CC BY
727
ГИДРОДИНАМИКА, ТЕПЛО-И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ, ЭНЕРГЕТИКА
УДК 62-83-52, 621.313.3
В. Г. Макаров
АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина, асинхронный электропривод, математическая модель, оптимальное управление, управляемость, наблюдаемость, чувствительность, идентификация параметров, векторное управление.
Проводится анализ современных методов синтеза и анализа асинхронных электроприводов. Определены актуальные проблемы, сформулированы основные задачи и намечены пути их решения.
Keywords: asynchronous three-phase motor, generalized electrical machine, asynchronous electric drive, mathematical model, optimum control, сontrollability, observability, sensitivity, identification of parameters, vector control.
Is analysed of the modern methods of synthesis and the analysis of asynchronous electric drives.
Actual problems are defined, the primary goals are formulated and ways of their decision are planned.
Введение
На современном этапе развития науки и техники системы электропривода прочно занимают лидирующее положение среди приводных устройств и обеспечивают бесперебойную и надежную работу технологических механизмов во многих отраслях промышленности и специальной техники.
В качестве приводного двигателя наибольшее распространение находит асинхронный двигатель (АД) с короткозамкнутым ротором. Современный асинхронный электропривод реализуется на базе силовой полупроводниковой техники с применением микропроцессорного управления. Его возможности позволяют организовать регулирование выходных координат электропривода в широком диапазоне, с высокой точностью и быстродействием.
Современные преобразователи частоты с микропроцессорным управлением позволяют реализовывать традиционные или создавать новые программные алгоритмы и синтезировать асинхронные электроприводы с широким набором эксплуатационных характеристик, что в свою очередь позволяет удовлетворить требования, накладываемые со стороны самых разных технологических объектов. Однако даже в составе частотно-регулируемого электропривода не всегда обеспечиваются режимы работы с максимальными энергетическими показателями.
В создание и развитие теории систем асинхронного электропривода значительный вклад внесли выдающиеся российские и зарубежные ученые - А. А. Булгаков, И. Я. Браславский, В. Н. Бродовский, А. Б. Виноградов, Т. А. Глазенко, В. Л. Грузов, П. Е. Данилов, В. А. Дартау, Л. Х. Дацковский, З. Ш. Ишматов, В. Г. Каширских,
A. Е. Козярук, В. И. Ключев, Г. Б. Онищенко, О. И. Осипов, Л. П. Петров, А. Д. Поздеев,
B. Н. Поляков, В. В. Рудаков, Ю. А. Сабинин, А. С. Сандлер, Р. С. Сарбатов,
О. В. Слежановский, М. М. Соколов, Г. Г. Соколовский, И. М. Столяров, А. А. Суптель, В. М. Терехов, В. Н. Хрисанов, В. А. Шубенко, И. И. Эпштейн, G. M. Asher, F. Blaschke, W. Floter, J. Holtz, W. Leonard, T. A. Lipo, D. W. Novotny и многие другие.
Однако ряд проблем остается нерешенным.
Одной из актуальных задач является повышение точности математического описания АД с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали. При построении алгоритмов управ-
ления частотно-регулируемыми асинхронными электроприводами в большинстве случаев используется математическое описание обобщенной электрической машины, поэтому при построении математической модели АД с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали целесообразно использовать теорию обобщенной электрической машины.
Широко распространено управление АД с напряжением питания, пропорциональным его частоте. Такое управление является малоэкономичным, поскольку не учитывается требуемый электромагнитный момент. При малом моменте поддерживать магнитный поток на уровне номинального нерационально.
Для построения высокоэффективных с точки зрения энергосбережения частотнорегулируемых асинхронных электроприводов необходимо использовать теорию оптимального управления токами АД по критерию минимума мощности потерь или максимума КПД.
Для эффективного управления асинхронным двигателем, работающим в составе частотно-регулируемого электропривода, необходимо знать текущие значения его параметров -таких как активные сопротивления фаз обмоток статора и ротора, индуктивности фаз обмоток статора и ротора, взаимная индуктивность, суммарный момент инерции подвижных частей и статический момент. Перечисленные параметры в процессе функционирования электропривода могут изменяться в силу многих причин, например, таких, как нагрев и охлаждение обмоток, изменение состояния магнитной цепи и др. Таким образом, для реализации более точных алгоритмов управления, обеспечивающих эффективное энерго- и ресурсосбережение, необходима оценка (идентификация) перечисленных параметров в режиме нормального функционирования электропривода.
Асинхронный электропривод с векторным управлением является более совершенным, однако алгоритмы векторного управления в большинстве случаев не учитывают насыщение магнитопровода и потери в стали и не обеспечивают оптимальных режимов работы.
Разработка математических моделей асинхронных двигателей с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали
Математические модели АД являются основой для исследования процессов электромеханического преобразования энергии. Особую значимость математические модели АД приобретают при разработке энергосберегающих алгоритмов управления автоматизированного асинхронного электропривода.
В математической теории электрических машин существуют два принципиально разных подхода к описанию процессов электромеханического преобразования энергии:
1) с позиций теории поля, базирующейся на уравнениях Максвелла;
2) с позиций теории электрических цепей, базирующейся на уравнениях Кирхгофа.
В настоящее время наиболее прогрессивным подходом к анализу процессов электромеханического преобразования энергии в электрических машинах является комбинированный подход, сочетающий в себе теорию поля и теорию электрических цепей [1 - 15]. Исходя из приближенного представления картины магнитного поля в воздушном зазоре электрической машины, с достаточной точностью определяются ее параметры и записываются дифференциальные уравнения равновесия напряжений на обмотках, из которых вычисляются токи или по-токосцепления. Зная закон изменения токов или потокосцеплений, получают зависимость электромагнитного момента и записывают уравнение движения в зависимости от характера нагрузки и ее инерционности.
Для исследования АД в динамике традиционно используется систему уравнений электромеханического преобразования энергии в фазных координатных осях [7, 9, 12]. Данная система уравнений нелинейна, поскольку дифференциальные уравнения фаз двигателя содержат в себе переменные коэффициенты, а уравнение электромагнитного момента содержит произведение токов, являющихся зависимыми переменными. Вообще уравнения с нелиней-
ными параметрами не имеют точного решения, однако, применяя численные методы, можно получить высокую точность, необходимую при решении исследовательских задач [9].
