Анализ работы системы кровообращения, как процесса передачи информации клетками крови, методами внешней алгебры Текст научной статьи по специальности «Математика»

интерпретация карты хотеллинга

Пусть при некотором / = /0 оказалось, что Т^ > Т^р ,

то есть на карте зафиксировано нарушение технологического процесса. Карта Хотеллинга не показывает непосредственно, с каким из показателей качества (или совместным влиянием показателей) связано нарушение процесса. В связи с этим встает вопрос об интерпретации результатов контроля. Для проверки гипотезы о том, что ответственность за нарушение процесса лежит на /-м показателе, может быть использован частный критерий Хотеллинга [4]. Гипотеза верна, если

Tj = n[cj(X,0 - l)]2/[cjScj] > Tlp , (9)

- вектор-столбец, состоящий из нулей во всех

где c

j

строках, кроме /-й, и единицы в /-й строке.

Если все р гипотез отвергаются, то это означает, что

нарушение процесса вызвано совместным воздействием нескольких показателей. Для проверки таких гипотез, например, о совместном влиянии двух показателей одновременно, столбец Су корректируется: в соответствующих

двух строках нули заменяются единицами. Таким образом, используя частный критерий Хотеллинга, можно выявить причину, по которой произошло нарушение технологического процесса.

перечень ссылок

1. Клячкин В.Н. Оценка эффективности многомерного контроля качества технологического процесса // Вестник УлГТУ. Информационные технологии. 1999. №2. С.59-62.

2. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. - 500 с.

3. Миттаг X., Ринне X. Статистические методы обеспечения качества. - М.: Машиностроение, 1995. - б1б с.

4. Сошникова Л.А., Тамашевич В.Н., Уебе Г., Шефер М. Многомерный статистический анализ в экономике. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999. - 598 с.

УДК 612.13:537.8

АНАЛИЗ РАБОТЫ СИСТЕМЫ КРОВООБРАЩЕНИЯ, КАК ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ КЛЕТКАМИ КРОВИ,

МЕТОДАМИ ВНЕШНЕЙ АЛГЕБРЫ

Г.В.Кузнецов, А.А.Яшин

Исследованы информационные аспекты кровообращения. Получена модель кровообращения на основе кинематических уравнений потока крови.

Досл1джено тформацтт аспекти кровообиу. Отримано модель кровообггу на основ{ кгнематичних ргвнянь потоку кров1.

The information aspects of blood circulation are investigated. The blood circulation model is obtained on a basis cinematic equations of blood stream.

1. введение

Моделирование системы кровообращения с различных точек зрения и по различным причинам рассматривалось в работах многих авторов. Вообще, под системой понимается "упорядоченное целостное множество взаимосвязанных элементов, обладающее собственной организацией и структурой" [1]. Следует отметить, что основным свойством системы является ее целостность, которая выражается в не сводимости свойств всей системы к сумме свойств составляющих ее частей.

Еще в 1939 году Г.Ф. Ланг предложил понятие системы крови, в которое он включил кровь, регулирующий нейрогуморальный аппарат, а также органы, в которых происходит образование клеток крови и их разрушение: костный мозг, вилочковую железу, лимфатические узлы,

селезенку и печень. Компоненты системы крови осуществляют контакт между собой посредством различных кровеносных сосудов или кровяным руслом.

Система кровообращения является, прежде всего, транспортной системой организма. Основная задача, которая решается ей в организме, является перенос различных веществ, с помощью которых происходит защита от воздействий внешней среды, а также регуляция деятельности отдельных органов и систем организма. Тем самым, функции крови можно охарактеризовать, основываясь на химическом составе переносимых веществ, а также на последствиях, вызванных действиями этих веществ. Исходя из этого, кровь выполняет следующие функции: 1) дыхательную, 2) питательную, 3) экскреторную, 4) гомео-статическую, 5) регуляторную, 6) креаторных связей, 7) терморегуляционную, 8) защитную.

