CC BY
86Анализ способов стабилизации выходного напряжения
повышающего импульсного преобразователя постоянного тока
Анатолий КОРШУНОВ, д. т. н.
По непрерывной линеаризованной модели оценены точность и динамические свойства стабилизированного импульсного повышающего преобразователя при различных принципах стабилизации.
Введение
Стабилизированный повышающий преобразователь напряжения постоянного тока должен не только иметь выходное напряжение в нужное число раз больше входного, но и обеспечивать заданную стабильность выходного напряжения при допустимых колебаниях входного напряжения и тока (сопротивления) нагрузки. Сложность нелинейной дискретной модели импульсного преобразователя делает анализ его работы в автоматической системе стабилизации напряжения крайне затруднительным.
При проектировании ключевых источников электропитания (БС-БС преобразователей) широко применяют непрерывные линейные модели импульсных преобразователей для малых отклонений от установившегося режима. В монографии П. Чети [1], например, приведены линеаризованные непрерывные модели основных типов преобразователей. Однако методика их получения, основанная больше на физике процессов, чем на строгой математике, базируется на допущении отсутствия у дросселя активного сопротивления. Вследствие этого теряются существенные особенности преобразователей. Например, установившийся режим повышающего и инвертирующего преобразователей, полученный без учета сопротивления дросселя, значительно отличается от реального, особенно при относительной длительности подключения дросселя к источнику питания, близкой к 1. Очевидно, что и линеаризованная модель для малых отклонений от установившегося режима отличается от реальной.
Кроме того, использованный подход не позволяет учесть многие, часто весьма существенные особенности преобразователей. К ним, например, относятся выходное сопротивление источника питания, обычно активно-индуктивное, фильтр на входе преобразователя и т. д.
Далее делается попытка выполнить анализ, используя непрерывную нелинейную модель преобразователя, учитывающую активное сопротивление дросселя [2].
Непрерывная модель преобразователя и ее линеаризация
По расчетной схеме, представленной на рис. 1 в [1], получена непрерывная модель импульсного повышающего преобразователя в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка:
= ап1 + а12и2+Ь1и1, (1)
ши2^ = а211 + а22и2, (2)
где а11 = -г/Ь, а12 = -(1-у)/Ь, а21 = (1-у)/С, а22 = -1/№нхС), Ь1 = 1/Ь; Ь иг — индуктивность и активное сопротивление дросселя с учетом выходной индуктивности и выходного активного сопротивления источника входного напряжения и1; Ин — сопротивление нагрузки; С — емкость выходного конденсатора; у = т/Т — относительная длительность пребывания ключа К в положении 1, которое соответствует замыканию источника входного напряжения на дроссель.
Разумеется, используемая модель является приближенной, но, как показано в [2], при реальных частотах коммутации плавные кривые i(t) и u2(t), полученные по непрерывной модели, являются средними линиями реальных пульсирующих кривых i(t), u2(t).
При Uj = U10 = const, у = y0 = const из системы уравнений (1) и (2) легко получить установившиеся значения:
i = !о = ^o^+i^Yo^J =
= U2o/(l-Yo), (3)
u2 = U10(1—Yo)RH/[r+(1—Yo)2RH] =
= U1o(1-y)-1RH/[r(1-Yo)-2+RH]- (4)
Из выражения (4) следует пропорциональность выходного напряжения входному напряжению с коэффициентом:
du2/du = Ц-у^нДг+Ц-уо^н] «
~ 1/(1-Yo), №н >> г)
и, следовательно, в нестабилизированном преобразователе:
^U1U1o 1/^U2U2o 1 = 1
Хотя выходное сопротивление преобразователя, равное согласно (4):
^вых = г/(1-Уо^ (5)
при достаточно малом г может оказаться удовлетворительным, при реальной нестабильности и1 в десятки процентов необходимо обеспечить стабильность и2, регулируя у согласно выбранному принципу стабилизации.