В связи с этим при анализе электромагнитных и электромеханических процессов в АД, а также при разработке алгоритмов управления автоматизированного асинхронного электропривода широко используется преобразование координат, позволяющее перейти от системы дифференциальных уравнений в фазных координатных осях, содержащей переменные коэффициенты, к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в неподвижной или вращающейся двухфазной системе координат. Преобразование координат неразрывно связано с вопросами теории обобщенной электрической машины.
Основы математической теории обобщенной электрической машины сформулированы в 1920 - 1940 годы в работах Р. Парка, А. А. Горева, Г. Крона, Г. Н. Петрова, Д. Уайта, Г. Вудсона и других, где рассматриваются вопросы преобразования координат, приводятся математические модели и уравнения обобщенной электрической машины.
Существуют различные варианты преобразования координат, некоторые из них выполняются формально без сохранения физического смысла.
Целесообразно осуществлять преобразование координат так, чтобы сохранить амплитуду результирующей МДС и величину магнитного потока, приходящегося на один полюс, а также эффективное количество витков фаз обмоток. Подобный подход позволит в дальнейшем при аппроксимации кривой намагничивания учитывать насыщение магнитопро-вода АД и строить более точные математические модели, а также разрабатывать энергосберегающие алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с АД.
Среди традиционных для обобщенной электрической машины допущений основными являются предположение об отсутствии насыщения магнитопровода и пренебрежение потерями в стали.
Для описания динамических процессов в АД с учетом насыщения магнитопровода широко используются два метода: метод статических индуктивностей [16] и метод динамических индуктивностей [17]. Последний является существенно более сложным и применяется реже. Сравнение результатов расчета переходных процессов прямого пуска АД, выполненного в [9] с использованием обоих методов при прочих равных условиях, показывает их близость друг к другу. В [18] считается, что насыщение проявляет себя только в изменении коэффициента, связывающего основной магнитный поток с намагничивающим током, а связь между потоками рассеяния статора и ротора и соответствующими токами остается такой же, как и в ненасыщенной машине и характеризуется постоянными индуктивностями рассеяния статора и ротора. Аналогичный подход используется в [19, 20]. По-существу в [18 - 20] используется линейная математическая модель обобщенной электрической машины с переменной индуктивностью, что не совсем корректно. Отметим, что различные варианты аппроксимации кривой намагничивания рассматриваются в [2, 13, 21, 22].
Важность задачи учета потерь в стали определяется существенным вкладом этих потерь в суммарные потери асинхронной машины. Так согласно оценке, приведенной в [23], для АД серии 4А потери в стали могут составлять более 20 % от полных потерь номинального режима и более 50 % от полных потерь холостого хода.
Потери в стали складываются из потерь на гистерезис и вихревые токи.
В [9] учет влияния вихревых токов в сердечниках статора и ротора в переходных процессах реализуется путем введения в схему замещения двух интегральных контуров вихревых токов, т. е. математическая модель АД с двумя обмотками на статоре и роторе и круговым полем в воздушном зазоре состоит из четырех обмоток по осям обобщенной электрической машины. Параметры интегральных контуров вихревых токов обычно определяют экспериментально, что не всегда выполнимо в условиях производства. Следует также иметь в виду, что экспериментальный метод не дает возможности раздельно определить параметры вихревых токов для сердечников статора и ротора.
Существует метод учета потерь в стали путем введения в систему уравнений Парка -Горева угла потерь, что позволяет не увеличивать общего количества дифференциальных уравнений системы [24]. Однако данный подход обладает существенным недостатком: при частотном управлении угол потерь является функцией не одной, а как минимум двух переменных. Алгебраические уравнения связи потокосцеплений и токов при этом оказываются довольно громоздкими.
Использование традиционных методов учета потерь в стали [25, 26] путем включения дополнительных сопротивлений параллельно либо последовательно цепи намагничивания эквивалентной Т-образной схемы замещения фазы АД приводит к тому, что при частотном управлении эти сопротивления также являются функциями как минимум двух переменных.
В [27] предлагается метод учета потерь в стали, основанный на разделении составляющих потерь на потери от гистерезиса и вихревых токов. Это осуществляется введением в модель двигателя двух постоянных коэффициентов: коэффициента потерь от вихревых токов и коэффициента потерь от гистерезиса. Определение этих коэффициентов для конкретного типа двигателя осуществляется по значениям потерь в стали (рассчитанным или экспериментально определенным по известным методикам) в двух точках рабочего диапазона частот в режиме холостого хода двигателя. Потери в стали от гистерезиса учитываются дополнительной составляющей тока, формирующей фазовое запаздывание потокосцепления взаимоиндукции от результирующего тока магнитной цепи. При этом полагается, что гистерезис влияет только на фазу тока и не влияет на его форму. Однако, данная математическая модель содержит систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, решение которой возможно только с использованием численных методов.
Известен подход [28] к учету потерь в стали от вихревых токов путем включения параллельно цепи намагничивания Т-образной схемы замещения двигателя эквивалентных активно-индуктивных цепей с сосредоточенными параметрами, отдельных для описания процессов в стали статора и ротора. Основные недостатки данного метода: во-первых, он учитывает только одну составляющую потерь в стали, тогда как потери от гистерезиса, в частности, в двигателях серии 4А на номинальных частотах соизмеримы с потерями от вихревых токов, а на частотах, меньших номинальной, потери от гистерезиса могут существенно превосходить потери от вихревых токов; во-вторых, существует серьезная проблема, связанная с определением параметров данных эквивалентных цепей, особенно индуктивности. Предложенный в [28] метод основан на использовании дополнительной измерительной обмотки, встраиваемой в двигатель, что само по себе неудобно, а также на сомнительном допущении, что во всех режимах работы коэффициент отношения индуктивного и активного сопротивлений эквивалентной цепи потерь в стали постоянен и равен 0,6. Это соотношение, введенное Л. Р. Нейманом, было использовано в [29] для случая массивного ротора и распространено в [28] на шихтованные сердечники. Строго говоря, это допущение можно считать справедливым только при явно выраженном поверхностном эффекте. Для шихтованных стальных сердечников из электротехнических сталей с толщиной листа 0,5 мм при частоте 50 Гц поверхностный эффект не проявляется [23].
