- установить предельную длину хода, обеспечивают) ю требования Инструкции по производству маркшейдерских работ (далее Инструкции) к точности положения пунктов съемочной сети.

При решении этих задач следует учесть, что теодолитные ходы уравниваются приближенным способом, а полигонометрические ходы - строгим способом, начиная с 4-го класса Так как число избыточных измерений Я много меньше числа достаточных измерений К, то уравнивание проводят коррелатным способом. Прн этом составляются условные уравнения, количество которых равно числу избыточных измерений.

Чтобы исключить влияние фермы хода и неравенство сторон на распределение ошибок рассмотрим вытянутые равносторонние ходы. Вытянутые ходы часто встречаются в маркшейдерской практике в прямолинейных горных выработках

Оценку точности элементов уравненного хода выполним с применением теории блочных матриц по следующему алгоритму

Обозначим:

n - общее число измерений;

к - достаточное количество измерений;

И - избыточные измерения

Для системы условных уравнений

<р1 - & Ф1..........и.

(Г*-<Ря Фь.....Д. ....и.

составляем матрицу коэффициентов уравнений поправок В. элементами которой являются частные производные условных уравнении по измеренным величинам

д(р

ЬЧ " дх ' )

Например, в случае двух условных уравнений

' ар X

а

скрг АРг

а

Элементы матрицы () обратных весов результатов измерений вычисляются по формуле

1 т) Я, = —= — , р. И'

где ц - ошибка единицы веса; т, - СКО /-го измерения

Примем ц = тр. Тогда Чр = ]>У/ = т ] /т \ = а , Таким образом, матрица () примет вид

где

где

где

£ 0

0 аЕ

<? =

Матрица N коэффициентов системы нормальных уравнений

N = ВОВ1.

Матрица обратных весов вектора уравненных значений измеренных величин

0 ■ =()-() В'.V'ВО

аЕ-01}

Функции от уравненных значений измеренных величин

/|=«Ь к = Векторы частных производных функции / от измеренных величин

т <?/ т _

Г| — -, Гу — -

1 ер 2 д1 •

Матрица обратных весов функции уравненных значений измеренных величин

<?/ = '<?? г!

т т

Для вытянутых ходов г 2 = 0 , поэтому

О Г = (г .Т I О Т )'О х г!гх-г1охгх*г ,т(£ - а)г, СКО уравненного значения дирекционного угла /г-й стороны хода

так = <1о7к=трС .

СКО координаты Хк-го пункта равна

СКО координаты У ¿-го пункта равна

=т, Гк=1Гк/т,

где Т- знаменатель формулы относительной ошибки линейных измерений

т,// = |/7\

Предельная длина хода рассчитывается исходя из требований Инстру кции по производству маркшейдерских работ.

Погрешность положения пунктов съемочной сети относительно ближайших пунктов маркшейдерской опорной геодезической сети не должна превышать 0.4 мм на плане в принятом

где

Е 0

0 аЕ

Матрица n коэффициентов системы нормальных уравнений

n = вов1

Матрица обратных весов вектора уравненных значений измеренных величин

(Е-0, I 0 ^

о \oe-q] •

Функции от уравненных значений измеренных величин

• Л Л

/,=«ь =

Векторы частных производных функции /"от измеренных величин

,Т_£/

гр

Г1 =

2 -

Матрица обратных весов функции уравненных значений измеренных величин

л ГТ,

7* Т

Для вытянутых ХОДОВ Г 2 =0 , поэтому

г «Тг«-г «-г «т £ - л у I

СКО уравненного значения дирекционного угла к-й стороны хода

так ^07к=трС ,

СКО координаты Хк-го пункта равна

о -^ГД

СКО координаты у к-го пункта равна

тп =т, Л=1,[к/Г.

где т - знаменатель формулы относительной ошибки линейных измерений

т,// = 1/7\

Предельная длина хода рассчитывается исходя из требований Инструкции по производству маркшейдерских работ.

Погрешность положения пунктов съемочной сети относительно ближайших пунктов маркшейдерской опорной геодезической сети не должна превышать 0,4 мм на плане в принятом

233

масштабе съемки (п. 4.1.2 Инструкции). Кроме того, длины сторон теодолитного хода дол) быть не более 400 и. как правило, не менее 100 м (п 4.2.7). Например, для масштаба съемки 1:100 ошибки положения пунктов в съемочных сетях не должны превышать 0.4 м. Для перехода от предельной ошибки к средней квалратичсской ошибке положения пункта с доверительной вероятно стью у = 0,95 ну жно предельную ошибку разделить на 2,5:

0,4/2.5= 0,16 м.