Для анализа свойств стабилизированного преобразователя инженерными методами теории автоматического управления необходимо линеаризовать его дифференциальные уравнения относительно рабочей точки. Переход к отклонениям:
Ди2 = и2-и2о, Ди1 = и1-и№
Д = ¿-1о, Ду = У-Уо (6)
и отбрасывание величин второго порядка малости позволяет привести систему уравнений (1), (2) к виду:
ГёМ^ = а11Д1+а12Ди2-Ь1и10Ду+Ь1Ди1, (7) ldДu2/dt = а211+а22и2+10С-1Ду. (8)
Переходя в полученных линейных дифференциальных уравнениях (7), (8) к изображениям по Лапласу, несложно получить их в виде передаточных функций:
Д1(р) = W11(p)Дf(р)+Ш12(р)Ди1(р), (9) Ди2(р) = W21(p)Дf(p)+W22(p)U1(p), (10)
где Д1(р), Ди2(р), ДГ (р), Ди1(р) — изображения по Лапласу отклонений ДЭД, Ди2(^, Дy(t) и Дu1(t) соответственно:
Wll(p) = (ахр+ао)/02(р), Wl2(p)=(Ь1p+Ьо)/Q2(p),
^^21 (р) = (ClP+Cо)/Q2(p),
^^22(р) = ^/4(р),
Q2(P) = l2P2+llP+l0,
12 = ЬС, 11 = гС+Ь/Кн,
1о = г/Rн+(1-Уо)2, а1 = и20С, а0 = и20/^н+(1-У0)10,
Ь1 = С,
Ьо = Шн, с1 = -Ь10, со = (1 Уо)^^2о г10>
^ = 1-Уо-
Нетрудно проверить, что при активном сопротивлении дросселя г = 0 передаточные функции W21(р) и W22(р) совпадают с известными [1], полученными в предположении нулевого сопротивления дросселя.
Заметим, что передаточная функция W21(р) не является минимально фазовой вследствие с1<0, со>0. Этим объясняется характер приведенной в [2] фазовой характеристики преобразователя, представляющей зависимость от частоты фазы приращения Ди2, вызываемого гармоническим приращением Ду.
Анализ вариантов построения стабилизированного преобразователя
Использование принципа
обратной связи
Простейший принцип построения стабилизированного преобразователя — введение пропорциональной отрицательной обратной связи по отклонению:
Ду = КпДц2 или ДГ(р) = -КпДи2(р). (11)
Подстановка (11) в (10) дает передаточную функцию стабилизированного преобразователя:
Фх(р) = Д^рУДи^р) = = W22(p)/[1+KnW21(p)] = do/F2(p), (12)
где F2(p) = а2(р)+Кп(С1р+Со)=:Ь2р2+^р+^ — характеристический полином замкнутого преобразователя, h2 = l2, h1 = 11 + Кпс1 = = гС+Ь/Кн-КпЫо, ho = 1о+КпСо = г/Кн+(1-Го)г+ +Kn[(1-Yo)U2o-rIo].
Реальные значения параметров преобразователя таковы, что со = (1-уо)и2о-г1о > о и свободный член F2(p) положителен при любом коэффициенте Кп> -1о/со (-1о/со < о). Критическое значение Кп, соответствующее границе устойчивости замкнутого контура, определяется равенством нулю коэффициента h1:
Кпкр = -I1/C1 = (1+гКнСЬ-1)(1-уо)/и2о. (13)
Потеря устойчивости замкнутого контура второго порядка при Кп > Кпкр объясняется его неминимально-фазовым характером
(с1 < о).
Приняв минимальный запас устойчивости в 6 дБ (К = Кпкр/2), получаем максимально возможный коэффициент стабилизации:
Кст = Дц1/и1о: Дц2/и2о =
= и2о(21оС1-11Со)/(2и1о^С1). (14)
Используя параметры исследованного в [1] повышающего преобразователя: и1о = 1оо B, и2о = 2оо B, 1-уо = о,4888, r = о,2 Ом, R, = 4оОм, L = 6,914х1о-3 Гн, С = 1,414 мкФ, получаем:
Кпкр = о,оо2484 1/В, Кст = 1,484.