Проведенный анализ показывает, что предлагаемые методики учета насыщения магни-топровода и потерь в стали являются достаточно сложными, что ограничивает их практическое применение. В связи с этим возникает необходимость разработки математических моделей АД с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали. Основным путем решения данной задачи является применение теории многообмоточного трансформатора, с точки зрения которой магнитный поток машины можно представить состоящим из двух составляющих
- проекции вектора основного магнитного потока на ось фазы и магнитного потока рассеяния. При этом насыщение магнитопровода следует учитывать введением в математическую модель элемента, описываемого кривой намагничивания, а потери в стали - введением эквивалентных обмоток потерь в стали.
Применение разработанных математических моделей с учетом насыщения магнитопро-вода и потерь в стали позволит повысить точность моделирования и реализовать более эффективные с точки зрения энергосбережения алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с АД.
Сочетание математического моделирования и современных компьютерных технологий, в основе которых лежат прикладные пакеты, предоставляет возможность глубокого изучения процессов, протекающих во всех звеньях электропривода. К таким пакетам относятся: Derive, Macsyma, Maple, MathCad, Mathematica, MatLab, MicroCap, PSpice, Reduce, Theorist и др. Компьютерному моделированию силовых полупроводниковых преобразователей, электрических машин и электроприводов в MatLab и PSpice посвящены [30 - 32]. В то же время следует отметить успешное применение для численного исследования процессов в электромеханических вентильных системах языков программирования высокого уровня: Bask, Fortran, C, C++, Pascal и др. [33 - 40].
Следует отметить, что при переходе к обобщенной электрической машине значительное внимание уделяется вопросам преобразования координат, созданию математических моделей, а также их анализу. Однако вопросы анализа конструктивных свойств обобщенной электрической машины с целью создания ее гипотетической физической модели не рассматриваются.
Целесообразно установить соотношения между величинами и параметрами обобщенной электрической машины и трехфазного асинхронного двигателя при сохранении амплитуды результирующей МДС и величины магнитного потока, приходящегося на один полюс, а также эффективного количества витков фаз обмоток.
Оптимальное управление токами асинхронного двигателя
Публикуемые в научно-технической литературе материалы свидетельствуют о том, что проблема энергетической эффективности электропривода в последние годы решается за счет совершенствования существующих и разработки новых типов электродвигателей [16, 41 - 43] и полупроводниковых преобразователей с повышенными энергетическими характеристиками [44, 45]. Основным фактором повышения энергетической эффективности преобразователей является использование полностью управляемых полупроводниковых приборов силовой электроники (MOSFET, IGBT, IEGT, GTO, IGCT).
Несмотря на значительный прогресс в области силовой электроники и микропроцессорных средств управления, в регулируемых электроприводах сравнительно мало используются их возможности для реализации энергосберегающих алгоритмов управления режимами электропривода. Во многих случаях реализуются законы управления электрическими двигателями, которые не полностью отвечают требованиям задачи энергосбережения [46].
Вопросы оптимального управления электроприводами рассматриваются в [37, 38, 46 - 53].
Существующие алгоритмы оптимизации условно можно разделить на два основных способа формирования электромагнитного момента электрической машины. Одним из них является способ формирования электромагнитного момента, обеспечивающий управление электрической машиной по минимуму тока статора или суммарных потерь. Этот способ управления применяется в электроприводах, не отличающихся высоким быстродействием. Для динамических систем переменного тока электромагнитный момент формируют в условиях стабилизации потокосцепления ротора или статора. Несмотря на то, что применение этого способа не обеспечивает экономичности регулирования, формирование электромагнитного момента в условиях стабилизации потокосцепления считается целесообразным в предположении, что в этом случае к обмоткам двигателя необходимо подвести минимум мгновенной мощности для изменения электромагнитного момента.
В [47] рассмотрены законы предельного управления и решение задачи оптимизации по так называемому «векторному» критерию качества. Решение этой задачи дает возможность определить законы управления, позволяющие при заданном значении одного показателя каче-
ства обеспечить оптимальные значения другого. Каждый из предельных способов управления может обеспечить максимальное значение только одного показателя качества.
Фундаментальные исследования с целью повышения энергетических показателей асинхронных машин за счет оптимального управления магнитным потоком выполнены в [48, 54 -56]. Там же сделан справедливый в общем случае вывод о том, что необходимым условием оптимизации по минимуму мощности потерь является учет насыщения магнитопровода машины.
В [49] предложена расширенная модель потерь мощности в асинхронной машине. Она включает активные и магнитные потери в статоре и роторе, дополнительные и механические. В пределах модели получено уравнение восьмой степени относительно энергетически оптимального значения потока ротора асинхронной машины и найдено аналитическое решение этого уравнения. Получен упрощенный вариант этого решения, предназначенный для практического применения в энергосберегающих асинхронных электроприводов. Однако данный аналитический метод показывает приемлемую точность результатов лишь в определенном диапазоне значений потокосцепления ротора. В ином случае приходится использовать численные методы решения задачи минимизации потерь.
В [46] рассмотрены задачи экстремального управления АД по минимуму потерь, минимуму тока статора и максимуму электромагнитного момента при ограничениях выходного напряжения и тока силового преобразователя. Отмечена важная особенность оптимального управления по минимуму тока статора, отличающая его от режима управления по минимуму
потерь: оптимальные значения потокосцеплений статора и ротора , главного потокос-
цепления , абсолютного скольжения в , а также токов статора 10 и ротора l2 , определяется моментом нагрузки и не зависят от скорости.
Одним из недостатков перечисленных моделей является то, что в них рассматриваются только потери мощности в двигателе и не учитываются потери мощности в таких устройствах электропривода, как выпрямитель и инвертор.
В [50] предложена математическая модель общих (суммарных) потерь мощности в частотно-регулируемых асинхронных электроприводах, состоящих из потерь мощности в выпрямителе, инверторе и двигателе. Затем с помощью данной модели проведена оптимизация общих потерь мощности в асинхронном электроприводе с АИН - ШИМ.