Стороны теодолитных ходов измеряют свстодальномсрными насадками, рулетками и другими приборами, обеспечивающими требуемую точность измерений. Разность между двумя измерениями не должна превышать 1:1500 ее длины (п. 4.2.8). Относительная СКО среднего значен» из двойного измерения длин составит:

1 I I

Т 2 Ц1500 4160

Горизонтальные углы в съемочных сетях измеряют теодолитами типа Т30 двумя приемами 1 или повторениями (п. 4.2.2), следовательно. СКО измеренного угла составляет:

тв 30"

"^тгтг20--

Полученные результаты можно применять для различных видов теодолитных ходов. Рассмотрим некоторые из них для случая, когда масштаб съемки 1:1000 и средние длины сторон хода 100, 200, 300 и 400 м. Ошибкой дирекционного утла исходной стороны будем пренебрегать.

Свободный ход, проложенный от твердой стороны:

¿1 л Р2 Рк+1 Рп „

-о-о-О-о-о-о-С^с

'1 1 '2 2 3 к <п п

Это наиболее простой случай, число условных уравнений Я=0.

СКО дирекционного угла к-й стороны равна

так =тР -Л' т.е. с , = чГк .

График зависимости С|(£| показан на рис. 1.

СКО координаты Хк-го пункта равна ч

тх = . т., 1шшеш _

к р р V 6

т.е. средняя квадратическая ошибка координаты X зависит от ошибки измерения горизонтальных углов, средней длины стороны и от числа измеренных углов График зависимости ¿¡(к) показан на рис. 2.

Последняя сторона и последний пункт хода бу дут иметь наибольшие ошибки:

т

= т

Г »у , ГР (л+ 1X2» +О 1

* ^ р ОЯ я /

т.к. Л = л /

Из неравенства получим при различных / (от 100 до 400 м) и тр=20", 7=4160 предельную длину свободного хода ¿пр= 0,8 км.

Ход проложен между известными дирекционными углами (гиросторонами):

л 02 „ вс+1 Ра л

-0--^-^--.----0------г>_

А 1 /2 2 . 3 к • и п

Одно условное уравнение

<р, - с^. | - а0.

где ап+\ - дирекционный утол (п+1)-стороны. вычисленный по результатам измерений: а0 - исходный дирекционный угол этой стороны.

СКО уравненного дирекционного угла /г-й стороны равна

При к = 0 и к = 1 переменная с2 = О.

При к = (л + I) / 2 переменная с2 принимает максимальное значение: с2тях + 1/2,

значит, наибольшие ошибки имеют дирекционные углы сторон, расположенных в центральной части хода. График функции с^к) при /7=10 представлен на рис. 1.

СКО координаты Xк-го пу нкта равна

» _

т**я-7ЫяШТЧ "М I

График функции при п - 10) представлен на рис. 2. Эта кривая достигает наибольшее значение в последней точке хода:

_ !,,(,, + IX»+ 2)

21шк "у--- •

Для расчета предельной длины хода решим неравенство

т.

(п + IX" + 2) I Л1,

^-^-+ —т £ 0,16 м.

12/» „Т-

Для различных / при /яр=20", 7=4160 получим:

/, м 100 200 300 400 Ьу км 1,2 1,2 1,0 0,9

Ход проложен между двумя пуню^ами с известными координатами:

1*2 а Рк+1 Рп а

□ 1 ^ 2 о о о-¿о^—о—о-о ^ ,п □

/1 1 /2 2 3 к / П *

Существует одно условное уравнение

<р1" 1-1^0.

где /, - расстояние между исходными пунктами, вычисленное по их известным координатам; / -расстояние между исходными пунктами, вычисленное по результатам измерений в условной системе координат.

СКО уравненного дирекциэнного утла к-и стороны равна

1((„-ф„-4к + з) + (к-фк-1)) -6п

При к - 1 ик = п переменная достигает максимальное значение

2

(л -1X2/1-1) /» -1

сз тах = л- , а при к = (п + 1) / 2 - минимальное значение Сз«ш> -— .

6 п \ 12л

Это указывает на то, что наибольшие ошибки имеют дирекционные углы сторон, расположенных в начале и в конце хода, а наименьшие ошибки - дирекционные углы сторон, расположенных в центральной части хода. График зависимости п = 10) представлен на рис. 1. СКО координаты Xк-го пункта равна

* р р 1 6/,

График функции с/3 (к, п = 10) представлен на рис. 2. В середине хода при к = п / 2 переменная ¿з принимает наибольшее значение

I п(/г2 +2)

В вытянутых ходах, опирающихся на два исходных пункта, линейные ошибки не учитываются, поэтому предельная длина хода получается из неравенства

тр л+2

Мх = /.—,-¿0,16м.

р \ 48«

Для различных / .

/, м 100 200 300 ¿00

км 2,3 2,9 3,3 3,7

Ход проложен от твердой стороны к известному пункту:

01 02 Рк+1 Рп „

-о-о-Ф-о-о-о-

/1 1 /2 2 3 * /п л

Составляем два условных уравнения:

<р\ =х„-Х„ = 0. у„ Уп 0.

