Применение аффинных преобразований пространства в моделировании механических систем на примере расчёта навигационных параметров гироскопических приборов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Кроме того, на насосной станции были установлены преобразователи давления АИР-10 для выведения состояния насосной станции на автоматизированное рабочее место мастера эксплуатирующей структурной организации. Также были выведены уровни и температуры воды в резервуарах, состояние электрозадвижек, состояние электродвигателей насосов. Усовершенствованная схема насосной станции показана на рисунке 3.

Опыт показывает, что сложность наладки оборудования напрямую зависит от поставленной задачи для проектирования противопожарного водопровода в летний и зимний период в условиях крайнего севера. В ходе работ и внесения небольших изменений была увеличена надежность систем ликвидации возможных аварий на объекте нефтегазовой отрасли без колоссальных экономических затрат. Список использованной литературы:

1 РСН 68-87 «Республиканские строительные нормы. Проектирование объектов промышленного и гражданского назначения западно-сибирского нефтегазового комплекса»

2 СНиП 2.04.02-84 «Водоснабжение. Наружные сети и сооружения»

© Сагидуллин А.М., Новоселов И.В., 2017

УДК 514.853

Скуднева О. В., ст.

преподаватель кафедры «Вычислительная математика и математическая физика»

МГТУ им. Н. Э. Баумана Дубограй И. В.,

доцент кафедры «Вычислительная математика и математическая физика»

МГТУ им. Н. Э. Баумана, Москва, РФ.

ПРИМЕНЕНИЕ АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПРОСТРАНСТВА В МОДЕЛИРОВАНИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ПРИМЕРЕ РАСЧЁТА НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ

Аннотация

В статье рассматривается применение аффинных преобразований трёхмерного пространства для расчёта навигационных параметров гироскопических приборов. Дан краткий обзор областей использования аффинных преобразований,. Подробно рассматривается метод составления матриц ортогонального преобразования поворота для систем координат, в которых производится счисление навигационных параметров на борту летательного аппарата. Показаны мнемонические правила и возможности математического аппарата линейной алгебры и аналитической геометрии в навигационных расчётах. Приведены примеры расчёта кинематических и динамических параметров гироскопических приборов. Кратко затронут вопрос перехода из ортонормированных систем координат в косоугольные.

Ключевые слова Аффинные преобразования, матрица преобразования пространства, направляющие косинусы, навигационные параметры.

Введение. В настоящее время в составе летательных аппаратов (ЛА) широко используются инерциальные навигационные системы, определяющие пространственную ориентацию ЛА. Достоинствами таких систем является их полная автономность и способность определять текущие параметры в любых условиях полёта с высокой динамической точностью. Автономные данные о движении летательного аппарата поступают в бортовые вычислительные машины (БЦВМ) от акселерометров, установленных на платформе, не изменяющей своей ориентации относительно инерциальной системы отсчёта. Эти данные необходимо связать с системой координат самого летательного аппарата, а также определить положение

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070_

объекта относительно Земли - вычислить координаты его текущего местоположения, угловую ориентацию ЛА относительно систем координат, связанных с Землёй. Основная работа БЦВМ летательного аппарата -это пересчёт навигационных параметров в различных системах координат. Переход из одной системы отсчёта в другую можно рассматривать как линейное преобразование пространства, называемое аффинным. В навигации основным используемым аффинным преобразованием является поворот вокруг заданной оси. Аффинные преобразования находят широкое применение - они - фундамент теории компьютерной графики, позволяют рационально решать некоторые задачи по геометрии, используются в географии - при составлении картографических проекций Земного эллипсоида на плоскость, применяются в теории упругости и других разделах теоретической физики. Цель данной статьи - познакомить читателя с возможностями аффинных преобразований для применения в теории навигации.

