CC BY
175
В. Г. Макаров, Ю. А. Яковлев
АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ РАБОТ ПО ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Ключевые слова: идентификация параметров, градиентный метод поиска минимума функции, трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина.
Проведен анализ современного состояния работ в области идентификации параметров электрических машин. Рассмотрены методы идентификации технических систем. Показано, что наиболее целесообразно при идентификации параметров асинхронного двигателя использовать градиентный метод поиска минимума функции. Приведены результаты компьютерного моделирования процессов идентификации параметров трехфазного асинхронного двигателя.
Key words: parameters identification, gradient method for search of function minimum, asynchronous three-phase motor, generalized electric machine.
The analysis of a modern condition of works in identifying the parameters of electrical machines is carried out. Methods of identification of technical systems are considered. It is shown that it is the most expedient to use at identification of parameters of the asynchronous engine градиентный a method of search of a minimum offunction. Results of computer modeling ofprocesses of identification of parameters of the three-phase asynchronous engine are resulted.
Введение
Асинхронные машины (АД) в настоящее время являются самыми распространенными машинами в народном хозяйстве. В основном они используются как двигатели, реже - как генераторы. Трехфазные АД широко используются в устройствах автоматики и телемеханики, бытовых и медицинских приборах, устройствах звукозаписи и т.п. Широкое распространение АД объясняется простотой их конструкции, надежностью в работе, хорошими эксплуатационными свойствами, невысокой стоимостью и простотой в обслуживании. На долю АД приходится не менее 80 % всех электродвигателей, выпускаемых промышленностью.
Для эффективного управления АД, работающим в составе частотно-регулируемого электропривода, необходимо располагать информацией о текущих значениях параметров схемы замещения фазы и нагрузки. Параметрами Т-образной схемы замещения фазы АД являются: активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора, а также взаимная индуктивность. К параметрам нагрузки относятся суммарный момент инерции подвижных частей и статический момент. Перечисленные параметры в процессе функционирования электропривода могут изменяться в силу многих причин, например, таких как нагрев и охлаждение обмоток, изменение состояния магнитной цепи и др. В связи с этим возникают отклонения параметров, приводящие к отклонениям основных величин от заданных значений. Поэтому для реализации более точных алгоритмов
управления, обеспечивающих эффективное энерго- и ресурсосбережение, необходима оценка (идентификация) перечисленных параметров.
В большинстве случаев параметры Т-образной схемы замещения фазы АД определяют по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания [1], что не всегда возможно (например, в режиме нормального функционирования электропривода) и мало эффективно (низкая точность оценки). Есть множество способов определения параметров, базирующихся на методе холостого хода, но у каждого из них есть существенный недостаток - сложность проведения эксперимента.
В [2] предложен метод определения параметров АД в производственных условиях, базирующийся на Г-образной схеме замещения АД и требующий проведения только опыта холостого хода, а так же знания каталожных данных. Погрешность расчетов находится в пределах 2 - 5 %.
В [3] рассматривается методика определения параметров АД на основе данных каталога: скорость поля статора, коэффициентов мощности и полезного действия для номинальной (100 %) и одной из частичных нагрузок (25 % и 50 %); кратности пускового тока, максимального и пускового момента. Однако данный метод дает низкую точность определения параметров, погрешность составляет не менее 15 %, что существенно в системах автоматического управления.
В [4] проводится анализ свойств системы дифференциальных уравнений АД с короткозамкнутым ротором в смысле соответствия значений коэффициентов уравнений и параметрам схемы замещения фазы АД. Показано, что одним и тем же значениям напряжений, токов, моментов и частот вращения соответствует не один АД (в смысле конкретных значений параметров схемы замещения), а множество машин с одинаковыми значениями сопротивления и индуктивности статорной обмотки, но отличающихся значениями индуктивностей рассеяния и взаимоиндукции (при сохранении значения обобщенного рассеяния) и сопротивления ротора (при сохранении постоянной времени ротора). И, как следствие, по измерениям напряжений и токов обмоток статора, частоты вращения ротора и электромагнитного момента невозможно определить все пять параметров Т-образной схемы замещения фазы АД с короткозамкнутым ротором. Однако по этим измерениям возможна полная идентификация коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих АД, и определение четырех характерных параметров (конкретным значениям коэффициентов уравнений соответствуют одни и только одни значения параметров двигателя). Этими параметрами могут являться значения: активного сопротивления и индуктивности статора, обобщенного рассеяния и постоянной времени ротора.