Нас интересуют функции крови, которые касаются передачи информации клетками крови. Наиболее ярко эту роль, среди всех функций крови, выполняет функция креаторных связей. Эта функция состоит в переносе плазмой и форменными элементами макромолекул, которые осуществляют в организме информационные связи. Благодаря этому регулируются не только различные внутриклеточные процессы и поддержание постоянства структуры тканей, но и функционирование организма как единой системы, что обеспечивает приспособление орга-

низма к постоянно меняющимся внешним условиям.

По скорости передачи информации в организме можно привести следующие ее пути: электромагнитный (самый быстрый); второй путь - это передача информации посредством биохимических реакций; и, наконец, третий путь - это перенос информации с движущимися частицами. Предложенные пути рассматриваются по мере уменьшения скорости переносимой информации. Оптимальная деятельность организма, как сложной целостной системы, возможна только при условии, что перечисленные выше пути передачи информации дублируют и дополняют друг друга. Передаваемая информация должна доходить до всех клеток и тканей, восприимчивость которых к способам передачи этой информации может существенно различаться. Одни клетки более активно воспринимают информацию, передаваемую первым путем, а другие, например, третьим путем. Следует также иметь в виду, что в различных ситуациях, в которых может находиться организм, важно и дублирование информации различными способами ее передачи.

Тем самым, встает задача моделирования движения крови, как одном из путей передачи информации. Данная работа посвящена данной проблеме. Причем, в области непрерывности потока крови, исследования ведутся методами внешней алгебры, продуктивность которого не раз показывалась авторами данной работы [2,3]. Все рассмотрения ведутся в одном из видов риманова пространства -субпроективном [4], в котором моделируется движение крови и которое является моделью сердечно - сосудистой системы человека.

пространства [4] имеет вид:

Rijkl = Sikaj¡ + gjiaik - Silajk - gjkati ,

а]к = Р(а) щк + Q (а) о^,

где а - некоторая не постоянная функция, которая связана с коэффициентом конформности, при конформном отображении евклидова пространства на риманово пространство [7].

Для удобства дальнейших вычислений примем следующие обозначения:

ю2 = -®э = p = pi, юэ = -®i = q = qi-Ю1 = -®2 = r = ri,

где учтено, что в окрестности Q точки x е C3

а' = 0 и а' + о1, = 0

I J I

(3)

(4)

Направим вектор вз ортогонально семейству поверхностей, на которых находятся линии тока крови и вихревые линии. Тем самым в каждой окрестности любой

точки пространства С3 будет определено поле векторов

2. основные понятия и формулы

В касательном пространстве к трехмерному субпроективному пространству С3 рассмотрим репер, определяемый точкой х е С 3 и векторами в{, где г = 1, 2, 3. Также,

в дальнейшем, все индексы, обозначаемые малыми латинскими буквами, будут принимать эти значения. Уравнения перемещения такого репера имеют вид:

dx = а'в,, de, = ajiej + ajeij, i i j ij

(1)

—>

в3.

Для произвольного смещения точки ^ по поверхности семейства имеем:

> 3

e-idx = а3 = 0 .

(5)

Последнее уравнение является вполне интегрируемым, то для него по теореме Фробениуса получим:

p1 + q2 = 0■

1-форма а3 имеет вид:

где в,, - векторы, образующие с векторами в,, репер

ц I

второго порядка, связанный с точкой х [5].

Рассматриваем вихревое движение крови, при котором существует семейство поверхностей, на котором находятся

все линии тока крови и все вихревые линии. В этом случае —»

векторы в,, симметричны по нижним индексам [6].

Уравнения структуры субпроективного пространства имеют вид:

Бю1 = л а, , Вю, = ю^ лю£ + Щкг«>к а ю', (2)

а3 = Sds .

(6)

(7)

Ввиду того, что линии тока крови и вихревые линии лежат на поверхностях, то положим:

v = v(cos оe1 + sin oe2), v = rot v = v1 e1 + v2e2 , (8)

где первая формула представляет вектор скорости крови v, а вторая - вихревой вектор v .

Уравнения Громеки-Ламба запишем в виде:

где тензор Rjki = giSRjkl для данного субпроективного

dH = v vdx ,

(9)

а

где H = 1v2 + U + p , p - давление крови, p - ее плот- JJJrot VdT = - [v, do] , (15)

ность, а U - потенциал внешних сил, действующих на где кровь.