Применение аффинных преобразований в навигации. Название аффинных преобразований произошло от английского слова affinity - родство. По определению, аффинное преобразование пространства - это линейное преобразование, при котором каждая точка пространства M(x,y,z) переходит в точку M'(x',y',z'), координаты которой определяются формулами

x — aii x + а12 У + ai3z + ai4

У' — a2iX + a22 У + a23 Z + a24 - алгебраическая форма записи.

z' — a3i x + a32 У + a33z + a34

f x' Л f a11 a12 a Л "13 f x Л f a Л U14

В матричной форме - У' — a21 a22 a23 У + a24 , где матрица

Vz' J V a3i a32 a33 J Vz j Va34 J

f a11 a12 a13"

A — a21 a22 a23

v a31 a32 a33 J

, ЛА Ф 0 называется аффинором. В компьютерной графике аффинное преобразование

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

0 0 0 1

задают одной матрицей размером 4x4: r —

Матрица аффинного преобразования представляет собой матрицу линейного оператора над пространством двумерных или трёхмерных векторов. Составить её можно двумя способами: 1) найти образы базисных векторов от действия на них оператором преобразования и по столбцам выписать их в матрицу. Рассмотрим аффинное преобразование скоса на плоскости (см. рис. 1):

Рисунок 5 - Скос

Так как базисный вектор / не изменяется под действием преобразования, то А (г ) = /

т

гп

V 0 У

Базисный вектор / отображается в вектор / + / : А ( = / + / = ^ . Матрица преобразования имеет вид:

A =

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070

Г1 л

V0 Ъ

. Другим способом матрицу аффинного преобразования составляют из столбцов координат

векторов нового базиса, записанных в исходном базисе. В теории навигации основной вид аффинных преобразований - это поворот (ортогональное преобразование). Рассмотрим вычисление матрицы преобразования на примере задания положения самолёта в пространстве с помощью трёх углов Эйлера, вводимых в следующей последовательности: (р,д (см. рисунок 2). Составим матрицу направляющих

косинусов углов между осями системы, связанной с корпусом самолёта (xyz) и опорной (географической)

систем координат . Переход от исходной системы к новой происходит в три этапа. На рисунке 3

показаны последовательные повороты на углы Эйлера и оси, относительно которых они произведены.

Рисунок 6 - Опорная и связанная системы координат

& ' (г = г

Рисунок 7 -Последовательные повороты на углы Эйлера Первый поворот происходит вокруг оси на угол \|/(рыскание). Базис опорной системы координат |/ , (исходный) отобразится в базис |/|, /|,А'||, / = /, (первый). Векторы первого базиса в

' соэ^ 0 эт^

координатах исходного базиса составят по столбцам матрицу перехода А¥ : А = 0 1 0

- эт^ 0 соэ^

Следующий поворот на угол ф (крен) совершим вокруг нового положения продольной оси самолёта Базис ,/,, ^ | отобразится в базис |/2,/2, /, = /2 (второй). Матрица перехода:

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070_

r1 0 0 ^

0 cos р - sin р . Завершающим этапом перехода к новому базису связанной системы координат

0 Ú\\(p COS (¿9 у

станет поворот вокруг оси iß на угол 8 (тангаж). Базис |/2, /2, J отобразится в базис |/3, /3, А'3j, къ=к2.

\ =

(

Соответствующая матрица перехода: А =

cos

в - sin в 0 ^

sin в cos в 0 1

0

0

. Связь координат в новом и исходном базисах

{ х ^ { х ^

описана формулами: 1 = А ■ У ? У = А- ■ 1

Vt V Z у V Z у Vd

Аналогично, для промежуточных этапов, имеем:

( ( ~ \ ( х\

= V

У1

V zi у

У1

= А

fx У 2

1 st у

(x \

= К'

Ух

V zi у

= Ar-

V Z1 у

íx лл Л2

V z 2 у

{х ^ Л 2 { х ]

У 2 = Ав- У

V z 2 у V z ,

Исходя из вышесказанного, имеем:

A_

У2

V Z2 у у

= V

A

A

ГхЪ ^

У

V z ууу

= Ar-Ар-Ав

х

У

V z у

А = AT-Ар-Ав =

Матрица А перехода от опорного базиса к связанному получается равной произведению матриц: А = A ■ Ap ■ Ae . Умножение происходит последовательно справа в соответствии с произведёнными поворотами.

rcos0cosp + sin0sinpsinp cos0sinpsinp - cospsin0 cospsinp^ cos (p sin 0 cospcos 0 - sinp

sin 0 sin (p cos p - cos 0 sin p sin 0 sin ip + cos 0 cos p sin p cospcosp Матрица обратного преобразования: A"1 = AT.