Алгоритм идентификации параметров АД, полученный на основе анализа математической модели машины при установившейся частоте вращения предлагается в [5]. Алгоритм идентификации содержит следующие этапы:
1) регистрация значений напряжений и токов от соответствующих датчиков;
2) преобразование токов и напряжений в двухфазную систему координат;
3) предварительная фильтрация;
4) минимизация функционала, определяющего метод наименьших квадратов.
Относительная погрешность предлагаемого метода при оценке активного
сопротивления статора составила не более 5 %, а активного сопротивления ротора не более 36 %.
В [6] предлагаются алгоритмы одновременной идентификации частоты вращения и составляющих вектора потокосцепления ротора АД с короткозамкнутым ротором по
измерениям тока и напряжения его статорных обмоток. В статье рассмотрена существующая аналоговая реализация идентификатора частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора, разработанная в начале 80-х годов на базе существующих в то время элементах аналоговой техники: операционных усилителях, электронных ключах и пассивных элементах - резисторах и конденсаторах. Авторам удалось провести испытания данного устройства на базе регулируемого асинхронного привода (разработан в 1982 году в ЭНИМС с участием ИПУ РАН). Привод допускал регулирование частоты вращения вверх от номинальной в диапазоне 3:1. Что касается динамических показателей привода, то они не уступали показателям приводов с датчиком механического движения: реализовалось предельное быстродействие при «больших» сигналах рассогласования, «максимальная» полоса пропускания составляла несколько сотен герц. Несмотря на вполне удовлетворительные характеристики макетного образца, подтвержденные испытаниями, дальнейшего развития эти работы не получили. В основном это было связано со сложностью системы управления, невысокой надежностью электронной схемы, сложностью наладки системы.
Здесь же предложены подходы к синтезу цифровых (микропроцессорных) идентификаторов частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора АД. Первый из которых - это цифровой рекуррентный идентификатор, использующий разностную модель (наблюдатель состояния) процессов в асинхронном приводе, корректируемую по отклонению выходных сигналов наблюдателя от вычисленных оценок. Он аналогичен идентификатору в непрерывном времени рассмотренному выше. Отличия заключаются главным образом в использовании разностной модели, замене разрывной характеристики на характеристику типа «усилитель с насыщением» (дискретный скользящий режим). Автору макетировать данный метод идентификации пока не удалось. Далее рассмотрен подход к синтезу нерекурренного идентификатора частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора. Этот подход эквивалентен цифровому дифференцированию измерений (по конечной разности). Такие вычисления могут оказаться весьма чувствительными к шумам и неточностям измерений (например, к дискретности по уровню, вызываемой конечной разрядностью ФЦП), причем чем меньше длительность интервала дискретизации, тем больше чувствительность к шумам. С другой стороны, при увеличении интервала дискретизации необходимо уточнение разностной модели. Использование «прошлых» измерений и управлений позволяет вычислить оценки не измеряемых непосредственно переменных. Очевидно, при увеличении «глубины» запоминания, то есть при увеличении числа циклов с запоминаемыми измерениями и управлениями, число уравнений возрастает, это позволяет находить решение уравнений для соответственно большего числа неизвестных величин.
В [7] рассматривается адаптивно-векторная система управления бездатчикового асинхронного электропривода серии ЭПВ, обеспечивающая оценку потокосцепления ротора, скорости ротора и электромагнитного момента. В статье показано, что наибольшим изменениям в процессе работы АД подвергаются активные сопротивления статора, ротора и взаимная индуктивность. Поэтому в предлагаемой системе управления в первую очередь производится оценка именно этих параметров. На основе оценок активных сопротивлений статора, ротора и взаимной индуктивности производится оценка потокосцепления ротора, скорости ротора и электромагнитного момента. Предлагается алгоритм адаптации системы управления к изменениям активных сопротивлений статора, ротора и взаимной индуктивности.