В [20] требования оптимальности по потерям рассмотрены по отношению к двигателю, преобразователю частоты и в целом к электроприводу. Предложены аналитические и численные методы решения задачи оптимизации работы системы «преобразователь частоты - асинхронный двигатель». Рассмотрено влияние режимов двигателя на характеристики ПЧ и в первую очередь на мощность потерь в ПЧ при постановке задачи оптимизации по минимуму суммарных потерь электропривода. Результаты исследований статических характеристик двигателя показывают, что АД как объект управления обладает экстремальными характеристиками по ряду частных критериев качества. Наличие экстремумов тока статора l1 и активной мощности Р\ обусловливает экстремальный характер отдельных составляющих электрических потерь выпрямителя, инвертора и суммарных электрических потерь преобразователя. В частности, режим минимальных потерь АД обеспечивает минимум электрических потерь в источнике питания АИН.
Оптимальные характеристики электрических машин зависят не только от их параметров, но и от соотношений между ними.
В [51] с использованием метода множителей Лагранжа поставлена и решена задача оптимального управления токами двигателя постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ) в стационарном режиме протекания токов, а именно обеспечение минимально возможных потерь в обмотке якоря и обмотке возбуждения при создании требуемого электромагнитного момента. Традиционно решение данной задачи находится при условии, что магнитный поток
машины и, соответственно, потери в обмотке возбуждения являются постоянными, вследствие чего обеспечить минимальные потери в ДПТ НВ можно, регулируя только ток якоря.
В [51] получено соотношение между токами и сопротивлениями обмоток ДПТ НВ, позволяющее обеспечить минимум потерь при создании требуемого электромагнитного момента
где Ід - ток якоря; І( - ток возбуждения, Rg - сопротивление цепи якоря; Rf - сопротивление обмотки возбуждения.
Аналогично в [38] поставлена и решена задача оптимального управления токами синхронного двигателя (СД) с электромагнитным возбуждением при традиционных для обобщенной электрической машины допущениях, одним из которых является отсутствие насыщения магнитной системы [9].
В [38] получено соотношение между токами и сопротивлениями обмоток СД, позволяющее обеспечить минимум потерь при создании требуемого электромагнитного момента
где І1^ , Ііц - токи фаз обмотки якоря; R'\ - активные сопротивления фаз обмотки якоря.
В результате решения задачи оптимизации получены оптимальные зависимости токов обмоток от частоты вращения ротора при различных значениях требуемого электромагнитного момента, разработана функциональная схема электропривода с оптимальным управлением токами СД.
В [38] проведено также численное решение задачи оптимального управления токами СД с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали при заданных значениях требуемого электромагнитного момента и известной частоте вращения ротора. Потери в стали статора учитываются введением обмоток, активные сопротивления которых являются функциями частоты. Получены оптимальные зависимости токов обмоток, мощности потерь в обмотках при линейно нарастающем моменте для явнополюсного и неянополюсного двигателей.
Решение задачи оптимального управления токами АД производилось в [37, 52, 53].
В [52] приводятся выражения оптимального абсолютного скольжения, а также значения вектора тока статора в виде зависимости его от оптимального скольжения и требуемого электромагнитного момента. При этом оптимальное абсолютное скольжение является нелинейной функцией заданной частоты вращения и соответствующего ей значения требуемого электромагнитного момента. Критерием оптимизации является минимум потерь мощности. Идея реализована в виде системы управления ПЧ, используемого в составе энергосберегающего асинхронного электропривода.
В результате решения задачи оптимального управления токами АД в [53] получено выражение оптимальной частоты скольжения и проведен синтез асинхронного электропривода с частотно-токовым управлением при минимальных потерях в двигателе.
В [37] задача оптимального управления токами АД численно решается с учетом вихревых токов статора, учет которых производится с помощью обмоток вихревых токов, имеющих постоянные активные сопротивления. Предложена схема асинхронного электропривода с частотно-токовым управлением при минимальных потерях в двигателе.
Однако ряд вопросов остался нерешенным, а именно: задача оптимального управления токами АД в [20, 37, 52, 53] решалась без учета насыщения магнитопровода, в [37] учитывались потери от вихревых токов статора, однако при этом не учитывалось изменение мощности потерь на вихревые токи при изменении частоты, потери на гистерезис в [20, 37, 52, 53] не учитывались.
if V ^ ’
Необходимо сформулировать и решить задачу оптимального управления токами АД с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали при заданных значениях требуемого электромагнитного момента и известной частоте вращения ротора. В качестве критерия оптимизации целесообразно выбирать минимум мощности потерь в обмотках и сердечниках.
Анализ системных свойств асинхронного электропривода
Асинхронный электропривод обычно является составной частью электромеханической системы, выполняющей определенные технические или производственные задачи. Анализ системных свойств разомкнутого электропривода с силовым полупроводниковым преобразователем и трехфазным АД позволит реализовывать более эффективные алгоритмы частотного управления. К системным свойствам электропривода традиционно относят управляемость, наблюдаемость и чувствительность [34, 57]. Вопросы анализа системных свойств электроприводов постоянного тока рассматриваются в [34, 53, 57, 58], однако вопросы анализа системных свойств электроприводов с АД освещены не полностью.
Полная управляемость - это свойство, состоящее в возможности перевода объекта управления из произвольного начального состояния в конечное состояние за заданное время [59].
Под наблюдаемостью понимается свойство объекта управления, заключающееся в возможности восстановления всех фазовых координат по известному закону изменения вектора наблюдения [59].
Чувствительностью является свойство объекта управления изменять процессы при изменении первичных параметров [60, 61].
Анализ полной управляемости и наблюдаемости в [34, 57, 58] производится с использованием матриц управляемости и наблюдаемости соответственно, а для анализа чувствительности используются функции чувствительности, представляющие собой частные производные от величин или процессов по параметрам или по функциям отклонений. При этом на основе векторно-матричного описания электропривода формируются матрицы управляемости и наблюдаемости, а также определяются функции чувствительности.
В [35, 53] при анализе управляемости для фазовых координат электропривода вводится понятие «порядок управляемости», который при нулевых начальных условиях и напряжении управления, изменяющемся по закону единичной функции, совпадает с младшей степенью разложения законов изменения фазовых координат в ряд Маклорена.
Анализ наблюдаемости трехфазного АД является актуальным в связи с тем, что величины короткозамкнутого ротора не подлежат непосредственному измерению. Информация о токах или потокосцеплениях ротора необходима при идентификации параметров трехфазного АД, а также при реализации алгоритмов векторного управления [18, 19, 23].