Очевидно, что малое значение коэффициента стабилизации делает рассмотренный вариант построения стабилизированного преобразователя неэффективным.
Для уменьшения запаздывания по фазе, возникающего вследствие отрицательного коэффициента С1 в числителе передаточной функции W21(p), можно сигнал ошибки Ди2 подавать на вход широтно-импульсного модулятора через дифференцирующее корректирующее устройство (КУ) с передаточной функцией:
W^(p) = (_с1р+Со)/(Тр+1),
T < -с^/со (cj < о),
что дает:
ДГ (р) = -Кп(-С1р+Со)(Тр+1)-1 Ди2(р), Ф1(р) = Ди2(р)/Ди1(р) = = ^(Тр+1)/[(Тр+1Ю2(р)+
+Кп(-С12р2+Со2)] = dо(Tp+1)/Fзk(p), где р3к(р) = ^зр3+^2р2+^1р+^0, ^ = T12, ^2 = 12+
+11Т-КпС12, ^1 = 11+10Т, ^ = 10+КпС02.
Согласно критерию Вышнеградского условие устойчивости замкнутого контура стабилизации требует выполнения следующих неравенств:
^ > 0, 1 = 0, 1, 2, 3, ^2-^3 > 0.
Из условия £2 > 0, £0 > 0 получаем:
-1о/Со2 < Кп< (12+1!Т)/С12,
а из неравенства Вышнеградского следует:
Кп < [(12+11Т)(11+1оТ)-1о12Т]/[С12(11+1оТ)+
+Со212Т] = [(^ТНо^ТХ^оТ)-1]/
/[^13(11+1оТ)-1+ ДО] < (12+-11^Г)/С12.
Таким образом, условие устойчивости имеет вид:
-1о/Со2 < Кп < [(12+11Т)(11+1оТ)-1о12Т]/
/М^ТНсДТ] = Кпкр.
При выборе Т ^ -С1/Со, что характерно для дифференцирующих КУ, получаем критическое значение Кп:
Кпкр я 12/с1 *
При двукратном запасе устойчивости (Кп = Кпкр/2) в рассматриваемом случае имеем:
Кст = U20(10+KпC02)/d0U10 = = 2Цо+0,512Со2С1-2)Мо = 1,502.
Увеличение Кст практически не произошло. Причина в том, что амплитудно-частотная характеристика разомкнутого контура стабилизации при ю^-го и Т = 0 стремится к КпС12/12, а фазо-частотная характеристика при этом стремится к -п. Поэтому величина КпС12 по условию устойчивости оказывается ограниченной значением 12 (КпС12/12 < 1). Таким образом, применение дифференцирующего КУ (Т я 0) нерационально.
Анализ зависимости Кпкр от постоянной времени Т показывает, что при Т^-го и Кпкр^го, а следовательно, и Кст (статический) неограниченно возрастает.