Алгоритм идентификации частоты вращения бездатчикового асинхронного электропривода, адаптивный к изменениям активного сопротивления статора, предложен в [В].
В [9] предлагается алгоритм вычислений и схема устройства оценивания параметров электродвигателя постоянного тока. Данное устройство предназначено для идентификации сопротивления и индуктивности цепи якоря электродвигателя, а так же постоянной ЭДС. Алгоритм идентификации параметров основан на непрерывном градиентном методе поиска минимума функции. Главными недостатками данного устройства являются: малое количество оцениваемых параметров; ограниченность области применения двигателями постоянного тока.
В [1C] идентификацию параметров АД предлагают проводить следующими способами:
1) Идентификация на основе методов оценивания;
2) Идентификация на основе поисковых алгоритмов;
3) Идентификация на основе искусственных нейронных сетей.
Идентификация параметров АД на основе методов оценивания проводится с использованием рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК) и расширенного фильтра Калмана (РФК). Для осуществления процессов идентификации АД в процессе его функционирования необходимо получить исходные данные. Для этого проводится предварительная идентификация на основе двух опытов - пуска электродвигателя вхолостую и режима холостого хода, из которых определяются значения активного сопротивления статора, индуктивности рассеяния статора и ротора, амплитуду главной индуктивности фазы и момент инерции ротора далее идентификация проводится по двум независимым алгоритмам.
Первый алгоритм позволяет определять параметры и переменные АД в установившемся режиме работы. Результатом работы алгоритма является вектор текущих значений параметров и переменных АД, таких как: активное сопротивление ротора, индуктивность рассеяния статора, индуктивность ротора, индуктивность цепи намагничивания, потокосцепления статора и ротора.
Второй алгоритм предназначен для АД, работающих в динамических режимах. В результате его работы определяются компоненты вектора текущих значений параметров переменных АД: активное сопротивление ротора, индуктивность цепи намагничивания, потокосцепление ротора, угловая скорость вращения ротора, статический момент.
Для оценки параметров и переменных АД при работе его в статическом режиме необходимо использование величины амплитуды главной индуктивности фазы, предварительно полученной при обработке данных опыта холостого хода, а для динамического режима требуется информация о величине момента инерции ротора, индуктивностях рассеяния статора и ротора и индуктивности цепи намагничивания, предварительно полученная при пуске двигателя вхолостую и при его работе на холостом ходе. По результатам предварительной идентификации из опыта пуска определяется также величина активного сопротивления статора и потокосцепление статора, которое также может быть оценено с использованием фильтра Калмана. Для получения необходимой информации при оценивании параметров и переменных состояния АД необходимо использовать датчик частоты вращения ротора, датчики фазных токов и напряжений статора. Оценивание параметров и переменных в статическом режиме работы АД возможно проводить за 2С-4С мс (1-2 периода сетевого напряжения).
Проведен анализ влияния неточного задания неоцениваемых параметров АД на результаты оценивания его параметров и состояния. Уровень задаваемой ошибки индуктивности рассеяния статора и ротора примерно 20 %, а индуктивности цепи намагничивания примерно 10 % относительная погрешность находится в диапазоне
0,16 - 3,03 %
С использованием поисковых алгоритмов наилучший результат показало применение следующего подхода: на первом этапе используется многомерный перебор в пространстве варьируемых параметров для локализации минимума, а затем - метод покоординатного спуска для уточнения найденного экстремума.
К измеренным параметрам отнесены активное сопротивление статора, индуктивность цепи намагничивания, активное сопротивление ротора, сумма индуктивностей рассеяния статора и ротора. В качестве критерия минимизации функции отклонений вектора измерения в работе используется квадратичная функция, минимизация которой и выполняется для каждой выборки. Анализ функции отклонений вектора измерения для различных типов двигателей показал, что она обладает относительно простым рельефом и имеет один экстремум в области возможных значений варьируемых параметров. Данный алгоритм позволяет достичь экстремума за 2-3 цикла поиска. Средняя погрешность оценивания частоты вращения ротора в динамическом режиме составила 3,2 %, а максимальная 11,5 %; оценка индуктивности цепи намагничивания находится в пределах 5-10 %.