В [37] проведен анализ чувствительности АД на основании схемы замещения фазы и ее математического описания. Записаны уравнения функций чувствительности, а также разработана схема устройства генерации функций чувствительности по шести параметрам схемы замещения фазы АД.
Целесообразно провести анализ системных свойств асинхронного электропривода, на основании которого могут быть решены следующие вопросы:
1) анализ управляемости разомкнутой системы «силовой полупроводниковый преобразователь - асинхронный двигатель», в результате которого можно установить порядок управляемости каждой из фазовых координат электропривода;
2) наблюдение токов короткозамкнутого ротора на основании информации о напряжениях и токах фаз статора АД, полученной путем непосредственного измерения этих величин;
3) анализ чувствительности разомкнутой системы «силовой полупроводниковый преобразователь - асинхронный двигатель», на основании которого можно записать выражения функций чувствительности и разработать структурную схему устройства генерации функций чувствительности.
Идентификация параметров и токов короткозамкнутого ротора асинхронного двигателя
Для эффективного управления асинхронным двигателем, работающим в составе частотно-регулируемого электропривода, необходимо знать текущие значения параметров схемы замещения фазы и нагрузки. Перечисленные параметры в процессе функционирования электропривода могут изменяться в силу многих причин, поэтому для реализации более точных алгоритмов управления, обеспечивающих эффективное энерго- и ресурсосбережение, необходима оценка (идентификация) перечисленных параметров.
В большинстве случаев параметры схемы замещения фазы АД определяют по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания [4, 7, 62 - 64], что не всегда возможно (например, в режиме нормального функционирования электропривода) и мало эффективно (низкая точность оценки). В связи с этим актуальной является задача идентификации параметров АД. Далее приводится обзор работ, посвященных решению данной задачи.
Алгоритм идентификации параметров АД, полученный на основе анализа математической модели машины при установившейся частоте вращения предлагается в [65]. Относительная погрешность предлагаемого метода при оценке активного сопротивления статора составила не более 5 %, а активного сопротивления ротора не более 36 %.
Алгоритмы одновременной идентификации частоты вращения и составляющих вектора потокосцепления ротора АД с короткозамкнутым ротором по измерениям токов и напряжений его статорных обмоток предлагаются в [66]. В статье рассмотрена существующая аналоговая реализация идентификатора частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора. Недостатками схемы являются сложность системы управления, невысокая надежность и сложностью наладки. Здесь же предложены подходы к синтезу цифровых (микропроцессорных) идентификаторов частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора АД.
В [67] рассматриваются свойства системы дифференциальных уравнений АД с короткозамкнутым ротором в смысле соответствия значений коэффициентов уравнений и параметрам схемы замещения фазы АД. Показано, что одним и тем же значениям напряжений, токов, моментов и частот вращения соответствует не один АД, а множество машин с одинаковыми значениями сопротивления и индуктивности статорной обмотки, но отличающихся значениями индуктивностей рассеяния и взаимоиндукции и сопротивления ротора. И, как следствие, по измерениям напряжений и токов обмоток статора, частоты вращения ротора и электромагнитного момента невозможно определить все пять параметров Т-образной схемы замещения фазы АД с короткозамкнутым ротором. Однако по этим измерениям возможна полная идентификация коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих АД, и определение четырех характерных параметров (конкретным значениям коэффициентов уравнений соответствуют одни и только одни значения параметров двигателя). Этими параметрами могут являться значения активного сопротивления и индуктивности статора, коэффициента рассеяния и постоянной времени ротора.
Адаптивно-векторная система управления бездатчикового асинхронного электропривода серии ЭПВ, обеспечивающая оценку потокосцепления ротора, скорости ротора и электромагнитного момента рассматривается в [68]. В статье показано, что наибольшим изменениям в процессе работы АД подвергаются активные сопротивления статора, ротора и взаимная индуктивность. Поэтому в предлагаемой системе управления в первую очередь производится оценка именно этих параметров. На основе оценок активных сопротивлений статора, ротора и взаимной индуктивности производится оценка потокосцепления ротора, скорости ротора и электромагнитного момента. Предлагается алгоритм адаптации системы управления к изменениям активных сопротивлений статора, ротора и взаимной индуктивности.
В [69] рассматривается алгоритм идентификации частоты вращения бездатчикового асинхронного электропривода, адаптивный к изменениям активного сопротивления статора.
В [70] предлагается проводить идентификацию параметров АД следующими способами: на основе методов оценивания, поисковых алгоритмов и искусственных нейронных сетей.
В [23] рассматривается метод идентификации параметров АД, согласно которому задача идентификации решается в два этапа:
1) первоначальная настройка системы управления на параметры силового канала;
2) адаптация системы управления к изменению параметров привода в процессе его работы.
Для автоматической первоначальной настройки системы наиболее удачными являются режим «неподвижного» вектора, а также режим реального холостого хода двигателя. Результатом первоначальной настройки являются следующие параметры: активное сопротивление статора, индуктивность намагничивающего контура и произведение коэффициента рассеяния на индуктивность статора. Второй этап «адаптация системы» обычно проводят по следующим параметрам: постоянной времени ротора и параметрам механической части привода. На основании приведенных способов и алгоритмов в [23] предложен пример построения наблюдателя состояния асинхронного электропривода с адаптивно-векторным управлением без датчика скорости.
С использованием непрерывного градиентного метода поиска минимума функции разработаны алгоритмы и схемы устройств идентификации параметров двигателя постоянного тока [71] и синхронного двигателя [35, 40, 53].
Актуальной является задача разработки алгоритмов идентификации параметров и токов ротора трехфазного АД. Для ее решения наиболее целесообразно использовать непрерывный градиентный метод поиска минимума функции [72].
Векторное управление скоростью асинхронного двигателя
Принципы построения и функциональные схемы систем векторного управления рассматриваются в [18, 19, 23, 57, 73 - 75].
Векторное управление частотно-регулируемым асинхронным электроприводом связано как с изменением частоты и текущих значений переменных АД, так и со взаимной ориентацией их векторов в одной из известных систем координат [18, 19]. За счет регулирования амплитудных значений переменных и углов между их векторами обеспечивается полное управление АД как в статике, так и в динамике. Это дает заметное улучшение качества переходных процессов по сравнению со скалярным управлением. Именно этот факт и является определяющим при выборе систем с векторным управлением.