С учетом (8) из уравнения (9) можно заключить, что: ^ ^ ^ 1 2

dT = dix л d2x л d3x = и1 ли2 л и^^ £3 = ,

H = As). (10) = И1 ли2 ли3

Тогда получим:

а do - вектор для элемента поверхности. Также элемент Sv(— V1 sino + V2coso) = f'(s) . (11) поверхности в точке x, который образован векторами

Как было получено в [6], запишем: ^2Х и ^Х , обозначим следующим образом: йС23 =

* п * п * п * п * п = Г^Х, й-зХ], а противолежащий ему элемент поверхно-

в1в12 = ^ в2в21 = 0, в3в31 = 0, в1в13= 0, в2в22 = 0 , ^ 3

—>—> —>—> —>—> —>—> ^ ^ -> ->

в3в32= 0, в1 в11 = 0, в2 в23 = 0, в3в33 = 0. (12) сти в точке х + й1х обозначим как йс23 + й1 (йс23) .

Следует помнить, что рассмотрения ведутся для точки

Как было получено в [6], а также ввиду симметричности субпроективного пространства, принадлежащей окрестно-

векторов в,, по нижним индексам, примем следующее: сти и и базис репера Ях рассматривается в этой тотте.

Пусть элемент объема йт ограничивает замкнутая по-

вц= а2^ + «3^3, ^22= «22^1 + «2^3, = а32в3, верхность, для которой

в23 = «23в1 , в13 = «13в2 , в33 = а33в1 + а33в2 . (13) йс23 + й1 (йс23) + йс32 + йс31 + й2(йс31) + йс 13 +

-> -» ->

3 + йСл2 + й3( йс12) + йс1^ = 0.

В трехмерном субпроективном пространстве С3 рас- 12 3 12 21

смотрим голономное двумерное многообразие, которое на- Отсюда зовем двумерной поверхностью Р2 [8], относящуюся к се-

меиству поверхностей, на котором находятся все линии da23) + d2( da31) + d3( da12) = 0. (16) тока крови и все вихревые линии. С поверхностью P2 свяжем семейство реперов R(P2) так, что точка x - начало Да^ применяя к объему dx ф°рмулу (15), получим, любого репера семейства реперов принадлежит поверхно- как и в [9]:

сти, а векторы e, лежат в касательном пространстве в точ- ъ ± ± -» -» ^ -»

-rot vdT = [(v + d1 v), (da23 + d1do23)] + [v, do32] +

> » -* -3 . ->

ке x к C3 причем так, что вектор e3 направлен перпен- + [(v + d2v), (do31 + d2do31)] + [v, do13] +

. . v v -» -> v -»

т л* + [(v + d4v), (dan + d4dan)] + [v, da^A.

дикулярно векторам e1 и e2 . 1ак смещение dx происхо- LV 3 » v 12 3 12^J L ' 21J

дит вдоль поверхности P2 , то Ю3 = 0 . Тогда уравнения С учетом (16), последнее примет вид:

инфинитезимального перемещения ортогонального репера

(1) примут вид: -rot vdT =

dx = и1 e1 + и2e2, de1 = и2е2+ю3£3 + и1 вц+ и2е^ ,

= [d1 V, [d2x, d3x]] + [d-^y, [d3^, d^]] + [d3^>, [d 1 x, d2x]].

После преобразования векторных произведений, запи-

de2 =- ю2el + ю2leз + Ю1e2l+ Ю^2 , шем:

de3 = - Ю3^ - Ю^, + Ю1 e31 + Ю2e32 . (14) , » , . » . » , » . » . » , »

3 1122 31 32 -rot vdT = d2 x (d1 vd3x) - d3x (d 1 vd2 x) +

+ d3x (d2 vd1x-d1x (d2yd3x)) + 3. ротор вектора скорости крови + d1 x (d3 vd2x)-d2x (d3 vd1x), (17)

Выражение для ротора вектора скорости крови V где круглыми скобками, как всегда, обозначены скаляр-найдем, используя формулу: ные произведения.

Вектор скорости крови представим в виде v = v'e, .

Тогда

V = rot v = Viei . (21)

dv = (dvi + vJmi)e, + vimJeiJ.