В результате вычислительных и практических экспериментов наилучшие результаты показала искусственная нейронная сеть следящей конфигурации - на вход сети подаются значения напряжений и фазных токов обмотки статора АД на текущем шаге и на двух предыдущих шагах, а также значения потокосцеплений статора на текущем шаге. Выходными величинами при этом являются активное сопротивление ротора и индуктивность ротора.
В [11] приводится метод идентификации параметров АД, согласно которому задача идентификации решается в два этапа:
1) первоначальную настройку системы управления на параметры силового канала;
2) адаптация системы управления к изменению параметров привода в процессе его
работы.
Для автоматической первоначальной настройки системы наиболее удачными являются режим, выполняемый при питании двигателя «неподвижным» вектором напряжения. В качестве тестового режима используют также режим реального холостого хода двигателя. Результатом первоначальной настройки следующие параметры: активное сопротивление статора, индуктивность намагничивания и величина произведения коэффициента рассеяния статора и индуктивности статора. Второй этап «адаптация системы» обычно проводят по следующим параметрам: постоянной времени ротора и параметрам механической части привода.
Известны следующие способы адаптации к изменению постоянной времени ротора:
1) адаптация с помощью вычисления дополнительной оценки ЭДС ротора по уравнениям статорной цепи на основе информации о напряжениях и токах статора;
2) адаптация на основе вычисления реактивной мощности (энергетический подход);
3) адаптация на основе анализа реакции привода в определенных динамических или квазистатических режимах работы, вызванных специальными тестовыми сигналами либо возникших в естественном процессе работы привода;
4) адаптация на основе построения расширенных нелинейных (или билинейных) наблюдателей состояния;
5) адаптация на основе нелинейных адаптивных наблюдателей с эталонной моделью;
6) адаптация на основе аналитического выражения для постоянной времени ротора, полученного из математической модели АД для статических режимов работы.
Задача адаптации к изменению параметров механической части привода разбивается на три подзадачи:
1) предварительная оценка момента инерции при выполнении процедуры автонастройки в специально заданном тестовом режиме работы привода;
2) оценка момента инерции и статического момента в процессе работы электропривода;
3) коррекция параметров системы управления приводом по результатам оценки момента инерции и статического момента.
Адаптацию к изменению параметров предлагается проводить с использованием фильтра Калмана.
На основании проведенного обзора, очевидно, что проблема идентификации параметров электрических машин является актуальной задачей. Особое значение приобретают системы идентификации, позволяющее проводить идентификацию в режиме нормального функционирования электропривода.
Анализ методов, применяемых при идентификации параметров автоматических систем, проводится в [12 - 15].
В [16] при идентификации параметров двигателя постоянного тока, а также синхронного двигателя использован непрерывный градиентный метод поиска минимума функции. Предложены функциональные схемы устройств идентификации. С помощью компьютерного моделирования подтверждена высокая точность предлагаемых алгоритмов идентификации параметров.
С использованием непрерывного градиентного метода поиска минимума функции разработано устройство оценивания параметров электродвигателя [17], позволяющее осуществлять идентификацию параметров трехфазного АД. Устройство идентификации вырабатывает оценки следующих параметров: активные сопротивления статора и ротора, индуктивности статора и ротора, взаимная индуктивность, момент инерции подвижных частей и статический момент нагрузки.
Проведено компьютерное моделирование процессов идентификации параметров обобщенной машины на базе двигателя типа АИР80А6У2. Математического описания устройства идентификации параметров трехфазного АД приводится в [18]. Моделирование проводилось при условии, что напряжение и^(0 равно нулю, а напряжение иід(ї) и угловая частота а>1@) изменяются в соответствии с временными диаграммами, представленными на рис. 1. Параметры функций и1д(ї) и <а1(І) приведены в табл. 1.