Согласно классификации, приведенной в [18, 19], системы векторного управления электроприводом с АД делятся на два класса:
1) системы с прямой ориентацией по полю;
2) системы с косвенной ориентацией по полю.
При этом к системам с прямой ориентацией по полю относятся системы, в которых осуществляется непосредственное измерение потока с помощью тех или иных датчиков, а также системы, в которых поток рассчитывается с помощью математической модели двигателя. В каждом из этих вариантов имеется возможность строить замкнутый контур регулирования потока. К системам с косвенной ориентацией относятся системы, в которых магнитный поток не измеряется и не рассчитывается, а формируется путем задания других переменных. Подобный подход позволяет строить систему векторного управления скоростью АД в пространстве переменных состояния.
При векторном управлении АД может питаться как от источника напряжения, так и от источника тока. Вариант частотно-токового векторного управления является наиболее распространенным, поскольку при регулировании тока независимо от частоты питания АД обеспечивается регулирование и его момента. Это упрощает схему управления и одновременно ограничивает перегрев двигателя. При этом напряжения на обмотках статора устанавливаются автоматически в зависимости от его режима работы.
Первая промышленная векторная система регулирования скорости электропривода с асинхронным двигателем была разработана в конце 60-х годов XX века фирмой Siemens и получила название Transvektor [19]. В системе выполнено непосредственное измерение главного магнитного потока с помощью установленных в ортогональных осях расточки статора датчиков Холла. Принцип работы системы основывается на ориентации пространственного вектора потокосцепления ротора по оси d обобщенной электрической машины. Недостатком системы является необходимость использования АД с встроенными датчиками Холла. В связи с этим развитие векторных систем управления пошло по пути определения значения магнитного потока с помощью математической модели электромагнитных процессов в АД.
Принцип действия рассмотренных в [18, 19, 23, 57, 73 - 75] систем векторного управления скоростью АД основывается на предположениях об отсутствии насыщения магнитопро-вода, стабильности параметров двигателя во времени и точном соответствии параметров модели АД параметрам двигателя. Однако перечисленные допущения приводят к расхождениям между реальными параметрами двигателя и неизменными параметрами модели, не позволяя в полной мере использовать достоинства векторного управления.
Поэтому для систем векторного управления скоростью АД актуальной является разработка методологии построения системы управления с учетом насыщения магнитопровода по критерию энергосбережения. При учете насыщения магнитопровода целесообразна ориентация пространственного вектора основного магнитного потока по оси d обобщенной электрической машины, а для управления по критерию энергосбережения необходимо реализовывать оптимальные зависимости потокосцепления от требуемого электромагнитного момента.
Выводы
1. При переходе от асинхронного двигателя к обобщенной электрической машине целесообразно выбирать матрицы преобразования токов и напряжений с сохранением основных электрических и магнитных величин. При этом целесообразно провести анализ конструктивных свойств обобщенной электрической машины на основе трехфазного асинхронного двигателя.
2. Актуальным является построение математической модели асинхронного двигателя с учетом насыщения магнитопровода и потерь в стали, что позволит повысить точность расчетов при моделировании, а также разрабатывать энергосберегающие алгоритмы управления частотно-регулируемого асинхронного электропривода.
3. Для решения проблемы энергосбережения требуется разработка алгоритма функционирования и функциональной схемы асинхронного электропривода с оптимальным управлением токами при учете насыщения магнитопровода и потерь в стали из условия максимума КПД и минимума мощности потерь.
4. Для построения эффективных электромеханических систем необходим анализ управляемости, наблюдаемости и чувствительности асинхронного электропривода.
5. Целесообразна разработка методики и устройств идентификации параметров асинхронного электропривода в режиме нормального функционирования. Наряду с этим актуальной является задача идентификации токов короткозамкнутого ротора (задача идентификации процессов), которая должна решаться параллельно с задачей идентификации параметров.
6. Для более полной реализации возможностей систем векторного управления необходима разработка алгоритмов частотно-токового векторного управления асинхронным двигателем с учетом насыщения магнитопровода.
Литература
1. Адкинс, В. А. Общая теория электрических машин / В. А. Адкинс; пер. с англ. - М., Л.: Госэнергоиз-дат, 1960. - 272 с.
2. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи / Л. А. Бессонов. - М.: Высшая школа, 1978. - 528 с.
3. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: Электромагнитное поле / Л. А. Бессонов. -М.: Высшая школа, 1978. - 231 с.
4. Вольдек, А. И. Электрические машины / А. И. Вольдек. - М.: Энергия, 1974. - 340 с.
5. Зиннер, Л. Я. Вентильные двигатели постоянного и переменного тока / Л. Я. Зиннер, А. И. Скоро-спешкин. - М.: Энергоатомиздат, 1981. - 136 с.
6. Микеров, А. Г. Управляемые вентильные двигатели малой мощности / А. Г. Микеров. - СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 1997. - 64 с.
7. Иванов-Смоленский, А. В. Электрические машины / А. В. Иванов-Смоленский. - М.: Энергия, 1980. -928 с.
8. Ковач, К. П. Переходные процессы в электрических машинах переменного тока / К. П. Ковач, И. Рац; пер. с нем. - М.: АН сСсР, 1962. - 624 с.
9. Копылов, И. П. Математическое моделирование электрических машин / И. П. Копылов. - М.: Высшая школа, 2001. - 327 с.
10. Плахтына, Е. Г. Математическое моделирование электромашинно-вентильных систем / Е. Г. Плахтына. - Львов: Высшая школа, 1986. - 164 с.
11. Трещев, И. И. Электромеханические процессы в машинах переменного тока / И. И. Трещев. - Л.: Энергия, 1980. - 344 с.
12. Уайт, Д. Электромеханическое преобразование энергии/Д. Уайт, Г. Вудсон; пер. с англ. - М., Л.: Энергия, 1964. - 528 с.
13. Фильц, Р. В. Математические основы теории электромеханических преобразователей /
Р. В. Фильц. - Киев: Наукова думка, 1979. - 208 с.
14. Фильц, Р. В. Математическое моделирование явнополюсных синхронных машин / Р. В.Фильц,
П. Н. Лябук. - Львов: Свит, 1991. - 176 с.
15.Хенкок, Н. Матричный анализ электрических машин / Н. Хенкок. - М.: Энергия, 1967. - 225 с.