Заметим здесь интересное мнемоническое правило, помогающее проверить, где оказывается «минус» при синусе в матрице поворота. Рассмотрим диаграмму (рис. 4). На ней цифры 1, 2, 3 расположены на окружности по часовой стрелке, а направление обхода указано против часовой стрелки. Например, при создании матрицы А поворот осуществляется вокруг второй по порядку оси координат. Смотрим на

стрелку - она показывает, что минус будет при синусе в первом столбце и - дальше по стрелке - у третьего элемента.

Если теперь составить таблицу и заполнить её по строкам элементами матрицыА, то получим таблицу направляющих косинусов между осями систем координат связанной (xyz) и опорной {£,rC) : [3, стр.21-

Рисунок 4 - Мнемоническое правило

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070_

Таблица 1

Направляющие косинусы ортогонального преобразования.

x У z

% cos в cos щ + sin в sin р sin щ cos в sin р sin щ - cos щ sin в cos р sin щ

п sin в cos р cosрcos в - sinр

Z sin в sin р cos щ - cos в sin щ sin в sin щ + cos щ sin р cos в cosрcosщ

С помощью матрицы поворота можно найти координаты точек оси, которая в результате трёх последовательных поворотов не меняет своего положения,

таким образом можно говорить, что поворот осуществлён вокруг этой оси. Для любого вектора, принадлежащего данной оси будет выполняться равенство А{р) = р,

что в координатной форме соответствует системе уравнений (а11 -1) х + а12 у + а13 г = 0

а21х + (а22 -1) у + а23г = 0 .[2, стр. 83] аз1х + аз2У + (азз -1)г = 0

Рассуждая аналогично, составим таблицу направляющих косинусов между осями связанной (хуг) системы координат и осями Резаля трёхстепенного гироскопа, установленного на борту в соответствии с рисунком 5. Ось ОХ направлена вдоль продольной оси самолёта, ось OY - по нормальной оси, ось 02 - в правое крыло. Пусть в начальный момент времени оси Резаля совпадают с осями связанной с самолётом системы координат. Первый поворот (см. рис.6) на угол а осуществим вокруг оси наружной рамки гироскопа - 0Y. Второй поворот - на угол в вокруг оси внутренней рамки гироскопа - оси OZ1. Матрицы переходов равны:

r cos а 0 sina^ ' cos ß - sin ß 0 л

Ba = 0 1 0 , Bß = sin ß cos ß 0

v-sin а 0 cosay V 0 0 ъ

Рисунок 5 - Трёхстепенный гироскоп

Рисунок 6 - Повороты гироскопа

Окончательно имеем:

У

V z

= B_

V

У1

V zi у

=B

B

У2

V z2 JJ

= BaBß

У2

V z2 у

Обозначим B = BaBß =

^cosacos /3 — cosa sin /3 sina^ sin / cos / 0

— cos /sin a sin /sin a cosa

. Тогда, если

{ x ^ { x ^ { x2 > { X2 i { X2 i

л = A ■ У и У = B У2 , то л = AB У2 = C У2 , С = AB.

V z J V Z J Vz 2 j Uj l Z 2 J Vz 2 j

Матрица С - матрица перехода от опорной системы к осям Резаля. Из элементов матриц составим таблицы направляющих косинусов (см. табл.2).

Таблица 2

Направляющие косинусы матриц А, В, С.