Лучшими свойствами обладает стабилизация интегральной обратной связью:
ДуМ = -Ки| Д^(^
или ДГ (р) = Д^рЖи/р. (15)
Рис. 2. График зависимости Кст (ю) при интегральной ОС-1; пропорционально интегральной ОС-2; при управлении по Ди 1—3
С учетом (15) получаем:
Ф2(р) = Д^рУДи^р) =
= W22(p)/[1+Knp-1W21(p)] =
= dop/F3(p), (16)
где do = ^ F3(p) = g3P3+g2P2+g1P+go — характеристический полином:
g3 = ^ g2 = l1, g1= l0+KиC1, go = Knco-
Согласно критерию Вышнеградского условие устойчивости замкнутого контура стабилизации требует выполнения неравенств:
gi > 0, i = 0, 1 2, 3, g1g2-gog3 > 0
Из условия g1 > 0, g0 > 0 получаем:
0<KH<KH'=-lo/c1 =
= [(1-Yo)/U2o][r/Rн+(1-Yo)2]Rн/L■ (17)
Подстановка значений коэффициентов в неравенство Вышнеградского дает:
g1g2-gog3 = (10+Knc1)l1-Knc0l2 > 0, откуда следует:
Ки < Ки = l0l1/(c0l2 c1l1) =
= Ки l1/(c1 C0l2C1 1). (18)
Учитывая с1 < 0, при положительности остальных коэффициентов нетрудно заметить, что Ки" < Ки'. Таким образом, условие устойчивости замкнутого контура имеет вид:
Ки < Кикр = l0l1/(c0l2-c1l1). (19)
В рассматриваемом случае получаем критическое значение Ки, Кикр = 2,0468 (Вс)-1. Как следует из передаточной функции (16), при U1 = const Ф U10 (Ди1 = const Ф 0) получаем Ди2 = const = 0 (u2 = U20). Таким образом, коэффициент стабилизации в идеале (без уче-
та погрешности интегратора и других элементов) равен ю. Выходное же сопротивление стабилизатора равно в идеале о, поскольку изменение выходного напряжения Ди2 при изменении нагрузки будет полностью скомпенсировано интегральным регулятором (15), который до тех пор будет изменять у, пока Ди2 не станет равным 0, а и2 — равным и20.
Хотя по точности контур стабилизации с регулированием по интегралу не оставляет желать лучшего, по динамическим свойствам он весьма далек от идеала.
Интегральный регулятор, как известно из теории, увеличивает инерционность системы регулирования, что ухудшает ее динамические свойства. Для иллюстрации этого рассмотрим «частотный коэффициент стабилизации» преобразователя:
Кст(ю) = (и2о/ию)х(Ди1т/Ди2т(ю)) =
= (и2о/и1о)(1/А(ю)), (20)
где А(ю) = | Ф2(]ю) | — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) стабилизированного преобразователя. График зависимости Кст(ю) для рассматриваемого случая при К = 0,5Ккр представлен на рис. 2 (кривая 1).
Более совершенными свойствами обладает стабилизированный преобразователь с пропорционально-интегральной обратной связью:
Д/М = -(КпДи2М+Ки| Ди2(^) или
ДГ (р)=-(Кп+КИр-1)Ди2(р). (21)
Подстановка (21) в (1о) дает:
Ф3(р)= Ди2(р)/Ди1(р) =
= W22(p)/[1 + (Kп+KиP-1)W2l(p)] =
= dоp/Fз'(p), (22)
где Б3'(р) = pQ2(p) + (Kп+KиP-1)(-ClP+Cо) = = т3р3+т2р2+т1р+т0, т2 = 11+КпС1, т1 = 10+
+ KпC0+KиC1, Щ) = КиС0.
Согласно критерию устойчивости Вышнеградского получены неравенства, выполнение которых обеспечивает устойчивость стабилизированного преобразователя:
^ < -11/с1, Kи < -(10+кпc0)/c1, Kи > 0, Kи[c012-C1(11+C1Kп)] <
< (1о+KпCо)(1l+KпCl)* (23)
С учетом первого из неравенств (23) последнее можно переписать в виде:
Kи<f(Kп) =
= (10+KпC0)(11+ Kпc1)/[c012-c1(11 + clкп)] =
= ^о+^^Я 1(11+KпC1)х
х[-С012С1 ^1+4^^ (24)
С учетом С1 < о и выполнения первого из неравенств (23) при выполнении условия (24) второе из неравенств (23) выполняется тождественно. Таким образом, в плоскости параметров ПИ-регулятора (Кп, Ки) область устойчивости замкнутого контура ограничена отрезком оси Кп: -10/С0 < Кп < -11/с1 и отрезком графика функции /(Кп) (24) (гиперболы), проходящей через концы отрезка оси Кп. На рис. 3 построена область устойчивости в рассматриваемом случае. Очевидно, что отрезки осей координат Кп и Ки, принадлежащие области устойчивости, определяются условиями устойчивости преобразователя при пропорциональной и интегральной обратной связи соответственно.