16. Шрейнер, Р. Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты / Р. Т. Шрейнер. - Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654 с.
17. Фильц, Р. В. Дифференциальные уравнения напряжений насыщенных неявнополюсных машин переменного тока / Р. В. Фильц // Изв. вузов. Электротехника. - 1966. - № 11. - С. 1195 - 1203.
18. Соколовский, Г. Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием / Г. Г. Соколовский. - М.: Академия, 2006. - 272 с.
19. Терехов, В. М. Системы управления электроприводов / В. М. Терехов, О. И. Осипов. - М.: Академия, 2006. - 304 с.
20. Браславский, И. Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод / И. Я. Браславский,
З. Ш. Ишматов, В. Н. Поляков. - М.: Академия, 2004. - 256 с.
21. Макаров, В. Г. Анализ способов задания кривых намагничивания сталей / В. Г. Макаров, Г. Ф. Кропачев, И. Р. Хайруллин // Сб. научн. тр. Всерос. научн.-техн. конф. «Электротехнологии, электропривод и электрооборудование предприятий»: в 2-х т. Т. 1. - Уфа: УГНТУ, 2007. -С.211 - 218.
22. Макаров, В. Г. Сплайн-аппроксимация кривой намагничивания / В. Г. Макаров // Сб. материалов XXI Всерос. межвуз. научн.-техн. конф. «Электромеханические и внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика и диагностика, приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий»: в 2-х ч. Ч. 1. - Казань: Отечество, 2009. - С. 65 - 67.
23. Виноградов, А. Б. Векторное управление электроприводами переменного тока / А. Б. Виноградов. -Иваново, ИГЭУ им. В. И. Ленина, 2008. - 320 с.
24. Якимов, В. В. Проблемы учета потерь в стали при расчете переходных процессов в электрических машинах переменного тока / В. В. Якимов // Тез. докл. II Междунар. конф. по электромеханике и электротехнологии. Ч. 1. - Крым, 1996. - С. 172 - 174.
25. Проектирование электрических машин / И. П. Копылов [и др.]. - М.: Высшая школа, 2002. - 757 с.
26. Домбровский, В. В. Асинхронные машины: Теория, расчет, элементы проектирования /
В. В. Домбровский, В. М. Зайчик. - Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 368 с.
27. Виноградов, А. Б. Учет потерь в стали, насыщения и поверхностного эффекта при моделировании динамических процессов в частотно-регулируемом асинхронном электроприводе / А. Б. Виноградов // Электротехника. - 2005. - № 5. - С. 56 - 61.
28. Динамика управляемого электромеханического привода с асинхронными двигателями / В. Л. Вейц [и др.]. - Киев: Наукова думка, 1988. - 272 с.
29. Куцевалов, В. М. Асинхронные и синхронные машины с массивными роторами / В. М. Куцевалов. -М.: Энергия, 1979. - 1б0 с.
30. Герман-Галкин, С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в MatLab б.0 / C. Г. Герман-Галкин. - СПб.: КОРОНА Принт, 2001. - 320 с.
31. Герман-Галкин, С. Г. MatLab & Simulink. Проектирование мехатронных систем на ПК / C. Г. Герман-Галкин. - СПб.: КОРОНА-Век, 2008. - Зб8 с.
32. Липай, Б. Р. Компьютерные модели электромеханических систем / Б. Р. Липай, С. И. Маслов. - М.: МЭИ, 2002. - 80 с.
33. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для персональных ЭВМ / В. П. Дьяконов. - М.: Наука, 1987. - 240 с.
34. Башарин, А. В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ / А. В. Башарин, Ю. В. Постников. - Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 512 с.
35. Афанасьев, А. Ю. Моментный электропривод систем управления: дис. ... д-р техн. наук / А. Ю. Афанасьев. - Казань, 1998. - 1б8 с.
36. Афанасьев, А. Ю. Моделирование электроприводов на ПЭВМ в системе Turbo Pascal 5.5 /
А. Ю. Афанасьев. - Казань: КГТУ им. А.Н. Туполева, 1999. - б0 с.
37. Беннеран, И. Т. Автоматизированный асинхронный электропривод с оптимальными режимами ра-
боты: дис. ... канд. техн. наук / И. Т. Беннеран. - Казань, 2002. - 131 с.
38. Тумаева, Е. В. Синхронный электропривод с оптимальными режимами работы: дис. ... канд. техн. наук / Е. В. Тумаева. - Нижнекамск, 200б. - 175 с.
39. Хайруллин, И. Р. Регулируемый асинхронный вентильный двигатель с автогенераторным инвертором напряжения: дис. ... канд. техн. наук / И. Р. Хайруллин. - Казань, 2009. - 1б8 с.
40. Собх, М. И. Энергосбережение в электроприводах периодического движения с силовыми электронными преобразователями: дис. ... канд. техн. наук / М. И. Собх. - Казань, 2010. - 179 с.
41. Перспективы разработки и производства стандартных асинхронных двигателей на предприятиях группы компаний «ВЭМЗ» / А. Э. Кравчик [и др.] // Электротехника. - 2005. - № 5. - С. 3 - 8.
42. Трехфазные асинхронные двигатели специальных конструктивных исполнений для комплектных частотно-регулируемых приводов / В. А. Васильченко [и др.] // Электротехника. - 2005. - № 5. -С. 42 - 47.
43. Макаров, Л. Н. Особенности работы асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором в системе частотного регулирования / Л. Н. Макаров, С. В. Ястреба // Электротехника. - 2007. - № 11. - С. 15 - 18.
44. Гуревич, М. К. Перспективы применения запираемых силовых полупроводниковых приборов в электроэнергетике / М. К. Гуревич, М. А. Козлова, Ю. А. Шешнев // Электротехника. - 2004. - № 10.
- С. 3 - 7.
45. Ковалев, В. Д. Элементная база силовой полупроводниковой электроники в России. Состояние и перспективы развития / В. Д. Ковалев, Ю. А. Евсеев, А. М. Сурма // Электротехника. - 2005. - № 8. -С. 3 - 23.
46. Поляков, В. Н. Экстремальное управление электрическими двигателями / В. Н. Поляков, Р. Т. Шрейнер. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 200б. - 420 с.