J ' V

(18) Тогда с учетом (20) компоненты вихря будут иметь вид:

С учетом (18) равенство (17) перепишем в следующем виде:

» ~~* 1 I —>

rot vdT = -etml ли*л(dv1 + vJmj)(eiek)-etml л (19)

i I •

л v (mkлт1)(e^-e*).

Для ортогонального репера в точке x е U получим:

-rot vdx = e1 (m1 л m2 л (dv2 + v1m2 + v3m§) + + m1 ли 3 л (dv3 + v1 m3 + v2mf)) + e2 (m2 ли 1 л л (dv1 + v2m2 + v3 m3) + m2 ли3 л (dv3 + v1m3 + + v2mf)) + e3(m3 ли1 л (dv1 + v2 m2 + v3m3) + + m3AQ2A( dv2 + v1 m2 + v3 m§)) + e1(dx( v 1(e13e2)+ + v3(e33e2)) - dT(v1(e12e3) + v2(e22e3))) + + e2 (-dx( v2( e23e1) + v3 (e33e1)) + dx( v1 (ец e3) + + v2(e21e3))) + e3(dx(v2(e22e1) + v3(e32e1)) --dT( v1 (e11 e2) + v3 (e31e2))).

С учетом (3), (12) и (13), последнее примет вид:

-rot vdx = e1 (m1 ли2 л(dv2 + v1r-v3p) + + m1 ли3 л (dv3-v1q + v2p) + dT( v1 (af3 - a32) +

3

+ v3a|3 - v2a|2)) + e2 (m2 ли1 л (dv1 -v2 r + v q) + + m2 ли3 л (dv3-v1 q + v2p) + dx( v1a31 + + v2( a32 -a23) - v3a33)) + e3 (m3 ли1 л (dv1 -- v2r + v3 q) + m3 ли2 л (dv2 + v 1r-v3p) + + dx(-v1a21 + v2 a22 + v3 (a23 -a23))).

-й™1 = ю1лш2л(йу2 + V1 т-у3р)+ ш1лш л л( йу3-V1д + у2р)+(V 1(а2з - 032)- V2 а22 + у3а3з), -й™2 = ю2лю1л( йу1 - V2 г + v3g)+ю2л ю3 л л( й^3-V1 д + v2p) + ^а31+v2(a32-a2з)- v3a3з )йт, -й™3 = ю3лю1л( йv1 -^г + V 3 д) + ю3лю2л (22)

л(й^ + V1 г - V 3р) + (-V1 а21+v2a22+ v3(a2з-a2з ))йт.

Так как на поверхностях полной энергии имеют место формулы (8), то уравнения компонентов вихря (22) будут иметь вид:

1

-dT — = mVm^ ( — sin о + cos a( do + r) + mVm л

v ! v J

л(- q cos о + p sin o) + (cos 0^3 - a3^) - sin оa^ )dT,

■ V2 2 л (dv . ,, , Л 2 3

-dT — = m^mV — cos о - sin o( do + r) - m ли л

v ! v "

л (q cos о - p sin o) + (cos о a 31 + sin o(a32-a23 )dT, 0 = m^mV (— cos о - sin о( do + r) + m 3ли2л (23) — sin о+cos о( do + r)+ (-cos a a21+ sin oa22)dт.

л( ! v

4. уравнение непрерывности потока крови

Дивергенцию векторного поля V можно найти точно так же, как это делали в [6]. Выпишем сразу полученный результат:

(20)

—>

Если все коэффициенты в разложениях векторов eiJ по

iJ

векторам е* равны между собой и равны единице, то получим формулы аналогичные формулам для rot v как в [6].

Подход к моделированию движения крови, рассмотренный

-»

в [6] является частным случаем разложения векторов eiJ

iJ

по векторам репера Rx .

-t

Пусть вектор вихря крови V по базисным векторам репера Rx имеет вид:

. 3 3 1

dTdiv v = (dv1+vJmJ1)лm2лш + (dv2+vJш^лй ли +

12

+(dv3 + v-^mj)лш лш + (vka*i )dT,

k Ф i

(24)

где в последнем слагаемом вначале производится суммирование по г, а затем сумма по кФ I .