Добавление пропорциональной составляющей к интегральной обратной связи позволяет при сохранении бесконечного коэффициента стабилизации (статического) и нулевого выходного сопротивления улучшить динамические свойства замкнутого контура. Иллюстрацией этому служит кривая 2 на рис. 2, представляющая график «частотного коэффициента стабилизации» рассматриваемого преобразователя при Кп = 0,5Кпкр,
Ки = 0,5Кикр.
х10_3
Рис. 4. График зависимости Лу = f(Дu1/U10), компенсирующий влияние изменения и!
Рис. 5. Кривые частотных коэффициентов стабилизации при комбинированном управлении
Использование принципа управления по возмущающему воздействию Управление по возмущающему воздействию Ди1 реализуется при изменении Ду соответственно изменению Ди1. Очевидно, что положительному Ди1 должно соответствовать отрицательное Ду и наоборот. Пусть связь между Ду и Ди1 в динамике определяет неизвестная пока передаточная функция, то есть:
ДГ (р) = -С(р)Ди1(р). (25)
Подставив (25) в (10), после несложных преобразований получаем:
Ди2(р) = Ф4(р)Ди1(р), (26)
где Ф4(р) = ^^22(р)-^(р)^^21 (р) = [dо-G(p)х х(ClP+Cо)]/Q2(p).
Очевидно, полная компенсация отклонений и2 (Ди2 = 0) достигается при:
С(р) = dо/(ClP+Cо)* (27)
Однако вследствие с1 < 0 передаточная функция (27) соответствует неустойчивому звену первого порядка, реализация которого делает преобразователь неустойчивым. Хотя нельзя добиться абсолютной инвариантности Ди2 от Ди1, в идеале возможно получить бесконечный коэффициент стабилизации (статический). Для этого достаточно выбрать:
С(р) = d0/c0 = (1-Ус)2/{и2о[(1-Уо)2-г/Кн]},
что дает:
Ф4(р) = dlp/Q2(p), d1 = -^с1/с0 =
= [(1-Уо)Ь/Кн]/[(1-Уо)2-г/Кн
в преобразователе с интегральной и пропорционально-интегральной обратной связью.
Недостатком преобразователя с управлением по Ди1 по сравнению с управлением по Ди2 оказывается более высокое выходное сопротивление, поскольку при управлении по Ди1 преобразователь никак не реагирует на изменение Ди2, вызванное изменением нагрузки. Кроме этого, нелинейность статической характеристики преобразователя позволяет компенсировать Ди2 при выполнении условия (28) только при достаточно малых Ди1. При значительных Ди1 необходима нелинейная связь:
1 иш+Ди, Ду =1-у0 — х- ш -
и*
Использование принципа комбинированного управления При добавлении интегральной обратной связи (15) подстановка
ДГ (р) = -(dо/Cо)ДUl(p)-(Kи/p)ДU2(p)
в уравнение (10) дает:
ДU2(p)/ДUl(p) = ФК1(р) =
= (dlP2)/Fз(p)* (32)
Аналогично при добавлении пропорционально-интегральной обратной связи:
ДГ- (р) =
= -^о/Со^^^-Жп+Жи/р^Д^,
1. (и10+Ди1)2_ 4
и2
20
--- . (30) получаем:
График зависимости Лу = /(Ли1/и10) для рассматриваемой системы представлен на рис. 4. Подобную нелинейную зависимость можно реализовать с помощью обычного функционального преобразователя, осуществляющего кусочно-линейную аппроксимацию. При линейном напряжении развертки широтно-импульсного модулятора (ШИМ) на его вход можно подавать и1 через функциональный преобразователь, описываемый выражением
Ди2(р)/Ди1(р) = Фк2 (р) = (dlp2)/(Fз'(p).