47. Боченков, Б. М. Оптимизация электропривода переменного тока по векторному критерию качества / Б. М. Боченков, Ю. П. Филюшов // Электричество. - 2007. - № 8. - С. 13 - 17.
48. Вакуленко, К. Н. Об оптимальном регулировании асинхронного двигателя / К. Н. Вакуленко,
Э. М. Агабян // Электромашиностроение и электрооборудование. Вып.1. - Харьков: ХГУ, 19б5. -С. 92 - 98.
49. Приймак, Б. И. Аналитическое определение энергетически оптимального значения потока ротора асинхронной машины / Б. И. Приймак // Электричество. - 2005. - № 12. - С. Зб - 43.
50. Волков, А. В. Оптимальное по минимуму общих потерь мощности управление частотнорегулируемым асинхронным электроприводом с АИН - ШИМ / А. В. Волков, Ю. С. Скалько // Электротехника. - 2008. - № 9. - С. 21 - 33.
51. Петров, Ю. П. Оптимальное управление электроприводом / Ю. П. Петров. - М., Л.: Энергоатомиздат, 19б1. - 187 с.
52. Стыскин, А. В. Система управления асинхронного энергосберегающего электропривода / А. В. Стыскин, Н. Г. Уразбахтина // Сб. научн. тр. II Всерос. научн.-техн. конф. «Электротехнологии, электропривод и электрооборудование предприятий»: в 2 т. Т. 1. - Уфа: УГНТУ, 2009. - С. 118 - 120.
53. Афанасьев, А. Ю. Моментный электропривод / А. Ю. Афанасьев. - Казань: Казан. гос. техн. ун-т, 1997. - 250 с.
54. Онищенко, Г. Б. Асинхронные вентильные каскады и двигатели двойного питания / Г. Б. Онищенко, И. Л. Локтева. - М.: Энергия, 1979. - 200 с.
55. Шрейнер, Р. Т. Оптимальное частотное управление асинхронными электроприводами / Р. Т. Шрейнер, Ю. А. Дмитренко. - Кишинев: Штиинца, 1982. - 234 с.
56. Эпштейн, И. И. Автоматизированный электропривод переменного тока / И. И. Эпштейн. - М.: Энергоиздат, 1982. - 192 с.
57. Башарин, А. В. Управление электроприводами / А. В. Башарин, В. А. Новиков, Г. Г. Соколовский. -Л.: Энергоатомиздат, 1982. - 392 с.
58. Макаров, В. Г. Моделирование и исследование электроприводов. Замкнутые системы электропривода постоянного тока / В. Г. Макаров. - Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2008. - 244 с.
59. Воронов, А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / А. А. Воронов. - М.: Наука, 1979. -ЗЗб с.
60. Розенвассер, Е. Н. Чувствительность систем управления / Е. Н. Розенвассер, Р. М. Юсупов. - М.: Наука, 1981. - 4б4 с.
61. Томович, Р. Общая теория чувствительности / Р. Томович, М. Вукобратович. - М.: Советское радио, 1972. - 240 с.
62. Кацман, М. М. Электрические машины / М. М. Кацман. - М.: Академия, 2001. - 4бЗ с.
63. Артишевская, С. В. Экспериментально-аналитический метод определения параметров асинхронных машин / С. В. Артишевская // Электричество. - 1999. - № 11. - С. 29 - 31.
64. Мощинский, Ю. А. Определение параметров схемы замещения асинхронных машин по каталожным данным / Ю. А. Мощинский, В. Я. Беспалов, А. А. Кирякин // Электричество. - 1998. - № 4. -C. 38 - 42.
65. Водовозов, А. М. Идентификация параметров асинхронной машины в установившихся режимах / А. М. Водовозов, А. С. Елюков // Вестник ИГЭУ. - 2010. № 2 - С. б9 - 71.
66. Изосимов, Д. Б. Идентификация частоты вращения и составляющих потокосцепления ротора асинхронного двигателя по измерениям токов и напряжений обмоток статора / Д. Б. Изосимов, С. Е. Рыв-кин //Электричество. - 2005. - № 4. - С. 32 - 40.
67. Изосимов, Д. Б. Свойства уравнений обобщенного асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором / Д. Б. Изосимов, Е. Н. Аболемов // Электричество. - 2008. - № 4. - С. 35 - 39.
68. Виноградов, А. Б. Адаптивно-векторная система управления бездатчикового электропривода серии ЭПВ / А. Б. Виноградов, А. В. Сибирцев, И. П. Колодин // Силовая электроника. - 2008. - № 3. - C. 50 - 55.
69. Панкратов, В. В. Синтез и исследование алгоритма идентификации частоты вращения асинхронного двигателя / В. В. Панкратов, М. О. Маслов // Электричество. - 2008. - № 4. - C. 27 - 34.
70. Каширских, В. Г. Динамическая идентификация асинхронных электродвигателей / В.Г. Каширских.
- Кемерово: Куз. ГТУ, 2005. - 139 с.
71. Пат. 87/00б59 РФ, МКИ бН02Р5/0б. Устройство оценивания параметров электродвигателя / А. Ю. Афанасьев, И. Т. Тарасова; заявитель и патентообладатель ЦКБ «Фотон». - № 4945008/07; за-яв.17.0б.91; опубл. 27.02.95.
72. Макаров, В. Г. Оценивание параметров трехфазного асинхронного двигателя / В. Г. Макаров, Ю. А. Яковлев // Вестник Казан. технол. ун-та. - Казань: КГТУ, 2010, № 9. С. 418 - 425.
73. Рудаков, В. В. Асинхронные электроприводы с векторным управлением / В. В. Рудаков, И. М. Столяров, В. А. Дартау. - Л.: Энергоатомиздат, 1987. - 13б с.
74. Козярук, А. Е. Современное и перспективное алгоритмическое обеспечение частотно-регулируемых электроприводов / А. Е. Козярук, В. В. Рудаков. - СПб: СПб Электротехническая компания, 2004. -127 с.
75. Амирова, С. С. Автоматизированный электропривод с асинхронными двигателями: Учеб. пособие /
С.С. Амирова, В. И. Елизаров, В. Г. Макаров. - Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2005. - 223 с.
© В. Г. Макаров - канд. техн. наук, доц., зав. каф. электропривода и электротехники КГТУ, electroprivod@list.ru.