Уравнение неразрывности потока несжимаемой крови запишется в виде:

(Л1 -V 2 г + v3g)лю 2 л ю3+ (йv2 + V1 г^ 3р )лю 3лю1+ + (сЪ3-V 1д+V 2р)лю 1лю 2+(vka11+vкa22+ vkaf3 )йт= 0.

С учетом (8), последнее равенство запишется в следующем виде:

! — cos o-sin o(do + r)j л а2 л а3 +

, %dv . , . , Л 3 1

+ ^ — sin о + cos о(do + r)j л а л а + 1

+ (p sin о-q cos о) л а л а2 = 0.

дующий вид:

(25)

((q3 + a33)e1 - (P3 - a33)e2)vv = = (q3 + ^33) cos о - (p3 - a33 )sin о.

5. основные кинематические уравнения

Для дальнейших вычислений введем понятие нормальной кривизны векторного поля в субпроективном пространстве в данной точке, принадлежащей карте и. Поэтому рассмотрим:

ke3 dxde 3 Р ds2

(a1el + а2 e2)(qe1 - pe2 + а1 ah e2 + а2а32 e1)

- els'2

- q1 (а1)2 + (p1 - q2 - a32 - a3A )а 1а2 + p2(а2)2

ds2

= p2sin2o + (p1 - q2 - a32 - a31) sin о cos о - q1cos2o,

а1 а2

где cos о = — , sin о = — ds ds

Тогда

1 • 2 R= p2sin о+

2

+ (P1 - q2 - a32 - a31) sin о cos о - q1cos о,

# df3

! ds I а1 = 0

а2 = 0

а3 e"1 + а3 e2 + «>3*3

ds

= (q3 + a33) e1- p + a33) e2.

Примем:

L = p2sin2o + (P1 - q2 - a32 - a31) sin о cos о - q^os^ , N = (P3 - ah) sin о - q + a33) cos о. (27)

Чтобы удовлетворить гемодинамическим уравнениям (23) и (25), примем:

^ = гю1 + я ю2 + [ь + ^^ ю3, V V Sv2J

йс + г = (я + ^тс)ю1 - (г + N008с)ю2 + ию3 , (28)

где t, g, u - функции, которые выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия интегрируемости уравнений (28).

Кроме уравнений (28) найдем условия для выполнения гемодинамических уравнений (23) и (25). Вначале проверим выполнимость уравнения (25). Для этого подставим

равенства для — и йс+ г из (28) в (25) и получим:

V

a33cos о + a33sin о = 0

(29)

(26)

будет кривизной линии, главная нормаль которой совпадает с вектором в3 . Это выражение, по аналогии с [10],

назовем нормальной кривизной поля в данной точке карты и. Из (26) видно, что коэффициенты разложения

векторов в23 и в^ по векторам репера Ях входят в выражение для нормальной кривизны поля.

Рассмотрим конгруэнцию линий, являющихся интегральными линиями [11] или линиями тока векторного поля

в3 , то вектор кривизны такой линии будет иметь вид:

Тем самым, уравнение (25) выполнимо тогда и только тогда, когда выполняется равенство (29).

Для нахождения условия выполнимости третьего уравнения из (23), подставим равенства (28) в это уравнение и после чего получим:

- cos oa21 + sin оa22 = 0.

(30)

И, наконец, найдем условие выполнимости первого и второго уравнений из (23). Для этого подставим равенства (28) в эти уравнения и после преобразований, получим:

- — = !L + ^ij sin о + ucos о + q2cos о -p2sin о + + cos о(a23 - a32) - sin oa|2,

v2 % f &

— = [L + njcos о - usin o + q1cos о - p^in о -3 - a 1

- cos о a31 - sin o( a32 - a23).