А x y z B x2 У2 Z2 C x2 У2 Z2

í aii ai2 ai3 x bii bl2 bi3 í C11 C12 C13

n a2i a22 a23 У b21 b22 b23 n C21 C22 C23

z аз1 аз2 азз z Ьз1 b32 Ьзз z C31 C32 C33

С помощью этих таблиц можно получить соотношения между углами поворотов объекта и рамок

3

карданова подвеса. Например, так как B = A C = ATC, то bik = ^ ajiCjk . Если, например:

j=i

Ь21 = _ COS a Sin Р = ai2Cll ^ a22C21 ^ a32C31, Ь22 = COS Р = ai2C12 ^ a22C22 ^ a32C32 ,

b23 = sin a sin Р = a12C13 + a22C23 + a32C33,

то a = -arctg

ai2 C13 ^ a22 C23 ^ a32 C33 ai2 C11 + a22 C21 + a32 C31

ß = arccos (a12c12 + a22C22 + a32C32 ) .

Определение проекций угловых скоростей. Математический аппарат аффинных преобразований пространства позволяет решать многие прикладные задачи. Например, с его помощью можно определять текущее значение координат вектора угловой скорости объекта. Вектор Ф , направленный вдоль мгновенной оси вращения при сферическом движении, может быть однозначно задан своими проекциями на

координатные оси. Предположим, угловая скорость объекта задана векторным равенством: со =у/ + ф + 0 .

Í 0 ^ Ícospsin вл

системе (x,y,z) ^ V = v cos^cosö

l0 J v - sinß J

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070_

Проекции суммы векторов на координатные оси вычислим по формулам:

а>х = ^cos^,xj + <^cos^,xj + #cos^,xj

СОу=у/ COS {[¡/, У^ + ф COS [ф, y^j + 0 COS Iв, yj,COz = у/ COS {[¡/, Z^ + ф COS {<р, zj + в COS Iв, z j.

Определим соответствующие косинусы углов между векторами и координатными осями

связанной системы координат. Вектор ц/ имеет в опорной системе (¿f, //, ¿Г) координаты (0,(//, О)' . В

. Значит, cos хj = cos ^?sinб1, cos = cos ^>cos 61, cos |i/>,zj = -sirup. Вектор ф имеет координаты (г/?,0,0)' в системах ,//,, ¿Г, ) и (см. рис. 3). Его координаты в

связанной системе: Ав

= cos#, =-sinö, cos^,zj = 0.

Вектор в имеет в связанной системе (x,y,z) координаты (0,0, l)' , поэтому cos |в, хj = 0, cos |в, yj = 0, cos zj = 1. Суммируя, получим соотношения:

сох=ц/ cos ср sin в + ф cos в,а> =ц/ cos ср cos в - ф sin в, coz = -ц/ sin (р + в .

Предложим ещё один способ определения проекций вектора угловой скорости объекта с помощью матрицы преобразования А. Из курса теоретической механики вспомним правило дифференцирования

единичного вектора. С учётом постоянства модуля ортов i ,j ,к связанной системы координат fx,у, z) имеем

di „ - dj „ - dk „ - / \ равенства: — = со х /, — = сох j, — = со хк , где СО = I СОх, СО , COz I. Выполнив векторное умножение dt dt dt

di r dj r dk

f фл ' cos в >

0 = ф -sin# . Отсюда:

l0 J V 0 У

данных векторов, мы получим: ~~~ — (й2] ~ (Оук, —— — —О) Л + (Охк, —— — (ОЛ — СОх] .