Моделирование проводилось при начальном отклонении всех параметров от истинных значений на 50% и 75%. Кривые переходных процессов на рис. 2, рис. 3 получены при начальном отклонении оценок всех параметров от истинных значений на 75%. Отметим, что начальные отклонения оценок величин активного сопротивления ротора, момента инерции подвижных частей и статического момента принимались на 75% меньше истинных значений, а начальные отклонения оценок величин активного сопротивления статора, индуктивностей статора и ротора, взаимной индуктивности - на 75% больше истинных значений. Видно, что длительность процессов идентификации
составляет 280 с, после чего все параметры достигают своих истинных значений. Начальные значения оценок параметров на рис. 2 - рис. 3 отмечены кружками.
Рис. 1 - Временные диаграммы функций U1q(t) и а>і(і)
Таблица 1 - Параметры функций а>і(і), иія(і)
Наименование параметров Функция
ищ(І) соі(ї)
Постоянная составляющая Обозначение иі «10
Величина, единица измерения 50 В 300 рад/с
Амплитуда переменной составляющей Обозначение иіт 1m
Величина, единица измерения 25 В 150 рад/с
Частота переменной составляющей Обозначение и
Величина, единица измерения 0,318 Гц
Рис. 2 - Процессы идентификации при начальном отклонении всех параметров на 75%: а - активные сопротивления фаз статора и ротора; б - индуктивности фаз статора и ротора; в - взаимная индуктивность
а б
Рис. 3 - Процессы идентификации при начальном отклонении параметров на 75%: а - момент инерции; б - статический момент
Видно, что длительность процессов идентификации составляет 280 с, после чего все параметры достигают своих истинных значений. Оценка точности результатов идентификации производится в табл. 2.
Таблица 2 - Оценка точности результатов идентификации
Наименование Истинные Значения Относительная
параметров, значения параметров, погрешность
единицы измерения Обозначение параметров полученные в идентификации при
процессе начальном
идентификации при отклонении
начальном параметров от
отклонении истинных значений
параметров от истинных значений
на 50 % на 75 % на 50 % на 75 %
Активное
сопротивление фазы Кі 8,9779 9,0035 8,9962 0,2848 % 0,204 %
обмотки статора, Ом
Индуктивность фазы обмотки статора, Гн ц 0,5168 0,5156 0,5159 0,2266 % 0,166 %
Активное
сопротивление фазы 5,7426 5,7245 5,7291 0,3158 % 0,235 %
обмотки ротора, Ом
Индуктивность фазы обмотки ротора, Гн 0,5194 0,518 0,5184 0,2599 % 0,199 %
Взаимная индуктивность, Гн Мт 0,4962 0,495 0,4953 0,2467 % 0,1870 %
Момент инерции подвижных частей 0,0250 0,0249 0,0250 0,2522 % 0,183 %
Статический момент Мс 0,2500 0,2494 0,2495 0,2526 % 0,190 %
Компьютерное моделирование подтвердило устойчивость процессов идентификации и позволило установить, что относительная погрешность идентификации не превышает 0,32 % [17].
Нужно отметить, что при идентификации параметров трехфазного АД необходимо располагать информацией о токах короткозамкнутого ротора, не подлежащих непосредственному измерению и наблюдению. Восстанавливать информацию о токах короткозамкнутого ротора можно за счет использования АД с встроенными датчиками Холла, что увеличивает его стоимость. Поэтому возникает задача идентификации токов короткозамкнутого ротора (задача идентификации процессов), которую необходимо решать параллельно с задачей идентификации параметров.
Выводы
1. Для эффективного управления асинхронным двигателем, работающим в составе частотно-регулируемого электропривода, необходимо располагать информацией о текущих значениях параметров схемы замещения фазы и нагрузки. В связи с этим возникает необходимость их оценки (идентификации).
2. Наиболее эффективным при идентификации параметров электрических машин является непрерывный градиентный метод поиска минимума функции.
3. Компьютерное моделирование подтверждает эффективность применения и высокую точность, а также возможность практического применения предложенного устройства идентификации параметров трехфазного АД.
4. Предлагаемый алгоритм позволяет осуществлять идентификацию параметров в режиме нормального функционирования.