Проекция вектора кривизны на направление скорости крови, с учетом первого равенства из (8), примет сле- на 008с, запи0ем:

Далее, первое уравнение умножим на sin о , а второе -

V1 . (т Г & • 2 -— sin о = L + J¿—- sin о + u cos о sin о + q0 cos о sin о -V ! Sv2"

- j?2 sln2о + cos о sin о( а2э - a^) - sln2о a22,

V2 (r f & 2 ^ 2

- cos о = L +---т cos о - u sin о cos о + q, cos о -V ! Sv2" 1

- pi sin о cos о - cos^a3i - cos о sin о( a32 - a23) • (31)

Деля обе части равенства (11) на Sv2 , получим:

V1 V2 f , ,

--sin о + —cos о = ■ • (32)

v v Sv2

Сложим первое и второе уравнения из (31), с учетом первого равенства из (27), запишем:

V1 • Л2 f о 3

--sin о + — cos о = -"Ч: - 2a^cos о sin о -

v v Sv2 12

3 2 3 2 - a22 sin о - a31 cos о.

Сравнивая последнее равенство с (32), видно, что первое и второе уравнения из (23) будут верны тогда и только тогда, когда

2a32cos о sin о + а2^т2о + a31 cos^ = 0. (33)

Для удовлетворения гемодинамических уравнений, наряду с равенствами (28) мы должны принять условия (29), (30), (33). Окончательно имеем:

ddv = гю1 + яю2 + !l + -£-& ю3, v ! Sv2"

йо + r = (g + Nsinо)ю1 - (t + Ncosо)ю2 + uю3 , a33cosо + a233sinо = 0, a2^osо - a22sinо = 0, aЭlCos2о + 2 a32cos о sin о + а2^т2о = 0. (34)

заключение

В уравнениях (31) получаем новые неизвестные функ-

ции: ^ g, и. Эти функции выбираются таким образом, чтобы выполнялись условия интегрируемости первых двух уравнений (31). Полученные уравнения являются основными кинематическими уравнениями потока крови в субпроективном пространстве и служат исходными уравнениями для изучения потока крови, когда последняя движется с завихрениями, но поток крови и линии вихря располагаются на однопараметрическом семействе поверхностей, которые называются поверхностями полной энергии. Другими словами, репер второго порядка, рассматриваемый в окрестности и точки х субпроективного пространства, содержит симметричные по нижним индексам вектора второго порядка. Точка х связана с частицей движущейся крови. Тем самым, моделью сердечно - сосудистой системы является субпроективное пространство, а сосудам соответствуют геодезические линии данного пространства.

Изучение движения крови ведется на основании изучения геометрии конгруэнции линий тока и вихревых линий. В рассматриваемом случае в окрестности и задано голо-номное распределение, интегральным многообразием которого являются поверхности полной энергии.

перечень ссылок

1. Ноздрачев А.Д., Баженов Ю.И. и др. Общий курс физиологии человека и животных: В 2-х книгах - М.: Высшая школа, 1991. - Кн. 2. - 528 с.

2. Афромеев В.И., Протопопов А.А., Фильчакова В.П., Яшин А.А. Математические методы современной биомедицины и экологии. Монография / Под общ. ред. Нефедова Е.И., Хадар-цева A.A., Яшина A.A.- Тула: ТулГУ, НИИ НМТ, 1997. - 223 с.

3. Кузнецов Г.В. Особенности и эффективность пространственного подхода к моделированию сердечно-сосудистой системы человека // Вестник новых медицинских технологий. - 2000. - Т. 7, № 2. С. 45 - 47.

4. Каган В.Ф. Субпроективные пространства. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 220 с.

5. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. -Калинин: КГУ, 1977. - 83 с.

6. Кузнецов Г.В., Яшин А.А. Основы математической теории моделирования сердечно-сосудистой системы человека в субпроективном пространстве // Вестник новых медицинских технологий. - 1999. - Т. 6, № 1. - С. 42 - 45.

7. Кузнецов Г.В. О конформном соответствии между областями евклидова и риманова пространств // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1998. Вып. 29. С. 31 - 35.

8. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семинар 5. Риманова геометрия.- М.: Изд-во "Факториал", 1998. 496 с.

9. Бюшгенс С.С. Геометрия стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР. Серия: Математика. - 1948. - Т. 12. - С. 481 - 512.

10. Бюшгенс С.С. Геометрия векторного поля // Изв. АН СССР. Серия: Математика. - 1946. - Т. 10. - С. 73 - 96.

11. Базылев В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий. - М.: Высшая школа, 1989. - 221 с.