где х„, у„ - координаты конечного пункта, вычисленные по результатам измерений: Х„, У„ - исходные координаты конечного пункта.

СКО уравненного дирекционного утла к-й стороны равна

Г ЗА-2 (2/, + 1 - к)2

График функции с4 достигает максимальное значение при к = п:

= 1"<"-1> V 2(2/1 + 1)

с4

СКО координаты Xк-го пункта равна

тР . , Р , ЙМ

к Р Р I 6

/</, + 1X2// +1)

График функции ¿Л представлен на рис. 2 Наибольшее значение функция Л принимает в районе к = 0,58 п. Предельную длину хода получим из неравенства

Л/_ = — 0,16 м .

Хк

К р п

Для различных /

/. м 100 200 300 400 ¿, км 2,9 3,7 4,2 4,5

Теодолитный ход проложен между двумя исходными сторонами:

Р1 „ Йс+1 Рп Л

фа®?!^ %-о-о-Й-о-о-о-

<11/223 к /я «

Составляется три условных уравнения:

<р\ ■ х„ -Л", = 0,

л-Л'-У.-О.

= а„,1 --4^1 =0.

где х„, у„ - координаты конечного пункта, вычисленные по результатам измерений; Хп, У„ - исходные координаты конечного пункта; а„.1 - дирекционный угол (п + 1)-й стороны, вычисленный по результатам измерений; Ап*\ - известный дирекционный угол (п + 1)-й стороны. СКО уравненного дирекционного угла /г-й стороны равна

), д 2 2л>(2/> + 1) - 3(2/1 - Л: ^ »ХА: - -)

График функции представлен на рис. 1. Максимальное значение функции достигает на краях хода, при к * 0,22л и к « 0,82л.

СКО координаты X ¿-го пу нкта равна

к Р Р I 6 л(/1+1Дл+2) )

График функции представлен на рис. 2 Фу нкция достигает наибольшее значение в точке к = п I 2:

пшх

п(п + 2)(/>2 + 2п + 4)

192(л +1)

Предельную длину хода получим из неравенства

* р V 192л(// + 1)

/, м 100 200 300 400 км 3,6 4,5 5,0 5,5

Из рис. 1 и 2 видно, что с увеличением числа избыточных измерений И возрастает точность элементов хода. При одинаковом числе избыточных измерений точность элементов хода зависит от его конструкции.

Очевидно, что наименьшие ошибки имеют элементы хода, проложенного между твердыми сторонами

Расчеты показали, что в 'зависимости от конструкции хода, предельная его длина может быть от 0.8 до 5,5 км (в Инструкции дается 1,8 км - п. 4.2.7).

Полученные значения можно рассматривать как предельные расстояния между исходными пунктами хода. Например, на местности в районе предполагаемого развития съемочной сети имеется пункт полигонометрии 1-го разряда, удаленный от стороны триангу ляции 4-го класса на 3.5 км Можно ли между этими исходными пу нктами проложить ход с целью создания съемочной сети9 Да, можно, так как для данного случая (схема 4) предельная длина ходов составляет 2,9 ... 4.5 км, при средней стороне хода 200 м I. < 3.7 км Если для конкретных условий предельная длина хода оказалась меньше требуемой, следует выбирать более точные инструменты или более точную методику выполнения работ

УДК 622.1:528.4

В.М Астафьев, В.А. Гордеев НОВАЯ СХЕМА ОБРАТНОЙ УГЛОВОЙ ЗАСЕЧКИ

При развитии съемочных сетеГз на карьерах широко применяются геодезические засечки, особенно обратные угловые засечки. Для их выполнения требуется не менее трех исходных пунктов В статье описывается способ вставки двух и более пунктов съемочной сети от двух исходных пу нктов (способ предложил В.М. Астафьев, анализ точности выполнил В.А. Гордеев).

Рассмотрим случай вставки двух пунктов р\ и р2 от базиса а в (см. рис. ). Для этого измеряются способом приемов углы cti. pi, f \ (на пункте р\) и 5Ь ípi, Р; (на пункте р2) Результаты измерений уравниваются в соответствии с условиями горизонта (пункт р\) и суммы углов (пункт

Рг)'

ах +Л-3600

¿I

Вычисление координат определяемых пунктов производится в следующей последовательности:

1. Находят ориентирующие утлы а и в на первый пункт:

igB\ - sin Д/(be eosДЛ sin.li ¿csin/í,.

где b = sin (a,+5|) / sin (yi+<pi), с = sin <pi / sin 5i .

При tg Я, < 0 угол Я, = 180° + arctg Я,. при be sin > 1 угол/4, = 180°-Д,-Р,.

Ориентирующие углы на второй и следующие пункты зычисляются по формулам:

А,.} ЖА,+ 180° -(а,+б,).

где / - номер определяемой точки