аг аг аг

Далее скалярно умножим первое равенство на орт у , второе равенство - на орт к , а третье равенство - на орт /' ,сох =

Г Х-i-,i

у dt j

Г dk - Л

юу =

Kdt ,

ю =

^ di -гЛ v dt' j

Напомним, что координаты ортов /, /, к связанной системы координат (х.у.г) в

опорной системе (£, rj,£)

это: г =

fa > fa > 12 Га ^

«21 II а22 II а23

l а31 J l a32 J l а33 J

. Тогда скалярные

da,.

da-, 2 daLo da^2 da, 3 da2, ^м^л

произведения примут вид: ю = —• a13 н--22• a23 н--32• a33, = —13• ajj н--23• a21 н--33• a31,

dt dt dt dt dt dt

da,, da21 da31

oz = —11 • a12 н--— • a22 н--31 • a32

dt dt dt

Например,

6)y = (cos ß sin y) (cos в cos у + sin в sin ß sin y) +

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №02-1/2017 ISSN 2410-6070

+(-sin^») (sin 0 cos + (cos cos t//) (sin в sin (p cos у/ - cos в sin у/) = Ц/ COS (p cos в - ф sin в

Аналогично вычислим: 0)х=у/ COS (р sin в + ф COS в. СОz = —у/ sin <Р + в . Как видно, результаты, полученные обоими способами, совпадают. Дифференцируя эти выражения, можно решить ещё одну навигационную задачу - определить проекции углового ускорения качки s = ó объекта: sx = áx = ^cospsin#-p^sinpsin# + ^#cospcos# + pcos#-p#sin# sy = ё = ^cospcos#-p^sinpcos#-^#cospsin#-psin# + p#cos# . sz=áz= —у/ sin р - фу/ cos p + 9

Обратная задача состоит в выражении проекций вектора Ó = у/ + ф + 9 через проекции угловой скорости СО = (сОх, СОу, OJz j и углы Эйлера. Для решения запишем полученный ранее результат в матричном

'а, 1 ' cos 9 cos р sin 9 01 (ФЛ

виде: а, = - sin 9 cos pcos 9 0 V

v0z у v 0 - sinp 1 у

Матрица К =

cos 9 cos (р sin 9 0 ^ - sin9 cospcos9 0

v 0 - sinp 1 j

не является ортогональной, так как составляющие

у/, ф, 9 вектора угловой скорости С) не попарно ортогональны. Поэтому для решения обратной задачи:

f cos 9 — sin 9 sin 9 cos 9

I4]

V = к1

{в; 1®J

найдём обратную матрицу К =

0

cosp

cosp

соотношения: р = сох cos 9 - со sin 9, у/ = соу

sinö

tgp sin 9 tgp cos 9 1 cos#

и выпишем полученные

9 = coxtgcp sin 9 + со tgcp cos 9 + coz.

соэр соэр

В заключении определим проекции вектора со = у/ + ф + 9 на координатные оси опорной системы

координат. В матричном виде:

ал (Фл 0 '

ay = B V ?

1а Z у [в; laJ

= A

(а. ^

а.

а у

Тогда

а

а

v ^

= AB

Гф\ V

А

r cos^ 0 cospsin^ AB = 0 1 - sin p . - sin^ 0 cospcos^y

Результат: co( = é? eos <£> sin ¡// + </> cosí//, со = у/ — 9 sin qy, co^ = 9 cosacos (р — ф sin у/

Косоугольные координаты. С учётом эллиптичности нашей планеты в некоторых навигационных расчётах вводят так называемые косоугольные координаты. Это связано с различными определениями широты места. Рассмотрим косоугольную систему координат Oxyz' (см. рис.7), в которой оси абсцисс и ординат совпадают с одноимёнными осями прямоугольной системы координат Oxyz, а ось OZ' расположена в координатной плоскости YOZ и отклонена от оси OZ на угол в. [1 стр. 99] Косоугольные координаты

вводятся двумя способами. Контраеариантные составляющие вектора v = (v1,v2, v3) получаются, если

спроецировать v на оси по правилу параллелепипеда параллельно плоскостям, через которые проходят оси координат.

Ковариантные составляющие v = (Vj, v2, v3) - это ортогональные проекции вектора на оси координат, орт k' = — sin 6j + cos в к . Тогда, если координаты вектора в прямоугольном базисе v = ( vx, vr, v_ ). то связь

' 10 0 ^

с контравариантными составляющими осуществляется через матрицу L: ¿=0 1 -sin6

0 0 cos0

( v1 > ( v1' (vx ^

= L v2 ? v2 = L1 vy

v v3 v3, v

V z У V У V У V z У

•i V

\.............