5. Перспективными являются работы по созданию устройств идентификации токов короткозамкнутого ротора АД. Отличительной особенностью подобных устройств является идентификация процессов трехфазного АД.
Литература
1. Копылова, И.П. Справочник по электрическим машинам: в 2 Т. / И.П. Копылова, Б.К. Клокова.
- М.: Энергоатомиздат, 1988.
2. Артишевская, В. Экспериментально-аналитический метод определения параметров асинхронных машин / В. Артишевская // Электричество. - 1999. -№11.-С. 29-31.
3. Мощинский, Ю.А. Определение параметров схемы замещения асинхронных машин по каталожным данным / Ю.А. Мощинский, В.Я. Беспалов, А.А. Кирякин // Электричество- 1998. -№ 4. - С. 38-42.
4. Водовозов, А.М. Идентификация параметров асинхронной машины в установившихся режимах / А.М. Водовозов, А. С. Елюков // Вестник ИГЭУ - 2010. - С.1-3.
5. Изосимов, Д.Б. Свойства уравнений обобщенного асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором / Д. Б. Изосимов, Е. Н. Аболемов // Электричество. - 2008. - № 4. -С.35 - 39.
6. Изосимов, Д.Б. Идентификация частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора асинхронного двигателя по измерениям токов и напряжений обмоток статора / Д. Б. Изосимов, С. Е. Рывкин //Электричество . - 2005. - №4. - С.32 - 40.
7. Виноградов, А.Б. Адаптивно-векторная система управления бездатчикового электропривода серии ЭПВ / А.Б. Виноградов, А.В. Сибирцев, И.П. Колодин // Силовая электроника. - 2008. -№ 3. - С. 50 - 55.
8. Панкратов, В. В. Синтез и исследование алгоритма идентификации частоты вращения асинхронного двигателя / В.В. Панкратов, М.О. Маслов // Электричество. - 2008. - № 4. -С. 27 - 34.
9. Пат. 87/00659 Российская федерация, МКИ 6Н02Р5/06. Устройство оценивания параметров электродвигателя / А.Ю. Афанасьев, И.Т. Тарасова; заявитель и патентообладатель Центральное конструкторское бюро «Фотон». - № 4945008/07; заяв.17.06.91; опубл. 27.02.95, Бюл. № 6. - 5 с
10. Каширских, В.Г. Динамическая идентификация асинхронных электродвигателей / В.Г. Каширских. - Кемерово: КузГТУ, 2005.- 139 с
11. Виноградов, А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока / А.Б. Виноградов
- Иваново: ГОУВПО Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина, 2008. - 298 с.
12. Сейдж, Э.П. Идентификация систем управления / Э. П. Сейдж, Л. М. Мелса. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 248с.
13. Гроп, Д. Методы идентификации систем / Д. Гроп; пер. с англ. - М.: Мир, 1979. - 210 с.
14. Льюинг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователей / Л. Льюинг; пер. с анг. / под ред. Я. З. Цыпкина. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 432 с.
15. Пупкова, К.А. Методы классической и современной теории автоматического управления: учеб. Пособие: в 5 т. Т.2 / К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. - 640 с.: ил.
16. Собх, М.И. Энергосбережение в электроприводах периодического движения с силовыми электронными преобразователями: дис. ... канд. тех. наук: 07.00.02: защищена 22.01.02: утв. 15.07.02 / Собха Мазена Ибрагима. - Казань, 2010. - 215 с.
17. Пат. 2392731 Российская федерация, МПК Н 02 Р 7/06. Устройство оценивания параметров электродвигателя / Макаров В.Г., Афанасьев А.Ю., Яковлев Ю.А.; заявитель и патентообладатель Казанский государственный технологический университет - № 2009118685/09; заявл. 18.05.2009; опубл. 20.06.2010, Бюл. № 17. - 21 с.
18. Макаров, В.Г. Оценивание параметров трехфазного асинхронного двигателя / В.Г. Макаров, Ю.А. Яковлев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - №9. - С. 418-425.
© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, [email protected]; Ю. А. Яковлев - студ. КГТУ, [email protected].