(33)
(28)
иу = аТ
1-
\г
2и,,
г
(31)
(29)
«Частотный коэффициент стабилизации», представленный кривой 3 на рис. 2, в рассматриваемом случае оказывается выше, чем
где иу — входное напряжение ШИМ, а иТ — крутизна и период напряжения развертки ШИМ.
В случае использования линейной связи (28) можно исключить ошибки, вызванные нелинейностью функции Ду = f (Ди1), с помощью принципа комбинированного управления, то есть добавив отрицательную обратную связь (15) или (21).
Из передаточных функций (32) и (33) следует, что в линейной зоне не только постоянное и1 не вызывает отклонение и2 (Ди2 = 0), но и линейно изменяющееся Ди1. В теории автоматического управления это соответствует второму порядку астатизма. Повышение степени р до 2 в числителе передаточных функций (32) и (33) стабилизатора комбинированного управления вызывает также и улучшение динамических свойств. Это видно «из частотных коэффициентов стабилизации», представленных на рис. 5. Кривая 1 соответствует добавлению интегральной, а кривая 2 — пропорционально-интегральной обратной связи.
Из графиков рис. 2 и 5 видно, что при логарифмическом масштабе по осям координат «частотный коэффициент стабилизации» линейно падает до частоты порядка 100 Гц и при более высоких частотах стабилизация практически отсутствует.
Линейное падение графиков в области низких (до 100 Гц) частот объясняется характером А(ю) — АЧХ стабилизированного преобразователя в области низких частот.
Так, при интегральной и пропорционально-интегральной обратной связи в области низких частот:
А(ю) я (^,/0(1/^)®, (34)
при управлении по возмущающему воздействию:
А(ю) я (dо/cо)(Cl/1l)ю, (35)
а при комбинированном управлении:
А(ю) я (dl/KиCо)ю2* (36)
Анализ выражений (34-36) показывает, что для уменьшения АЧХ, а следовательно — для увеличения Кст(ю), необходимо уменьшать индуктивность дросселя Ь и емкость конденсатора С. Учитывая, что при этом возрастают пульсации потребляемого преобразователем тока и выходного напряжения,
для повышения динамических свойств стабилизированного преобразователя необходимо повышать частоту коммутации. Это позволяет уменьшить Ь и С без увеличения пульсаций.
Выводы
1. Пропорциональная отрицательная обратная связь по отклонению выходного напряжения от заданного значения не позволяет получить высокую точность стабилизации, поскольку замкнутый контур стабилизации теряет устойчивость уже при небольших коэффициентах обратной связи.
2. Применение дифференцирующего корректирующего устройства в цепи обратной связи не приводит к заметному повышению точности стабилизации.
3. Интегральная обратная связь в статике в идеальном случае дает бесконечный коэффициент стабилизации и нулевое выходное сопротивление, но в динамике не обеспечивает высокую точность стабилизации.
4. Управление по отклонению входного напряжения от номинального значения в статике при линейной связи дает стабильное выходное напряжение при малых, а при нелинейной связи и при больших отклонениях.
5. Лучшую точность стабилизации в статике и динамике обеспечивает сочетание управления по отклонению входного напряжения с пропорционально-интегральной обратной связью по отклонению выходного напряжения.
6. Повышение частоты коммутации позво-
ляет повысить точность стабилизации в динамике за счет уменьшения индуктивности дросселя и емкости конденсатора преобразователя. ■
Литература
1. Чети П. Проектирование ключевых источников электропитания. М.: Энергоатомиздат. 1990.
2. Коршунов А. И. Методика построения непрерывных моделей импульсных преобразователей напряжения постоянного тока // Компоненты и технологии. 2006. № 8.