\e_ a \ S^ß \ \

\ v3 sin Q)f \ \/ 3

/vx,v1,vl X vAsin в

У

Рисунок 7 - Косоугольные координаты Коварианты У2 и У3 получаются сложением ортогональных проекций контравариантов на

соответствующие оси кординат: (10 0 ^

v = v - sinö- v

v3 = - sin в • v

Матрица связи:

М =

0 1 - sine 0 - sine 1

Вывод. В данной статье рассмотрены некоторые ключевые моменты применения математического аппарата аффинных преобразований к решению основных задач навигации. Авторы надеются, что данная статья поможет связать изученный классический курс высшей математики и теоретической механики с новыми знаниями, необходимыми инженеру-проектировщику навигационных приборов и устройств, ещё раз убедиться в красоте и лаконичности математической науки и воспользоваться её безграничными возможностями.

Список использованной литературы:

1. Бромберг П.В. Теория инерциальных систем навигации. - М., Наука, 1979-296 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — 7-е изд., стереотип. — М., Физматлит, 2006 - 224с.

3. Одинцов А.А., Павловский М.А., Бублик Г.Ф., Евгеньев В.С., Бондарь П.М. Теория гироскопов и гироскопических приборов. Практикум. - Киев, Вища школа, 1976 - 264с..

© Скуднева О.В., Дубограй И.В. , 2017

УДК 66.045.1

Д.И. Ташева

Студент 2 курса магустратуры факультета трубопроводного транспорта Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Научный руководитель: Е.В. Бурдыгина к.т.н., доцент кафедры Промышленная теплоэнергетика Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

г.Уфа, Российская Федерация

ТЕПЛООБМЕННЫЕ АППАРАТЫ В ПЕРЕРАБОТКЕ НЕФТИ

Аннотация

Применение теплообменников на НПЗ способствует к серьезной экономии топлива. В настоящее время находят применения современные конструкции теплообменников. Использование спиральных теплообменников позволяет добиться высокой теплопередачи даже для вязких и загрязненных сред.

Ключевые слова

Теплообменник, спиральные теплообменники, теплообменники на НПЗ, конструкция теплообменника.

Теплообменные аппараты служат для передачи тепла от более нагретого теплоносителя менее нагретому. На нефтеперерабатывающих заводах в теплообменниках исходное сырье нагревается продуктами переработки и остатками, служащие теплоносителями. Применение теплообменников на НПЗ способствует к экономии топлива.

Распространенные теплообменники различаются: кожухотрубчатые теплообменные аппараты, теплообменники типа «труба в трубе» , спиральные теплообменники, пластинчатые ТОА.

Кожухотрубчатые теплообменники.

Самая простая конструкция такого типа ТОА - с неподвижным пучком труб. Он состоит из корпуса и вмонтированного в него пучка трубок малого диаметра, концы которых развальцованы в решетках. (Рисунок1) Недостатки такой конструкции : из-за малых скоростей, плохая передача тепла ; в связи с жестким креплением трубок и нагревом теплообменника, возможны нарушения целостности развольцовки.[2]

Наибольшее распространение для теплообмена получили кожухотрубчатые аппараты с «плавающей головкой» .

2

Рисунок 1 - Двухходовой теплообменник с «плавающей головкой»: 1 — распределительная камера; 2 — трубная решетка; 3 — «плавающая головка»

Особенностью данной конструкции является возможность свободного осевого перемещения пучка трубок. Тем самым обеспечивается компенсация темперетурных изменений длин. [4] Достоинства : высокая стойкость к гидроударам, не нуждаются в чистой среде, высокая эффективность. Недостатки : габариты аппарата, высокая металлоемкость .

В настоящее время находят применения современные конструкции кожухотрубчатых теплообменников с витыми трубами. Витые трубки позволяют создать завихряющийся поток в